Analisis Variansi dan Statistik Matematika Yang Terkaithttp://oc.its.ac.id/jurusan.php?fid=1&jid=3 Wiwiek Setya Winahju wiwiek@statistika.its.ac.id

Analisis Variansi merupakan alat yang digunakan untuk mengevaluasi kebaikan model regresi. Model regresi yang baik, salah satunya ditandai oleh tingginya koefisien determinasi, dinotasikan R2 atau 2 Radj , yang dapat dihasilkan oleh Tabel Analisis Variansi. Apabila terdapat himpunan data random yang saling independen, dan tidak ada faktor yang mempengaruhi, maka data tersebut akan bervariasi terhadap meannya. Pada data random yang dipengaruhi oleh suatu faktor, variasi terhadap pengaruh faktor ikut berkontribusi. Secara geometri kedudukan titik pengamatan ke i , yaitu Yi (digambarkan oleh titik bulatan hitam), dugaan model regresi (digambarkan oleh garis biru), sumbu X dan sumbu Y dinyatakan pada Gambar 1.

(Yi !1

n

i

Y )(Yi Yi ) ! b1 ( X i X ){(Yi Y ) b1 ( X i X )}i !1

n

! {b1 ( X i X )(Yi Y ) b12 ( X i X ) 2 }i !1

n

! b1 ( X i X )(Yi Y ) b12 ( X i X ) 2i !1 n i !1 n

n

n

! b1 ( X i X )(Yi Y ) b12 ( X i X ) 2i !1 i !1

! b1 S XY b12 S XX ! b1 b1 S XX b12 S XX ! 0

(Y Y )i i !1

n

2

: Jumlah Kuadrat Sekitar Rataan, Sum of Square Total, SST

(Y Y )i i !1

n

2

: Jumlah Kuadrat Karena Regresi Sum of Square Regressionl, SSR

(Y Y )i i

n

2

: Jumlah Kuadrat Sekitar Regresi,atau Error,

Yi Yi Yi

i !1

Sum of Square Error, SSE

YiY

Yi Y

SST = SSR + SSETiga suku di atas akan menjadi komponen Tabel Analisis Variansi (ANOVA) sebagai berikut :Tabel ANOVA

Y Y ! b0 b1 X

Gambar 1. Kedudukan Titik Pengamatan Dan Dugaan Model Regresi

Berdasarkan kedudukan titik pengamatan dan dugaan model regresi dapat disusun persamaan berikut : (Yi Y ) ! (Yi Y ) (Yi Yi )n n n n

Sumber Variasi (Source) Regresi

Derajat Bebas (db) (df)n

Jumlah Kuadrat (JK) (SS)

Kuadrat tengah (KT) = JK/db (MS)2

(Yi !1

i

Y ) ! (Yi Y ) (Yi Yi ) 2 (Yi Y )(Yi Yi )2 2 2 i !1 i !1 i !1

1 n-2

(Y Y )i i !1

KTRegresi

(Yi !1

n

Error atau Residual Y )(Yi Yi ) ! 0

(Y Y )i i i !1 n

n

2

s2 !

JK n2

i

Total, terkoreksi

n-1

(Y Y )i i i !1

2

Bukti : Review b0 dan b1 :

(Xb1 !i !1 n i !1

n

i

X )(Yi Y ) !i

Keterangan : Judul yang ditulis miring, yaitu : Source, df, SS, dan MS, merupakan istilah yang lazim digunakan pada program MINITAB.S XY , maka S XY ! b1 S XX S XX

(X

X )2

Koefisien Determinasi, R2Koefisien ini dinyatakan dalam %, yang menyatakan kontribusi regresi, secara fisik adalah akibat prediktor, terhadap variasi total variabel respon, yaitu Y. Makin besar nilai R2, makin besar pula kontribusi atau peranan prediktor terhadap variasi respon. Biasanya model regresi dengan nilai R2 sebesar 70% atau lebih dianggap cukup baik, meskipun tidak selalu. Rumus koefisien determinasi adalah sebagai berikut :

b0 ! Y b1 X Yi Y ! b0 b1 X i Y ! Y b1 X b1 X i Y ! b1 ( X i X ) Yi Yi ! Yi Y b1 ( X i X )

(Yi !1

n

i

Y )(Yi Yi ) ! b1 ( X i X ){(Yi Y ) b1 ( X i X )}i !1

n

1

R2 !

