1BAB I

PENDAHULUAN

Pada abad ke 17, fenomena-fenomena perambatan cahaya dapat dijelaskan oleh dua

teori: (a) teori gelombang yang dikemukakan oleh Christian Huygens menyatakan bahwa

cahaya merupakan gelombang dan (b) teori corpuscle di mana cahaya terdiri dari partikel-

partikel atau corpuscle yang dikembangkan oleh Sir Isaac Newton. Dua teori ini dapat

menjelaskan fenomena perambatan cahaya yang seperti perambatan garis lurus dan

pemantulan cahaya. Tetapi fenomena interferensi dan difraksi tidak dapat dijelaskan oleh teori

corpuscle dan hanya bisa dijelaskan dengan teori gelombang. Pada interferensi cahaya, jika dua

cahaya dipadukan akan menghasilkan fenomena gelap dan terang. Perpaduan dua cahaya

menghasilkan gelap (interferensi pelemahan) tidak dapat dijelaskan dengan menggunakan

konsep partikel dan hanya bisa menggunakan konsep gelombang. Pada abad ke 19, Sir James

Maxwell memperkuat konsep gelombang dengan membuktikan bahwa merupakan gelombang

elektromagnetik. Walaupun demikian, konsep partikel tidaklah ditinggalkan, tetapi muncul

kembali dengan penemuan fenomena fotolistrik oleh Heinrich Hertz yang hanya dapat

dijelaskan jika cahaya terdiri dari paketpaket atau kuanta atau partikel (disebut foton).

Eksperimen yang dilakukan oleh Compton menunjukkan bahwa cahaya bersifat seperti

partikel (foton) ketika bertumbukan dengan sebuah elektron. Dua contoh eksperimen,

interferensi cahaya dan hamburan Comptonmembuktikan bahwa cahaya memiliki dua sifat

atau dualitas: sifat partikel dan sifat gelombang. Dengan mempertimbangkan sifat dualitas

cahaya ini, kemudian de Broglie berhipotesis bahwa sifat dualitas tidak hanya dimiliki oleh

cahaya, tetapi juga dimiliki oleh partikel atau materi. Fenomena gelombang untuk elektron

dapat ditunjukkan dengan eksperimen difraksi elektron pada kristal (Davisson dan Germer).

Eksperimen yang lebih menarik dan mengundang banyak pertanyaan adalah eksperimen

interferensi partikel (contohnya elektron) yang melalui celah ganda. Pada eksperimen celah

ganda ini, partikel ditembakkan satu per satu ke arah celah ganda dan hasil interferensi dilihat

pada layar (atau detektor). Contoh hasil pada layar untuk penembakan elektron satu per satu

yang dilakukan oleh Tanamura Jika jumlah elektron yang ditembakkan masih sedikit, tidak

terlihat adanya pola interferensi. Tetapi jika jumlah elektron pada layar sudah cukup banyak

2akan terlihat bahwa ada pola interferensi yang ditunjukkan dengan pola gelapterang. Perlu

disebutkan lagi bahwa elektron di sini ditembakkan satu per satu. Jadi tidak ada hubungan

antara elektron satu dengan elektron yang lainnya.

Hal ini menunjukkan sesuatu yang menakjubkan bahwa elektron berinterferensi dengan

dirinya sendiri! atau dengan kata lain elektron melalui dua celah sekaligus seperti pada

interferensi gelombang cahaya. Eksperimen celah ganda ini mengkonfirmasi bahwa partikel

memiliki sifat gelombang dengan panjang gelombangnya. Eksperimen celah ganda dengan

partikel yang lebih besar seperti atom dan molekul juga menunjukkan pola interferensi

[referensi]. Kemudian akan muncul persamaan persamaan shcrodinger lebih lanjut yang akan di

bahas dibawah ini.

