AWAL MATEMATIKA EROPA

A. MATEMATIKA ABAD PERTENGAHAN

1. Lintasan Sejarah Penyebarab Ilmu Pengetahuan Gerik dan Arab ke Eropa

Setelah runtuhnya kekuasaan Romawi, kebudayaan Eropa relative mengalami

kemunduran dibanding perkembangan pesat sebelumnya. Hanya birawan-birawan Katolik

yang memelihara ilmu pengetahuan dari Gerik. Sedikit sekali kemajuan yang dicapai di

bidang matematika pada khususnya. Tetapi kalender semakin disempurnakan. Namun

demikian masih terdapat beberapa penulis yang mengembangkan dan memelihara

matematika itu.

Alcuin (735-804) kelahiran Yorkshire menulis judul “soal-soal untuk mempercepat

berfikir” yang ditulis ± 775 dalam bahasa latin.

Soal-soal sukar dari buku itu di kemudian hari banyak dikutif dalam buku-buku teks di

Eropa. Gerbert (950-1003) lahir di Auvergne, Perancis. Ia adalah ahli matematika Kristen

pertama belajar di Sekolah Islam di Spanyol. Ia menyalin angka-angka Hindu-Arab dan

disebarkan di Eropa. Ilmu pengetahuan yang dipelihara Islam diterjemahkan dari bahasa Arab

ke dalam bahasa Latin oleh sarjana-sarjana Kristen yang melawat ke pusat ilmu pengetahuan

Islam.

Gerbert menciptakan globe bumi dan ruang angkasa. Ia menciptakan jam dan organ. Ia

menyatakan rumus luas segitiga sama sisi L=12

a (a−17

a) . memberi pendekatan √3=127

.

Karena ciptaan-ciptaan Gerbert itu, ia dituduh oleh gereja sebagai kemasukan iblis

namun ia tetap patuh kepada gereja sehingga kemudian ia terpilih dalam kepausan pada tahun

999. Gerbert juga menulis tentang astrologi, aritmetika dan geometri.

Keegiatan perdagangan dari bagian pantai timur Laut Tengah dengan dunia Arab

menyatakan terbawanya ilmu pengetahuan dunia Arab ke Eropa pada abad 12 melalui

terjemahan. Dalam sejarah matematika abad 12 itu disebut sebagai abad terjemahan. Salah

seorang yang giat menterjemahkan itu ialah biarawan Adelard dari Bath (± 1120). Ia belajar

di spanyol dan mengembara ke Gerik, Syria dan Mesir. Buku Elemen Euclid ia terjemahkan

ke dalam bahasa Latin dan Menterjemahkan table astronomi dari Khowarizmi.

Semasa kerajaan Norman di Sicilia banyak risalat-risalat Gerik dan Arab dari ilmu

pengetahuan dan matematika diterjemahkan ke bahasa Latin. Usaha-usaha menterjemahkan

itu di dorong dan dilindungi oleh raja Frederik II (1194-1250) dan dilanjutkan oleh anaknya

Manfred (1231-1266).

Saudagar-saudagar Italia yang berpusat di Goa, Pisa, Milan dan Florence yang

berhubungan dengan dunia timur membawa aritmetika, aljabar dan system bilangan Hindu-

Arab ke Eropa.

2. Matematika Abad 13 dan Abad 14

a. Abad 13

Leonardo Fibonacci salah seorang sarjana matematika abad 13 yang terkemuka. Ia juga

dikenal sebagai Leonardo dari Pisa. Dalam perlawatannya ke timur ia berkesempatan untuk

berhubungan dengan sarjana matematika Arab pada masa itu. Ia mempelajari metode

berhitung Hindu-Arab. Pada tahun 1202 ia menulis buku denga judul Liber Abaci. Buku itu

berisi aritmetika dan aljabar, mengenalkan sistem angka Hindu-Arab ke Eropa. Ia

menguraikan metoda menghitung bilangan bulat dan pecahan, menghitung akar pangkat dua,

akar pangkat tiga dari suatu bilangan.