JK Regresi JK Total

(Y Y )i

n

2

b12 ( X i X )2 R2 !

n

(X! b12i !1 n i !1

n

i

X )22

!

(Y Y )i i !1

i !1 n

2

(Y Y )i i !1 n

i !1 n

2

(Y Y )i

Hubungan antara prediktor X dengan respon Y, selain dapat dinyatakan oleh koefisien regresi, yaitu b1, dapat pula dinyatakan dengan koefisien korelasi, yang dinotasikan rX,Y. Bedanya, koefisien regresi dapat digunakan untuk memprediksi nilai respon, sedang pada koefisien korelasi tidak dapat. Persamaan yang menyatakan hubungan ini adalah :

(Y Y )(Y Y )i i

rY ,Y !

i !1

(Yi Y )2i !1

n

(Y Y )i i !1

n

2

n 2 (Yi Y ) i b1 = n!1 rX ,Y ( X i X )2 !1 i Buktikanlah !2

1/ 2

(b=i !1 n i !1

n

0

b1 X i Y )(Yi Y )n 2 2 i

(Y Y ) (Y Y )i i !1

(Y b X b X1 1

n

i

Y )(Yi Y )n 2 i

Rumus R ini juga menyatakan kuadrat koefisien korelasi antara Y dengan Y, sehingga bila dikaitkan dengan rX,Y terdapat hubungan sebagai berikut :2 rX ,Y ! R 2 ! rY2,Y

=

i !1

(Yi Y ) 2i !1

n

(Y Y )i !1

b ( X1

n

i

Y )(Yi Y )

=Bukti :

i !1

b12 ( X i Y ) 2i !1 1 / 2 n

n

(Y Y )i i !1

n

2

rX ,Y

n 2 (Yi Y ) i = b1 n!1 ( X i X )2 !1 i 1

b1 ( X i Y )(Yi Y ) = b1i !1

(Xi !1

n

i

Y )

2

(Y Y )i i !1

n

! rX ,Y2

2 rX ,Y

n n 2 (Yi Y ) ( X X )2 2 = b 2 !1 i i ! b1 i !1 1 n n 2 2 (Xi X ) (Yi Y ) !1 i !1 i

rY ,Y ! rX ,Y , maka

2 rY2,Y ! rX ,Y ! R 2

Lack of Fit

(YR !2 i !1 n i !1

n

i

Y )2 !

(bi !1

n

0 n

b1 X i Y ) 2i

(Yi Y ) 2 (Y b X b X1 1 n i

(Yi !1

Y )2

Y )2

!

i !1

(Yi !1 n

n

i

Y )2

(b1 ( X i X )) 2!i !1

b!i !1 n

n

2 1

(X i X )2i

Lack of fit artinya penyimpangan atau ketidak tepatan terhadap model linier order pertama. Pengujian lack of fit artinya pengujian untuk mendeteksi apakah model linier order pertama tepat. Bila lack of fit tidak bermakna maka model linier order pertama tepat, sedang bila lack of fit bermakna maka model linier order pertama tidak tepat, perlu dikembangkan menjadi model linier kuadratik atau model nonlinier. Pengujian lack of fit ini diperlukan bila terdapat pengamatan berulang, yaitu satu nilai prediktor atau satu kombinasi nilai prediktor (bila digunakan beberapa prediktor) yang berpasangan dengan beberapa nilai respon. Berikut ini akan ditampilkan organisasi data hasil pengamatan berulang pada eksperimen dengan satu dan dua prediktor.

(Yi Y ) 2i !1

n

(Yi !1

Y )2

2

Organisasi Data Untuk Perhitungan Jumlah Kuadrat Error Murni Nilai Prediktor Xj X1 X2 y y y Xm Y11 , Y12 , . . . , Ynnm Mean Respon Jumlah Kuadrat Penyimpangan Terhadap Mean Respon, Derajat Bebas db n1 1 n2 1

Nilai-nilai Respon Yju

Yj

Pengulangan ni

(Yu !1 n1 u !1 n2

nj

ju

2 Y j ) 2 = Y ju n jY j2 u !1 n1

nj

Y11 , Y12 , . . . , Y1n1 Y21 , Y22 , . . . , Y2n2

Y1 Y2

n1 n2

(Y1u Y1 )2 = Y1u2 n1Y1 2u !1 n2

(Y2u Y2 ) 2 = Y22u n2Y22u !1 u !1

Ym

nn

2 (Ymu Ym )2 = Ymu nmYm2 u !1 u !1

nm

nm

nm 1

Total Jumlah Kuadrat Penyimpangan Terhadap Mean Respon, disebut:Error Murni, Galat Murni, Pure Error

