harapan matematika dan variansi (ssts 2305 / 3 sks )
DESCRIPTION
HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSI (SSTS 2305 / 3 sks ). Dra. Noeryanti, M.Si. Pengantar: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSI
(SSTS 2305 / 3 sks)
Dra. Noeryanti, M.Si
Pengantar:
Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau
karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu
distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata
hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (atau nilai harapan)
dan variansi. Harapan matetatis ini menentukan tendensi sentral dari
distribusi probabilitas.
Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat
perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka
nilai harapan dinyatakan , Variansi dari X da
Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y
dinyatakan .
2
E(X), E(Y), dan E(X,Y)2 2X Y,
XY
Kompetensi:
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa
diharapkan:
1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar nilai harapan
matematis, variansi dan Kovariansi secara benar.
2. Mampu dan terampil dalam melakukan operasi hitungan-
hitungan yang berkaitan dengan rata-rata perubah acak,
variansi, kovariansi dan teorema Chebyshev .
3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
3
4
Daftar Isi Materi:
• Rata-rata Perubah Acak
• Variansi dan Kovariansi
• Rata-rata dan Variansi dari
Kombinasi linier
• Teorema Chebyshev
4.1. Rata-rata Perubah Acak
5
x
E(X)
Contoh (4.1):
Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali.
Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka
X dapat berharga 0, 1, dan 2
Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7,
dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per lantunan [=nilai
harapan matematik] adalah 0 4 1 7 2 51 06
16
( )( ) ( )( ) ( )( )E(X) .
Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X
ditulis atau . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik
atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai .Rata-
rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak
pusat distribusi probabilitas.
6
Definisi (4.1):
Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka
nilai harapan (atau rata-rata) perubah acak X adalah
x
x f(x) ; jika Xdiskret
E(X)x f(x)dx ; jika X kontinu
E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil
yang muncul dalam percobaannya. Rata-rata ini yang disebut rata-rata
perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak
yang menyebutnya harapan matematik atau nilai harapan dari perubah
acak X.
7
Contoh (4.2):
Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam
panitia adalah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan
dan 3 ahli biologi.
Jawab:
Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia.
X = {0, 1, 2, 3} Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai
Dari perhitungan diperoleh:
4 33
0 1 2 373
x xf(x) ;x , , ,
181 12 435 35 35 35
0 1 2 3f( ) ; f( ) ; f( ) ; f( )
8
Dibuat tabel distribusi probabilitas X
Tabel 4.1. Distribusi Probabilitas X
Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang
duduk dalam panitia adalah:
x 0 1 2 3
f(x) 135
1235
1835
435
181 12 435 35 35 35
127
0 1 2 3
1 7
x
E(X) x f(x)
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
,
9
Contoh(4.3)
Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X
perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu,
yang dinyatakan dalam bentuk berikut:
Jawab:
menurut definisi
Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya))
berumur 200 jam
20 0003
100
0
.
x; x
f(x); untuk x yang lainya
3 2100 100
100
20 000 20 000
20 000200
. .E(X) x dx dx
x x
.x
10
Teorema (4.1): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x),
maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah
Contoh (4.4):
Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci
mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi
probabilitas seperti pada tabel di bawah ini:
Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X
x
g(X)
g(x) f(x) ; jika Xdiskret
E[g(X)]g(x) f(x) ; jika Xkontinu
x 4 5 6 7 8 9
P(X=x) 14
112
112
14
16
16
11
Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para
karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan
rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan
perusahaan tersebut.