Dalam buku itu diuraikan penyelesaian persamaan kuadrat dengan metode letak salah

dan penyelesaian secara aljabar. Di dalam buku itu terdapat soal-soal, dikemudian hari

menjadi sumber soal-soal yang dikutip buku-buku teks selama berabad-abad. Salah satu dari

soal menarik pada buku itu yang terkenal sekarang ialah barisan Fibonacci, yakni 1, 1, 2, 3, 5,

8, . . . . . , m, n, m + n, . . . . .

Pada tahun 1220 ia menulis buku yang berjudul “Practica Geometriae”, berisi pelajaran

yang luas tentang Geometrid an Trigonometri.

Pada tahun 1225 ia menulis buku dengan judul “Liber Quadratorium”, mengenai analisa

tak tertentu. Bakat matematikanya yang luar biasa itu mendorong kaisar Frederik II

mengundangnya ke istana untuk mengikuti perlombaan matematika.

Campanus salah seorang sarjana matematika abad 13 yang dikenal melalui karyanya

pada kumpulan aturan-aturan aritmetika, dan ringkasan dari almagest dan terjemahan elemen

euclides yang semuanya disusun dalam bahasa Latin.

Pada abad 13 berdirilah universitas paris OXFORD CAMBRIDGE, PADUA dan

NAPLES. Universitas itu mempercepat penyebaran ilmu pengetahuan itu di Eropa.

b. Masa Suram Ilmu Pengetahuan

Pada abad ini terjadi peperangan di Eropa yang disebut PERANG SERATUS TAHUN.

Dan dalam abad ini juga terjadi wabah di Eropa yang disebut KEMATIAN HITAM (Black

Death) yang mematikan hampir 13

penduduk Eropa.

Oleh kejadian itu perkembangan ilmu pengetahuan hampir tak ada. Namun masih

tercatah ahli-ahli yang berjasa memelihara ilmu pengetahuan pada masa itu dan

mengembangkannya. Nicole Oresme (1323 – 1382), lahir di Normandia. Ia menulis lima

karya matematika dan beberapa terjemahan karya Aristoteles.

Dalam salah satu karyanya ia memperkenalkan eksponen pecahan. Dalam karya lain ia

perkenalkan penentuan letak suatu titik yang menjadi awal dari geometri kordinat. Brosur-

brosur berjasa menghidupkan kembali kegiatan matematika atau renaisans dari Matematika.

Karyanya member landasan bagi Descrates untuk pengembangan matematika abad 15.

Thomas Bradwardine (1290 – 1349) menulis brosur-brosur tentang konsep kontinu,

deskrit, besar tak berhingga, kecil tak berhingga. Ia juga menulis brosur tentang aritmetika

dan geometri.

3. Zaman Renaisans

Dalam sejarah abad 15 disebut zaman renaisans, yaitu lahirnya kembali perhatian kepada

kebudayaan Gerik dan Romawi klassik dan berusaha mencari nilai-nilai baru dari

kebudayaan itu.

Runtuhnya kerajaan Bizantium dan jatuhnya Konstantinopel ke tangan Turki, pengungsi-

pengungsi mengalir ke Italia. Pengungsi-pengungsi itu membawa ilmu pengetahuan Gerik

dan Arab ke Eropa. Buku-buku ilmu pengetahuan yang diterjemahkan dari bahasa Arab dan

bahasa Gerik ke dalam bahasa Latin mulai tersebar di Eropa. Pada abad 15 itu pula

ditemukan alat percetakan, sehingga perdagangan buku ilmu pengetahuan pun turut

berkembang. Kegiatan matematika pada abad 15 itu berpusat di Italia, di Nurenberg, Wina

dan Praha.

Nicolas Cusa (1401 – 1464) menjadi gubernur Roma pada tahun 1448. Ia menulis

beberapa brosur matematika dan memperbaharui kalender. Ia juga tertarik untuk

menyelesaikan soal membusursangkarkan lingkaran dan soal membagi tiga sama suatu sudut.

George von Peurbach (1423 – 1461) setelah selesai belajar matematika di Italia ia tinggal

di Wina dan mendirikan universitas di kota itu. Karya dari Peurbach terdapat mengenai

astronomi, aritmetika, dan menyusun table sinus. Ia menterjemahkan langsung buku karya

Plotomeus dari bahasa Gerik ke bahasa Latin. Selain itu juga menterjemahkan karya

Apollonius, Heron dan Archimedes dari bahasa Gerik ke bahasa Latin.

