ap polonius

Download AP Polonius

Post on 12-Aug-2015

560 views

Category:

Documents

96 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

makalah

TRANSCRIPT

MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA Pembuktian Dalil Apollonius pada Ellips dan HiperbolaOleh : Fitri HandayaniNIM. 07 05045 136FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MULAWARMAN2010iHALAMAN JUDUL DAN PENGESAHANJudul: PembuktianDalilApolloniuspadaEllips dan HiperbolaNama :Fitri HandayaniNim :070504536Diajukan pada mata kuliah : Seminar PendidikanMatematika Pembimbing IDra. Suriaty, M.PdNIP. 19571213 198601 2 001Pembimbing IIDrs. H. Zainuddin Untu, M.PdNIP.19651231 199203 1 041Pembimbing IIISafrudiannur, S.Pd, M.PdNIP.iiKATA PENGANTARSegalapujihanyamilikAllahSWT,karenaberkatrahmatdanhidayah-Nyamakalahinidapatdisusun.Shalawatdansalamsemogaselalutercurah kepada suri teladan, Rasulullah SAW.MakalahinidisusununtukmemenuhitugasmatakuliahSeminar PendidikanMatematikadenganjudulPembuktianDalilApolloniuspadaEllips dan Hiperbola.Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Zainuddin Untu,M.PddanBapakSafrudiannur,M.Pdserta IbuDra.Suriaty,M.Pdselaku dosenmatakuliahSeminarPendidikanMatematikayangtelahmemberikan bimbingandanarahanselamapenyusunanmakalahini.Penulisjuga mengucapkanterimakasihkepadakeluargadanteman-temanyangmemberikan semangat dan bantuan kepada penulis.Penulis menyadari, bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan, karenaketerbatasankemampuanpenulisdalampenyusunannya.Olehkarenaitu kritik dan saransebagai perbaikan sangat penulis harapkan. Samarinda, 26 Desember 2010 Penulis iiiDAFTAR ISIHALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN................................................... iKATA PENGANTAR...................................................................................... iiDAFTAR ISI .................................................................................................... iiiBAB I. PENDAHULUAN ..................................................................................1A. Latar Belakang .................................................................................. 1B. Rumusan Masalah.............................................................................. 2C. Batasan Masalah................................................................................ 2D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 2E. Manfaat Penulisan.............................................................................. 3BAB II. PEMBAHASAN....................................................................................4A. Ellips................................................................................................. 4B. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Ellips......................................... 8C. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Ellips ....................................... 6D. Hiperbola........................................................................................... 10E. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Hiperbola .................................. 12F. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Hiperbola ................................. 16BAB III. PENUTUP.............................................................................................22A. Kesimpulan ....................................................................................... 22B. Saran ................................................................................................. 22DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 23BAB IPENDAHULUANA. Latar Belakang Matematikamemilikistrukturdanketerkaitanyang kuatdanjelasantar konsepnya.Sehinggauntukmencapaikonsepyanglebihtinggi,harus diketahuidulukonsep-konsepdasaryangmenjadipondasinya.Begitupula dengan irisan kerucut. Untukmemahamilebihdalamtentangirisankerucut,harusdipahami terlebihdahulukonseptentangkerucut,bangunruang,bangundatar,dan konsep-konsepdasarlainyangmendukung.Apolloniusadalahsalahsatu matematikawanyangmemperkenalkanirisankerucutlewatkarya-karyanya yangberdampakbesarbagiperkembanganmatematika.Bukukaryanyayang terkenal,Conics(kerucut), mengenalkanistilah-istilahyang sekarangpopuler seperti: parabola,elipsdanhiperbola.Disebutdengankerucutkarenairisan dari sebuah kerucut akan menghasilkan tiga bentuk yang sudah disebut di atas.Dalampembahasannyatentangirisankerucut,Apolloniusmenemukan sebuahdalilpadaellipsdanhiperbolayangkemudiandiberi namaDalil Apollonius.Padaellips,DalilApolloniusIberbunyi,Jumlahkuadratgaris tengahsekawansamadenganjumlahkuadratsumbu-sumbunyadanDalil ApolloniusII,Luasjajargenjangyangmengelilingielipspadagaris-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips.Padahiperbola,DalilApolloniusI berbunyi,Selisihkuadratgaris tengahsekawansamadenganselisihkuadratsumbu-sumbunya.danDalil 2Apollonius II, Luas jajargenjang yang mengelilingi hiperbola pada garis-garis tengahsekawansamadenganluaspersegipanjangpadasumbu-sumbu hiperbola.Dalil-dalilinitentuakansemakinjelasapabiladiketahuialur penemuannya,yang pada akhirnya akan terlihat dengan jelaspula keterkaitan antar konsepnya. Untuk itu perlu dilakukan pembuktian pada dalil tersebut. Berdasarkanpemaparandiatas,penulisinginmembahaspembuktian Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola. B. Rumusan MasalahDarilatarbelakangdanbatasanmasalahdiataspenulismerumuskan masalah yaitu bagaimana pembuktian Dalil Apollonius I dan II pada ellips dan hiperbola?C. Batasan MasalahBerdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, maka dalam makalahinipenulismembatasimasalahpadapembuktianDalilApolloniusI dan II pada ellips dan hiperbola.D. Tujuan PenulisanTujuanyangdiharapkandaripenulisaniniadalah untukmembuktikan Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola yaitu, pada ellips Dalil Apollonius I berbunyi, Jumlah kuadrat garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunyadanDalilApolloniusII,Luasjajargenjangyang 3mengelilingielipspada garis-garistengahsekawansamadengan luaspersegi panjangpadasumbu-sumbuellips.Padahiperbola,DalilApolloniusIberbunyi,Selisihkuadratgaristengahsekawan samadenganselisihkuadrat sumbu-sumbunya.danDalilApolloniusII,Luasjajargenjangyang mengelilingihiperbola padagaris-garistengahsekawansamadenganluas persegi panjang pada sumbu-sumbu hiperbola.E. Manfaat PenulisanManfaatyangdapatdiambildarihasilpenulisaniniadalahdapat membantusiswa,guru,dansemuapihakyangberminatpadamatematika dalammemahamiDalilApolloniuspadaellipsdanhiperbola,sertadapat menambahpengetahuankitatentangmateriellipsdanhiperbolakhususnya pada mata kuliah Geometri Analit Bidang dan Ruang. 4BAB IIPEMBAHASANA. EllipsEllips adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik pada bidang dataryangjaraknyaterhadapduatitikadalahtetap(konstan)danmerupakan bilangantertentu,keduatitiktetapitudisebutfocus.Daridefinisitersebut, diperolehpersamaanellipsdenganpusatO(0,0) adalah12222= +byax.Untuk ellips dengan pusat P ) , ( , persamaannya adalah1) ( ) (2222=+byax . Suatugarislurusdapatmemotongellips,menyinggung,atautidak memotong dan menyinggung ellips. Dalamhal yang terakhir, garis dan ellips tidak mempunyai titik persekutuan. Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalahn x m y + = dan persamaanellips12222= +byax,makauntukgarisyangmenyinggungellips ataudisebutgarissinggungellips,persamaannyaadalah 2 2 2m a b mx y + = .persamaaniniuntukellipsdenganpusatO(0,0). Tampakbahwa ada dua garis singgung yang gradiennya m. Sedangkan untuk ellipsyangberpusatdiP ) , ( dengangradienm,persamaangaris singgungnya adalah 2 2 2) ( ) ( m a b x m y + = .5Persamaangarissinggungellipsjugadapatdiperolehdengan menggunakan titik singgung yang diketahui. Misal titik singgungnya adalah T) , (1 1y x . Persamaangarisyangmenyinggungellips12222= +byaxadalah 12121= +b y yax x,sedangkangarissinggungellips1) ( ) (2222=+byax , persamaannya adalah1) )( ( ) )( (2121= + by yax x . Garis-garistengahy=mx danxm a by22= disebutgaris-garistengah sekawan,sedangkanm1=m danm2= m a b22disebutarah-arahsekawan. Berarti 222 1abm m= < 0 sehingga m1dan m2berlawanan tanda. Jadi, garis-garis tengah sekawan ellips dipisahkan oleh sumbu-sumbu koordinat.6B. Pembuktian Dalil Apollonius I pada EllipsJumlah kuadrat garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunyaPersamaan Ellips12222= +byaxMisal) , (1 1y x P dan) , (1 1y x Q adalah titik ujung garis tengah sekawan.Garis singgung diP memiliki persamaan12121= +by yax xGradiennya 12121y ax bm =GradienPQ adalah112xym =AP(x1,y1)DSCQBOR(x2,y2)a1b1abxy7Apabila kedua gradien dikalikan, 1112122 1xyy ax bm m = maka hasilnya adalah 222 1abm m = Hal ini menujukkan bahwa garis singgung di P sejajar dengan garis tengah yang sekawan dengan P Q.Jadi garis singgung diPsejajar dengan garis tengah sekawanPQJika RS garis tengah sekawanPQ maka persamaannya02121= +by yax x.KoordinatR danS sebagai koordinat-koordinat titik potongRS dengan ellips. Dari persamaan garis RS diperoleh121y abx xby = sehingga1212122=||.|