3BAB II

PEMBAHASAN

SISTEM PARTIKEL TUNGGAL STASIONER DALAM POTENSIAL SATU DIMENSI

Dalam bab ini, kajian akan ditekankan pada penyelesaian persamaan Schrdinger tak

gayut waktu = (), untuk sistem partikel tunggal dalam potensial satu dimensi. Perluditekankan terlebih dahulu, bahwa fungs gelombang suatu system tidak semata-mata

ditentukan oleh bentuk operatornya secara matematis (bentuk fungsi tenaga potensialnya),

akan tetapi masih harus memenuhi syarat-syarat khusus yang diperlukan oleh observabel-

observabel dalam sistem. Syarat-syarat khusus yang dimaksud adalah bahwa fungsi gelombang

dant urunannya, ()dan (), harus berhingga, berharga tunggal dan kontinu.Dalam uraian berikut ini akan dibicarakan system dengan potensial yang berbentuk

antara lain potensial sumur tak berhingga (kotaktegar), potensial sumur berhingga dan

potensial undak/tangga. Beberapa bentuk potensial yang lain diberikan sebagai tugas/latihan

atau dapat dikaji dalam literature yang lain.

4.1. Partikel Dalam Sumur Potensial Tak Berhingga

Dalam sub bab ini akan ditinjau partikel bermassa m yang berada dalam sumur potensial

tak berhingga yang lebarnya a, dan x = 0 dipilih ditengah-tengah sumur. Sistem potensial ini

dapat dinyatakan sebagai

() = {,||/,// (4.1)seperti yang dilukiskan pada Gambar 4.1. Persamaan Schrdinger di dalam kotak (daerah II)

dapat dituliskan sebagai

()

+ () = 0 (4.2)

4Ungkapan (4.2) mempunyai penyelesaian umum berbentuk

() ( ) (4.3)dengan A dan B adalah sebagai tetapan integrasi yang ditentukan oleh syarat-syarat batasdan

=

(4.4)

Di daerah I dan III (|| , () harus nol karena potensialnya tak berhingga, sehinggakebolehjadian menemukan partikel di daerah itu sama dengan nol. Syarat kontinu pada

dan bagi () memberikan persamaan-persamaan berikut

(4.5)

dan

(4.6)

5Kedua persamaan terakhir ini memberikan penyelesaian

sin = 0 dan cos

= 0 (4.7)

Tetapi A dan B tidak boleh semuanya nol agar ada fungsi gelombang yang menyatakan keadaan

fisik partikel, disamping itu dua ungkapan dan

tidak mungkin berharga nol

secara bersamaan. Agar memenuhi persyaraan fisis, maka terdapat dua jenis penyelesaian,

yakni

= 0,dengan A = 0 (4.8)

dan

= 0,dengan B = 0 (4.9)

Dari persamaan (4.8), hargak yang memenuhi adalah

=

dengan n ganjil (4.10)

Sehingga diperoleh fungsi gelombang jenis pertama berbentuk

() = cos , n = 1, 3, 5,. (4.11)Yang berupa fungsi genap. Untuk persamaan (4.9), harga k yang memenuhi adalah

=

dengan n genap (4.12)

Yang memberikan fungsi gelombang jenis kedua yang berbentuk

() = sin , n = 2, 4, 6,. (4.13)Yang berupa fungsi ganjil. Selanjutnya, syarat ternormalisir bagi fungsi gelombangberbentuk

| = = 1

6Sehingga memberikan harga

A = B =

Akhirnya didapatkan fungsi gelombang partikel bermassa m yang terikat dalam sumur potensial

tak berhingga sebagai

() = { cos , n ganjil, /2 < < /2

sin

, n genap, /2 < < /20, . || /2 (4.14)

Selain telah mendapatkan fungsi gelombang sistem, tenaga system / partikel dapat juga

diperoleh dari persamaan (4.4), (4.10) dan (4.12) dan didapatkan

= (4.15)Ungkapan (4.15) menunjukkan bahwa tenaga partikel bersifat diskrit, membentuk aras-aras

teenaga yang ditentukan oleh harga n. sifat diskrit tenaga ini muncul secara alami untuk sistem

yang terikat dari syarat batas secara fisis. Bentuk gelombang dan aras-aras tenaga partikel

untuk n = 1, 2 dan 3 ditunjukkan dalam Gambar 4.2

7Gambar 4.2. (a) Gelombang partikel dalam sumur potensial tak berhingga untuk tiga keadaan

paling bawah.