Murid Peurbach, John Muller (1436 – 1476) melengkapi terjemahan Almagest ke bahasa

Latin. Karya John Muller dengan judul De Triangulis Omnimodis ditulis pada tahun 1464

dan diterbitkan pada tahun 1533. Buku itu mengenai trigonometri bidang dan trigonometri

bola yang ditulis terpisah dari astronomi. Muller juga dikenal dengan nama Regiomontanus

kemudian tinggal menetap di Nurenberg dan pada tahun 1471 mendirikan observatorium di

kota itu. Kemudian ia mendirikan percetakan dan menulis brosur-brosur astronomi.

Dalam buku trigonometri ia menulis tiga syarat untuk dapat menentukan unsure-unsur

suatu segitiga. Misalnya, tentukan unsure-unsur suatu segitiga jika ditentukan satu sisi, garis

tinggi pada sisi itu dan perbandingan dua sisi yang lain. Penyelesaian soal itu masih

menggungakan aljabar retorik. Ia juga menulis table fungsi tangent.

Nicolas Chuquet sarjana Perancis menulis aritmetika pada tahun 1484. Dalam tulisannya

ia menguraikan bilangan-bilangan rasional, irrasional, teori persamaan dan mengenai

eksponen bulat positif dan negative yang ditulis dalam bentuk aljabar sinkopasi.

Luca Pacioli (1445 – 1509) seorang biarawan Italia menyusun ringkasan Aritmetika,

aljabar, geometri pada masa itu dalam suatu buku dengan judul summa. Dalam buku itu di

uraikan algoritma penarika akar pangkat dua, aritmetika dagang, tata buku dan penyelesaian

persamaan-persamaan dengan metode letak salah.

Alajabar yang ditulisnya masih aljabar sinkopasi. Singkatan-singkatan yang dituulisnya

antara lain:

p singkatan dari piu artinya tambah

m singkatan dari meno artinya kurang

co singkatan dari cosa artinya benda yang tak diketahui dipakai untuk peubah x

ce singkatan dari censo dipakai untuk x2

cu singkatan dari cuba dipakai untuk x3

cece singkatan dari censo censo dipakai untuk x4

ae singkatan dari aequalis artinya sama.

Adapun lambing “+” dan “-“ pertama kali dikenal pada penerbitan aritmetika di Leipzig

pada tahun 1489 oleh Johann Widman. Tetapi pemakaian lambing ini pun belum sebagai

operasi hitung menjumlah dan mengurang, baru dipakai sebagai menyatakan lebih dan

kurang. Pemakaian lambing + dan – sebagai operasi hitung dilakukan oleh Van der Hoecke

dari negeri Belanda.

Kegiatan perdagangan pada abad 15 itu meningkat pula penerbitan aritmetika yang perlu

bagi perdagangan itu sendiri. Tahun 1478, terbit buku aritmetika dengan judul “TREVISO

ARITHMETIC” di kota Treviso suatu kota pada jalur perdagangan dari Venesia ke kota-kota

di sebelah utara. Isi buku mengenai bilangan-bilangan, perhitungan menggungakan bilangan-

bilangan yang terkait dengan usaha-usaha perdagangan. Tahun 1491, Filippo Calandri

menerbitkan buku aritmetika yang menjadi dasar cara membagi yang dikenal sekarang. Soal-

soal pada buku itu menguraikan perhitungan bea cukai pada perdagangan di Italia. Di

Negara Eropa lain pun terbit juga buku-buku aritmetika, antara lain ditulis Jacob Kobel pada

tahun 1514 di Jerman dan di Inggris oleh Robert Recorde pada tahun 1542 dengan judul The

Ground of Artes.

B. MATEMATIKA ABAD 16

1. Menuju Aljabar dengan Lambang-Lambang

Robert Recorde ( ± 1510 – 1558) menulis karya dalam aljabar, geometrid an

astronomi.pada tahun 1557 ia menulis aljabar dengan judul “THE WHETSTONE OF DE

WITTE”. Dalam buku itulah pertama kali digunakan lambing “=” untuk kesamaan seperti

digunakan sekarang.