Contoh 1:Berikut ini data hasil eksperimen : Eksperimen Eksperimen Eksperimen Y X Y X Y ke ke ke 1 2,3 1,3 9 1,7 3,7 17 3,5 2 1,8 1,3 10 2,8 4 18 2,8 3 2,8 2,0 11 2,8 4 19 2,1 4 1,5 2,0 12 2,2 4 20 3,4 5 2,2 2,7 13 5,4 4,7 21 3,2 6 3,8 3,3 14 3,2 22 4,7 3 7 1,8 3,3 15 1,9 23 4,7 3 8 3,7 3,7 16 1,8 24 5 5,9 Sumber : Applied Regression Analysis, Second Edition, Norman Draper dan Harry Smith, halaman 38. Untuk mempermudah, data disusun ke bentuk berikut :Nilai Prediktor yg diulang, Xj

X 5,3 5,3 5,3 5,7 6 6 6,3 6,3

Nilai-nilai Respon, Yju 2,3 2,8 3,8 3,7 2,8 5,4 3,5 3,2 1,8 1,5 1,8 1,7 2,8 3,2 2,8 3,0

Mean Respon,

Yj2,05 2,07 ... ... ... ... ... ...

Pengulangan, nj 2 2 2 2 3 3 3 2

Jumlah Kuadrat Penyimpangan Terhadap Mean Respon 0,125 0,845 2,000 2,000 0,240 6,260 0,980 0,020 12,470

Derajat Bebas db 1 1 1 1 2 2 2 1 11

1,3 2 3,3 3,7 4 4,7 5,3 6

2,2 1,9 2,1

Pengujian kemaknaan lack of fit dilakukan dengan cara memecah Jumlah Kuadrat Error menjadi dua, yaitu Jumlah Kuadrat Error Murni dan Jumlah Kuadrat Lack of Fit. Perhitungan jumlah kuadrat error murni dilakukan seperti yang ditampilan pada tabel

di atas, sedang Jumlah Kuadrat Lack of Fit merupakan selisih antara Jumlah Kuadrat Error dengan Jumlah Kuadrat Error Murni. Tabel ANOVA menjadi seperti berikut :

3

Sumber Variasi

Tabel ANOVA 1 Derajat Jumlah Kuadrat Bebas Kuadrat tengah (db) (JK) (KT) = JK/db (df) 1 22 (SS) 6,326 21,192 (MS) 6,326

Analysis of Variance 1 Source Regression Residual Error Total DF 1 22 23 SS 6,3247 21,1937 27,5183 MS 6,3247 0,9633 F 6,57 P 0,018

FKT Reg / KT Error

(Source) Regresi Error atau Residual Total, terkoreksi

6,569

Apabila pengolahan dilakukan dengan memperhatikan lack of fit, didapatkan hasil keluaran berikut :Analysis of Variance 2 Source Regression Residual Error Lack of Fit Pure Error Total DF 1 22 11 11 23 SS 6,3247 21,1937 8,7237 12,4700 27,5183 MS 6,3247 0,9633 0,7931 1,1336 F 6,57 0,70 P 0,018 0,718

s 2 ! 0,963

23

27,518

Pada tabel di bawah ini ditambahkan baris ke tiga yang berisikan Kuadrat Tengah Error atau MSE yang dipecah menjadi dua, yaitu Kuadrat Tengah Lack of Fit dan Kuadrat Tengah Error Murni.Tabel ANOVA 2 Kuadrat Derajat Jumlah tengah Bebas Kuadrat (KT) = (db) (JK) JK/db (df) 1 22 (SS) 6,326 21,192 (MS) 6,326s 2 ! 0,963

Sumber Variasi (Source) Regresi Error atau Residual Lack of Fit Error Murni Total, terkoreksi