Jawab:
Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67
9
4
2 1 2 1g(x)x
E[g(X)] E( X ) ( x ) f(x)
1 1 1 1 1 1
12 12 4 4 6 6(7)( ) (9)( ) (11)( ) (13)( ) (15)( ) (17)( )
12,67
12
Contoh(4.5)
Jika X suatu perubah acak dengan fungsi padat pobabilitas:
Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3
Jawab:
Nilai harapan g(x) = 4X+3 adalah
2
31 2
0
x ; xf(x); untuk x yanglainya
2 2
4 3
12
3 213
1
4 3 4 33
4 3 8
( x )x
E( X ) ( x ) dx
( x x )dx
13
Definisi (4.2):
Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan
f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah
1. Untuk X dan Y diskret
2. Untuk X dan Y kontinu
g(X,Y)x y
E[g(X,Y)] g(x,y) f(x,y)
g(X,Y)E[g(X,Y)] g(x,y) f(x,y)dxdy
14
Contoh (4.6):
Jika X dan Y suatu perubah acak dengan distribusi peluang
gabungan seperti tabel berikut:
Tabel. 4.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y
Hitung nilai harapan g(X,Y) = XY
f(x,y)X Jumlah baris
0 1 2
Y
0
1
2
Jumlah kolom 1
3283
14
128
328
9283
14
328
128
614
1528
1528
1028
15
2 2
0 0
[g(x,y)]
x y
E[g(X,Y)]
E(XY)
(xy) f(x,y)
Jawab:
314
(0)(0)f (0,0) (0)(1)f (0,1) (0)(2)f (0,2) (1)(0)f (1,0)
(1)(1)f (1,1) (2)(0)f (2,0)
f (1,1)
16
Contoh(4.7):
Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang
Jawab:
YX
E
21 34
0 2 0 1
0
x( y ) ; x ; yf(x,y); untuk x yanglainya
2
2
2
1 21 3
40 0
1 21 3
40 0
13 52 8
0
y x( y )YX x
y x
y( y )
y x
y y )
y
E ( )[ ]dxdy
dxdy
dy
17
Catatan: Jika dalam definisi (4.2) g(X,Y) = X, maka
dan
dimana: g(x) distribusi marginal X dan h(y) distribusi marginal Y
x y x
(x) f(x,y) (x)g(x); jika Xdiskret
E(X)(x)f(x,y)dxdy (x)g(x)dx; jika Xkontinu
x y x
(y) f(x,y) (y)h(y); jika Xdiskret
E(Y)(y)f(x,y)dxdy (y)h(y)dy; jika Xkontinu
18
Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat
berguna dalam memberikan gambaran mengenai keragaman
pengamatan di sekitar nilai rata-rata . Variansi dari perubah acak
X diberi notasi Var(X) atau akar positip dari variansi, disebut
simpangan baku X.
Definisi (4.3): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x)
dengan rata-rata , , maka variansi X adalah
2
2 2
2
x
(x ) f(x) ; jika Xdiskret
E[(X ) ]
(x ) f(x)dx ; jika X kontinu
2
4.2. Variansi dan Covariansi
19
Teorema (4.2):
Variansi perubah acak X adalah
Bukti: (kasus diskret)
karena dan
Maka diperoleh
x
x f(x) ( ) 1
x
f x
2 2 2E(X )
2 2 2 2
2 2
2
2
x x
x x x
(x ) f(x) (x x ) f(x)
x f(x) x f(x) f(x)
2 2 2 2 2 22
x
x f(x) E(X )
20
Teorema (4.3):
Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka
variansi perubah acak g(X) adalah
a. untuk kasus diskret
b. untuk kasus kontinu
Bukti:
Langsung menggunakan teorema (4.1) dan definisi (4.3)
2 2 2g(X) g(X)g(X)
x
E{[g(X) ] } [g(X) ] f(x)
2 2 2g(X) g(X) g(X)E{[g(X) ] } [g(X) ] f(x)dx
21
Definisi (4.4):
Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas
gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah
a. untuk kasus X dan Y diskret
b. untuk kasus X dan Y kontinu
X YXY
X Yx y
E [(X )(Y )]
(x )(y ) f(x,y)
X YXY
X Y
E [(X )(Y )]
(x )(y )f(x,y)dxdy
22
Teorema (4.4):
Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata
dan
diberikan oleh rumus:
Bukti:
a. untuk kasus X dan Y diskrit
xy x yXY
E(XY)
x yXYx y
x yX Yx y
(x )(y ) f(x,y)
(xy y x ) f(x,y)
X Yx y x y x y
x yx y
xyf(x,y) yf(x,y) xf(x,y)
f(x,y)
23
Karena
Maka diperoleh:
1x yx y x y x y
xf(x,y); y f(x,y); dan f(x,y)
x y x y x y x yXYE(XY) E(XY)
b. Untuk kasus X dan Y kontinu
(seperti a) dg mengganti tanda jumlahan dengan integral)
x yXY
x yX Y
(x )(y )f(x,y)dxdy
(xy y x )f(x,y)dxdy
24
XXY
x yY
xyf(x,y)dxdy y f(x,y)dxdy
xf(x,y)dxdy f(x,y)dxdy
1
x ykarena : xf(x,y)dxdy; yf(x,y)dxdy;
dan f(x,y)dxdy
x y x y x yXY
x y
Maka diperoleh E(XY)
E(XY)
25
Contoh (4.8):
Berikut ini perubah acak X menyatakan banyaknya bagian yang cacat
dari suatu mesin jika 3 suku cadang disampling dari rantai produksi dan