Christoff Rudolf ( ± 1525) menulis buku aljabar denga judul “DIE COSS”. Dalam buku

itu diperkenalkan lambing menarik akar “√”, barangkali sebagai singkatan dari radix.

Michael Stifel (1486 – 1567) seorang biarawan jerman, menerbitkan buku dengan judul

“ARITHMETICA INTEGRA” pada tahun 1553. Dalam buku itu ia menguraikan bilangan

rasional, irrasional, deret aritmetika, deret geometrid an koefisien binomial hingga pangkat ke

tujuh.

Dalam buku itu sudah memakai lambing +, - sebagai operasi hitung dan memakai huruf

untuk yang tak diketahui.

2. Aljabar yang Berdiri Sendiri

Spione del Ferro (1465 – 1526) seorang guru besar matematika pada universitas Bologna

pada tahun 1515 menulis persamaan pangkat tiga x3+mx=n, tetapi tidak menerbitkannya

hanya memberitahu kepada seorang mahasiswanya Antonio Fior.

Tartaglia (1499 – 1557) lahir di Brescia Italia, putra seorang petani miskin. Pada serbuan

Perancis ke Italia ia disiksa berat sehingga tak dapat berbicara baik. Orang tuanya meninggal

dalam pembunuhan masal oleh pasukan Perancis. Maka Tartaglia sebagai seorang yatim piatu

harus menhidupi dirinya sendiri. Namun mampu belajar dengan baik atas biaya sendiri. Ada

kalanya ia belajar dengan menggunakan batu nisan di kuburan sebagai pengganti batu tulis.

Kemudian ia menjadi guru sebagai mata pencahariannya. Ia meninggal di Venesia.

Tartaglia ahli pertama menggunakan matematika pada ilmu altileri. Ia juga menulis

aritmetika tentang perdagangan dan bea cukai tentang euclides dan Archimedes.

Pada tahun 1535, ia menerbitkan penemuannya menyelesaikan persamaan pangkat tiga

dalam bentuk x3+p x2=n. Maka Antonio Fior menentangnya untuk melakukan pertandingan

matematika menyelesaikan persamaan pangkat tiga. Maka tartaglia mempersiapkan diri untuk

menyelesaikan persamaan itu dengan dua cara sedangkan Antonio hanya dengan satu cara.

Maka Tartaglia memenangkan pertandingan itu.

Girolamo Cardano (1501 – 1576) kelahiran Pavia, seorang yang sangat berbakat dalam

berbagai bidang ilmu. Ia menulis tentang aritmetika, astronomi, fisika dan bidang lain.

Karyanya yang paling terkenal adalah mengenai aljabar dengan judul “ARS MAGNA”,

ditulis pada tahun 1545. Dalam buku itu dimuat hasil penemuan Tartaglia untuk

menyelesaikan persamaan pangkat tiga itu.

Penyelesaian persamaan kuadrat sudah mengikutsertakan akar-akar negative. Ia sudah

menghitung dengan bilangan imaginer, menghitung akar persamaan dengan pendekatan

tertentu.

Pada tahun 1540, Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada Cardano yang

menghasilkan persamaan pangkat empat. Tetapi Cardano tak dapat menyelesaikannya. Murid

Cardano, Ferrari berhasil menyelesaikan soal itu dan penyelesaiannya ditulis juga dalam buku

Ars Magna.penyelidikan akar-akar persamaan derajat tinggi berlanjut terus pada masa

berikutnya untuk metoda penyelesaian secara umum.

3. Aljabar Menggunakan Huruf

Francois Viete (1540 – 1630) lahir di Fontenay Perancis. Ia seorang ahli hokum dan

anggota parlemen. Tetapi dengan bakat luar biasa ia menggunakan waktu terluangnya

mempelajari matematika. Bahkan ia kemudian dipandang sebagai ahli matematika terbesar

abad 16. Ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul “CANON

MATHEMATICUS SEU AD TRIANGULA”. Buku itulah yang pertama di Eropa yang

menyelesaikan soal-soal trigonometri bidang dan bola secara sistematis, ia menyatakan

cos nθ , n=1 , 2, 3 , …,9 dengan cosθ. Buku itu juga menguraikan persamaan pangkat tiga

dengan jawaban secara trigonometri.