(b) Aras-aras tenaga partikel dalam sumur potensial tak berhingga untuk tiga

keadaan paling bawah.

Contoh soal:

Sebuah electron terperangkap dalam sumur tak berhingga yang mana tenaganya

terkuantisasi.Bila lebar sumur 12 dan electron tersebut mengalami transisi dari keadaan

tereksitasi ketiga kekeadaan tereksitasi pertama dengan memancarkan radiasi, tentukan

panjang gelombang radiasi!

Jawab:

Da-i pers(4.15), beda tenaga akibat adanya eksitasi dapat dituliskan seperti

= 2 ( )

The image part with relationship ID rId8 was not found in the file.

8Telah diketahui bahwa diketahui energy akibat adanya radiasi tersebut sebesar

= =

Dari kedua persamaan di alas didapatkan

= (2 )( )( ) = (2 )( )

Untuk eksitasi ketiga (11 = 4) dan eksitasi pertama (n' = 2), maka untuk a 12A,

didapatkan

= 3955Jadi panjang gelombang radiasi adalah 3955.

4.2. Partikel Dalam Sumur Potensial Berhingga

Ditinjau partikel bermassa myang berada dalam sumur potensial bet hingga (satu dimensi) yang

dinyatakansebagai

axaaxV

xV...,.........0.,.........

)( 0 (4.16)

Dalam hal ini, lebar adalah 2a dan x == U berada ditengah sumur, seperti ditunjukkan dalam

gambar 4.3. Ruang kajian dibagi atas tiga bagian, I. II, III seperti ditunjukkan dalam Gambar 4.3.

9Persamaan Schrodinger untuk daerah I dan III berbentuk

0)()(2)(

22

2

xVEmdx

xd o

.... (4.17)

dengan penyelesaian umumnya berbentuk

)exp()exp()()(1 KxDKxCxx III ....(4.18)

dengan C dan D adalah sebagai tetapan integrasi yang ditentukan oleh syarat-syarat batas dan

)(2 02 EVmK

....(4.19)

Untuk memenuhi syarat fisis, bahwa fungsi gelombangnya harus berhingga untuk semuaharga x, maka didapatkan Cexp=0uniukdaerah I dan D=0 untuk daerah III, sehinggadiapatkan

)exp()( KxDxI ....(4.20)

Dan

)exp()( KxCxIII ....(4.21)

Di daerah II, persamaan Schrodingernya berbentuk

10

+

() = 0 . (4.22)

Ungkapan (4.2) mempenyai penyelesaian umum berbentuk

() = A sin (kx) + B cos (kx) (4.23)Dengan A dan B adarah sebagai tetapan integrasi yang ditentukan oleh syarat-syarat batas dan

k2 =

(4.24)

Gambar 4.4. Fungsi gelombang partikel dan sumur

Sumur potensial sehingga, untuk tiga keadaan paling bawah. Syarat kekontinuan dari (x) dan

(x) pada x = - dan x = memberikan persamaan-persamaan berikut

-A Sin (k) + B cos (k) = D exp (-K) ....(4.25)

Dan

A sin (k)+ B cos (k) = D exp (-K) ....(4.26)

11

Juga

KA cos (k)+ KB sin (k)= K D exp (-K) ....(4.27)

Serta

KA cos (k) - KB sin (k) = - K D exp (-K) ....(4.28)

Ungkapan (4.25) dan (4.26) memberikan kaitan :

2A sin (k) = (C - D) exp (-k) ....(4.29)

Dan

2B cos (k) = (C + D) exp (-k) ....(4.30)

Persamaan (4.27) dan (4.28) Menghasilkan hubungan

2 kA cos (k) = -K (C - D) exp (-k) ....(4.31)

Dan

2 kB sin (k)= K (C+ D) exp (-k) ....(4.32)

Dari ungkapan-ungkapan (4.29) sampai (4.32) akan dicari harga k dan K yang menentukan harga

tenaga partikel E. Kecuali A = 0 dan c = D, jika pers.(4.3 1) dibagi dengan pers.(4.29) akan

menghasilkan

k ctg (k) = -K ....(4.33)

dan kecuali B = 0 dan c = D, jika pers.(4.32) dibagi dengan pers.(4.30) akan Menghasilkan

12

k tg (k) = K ...(4.34)

Ungkapan (4.33) dan.(4.34) tidak boleh berlaku serempak, karena akan memberikan harga K < 0

dan k yang imaginer, yang mana bertentangan dengan pcrs.(4.19) dan (,4.24). Selain itu- juga

tidak boleh mernberi harga-harga A, B, C dan D semuanya nol, karena tidak akan memberikan

arti fisis. Dengan demikian, penyelesaian persamaan Schrodinger yang terima terdiri atas dua

jenis/kelas, yakni yang memenuhi kondisi.

A = 0, C = D dan k tg(k) = K ....(4.35)

dan

B = 0, C = -D dan k ctg(k) = -K. ....(4.36)

Kedua kelas fungsi gelombang tersebut berbentuk

1. dengan A = 0, C = D dan k tg(k) = K, yaitu:

()() = exp();()() = cos();()() = exp() ...(4.37)

2. dengan B = 0, C = -D dan k ctg(k) = -K, yakni :

()() = exp();()() = sin();()() = exp() ....(4.38)

Selanjutnya akan ditentukan harga-harga k dan K yang diperbolehkan (mernenuhi syarat fisis).

Selain terkait dengan pers.(4.33) dan (4.34), dari pers.(4.19) dan (4.24) didapatkan juga harga k

dan K sebagai berikut

( )2 + ()2 =

. . . . (4.39)yang berupa persamaan lingkaran pada bidang (k-K) dengan jejari (2 /)/(Harga-harga k dan K yang memenuhi pers.(4.33), (4.34) dan (4.39) dapat ditunjukkan dan dicari secara

grafik seperti ditunjukkan pada Gambar 4.5, yakni pada titik-titik potong grafik pers.(4.33) dan

(4.34) dengan grafik pers.(4 39).

13

Gambar 4.5 Grafik dari ungkapan-ungkapan (4.33), (4.34) dan (439),untuk mcnentukan harga k

dan K.

Untuk ( /)1/2 < /2, terdapat satu titik poton g yang berarti ada satu pasang harga k dan K yang memenuhi penyelesaian fungsi gelombang kelas pertama, hanya ada satu

keadaan terikat dan satu aras tenaga. Untuk /2 < ( /)1/2 < , terdapat dua titik

potong yang berarti ada dua pasang harga k dan K yang memenuhi penyelesaian fungsi

gelombang, yakni satu kelas pertama dan satu kelas kedua. Juga berarti ada dua keadaan/state

terikat dan ada dua aras tenaga. Tiga . aras tenaga terbawah dengan fungsi gelombangnya

ditunjukkan dalam Gambar 4.4.

Secara umum, dapat dituliskan bahwa jika

s

< < (s + 1) , untuk s = 1,2,3, , . . . . (4.40)maka terdapat (s + 1 ) keadaan, terikat (dan aras tenaganya) dengan

(x), Jenis

pertama dan (x),, jenis kedua untuk s ganjil

(x),

pertama maupun jenis kedua untuk s genap. Hal ini berarti bahwa untuk lebar sumur tertentu,

V0 yang semakin besar (surnur semakin dalam), maka akan menghasilkan keadaan terikat yang

semakin banyak.

14

4.3. Partikel Dalam potensial Undak

Telaah dalam, subbab ini akan meninjau partikel bermassa m yang memasuki daerah potensial

undak/tangga yang dinyatakan dengan persamaan berikut

() =

(4.41)seperti yang dilukiskan dalam Gambar 4.6. Partikel memasuki sistem ini dan diandaikan

bergerak dari arah kiri gambar, lalu kemudian ditinjau fungsi gelombangnya pada x < 0 (daerah

I) maupun x > 0 (daerah II). Dalam telaah ini akan ditinjau terlebih dahulu untuk E < V0.

Persamaan Schrodinger untuk daerah I berbentuk

+

() = 0 (4.42)

Ungkapan (4 .42) mempunvai penyelesaian umum berbentuk:

() = A exp ( ) + B exp . (4.43)dengan A dan B adalah sebagai tetapan integrasi yang ditentukan syarat batas dan

(4.44)

Persamaan Schrodinger dan penyelesaian umumnya untuk daerah II berbentuk

+

() = 0 (4.45)

15

dengan C dan D adalah sebagai tetapan integrasi syarat batas dan

() = C exp () + D ekp() (4.46)yang ditentukan oleh syarat-syarat batas dan

2 = ()

(4.47)Untuk memenuhi syarat fisis, dimana untuk . Fungsi gelombangnya harus tetap

berhingga, makka suku terakhir pers (4.46) harus lenyap, yang berarti harus diambil harga D =

0, sehingga didapatkan.

() = () . . . . (4.48)Selanjutnya pemberlakukan syarat kekontinuan bagi () (x) pada x = 0 memberikankaitan-kaitan berikut.

(0) = (0) + = . (4.49)dan

(0) = (0) ( ) = . . . . (4.50)Dari pers (4.49) dan (4.50) didapatkan penyelesaian untuk B dan C yang dinyatakan dalam A

sebagai

B =

. . . . (4.51)Dan

C =

. . . . (4.52)Akhirnya didapatakan fungsi gelombang datang, terpantul dan yang diteruskan dari pertikel

bermassa m yang memasuki tanggul potensial undak sebagai

() = exp( ), . . . . (4.53a)

16

() = ( ), . . . . (4.53b)Dan

() = . . . . (4.53 c)Dengan adanya fungsi gelombang di daerah x 0, yakni fungsi gelombang yang menerobos

tanggul potensial, hal mana tidak mungkin terjadi dalam tinjauan fisika klasik. Kebolehjadian

bahwa partikel yang menerobos dan yang dipantulkan oleh tanggul dinyatakan sebagai

koefisisen transmisi dan refleksi, yang daoat dipperoleh dari persamaan arus kebolehjadian

dalam pers (2.4) arus kebolehjadian partikel yang datang, dipantulkan dan diteruskan

didapatkan sebagai berikut.

= .() (x) ()()= , . . . (4.54a) = .() () ()()= . . . (4.54b)

Dan

= .(x) (x) (x)(x)= 0, . . . . (4.54c)Sehingga didapatkan koefisien refleksi dan transmisinya berturut-turut dalam bentuk.

R = = 1 . . . (4.55a)

Dan

T = = 0 . . . . (4.55b)

Selanjutnya akan dikaji partikel dalam potensial undak yang datang dari sebelah kiri dengan

tenaga E > Vo . Untuk daerah I, persmaan schrodinger dengan penyelesaian umumnya sama

seperti E> Vo (yaitu pers 4.42 dan 4.43, yang fungsi gellombangnya berbentuk.

() = ( ) +( ) . (4.56)

17

Dengan A dan B adalah sesuai tetapan integrasi yang ditentukan oleh syarat syarat batas dan

K2 =

. . . (4.57)Persamaan schrodinger untuk daerah II berbentuk

()

( )

() = 0 . . . . (4.58)

Dan mempunyai penyelesaian umum berbentuk

() =( ) +( ) . . . . (4.59)Dengan C dan D adalah sebagai tetapan integrasi yang ditentukan oleh syarat- syarat batas dan

K = ()

. . . . ( 4.60)Dalam hal ini, suku kedua pers (4.59) yang menyatakan /melukiskan gelombang partikel

nergerak kekiri harus lenyap, yang berarti harus diambil harga C = 0, karena tidak ada diding

potensial disebelah kanan yang memantulkan. Dengan demikian didapatkan,

() = ( ) . . . . (4.61)Selanjutnya pemberlakuan syarat kekontinuan bagi () () pada x = 0 memberikankaitan-kaitan berikut.

(0) = (0) + = . . . (4.62a)Dan

(0) = (0) ( ) = . (4.62b)Dari pers (4.62) didapatkan penyelesaian untuk B dan C yang dinyatakan dalam A sebagai

B =

A . (4.63)Dan

18

D =

. (4.64)Akhirnya didapatkan fungsi gelombang datang,terpantul dan yang diteuskan dari partikel

bermassa m yang memasuki tanggul potensial undak sebagai

() = ( ) , (4.65a)() = () , (4.65b)() = () , (4.65c)

Dengan adanya fungsi gelombang di daerah X 0, yakni fungsi gelombang yangmenerobos tanggul potensial, hal mana tidak mungkin terjadi dalam tinjauan fisika klasik.

Kebolehjadian bahwa partikel yang menorobos dan yang dipantulkan oleh tanggul dinyatakan

sebagai koefisien transmisi dan refleksi, yang dapat diperoleh dari persamaan arus

kebolehjadian dalam pers. (2.4) Arus kebolehjadian partikel datang, dipantullkan dan

diteruskan didapatkan sebagai berikut.

= .() () ()()= , ... (4.66a) = . () () ()()= ... (4.66b)

Dan

= .() () (). ()= , ...(4.66c)Sehingga didapatkan koefisien refleksi dan transmisinya berturut-turut dalam bentuk

R = =

. (4.67a)

Dan

T == () . (4.67b)

19

Dari pers. (4.67) dapat dibuktikan bahwa hal tersebut memenuhi hukum kontinuitas partikel,

yaitu sebagai berikut

T + R = 1 ... (4.68)

Contoh soal:

Elektron bebas dengan tenaga kinetic = 19210, memenuhi daerah potensiallistrik konstan dengan V = 100 volt

a. Tentukan fungsi gelombang sebelum dan setelah memasuki daerah potensial!

b. Tentukan koefisien pantul dan koefisien transmisinya!

Jawab:

Energi potensial untuk sistem ini adalah U = eV = (100)(1.610)=16010jadi dalam Hal ini memenuhi keadaan E>U, sehingga dari pers. (4.57) dan(4.60) didapatkanK =

= 8.9210

DanK = ()

= 3.6410 a. Dengan menggunakan pers. (4.65) didapatkan fungsi gelombangnya seperti

() = ( )() = ()() = (),

Dimana k dan K seperti yang didapatkan di atas dan konstanta A dapat diperoleh dengan

mendemonstrasikan fungsi gelombang datanganya.

b. Dengan menggunakan pers.(4.67), didapatkan koefisien pantul dan transmisinya

sebesar

20

R = =

danT = = ()

Sebagai catatan terakhir di bab ini bahwa yan g dilakukan pada bentuk-bentuk

potensial suatu dimensi tersebut di atas dapat diperluas secara umum ruang tiga

dimensi. Hall tersebut dapat dilakukan dengan melakukan sedikit penggantian,

misalnya operator.

=

+

+

....(4.69)

Kemudian untuk observabel dan hal-hal yang berkaitan dengan dimensi ruang, komponen-

komponen y dan z dapat diperoleh dengan cara seperti yang telah dikaji di atas, dengan hasil

yang bentuknya juga identik. Misalnya pada kotak tiga dimensi , berlaku untuk komponen ke

arah y adalah

() = sin ... (4.70)Demikian pula untuk komponen ke arah z fungsi gelombang totalnya menjadi

() = ()()() ...(4.71)Untuk k, E dan n berlaku penggabungan

E = + + = + + ....(4.72)n = + +

21

BAB III

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Pada sistem partikel tunggal stasioner dalam potensial satu dimensi terdiri dari 3 yaitu

Partikel Dalam Sumur Potensial Tak Berhingga, Partikel Dalam Sumur Potensial

Berhingga dan Partikel Dalam potensial Undak yang memiliki persamaan scrodinger

dengan solusi yang telah ditentukan dan katiga hal tersebut memiliki syarat-syarat

tertentu untuk mencapai keseimbangan partikel.

5.2 Saran

Pada Mata kuliah Fisika kuantum diharapkan mahasiswa memiliki banyak referensi

untuk menyalesaikan solusi persamaan didalam Fisika kuantum.

22

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2013. Sumur Potensial Tak berhingga Persamaan Shroedinger tidak Bergantung pada

Waktu. http://kurniafisika.wordpress.com/2010/01/07/ (Diunduh tanggal 21 mei 2013)

Anonim. 2013. Sumur Potensial Berhingga Persamaan Shroedinger Tak Bergantung waktu.

http://kurniafisika.wordpress.com/2011/12/20/. (Diunduh tanggal 21 mei 2013).