diuji. Kemudian hitung variansinya pada tabel di bawah ini
Tabel 4.4. Distribusi Probabilitas X
Jawab:
Jadi banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin mempunyai variansi
sebesar 0,4979
x 0 1 2 3
f(x) 0,51 0,38 0,10 0,01
0 0 51 1 0 38 2 0 10 3 0 01 0 61E(X) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( )( , ) ,
2 2 2 2 20 0 51 1 0 38 2 0 10 3 0 01 0 87E(X ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ,
22 20 87 0 61 0 4979Var(X) E(X ) E(X) , ( , ) ,
26
Contoh(4.9)
Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan
pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan
dalam bentuk berikut:
Carilah rata-rata dan variansinya
Jawab:
Jadi rata-ratanya, dan variansinya,
2 1 1 2
0
(x ) ; xf(x)
;x yanglainya
2 2 22 3 2 51 13 2 31
1 1
2 1 2 2E(X) (x) (x )dx (x x)dx ( x x ) 2 2 22 2 3 2 4 3 171 1
4 3 611 1
2 1 2 2E(X ) (x ) (x )dx (x x )dx ( x x )
2 217 5 16 3 18
( )
2 118
53
27
Contoh(4.10):
Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi
probabilitas:
Tabel 4.5. Distribusi Probabilitas X
Jawab:
Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3
Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh
y 0 1 2 3
f(y)12
14
18
3
2 30
1 1 1 14 8 2 8
2 3 2 3
3 5 7 9 6
Xx
E( X ) ( x )f(x)
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
18
28
2 2 22 32 3
32 2
0
2 3 2 3 6
4 12 9 4 12 9
9 0 1 1 1 2 9 3
4
XX
x
E{[( X ) ] } E{[ X ] }
E[ X X ] ( x x )f(x)
( )f( ) ( )f( ) ( )f( ) ( )f( )
Contoh (4.11):
Jika X perubah acak dengan fungsi probabilitas seperti contoh
(4.5), maka cari variansi perubah acak g(X) = 4X + 3
Jawab:
Dari contoh (4.5) diperoleh;
Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh:
(4 3) 8E X
29
2 2 24 34 3
2 22 23
12
4 3 213
125 4 316 40 251
3 5 4 3 1515
4 3 4 3 8
4 5 4 5
16 40 25
XX
x
E{[( X ) ] } E{[ X ] }
E[( X ) ] ( x ) ( )dx
( x x x )dx
( x x x )
Jadi variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 adalah:2 51
54 3X
30
Contoh (4.12):
Jika perubah acak X dan Y diberikan seperti pada contoh
(4.6) dengan distribusi probabilitas gabungan pada tabel (4.1) maka
carilah kovariansi dari X dan Y
Jawab:
Dari contoh (4.6) diperoleh
Sekarang pada kasus ini diperoleh:
314
( )E XY
2 2 2
0 0 0
5 15 314 28 28
34
0 1 2
xx y x
E(X) x f(x,y) x g(x)
( )( ) ( )( ) ( )( )
31
Sehingga diperoleh kovariansi dari X dan Y adalah:
3 3 114 4 2
956
x yXYE(XY)
( )( )
2 2 2
0 0 0
15 3 128 7 28
12
0 1 2
yx y y
E(Y) y f(x,y) yh(y)
( )( ) ( )( ) ( )( )
dan
32
Contoh (4.13):
Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan
diberikan sbb:
maka carilah kovariansi dari X dan Y
Jawab:
Dari contoh (3.10) diperoleh: dan
Dan dapat dinyatakan sebagai:
dan
34 0 1g(x) x ; x
24 1 0 1h(y) y( y ) ; y
34 0 1
0
x ; xg(x);x yanglain
24 1 0 1
0
y( y ) ; yh(y);x yanglain
8 0 1 0
0
xy; x , y xf(x,y)
; untuk x,y yanglainya
33
Fingsi padat gabungan diatas, diperoleh:
Dan
Jadi kovariansi dari X dan Y
14 4
50
4x E(X) x dx 1
2 2 815
0
4 1y E(Y) y ( y )dy
1 12 2 4
90
8
y
E(XY) x y dxdy
84 49 5 15
4225
x yXYE(XY) ( )( )
34
4.3. Rata-rata dan Variansi dari Konbinasi Linier
Dibawa ini diberikan beberapa sifat yang berguna untuk
menyederhanakan perhitungan rata-rata dan variansi
Teorema (4.5): Jika a dan b konstanta sembarang, maka
Bukti:
Menurut definisi nilai harapan (kasus kontinnyu)
Karena: dan
E(aX b) aE(X) b
E(aX b) (ax b)f(x)dx a x f(x)dx b f(x)dx
aE(X) b
1f(x)dx
E(X) x f(x)dx
35
E(b) b Akibatnya: 1. Jika diambil a=0, maka
2. Jika diambil b=0, maka E(aX) aE(X)
Contoh (4.14):
Kembali ke contoh (4.4) menggunakan diatas tentukan perubah
acak
Jawab:
Menurut teorema diatas dapat dinyatakan
Dari contoh (4.4) diperoleh
Jadi
2 1g(X) X
2 1 2 1E( X ) E(X)
9
41 1 1 1 1 1
12 12 4 4 6 6416
4 5 6 7 8 9
x
E(X) x f(x)
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
416
2 1 2 1 2 1 12 67E( X ) E(X) .