Pada tahun 1591 ia menulis aljabar dengan judul “In Artem Analiticam Isagoe”. Ia mulai

menyusun aljabar dengan menggunakan huruf-huruf. Huruf hidup munyatakan yang tak

diketahui dan huruf mati untuk yang ditentukan.

Sebelum Viete lambing penulisan pangkat yang berbeda ditulis dengan huruf yang

berbeda walaupun biasanya sama. Ia sudah memakai lambing + dan - , tetapi belum memakai

lambang untuk sama dengan ia masih memakai aequatur.

Untuk A2 ditulis A quad, A3 ditulis A cub dan seterusnya. Misalnya polinom dengan

penulis yang kita kenal sekarang sebagai 3 px3+2qx2−2 rx=2 s, ditulis oleh Viete sebagai: P3

in A cub + Q2 in A quad – R plano 4 in A aequatur S solido 2.

4. Persamaan Derajat Tinggi

Pada tahun 1600, ia menulis aljabar dengan judul “De Numerosa Potestantum

Resolutione”. Dalam buku itu ia menjelaskan pendekatan akar persamaan derajat tinggi

secara berturut. Metode Viete itulah yang dipakai di Eropa hingga tahun 1680.

Sejarah mencatat usaha-usaha menyelesaikan persamaan derajat tinggi itu secara umum.

Pada tahun 1637 Descartes juga member penyelesaian persamaan pangkat empat itu. Pada

tahun 1750 Euler mencoba menyelesaikan persamaan pangkat lima.

P. Ruffini (1765 – 1823) seorang ahli fisika Italia mencoba menyelesaikan persamaan

pangkat lima itu pada tahun 1805, dan pada tahun 1813 membuktikan bahwa penyelesaian

persamaannya adalah tak mungkin.

Niels Hendrik Abel (1802 – 1829) seorang ahli matematika Norwegia membuktikan tak

mungkin menentukan akar persamaan pangkat lima atau lebih dinyatakan dengan koefisien

persamaan itu.

5. Mengakhiri Abad 16

Simon Stevin (1548 – 1620) dari negeri Belanda menulis aritmetika, ia ahli pertama

menulis tentang pecahan decimal, ia juga menulis tentang statistic dan hidrostatika.

Nicolas Copernicus (1473 – 1543) dari Polandia. Ia menulis teori tentang alam semesta

yang dilengkapi pada tahun 1530 tetapi baru diterbitkan pada tahun 1543 setelah ia

meninggal. Ia menulis perbaikan trigonometri.

George Joachim Rhaeticus (1514 – 1576) murid dari Copernicus berasal dari Jerman,

selama 12 tahun ia menyusun tabel trigonometri dari 6 fungsi trigonometri itu dalam interval

detik.

Rhaeticus lah sarjana pertama mendefinisikan fungsi trigonometri dinyatakan dengan

sisi-sisi segitiga siki-siku. Tabel Rhaeticus diterbitkan pada tahun 1593 oleh seeorang pendeta

Jerman peminat matematika yakni Bartholomaus Pitiscus (1561 – 1613).dapatlah

disimpulkan bahwa pada akhir abad 16, perkembangan matematika sudah meletakan dasar

pengembangan selanjutnya yang cepat pada abad 17.

Aljabar sudah mulai ditulis dengan lambang-lambang menggunakan huruf, perhitungan

bilangan sudah baku dengan system bilangan Hindu-Arab. Pecahan decimal sudah tersusun,

teori persamaan derajat tinggi sudah diselesaikan dalam bentuk tertentu. Bilangan negating

sudah termasuk dalam system bilangan. Fungsi-fungsi trigonometri sudah disusun sistematik

bersama tabel-tabel fungsi trigonometri itu.

C. BEBERAPA TOKOH MATEMATIKA EROPA

1. Rene Descartes

René Descartes lahir di La Haye, Perancis, 31 Maret

1596 – meninggal di Stockholm, Swedia, 11 Februari

1650 pada umur 53 tahun), juga dikenal sebagai

Renatus Cartesius dalam literatur berbahasa Latin,

merupakan seorang filsuf dan matematikawan Perancis.