\| +y abx xaxatau 1 12122 2122=||.|

\|+y ab xax.KarenaP(x1,y1)terletakpadaellipsmaka2 2 212 2 21b a y a b x = + .Jadi12122 222= y ab aaxatau112122 2= y ab xatau 1 2ybax = , sehingga 1 2xaby = .Jadi,|.|

\|1 1, xabybaR dan|.|

\|1 1, xabybaSJika 1a OP = , 1b OR = , maka212121y x a + =2122212221xabybab + =8AP(x1,y1)DSCQBOR(x2,y2)a1b1abx2122 22122 22121ybb axab ab a+++= +||.|

\|+ + = + 221221 2 2 2121) (byaxb a b a , karena1221221= |.|

\|+byax2 2 2121b a b a + = +2 2 21214 4 4 4 b a b a + = + JaditerbuktiDalilApolloniusI,bahwaJumlahkuadratgaristengahsekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunyaC. Pembuktian Dalil Apollonius II pada EllipsLuas jajargenjang yang mengelilingi elips pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips912sinby= 12cosbx = 11sinay= 11cosax= + = , sehingga ) sin( sin + = sin cos cos sin sin + = 11121112sinaybxaxby = 1 11 2 2 1sinb ay x y x = Luas jajargenjang OPAR = sin1 1b a =1 11 2 2 11 1b ay x y xb a =1 2 2 1y x y x KarenaP(x1,y1)terletakpadaellipsmaka2 2 212 2 21b a y a b x = + .Jadi 12122 222= y ab aaxatau11212