36
Contoh (4.15):
Kembali ke contoh (4.5) menggunakan diatas tentukan perubah
acak
Jawab:
Menurut teorema diatas dapat dinyatakan sebagai:
Dari contoh (4.5) diperoleh
Jadi
Hasilnya sama seperti pada contoh (4.5)
4 3g(X) X
4 3 4 3E( X ) E(X)
2 32 2
53 3 4
1 1
x xE(X) x( )dx ( )dx
54
4 3 4 3 4 3 8E( X ) E(X) ( )
37
Teorema (4.5):
Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X
sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi
tersebut, yaitu
Bukti:
Menurut definisi (kasus kontinnyu)
Analog untuk kasus diskrit
E[g(X) h(X)] E[g(X)] E[h(X)]
2
12 2
1 1
E[g(X) h(X)] [g(x) h(x)]dx
[g(x)f(x)]dx [h(x)f(x)]dx
E[g(X)] E[h(X)]
38
Contoh (4.16):
Diketahui X perubah acak dengan distribusi probabilitas sbb:
Tabel 4.6. Distribusi Probabilitas X
Carilah nilai harapan
Jawab:
Menurut teorema diatas pada fungsi diperoleh
Dengan
Jadi
x 0 1 2 3
f(x) 013
12
16
21Y (X )
21Y (X )
2 2 21 2 1 2 1E[(X ) ] E(X X ) E(X ) E(X)
21 2 2 1 1 1E[(X ) ] ( )( )
1 1 13 2 6
0 1 2 0 3 1E(X) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 21 1 13 2 6
0 1 2 0 3 2E(X ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
39
Contoh (4.17):
Jika diketahui X perubah acak dengan fungsi padat sbb:
Carilah nilai harapan
Jawab:
Menurut teorema diatas:
Akibatnya:
Jadi
2 1 1 2
0
(x ); xf(x)
; untuk x lainya
2 2g(X) X X
2 22 2E(X X ) E(X ) E(X) E( ) 2 2
2 53
1 1
2 1 2E(X) x(x )dx (x x)dx 2 2
2 2 3 2 176
1 1
2 1 2E(X ) x (x )dx (x x )dx 2 17 5 5
6 3 22 2E(X X )
40
Teorema (4.7):
Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X dan
Y sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi
tersebut, yaitu
Bukti:
Menurut definisi (kasus kontinnyu)
Analog untuk kasus diskrit
E[g(X,Y) h(X,Y)] E[g(X,Y)] E[h(X,Y)]
E[g(X,Y) h(X,Y)] [g(x,y) h(x,y)]dx dy
[g(x,y)f(x,y)]dxdy [h(x,y)f(x,y)]dxdy
E[g(X,Y)] E[h(X,Y)]
41
Akibatnya:
1. Jika maka diperoleh:
2. Jika maka diperoleh
E[g(X) h(Y)] E[g(X)] E[h(Y)]
E(X Y)] E(X) E(Y)
g(X,Y) g(X) dan h(X,Y) h(Y)
g(X,Y) X dan h(X,Y) Y
Teorema (4.8):
Jika X dan Y merupakan dua perubah acak bebas, maka
Bukti:
Menurut definisi diatas (kasus kontinnyu)
E(XY)] E(X)E(Y)
E(X,Y) x,y f(x,y)]dx dy
42
Karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis
Dimana g(x) dan h(x) merupakan distribusi pias, sehingga
f(x,y) g(x)h(y)
E(XY) xy g(x)h(y)dx dy
xg(x)dx yh(y)dy E(X)E(Y)
Contoh (4.17):
Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan distribusi
probabilitas gabungan:
Periksa apakah dipenuhi?