Karyanya yang terpenting ialah Discours de la méthode

(1637) dan Meditationes de prima Philosophia (1641).

Descartes, kadang dipanggil "Penemu Filsafat Modern" dan "Bapak Matematika

Modern", adalah salah satu pemikir paling penting dan berpengaruh dalam sejarah barat

modern. Dia menginspirasi generasi filsuf kontemporer dan setelahnya, membawa mereka

untuk membentuk apa yang sekarang kita kenal sebagai rasionalisme kontinental, sebuah

posisi filosofikal pada Eropa abad ke-17 dan 18.

Pemikirannya membuat sebuah revolusi falsafi di Eropa karena pendapatnya yang

revolusioner bahwa semuanya tidak ada yang pasti, kecuali kenyataan bahwa seseorang bisa

berpikir.

Dalam bahasa Latin kalimat ini adalah: cogito ergo sum sedangkan dalam bahasa

Perancis adalah: Je pense donc je suis. Keduanya artinya adalah:

"Aku berpikir maka aku ada". (Ing: I think, therefore I am)

Meski paling dikenal karena karya-karya filosofinya, dia juga telah terkenal sebagai

pencipta sistem koordinat Kartesius, yang memengaruhi perkembangan kalkulus modern. Ia

juga pernah menulis buku berjudul Rules for the Direction of the Mind.

2. Isaac Newton

Isaac Newton dilahirkan pada tanggal 4 Januari 1643 di

Woolsthorpe-by-Colsterworth, sebuah hamlet (desa) di county

Lincolnshire. Pada saat kelahirannya, Inggris masih mengadopsi

kalender Julian, sehingga hari kelahirannya dicatat sebagai 25

Desember 1642 pada hari Natal. Ayahnya yang juga bernama Isaac

Newton meninggal tiga bulan sebelum kelahiran Newton. Newton dilahirkan secara

prematur; dilaporkan pula ibunya, Hannah Ayscough, pernah berkata bahwa ia dapat muat ke

dalam sebuah cangkir (≈ 1,1 liter). Ketika Newton berumur tiga tahun, ibunya menikah

kembali dan meninggalkan Newton di bawah asuhan neneknya, Margery Ayscough.

Newton muda tidak menyukai ayah tirinya dan menyimpan rasa benci terhadap ibunya

karena menikahi pria tersebut, seperti yang tersingkap dalam pengakuan dosanya:

"Threatening my father and mother Smith to burn them and the house over them."

Sejak usia 12 hingga 17 tahun, Newton mengenyam pendidikan di sekolah The King's

School yang terletak di Grantham (tanda tangannya masih terdapat di perpustakaan sekolah).

Keluarganya mengeluarkan Newton dari sekolah dengan alasan agar dia menjadi petani saja,

bagaimanapun Newton tidak menyukai pekerjaan barunya. Kepala sekolah King's School

kemudian meyakinkan ibunya untuk mengirim Newton kembali ke sekolah sehingga ia dapat

menamatkan pendidikannya. Newton dapat menamatkan sekolah pada usia 18 tahun dengan

nilai yang memuaskan.

Pada Juni 1661, Newton diterima di Trinity College Universitas Cambridge sebagai

seorang sizar (mahasiswa yang belajar sambil bekerja). Pada saat itu, ajaran universitas

didasarkan pada ajaran Aristoteles, namun Newton lebih memilih untuk membaca gagasan-

gagasan filsuf modern yang lebih maju seperti Descartes dan astronom seperti Copernicus,

Galileo, dan Kepler. Pada tahun 1665, ia menemukan teorema binomial umum dan mulai

mengembangkan teori matematika yang pada akhirnya berkembang menjadi kalkulus. Segera

setelah Newton mendapatkan gelarnya pada Agustus 1665, Universitas Cambridge ditutup

oleh karena adanya Wabah Besar. Walaupun dalam studinya di Cambridge biasa-biasa saja,

studi privat yang dilakukannya di rumahnya di Woolsthorpe selama dua tahun mendorongnya

mengembangkan teori kalkulus, optika, dan hukum gravitasi. Pada tahun 1667, ia kembali ke

Cambridge sebagai pengajar di Trinity.