F

Cara cepat menyimpulkan hasil pengujian, yaitu dengan memanfaatkan hasil MINITAB dapat dilakukan dengan melihat nilai P. Nilai P sebesar 0,018, yang kurang dari 0,05 pada Analysis Variansi 1, menandakan prediktor berpengaruh pada respon. Pada Analysis Variansi 2, didapatkan nilai P Lack of Fit sebesar 0,718 yang lebih dari 0,05, sehingga disimpulkan Lack of Fit tidak bermakna; ini berarti model linier order pertama sudah sesuai. Cara lain mendeteksi lack of fit dengan menggunakan statistik uji F = (MS Lack of Fit)/(MS Pure Error). Bila F < 1, maka Lack of Fit tidak bermakna, sementara kalau F>1 belum tentu Lack of Fit bermakna. Kalau diterapkan pada soal contoh 1 di atas, nilai F sebesar 0,7931/1,1336; nilai ini kurang dari satu. Jadi Lack of Fit tidak bermakna. Hasil melalui F ini tidak bertentangan dengan hasil melalui P. Kedua tolok ukur ini menghasilkan kesimpulan yang sama, yaitu Lack of fit tidak bermakna.

6,569(KTRegresi dibagi KTerror)

11

8,722

0,793

0,699(KTL of F dibagi

11 23

12,470 27,518

1,134

KTerror murni)

Keterangan : L of F = Lack of Fit Penggunaan Tabel Anova ada dua, pertama untuk menguji kemaknaan pengaruh variabel bebas (Tabel ANOVA 1), dan ke dua untuk menguji kemaknaan Lack of Fit (Tabel ANOVA 2). Statistik uji yang digunakan adalah F. Pengujian secara cepat, yaitu dengan memanfaatkan hasil atau keluaran MINITAB. Tabel ANOVA yang memuat Lack of Fit ditampilkan dengan cara mengklik Pure Error pada Window Option.

Contoh 2, Soal KY 0,971 0,979 0,982 0,971 0,957 0,961 0,956 0,972 0,889 0,961 0,982 0,975 0,942 0,932 0,908 0,97 0,985 0,933 0,858 0,987 0,958 0,909 X 3 4,7 8,3 9,3 9,9 11 12,3 12,5 12,6 15,9 16,7 18,8 18,8 18,9 21,7 21,9 22,8 24,2 25,8 30,6 36,2 39,8 RESI1 -0,02239 -0,00945 0,003999 -0,0041 -0,01636 -0,00916 -0,01039 0,006193 -0,07652 0,005065 0,028388 0,027485 -0,00551 -0,01522 -0,03109 0,031486 0,0491 0,001164 -0,06919 0,073747 0,061007 0,022459 FITS1 0,99339 0,988454 0,978001 0,975098 0,973356 0,970162 0,966387 0,965807 0,965516 0,955935 0,953612 0,947515 0,947515 0,947224 0,939094 0,938514 0,935901 0,931836 0,92719 0,913253 0,896993 0,886541

Data pada contoh 1 bila diolah menggunakan MINITAB tanpa memperhatikan lack of fit menghasilkan Tabel ANOVA 1 berikut :

4

0,859 0,863 0,811 0,877 0,798 0,855 0,788 0,821 0,83 0,718 0,642 0,658

44,3 46,8 46,8 58,1 62,3 70,6 71,1 71,3 83,2 83,6 99,5 111,2

-0,01448 -0,00322 -0,05522 0,043593 -0,02321 0,057887 -0,00766 0,02592 0,069472 -0,04137 -0,0712 -0,02123

0,873475 0,866216 0,866216 0,833407 0,821212 0,797113 0,795661 0,79508 0,760528 0,759367 0,713201 0,67923

Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 0,23915 0,23915 154,62 0,000 Residual Error 32 0,04949 0,00155 Total 33 0,28864

Sebagai langkah awal adalah memplot Y terhadap X. Dihasilkan plot berikut :Scatterplot of Y vs X1,0

Kesimpulannya model cukup baik, berdasarkan pada : - Plot Y terhadap X menunjukkan model linier order pertama yang baik. - Variabel bebas berbeda dengan nol secara bermakana, ditandai dengan nilai P yang kurang dari 0,05, jadi X berpengaruh pada Y. - Nilai R2 = 82%, menunjukan variasi Y karena pengaruh X tinggi. - Empat plot residual tampak baik, seperti yang ditampilkan pada gambar di bawah ini.Residual Plots for YNormal Probability Plot of the ResidualsStandardized Residual 99 90 2 1 0 -1 -2 0,7 0,8 0,9 Fitted Value 1,0

0,9

Residuals Versus the Fitted Values

0,8

Percent

Y

50 10

0,7

1 -2 -1 0 1 Standardized Residual 2

Histogram of the Residuals10,0

Residuals Versus the Order of the DataStandardized Residual 2 1 0 -1 -2 1 5 10 15 20 25 Observation Order 30

0,6 0 20 40Frequency

60 X

80

100

120

7,5 5,0 2,5

Hasil plot Y terhadap X di atas menunjukkan bahwa model regresi cukup baik, ditandai dengan titik-titik pengamatan yang merata disekitar garis regresi. Beberapa hasil perhitungan ditampilkan sebagai berikut :MTB MTB MTB MTB MTB MTB > > > > > > let k1=sum(X) let k2=sum(Y) let k3=sum(X**2) let k4=sum(Y**2) let k5=sum(X*Y) print k1-k5

0,0 -2 -1 0 1 Standardized Residual 2

Probability Plot of C1Normal - 95% CI99 Mean StDev N AD P-Value -1,47059E-07 0,03873 34 0,390 0,364

95 90 80

Percent

70 60 50 40 30 20 10

Data Display

5

Xi !1

n

= K1 = 1244,50i

Yi !1

n

2

= K4 = 27,5736 = K5 = 1032,49

1

i

-0,10

-0,05

0,00 C1

0,05

0,10

Yi = K2 = 30,4580i !1

n

XYi !1

n

Xi !1

n

2 i

= K3 = 73920,1

Contoh 3, Soal LPada soal K di atas, tampak terdapat nilai-nilai prediktor yang sangat dekat, sehingga pantas dianggap ulangan, dinamai ulangan hampiran. Data ulangan hampiran berdasarkan data soal K: X = 9,3 9,9 X = 12,3 12,5 12,6 X = 18,8 18,8 18,9 X = 21,7 21,9 X = 46,8 46,8 X = 70,6 71,1 71,3 X = 83,2 83,6P 0,000 0,000

Dengan menggunakan command regresi didapatkan model regresi berikut :MTB > Name c3 "RESI1" c4 "FITS1" MTB > Regress 'Y' 1 'X'; SUBC> Residuals 'RESI1'; SUBC> Fits 'FITS1'; SUBC> Constant; SUBC> Brief 1.

Regression Analysis: Y versus XThe regression equation is Y = 1,00 - 0,00290 XPredictor Constant X Coef 1,00210 -0,0029035 SE Coef 0,01089 0,0002335 T 92,04 -12,43

S = 0,0393282

R-Sq = 82,9%

R-Sq(adj) = 82,3%

Dengan dihimpunnya data ulangan hampiran ini maka dapat dideteksi kemaknaan lack of fit. Namun demikian, perhitungan tidak dapat dilakukan menggunakan program paket, harus secara manual.

5

Untuk mempermudah, data disusun ke bentuk berikut :Nilai Prediktor yg diulang, atau ulangan hampiran (Xj ) 9,3 9,9 12,3 12,5 12,6 18,8 18,8 18,9 21,7 21,9 46,8 46,8 70,6 71,1 71,3 83,2 83,6

Nilai-nilai Respon, (Yju) 0,971 0,956 0,975 0,908 0,863 0,855 0,830 0,957 0,972 0,889 0,942 0,932 0,970 0,811 0,788 0,821 0,718

Mean Respon, (Yj ) 9,6 12,5 18,83 21,8 46,8 71 ...

Pengulangan, (nj) 2 3 3 2 2 3 2

Jumlah Kuadrat Penyimpangan Terhadap Mean Respon ... ... ... ... ... ... ... 0,01678

Derajat Bebas (db) 1 2 2 1 1 2 1 10

Lengkapilah perhitungan dan isikan pada tabel di atas. Selanjutnya, lengkapilah pula tabel ANOVA berikut :Analysis of Variance Source Regression Residual Error DF 1 32 SS 0,23915 0,04949 MS 0,23915 0,00155 F 154,62 P 0,000

Lack of Fit Pure ErrorTotal

... 1033

... 0,016780,28864

... ...

...

...

Lakukanlah evaluasi, apakah lack of fit bermakna ? Lakukan analisis kebaikan model. Bandingkan dengan hasil analisis model di soal K.

Statistik Matematika Pada ANOVAYang akan diuraikan pada topik Statistik Matematika pada ANOVA ini adalah : - Distribusi setiap komponen Tabel Analisis Variansi - Hubungan antara komponen - Ekspektasi setiap komponen Untuk mengingat kembali, akan ditampilkan lagi Tabel ANOVA berikut ini.Tabel ANOVA

Distribusi Komponen Tabel ANOVAYang akan dibahas adalah distribusi : Jumlah Kuadrat Regresi, Jumlah Kuadrat Residual, dan Jumlah Kuadrat Total. Review ANOVA searah : Organisasi Data : i 1 2 ... y11 y21 ... y12 y22 ... . . ... . . ... . . ...

Sumber Variasi (Source) Regresi

Derajat Bebas (db) (df)n

Jumlah Kuadrat (JK) (SS)

Kuadrat tengah (KT) = JK/db (MS)2

k yk1 yk2 . . .

1 n-2

(Y Y )i

KTRegresi

y1n1 y1

y2n 2 y2

Error atau Residual Total, terkoreksi

(Y Y )i i i !1 n

i !1 n

ykn k yk

y

2

s2 !

JK n2

Model ANOVA,Yij=Qi+Iij, i=1,2,...k, j=1,2,...,ni

n-1

(Y Y )i i i !1

2

Keterangan : Judul yang ditulis miring, yaitu : Source, df, SS, dan MS, merupakan istilah yang lazim digunakan pada program MINITAB.

1 ni yi. ! yij ni j !1

n yi

k

i

y!

i

ni

k

i

6

Variasi total respon merupakan jumlahan dari variasi respon terhadap mean setiap perlakuan dengan variansi mean setiap perlakuan terhadap mean keseluruhan. Bila dinyatakan dengan persamaan:

( yij yi ) 2 ! ni (Yi. Y ) 2 ~ G k21W 2i !1 j !1 i !1

k

ni

k

( yi !1 j !1

k

ni

ij

y ) ! ( yij yi ) ( yi. y )22 2 i !1 j !1 i !1 j !1

k

ni

k

ni

suku 1

suku 2

suku 3

Penalaran suku 1, Diasumsikan : Yij~N(Q,W2) Yij Q Yij ~ N ( Q , W 2 ), maka ~ N (0,1), W

Yij Q W k ni

~ G 12 , maka 2

2

Yij Q 2 k W ~G ni i !1 j !1 i !1k ni

2

Yij Y W i !1 j !1

k ni ~G 2k , Yij Y ni 1 i !1 j !1 i !1

~G2

2k i !1

ni 1

W2

Didapatkan hasil :

Y i !1 j !1

k

ni

ij

Y

~G2

2

!1i

k

W2ni 1

Penalaran suku 2, Diasumsikan : Yij~N(Qi,W2)

Yij ~ N ( Qi ,W 2 ), maka2

Yij Qi ~ N (0,1), W Y Q ij W i ~ G n2i , j !1 ni 2

Yij Qi 2 W ~ G1 , maka Y Y ij W i ~G n2i 1 , j !1 ni 2 k

Y Y 2 k ij W i ~G ni k i !1 j !1 i !1ni

2

1 k ni Y Yi 2 ~G 2k 2 ij W i !1 j !1 ni k i !1Didapatkan hasil :

Yi !1 j !1

k

ni

ij

Yi ~G 2k W2 ni k !12i

Penalaran suku 3, Yi . Q W2 Yi . ~ N ( Q , ), ~ N (0,1) 1/ 2 ni W 2 n i (Yi . Q ) 22

i !1

W n i k n (Y Q ) 2 i i. W2

~ G12

i !1 2 ~ Gk

k

(Yi . Q ) 2 W n ik 2

~ G k2

ni (Yi . Y ) 2 2 ~ G k 1 W2 i !1

7

Hasil Keseluruhan :

Y i !1 j !1

k

ni

ij

Y

~G2 2

2

!1i

k

W2ni 1

Yi !1 j !1 k ni

k

ni

ij

Yi ~G 2k ni k !1i

(Yi. Y ) 2 ! ni (Yi. Y ) 2 ~ G k21W 2i !1 j !1 i !1

k

Perlu diingat :

Y ~ N ( Q , W 2 ), Q ! E (Y ), W 2 ! var(Y ) Y E (Y ) Y Q ~ N (0,1) ! (var(Y ))1 / 2 W

Kembali ke RegresiPenalaran distribusi

(Y Y )i i !1

n

2

,

8

9