21 34
0 2 0 1
0
x( y ) ; x , yf(x,y)
; untuk x lainya
E(XY) E(X)E(Y)
43
Jawab
2 2 2
2
1 2 1 21 3 1 3
4 40 0 0 0
21 12 1 3
300 0
56
3 21 312
x( y ) x y( y )
xy( y )
x
E(XY) xy dx dy dx dy
x y( y )dy dy
2 2 2
2
1 2 1 21 3 1 3
4 40 0 0 0
21 12 1 3
300 0
43
3 21 312
x( y ) x ( y )
x( y )
x
E(X) x dx dy dx dy
x ( y )dy dy
44
2 2
2
1 2 1 21 3 1 3
4 40 0 0 0
21 11 3
200 0
58
2 21 38
x( y ) xy( y )
xy( y )
x
E(Y) y dx dy dx dy
x y( y )dy dy
543 8
E(X)E(Y) ( )( ) E(XY) Jadi
Teorema (4.9):
Jika a dan b konstanta sembarang, maka
Bukti:
Menurut definisi,
dan
2 2 2 2 2xaX b a a
2 2aX baX b E{[(aX b) ] }
aX b E(aX b) aE(X) E(b) a b
45
Sehingga:
Akibatnya: 1. Jika a=1, maka
2. Jika b=0, maka2 2 2 2 2
xaX a a
2 2 2xX b
2 2
2
2 2
2 2
aX b E{[aX b a b] }
E{[aX a ] }
a E(X )
a
Teorema (4.10):
Jika X dan Y perubah acak dengan distibusi probabilitas f(x,y)
maka
Bukti:
Menurut definisi,
2 2 2 2 2 2x y xyaX bY a b ab
2 2aX bYaX bY E[(aX bY) ]
46
aX bY X YE(aX bY) aE(X) bE(Y) a b dan
Maka
Akibatnya:
1. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka
2. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka
3. Jika perubah acak bebas, maka berlaku
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
X YaX bY
X Y
X Y X Y
XYX Y
E[(aX bY) (a b )]
E[(aX a ) (bY b )]
a E(X ) b E(Y ) abE(X )E(Y )
a b ab
2 2 2 2 2x yaX bY a b
2 2 2 2 2x yaX bY a b
1 2 nX ,X ,...,X
2 2 2 2 2 2 21 21 1 2 2 1 2 na X a X .... a X x x xn n n
a a ..... a
47
Contoh (4.18):
Jika X dan Y perubah acak dengan variansi ;
dan kovariansi . Carilah variansi perubah acak :
Jawab:
2 2x 2 4Y
2XY
3 4 8Z X Y
2 2 2 23 4 8 9 16 24
9 2 16 4 24 2 130
Z X Y X Y XYVar(Z)
( )( ) ( )( ) ( )( )
Contoh (4.19):
Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan variansi ;
.. Carilah variansi perubah acak
Jawab:
2 1x 2 2Y 3 2 5Z X Y
2 2 2 2 23 2 5 3 2 9 4
9 1 4 2 17
Z X Y X Y X YVar(Z)
( )( ) ( )( )
48
4.4. Teorema Chebyshev
Telah dikemukakan diatas bahwa variansi perubah acak akan
memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar
rata-rata. Bila variansi dan simpangan baku dari perubah acak kecil
maka dapat diharapkan bahwa pengamatan akan mengelompok di
sekitar nilai rata-rata. Sehingga probabilitas perubah acak dalam selang
tertentu di sekitar rata-rata akan lebih besar dari perubah acak serupa,
yang lebih besar simpangan bakunya.
Tetapi jika nilai besar menyatakan keragaman yang lebih
besar, sehingga dapat diharapkan pengamatan akan lebih menyebar.
Perhatikan gambar 4.1dibawah ini.
49
-4 -2 0 2 4
0.0
0.5
1.0
1.5
x
dn
orm
(x, 0
, 0.2
5)
Gambar 4.1. Keragaman pengamatan di sekitar rata-rata
Distribusi Kontinyu
20 0 25; .
20 1;
50
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
x
dn
orm
(x, -
1, 1
.5)
21 1 5; .
22 1 5; .
Gambar 4.2. Keragaman pengamatan dengan 2 2
1 2 1 2;
51
Teorema 4.11 (teorema Chebyshev)
12
1k
Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k-
simpangan baku dari nilai rata-rata adalah sekurang-kurangnya
yaitu 12
1k
P[ k X k ]
Contoh (4.20):
suatu perubah acak X mempunyai rata-rata dan
sedangkan distribusi probabilitasnya tidak diketahui. Hitunglah
a. P(-4 < X < 20)
b.
Jawab:
a.
b.
8 2 9
8 6P( X )
1516
4 20 8 4 3 8 4 3P[ X ) P( ( )( ) X ( )( )]
14
8 6 1 8 6 1 6 8 6
1 8 2 3 8 2 3
P( X ) P( X ) P( X )
P[ ( )( ) X ( )( )]