3. Leonhard Euler

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang

terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masaSebagian besar

notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan

hingga abad ke-16. Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab

atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern

membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi

para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang

mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit

lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern

memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila

dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau

dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain

itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon

matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi

ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang

lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan

logika ini sebagai "kaku" (rigor).

Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian.

Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin

teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini

untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana

banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di

dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil

yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku.

Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada

munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan

masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan

besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]

Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan

sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma

hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua

rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk

meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut

Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-

rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di

dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di

dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan

pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-

rumus teori himpunan.

4. Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya

para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai

"Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya

Ilmu Pengetahuan". Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina

Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der

Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan

berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada

keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan.

Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa

terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika,

maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.

Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada

kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk

kepada kenyataan."

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan

dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper. Tetapi, di dalam karya

penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa

direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori

matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu

matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya

adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru." Para bijak bestari lainnya,

sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu

sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya

fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian

sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman,

mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan

demikian matematika termasuk di dalamnya. Di beberapa kasus, matematika banyak saling

berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari

beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan

konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam

matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat,

baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana

matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada

2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas

untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam.

Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu

pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan

sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian

pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta

terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu

pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan

filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di

dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian

yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa

lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang

logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama

para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah

satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya

dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields

Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat

tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan

penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini

dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian

masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23

masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan

Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para

matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.

Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium",

diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu

(hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

5. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz  adalah seorang jenius universal, serang pakar dalam hukum,

agama, filsafat, kesusastraan, politik, geologi, sejarah dan matematika. Beliau lahir di

Leipzig, Jerman. Beliau mendaftar di Universitas Leipzig dan meraih gelar doktor di

Universitas Altdorf. Leibniz mencari metode universal dengan mana ia memperoleh

pengetahuan dan memahami kesatuan sifat-sifat dasarnya.

Mungkin Leibniz lah pencipta lambang matematika terbesar. nama-nama

kalkulus differensial dan kalkulus integral, sama halnya seperti lambang-lambang baku dy/dx

diperkenalkan oleh beliau. kalkulus berkembang lebih cepat di daratan Eropa daripada di

Inggris sebagia besar disebabkan oleh perlambangannya.

6. Augustin Louis Cauchy

Augutin Louis Cauchy lahir di Paris. karena kesehatan yang buruk, ia disarankan oleh

memusatkan perhatiannya pada matematika. Selama karirnya ia menjabat sebagai mahaguru

di Ecole Polytechnique, Sorbone dan College de France. Sumbangan-sumbanagn

matematisnya cemerlang dan jumlahnya sangat banyak. Produktivitasnya sangat hebat

sehingga Academy Paris memilih untuk membatasi kuran makalahnya dalam majalah ilmiah

untuk mengatasi keluaran Cauchy.

walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad ke 17, dasar-dasarnya tetap kacau dan

berantakan sampai Cauchy dan rekan sebayanya (Gauss, Abel, dan Bolzano) mengadakan

ketelitian baku. Jasanya begitu besar terkait dengan pemikiran beliau mengenai pemberian

dasar kalkulus pada definisi yang jelas dalam konsep limit.

7. Fibonacci (1170 – 1250)

Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang

sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini

memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa

menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk

menghitung dan kalkulasi. Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah

digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh,

dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan

pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan

kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan

pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga

disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang

marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi),

bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa

pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa,

memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan

tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan

persamaan kuadrat.

Deret Fibonacci, Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan

transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai

batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol

ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus

pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak

muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang

Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret

bilangan yang diberi nama seperti namanya. Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 4,

55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 … Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan

berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya.

Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5

urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam,

adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu

menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas,

jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat

diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit

lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan

jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34

dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Sumbangsih, Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim

sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar

Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang

pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan

melakukan perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien –

dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan

matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian

disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-

saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan.