1

Analisis Analisis VariansiVariansi

Satu Arah Satu Arah

2

Analisis Variansi

• Analisa variansi (ANOVA) adalah suatu metoda untuk menguji hipotesis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi.

• Asumsi Sampel diambil secara random dan

saling bebas (independen) Populasi berdistribusi Normal Populasi mempunyai kesamaan variansi

3

Analisis Variansi

• Misalkan kita mempunyai k populasi.• Dari masing-masing populasi diambil sampel

berukuran n.• Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas dan

berdistribusi normal dengan rata-rata 1, 2, …. dan k dan variansi 2.

• Hipotesa :

H0 : 1 = 2 = … = k

H1 : Ada rata-rata yang tidak sama

4

Analisis Variansi

Populasi

Total

1 2 … i … k

x11 x21 … xi1 … Xk1

x12 x22 … xi2 … Xk2

: : : : : :

x1n x2n … xin … xkn

Total T1 T2 … Ti … Tk T

Ti adalah total semua pengamatan dari populasi ke-i

T adalah total semua pengamatan dari semua populasi

5

Rumus Hitung Jumlah Kuadrat

JKPJKTJKGnk

T

n

TJKP

nk

TxJKT

2

k

1i

2i

k

1i

n

1j

22ij

Jumlah Kuadrat Total =

Jumlah Kuadrat Perlakuan =

Jumlah Kuadrat Galat =

6

Tabel Anova dan Daerah Penolakan

Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah kuadrat

Kuadrat Rata-rata

Statistik F

Perlakuan k – 1 JKPKRP =

JKP/(k – 1 )F =

KRP/KRG

Galat k(n-1) JKGKRG =

JKG/(k(n-1))

Total nk – 1 JKT

H0 ditolak jika F > F(; k – 1; k(n – 1))

7

Contoh 1

Sebagai manager produksi, anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat rata-rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti di samping. Pada tingkat signifikansi 0.05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?

Mesin1 Mesin2 Mesin3

25.40 23.40 20.0026.31 21.80 22.2024.10 23.50 19.7523.74 22.75 20.6025.10 21.60 20.40

8

Rumus Hitung Jumlah KuadratUntuk ukuran sampel yang berbeda

JKPJKTJKG

N

T

n

TJKP

N

TxJKT

2k

1i i

2i

k

1i

n

1j

22ij

i

Jumlah Kuadrat Total =

Jumlah Kuadrat Perlakuan =

Jumlah Kuadrat Galat =

k

1iinNdengan

9

Tabel Anova Untuk ukuran sampel yang berbeda

Sumber Variasi

Derajat bebas

Jumlah kuadrat

Kuadrat Rata-rata

Statistik F

Perlakuan k – 1 JKPKRP =

JKP/(k – 1 )F =

KRP/KRG

Galat N – k JKGKRG =

JKG/(N - k)

Total N – 1 JKT

10

Contoh 2

• Dalam Sebuah percobaan biologi 4 konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Data pertumbuhan berikut, dalam sentimeter, dicatat dari tanaman yang hidup.

• Apakah ada beda pertumbuhan rata-rata yang nyata yang disebabkan oleh keempat konsentrasi bahan kimia tersebut.

• Gunakan signifikasi 0,05.

Konsentrasi

1 2 3 4

8.2 7.7 6.9 6.8

8.7 8.4 5.8 7.3

9.4 8.6 7.2 6.3

9.2 8.1 6.8 6.9

8.0 7.4 7.1

6.1

11

Latihan 1

Kapasitas

Mitsubishi

(A)

Toyota

(B)

Honda

(A)

44 42 46

43 45 47

48 44 45

45 45 44

46 44 43

Seorang kontraktor di bidang jenis jasa pengangkutan ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan yang signifikan pada kapasitas daya angkut 3 merk truk, yaitu Mitsubishi, Toyota dan Honda. Untuk itu kontraktor ini mengambil sampel masing-masing 5 truk pada tiap-tiap merek menghasilkan data seperti disamping.Jika ketiga populasi data tersebut berdistribusi normal dan variansi ketiganya sama, uji dengan signifikasi 5% apakah terdapat perbedaan pada kwalitas daya angkut ketiga merek truk tersebut

12

Latihan 2

Seorang guru SMU mengadakan penelitian tentang keunggulan metode mengajar dengan beberapa metode pengajaran. Bila data yang didapat seperti pada tabel disamping, ujilah dengan signifikasi 5% apakah keempat metode mengajar tersebut memiliki hasil yang sama? (asumsikan keempat data berdistribusi Normal dan variasnisnya sama)

Metode

A B C D

70 68 76 67

76 75 87 66

77 74 78 78

78 67 77 57

67 57 68

89

13

Tugas 1

Terdapat 3 jenis mata bor yang berbeda. Dipilih 5 sampel dari masing-masing untuk diukur kemampuannya membuat diameter lubang dalam kondisi yang sama. Dengan tingkat signifikansi 5%, apakah terdapat perbedaan rata-rata (mean) ukuran diameter yang dibuat ketiga mata bor tersebut?

Bor 1 Bor 2 Bor 3

254 234 200

263 218 222

241 235 197

237 227 206

251 216 204

14

Tugas 2

• Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada pengaruh perbedaan metode kerja terhadap tingkat produktivitas. Ada tiga metode kerja yang akan diuji. Diambil sampel masing-masing 5 orang karyawan untuk mengerjakan pekerjaan, lalu dicatat waktu yang digunakan (menit) sebagai berikut :

• Ujilah dengan = 0,05 apakah ada pengaruh perbedaan metode kerja pada waktu yang digunakan?

Metode 1 (menit)

Metode 2 (menit)

Metode 3 (menit)

21 17 31

27 25 28

29 20 22

23 15 30

25 23 24

15

Uji Variansi

• Salah satu asumsi yang harus dipenuhi pada saat menggunakan uji Anova satu arah adalah varians data HOMOGEN

• Untuk mengetahui kondisi varians data (homogen atau heterogen) maka dilakukan uji variansi yaitu uji Barlett

16

Uji Barlett

Fungsi Uji :

• untuk mengetahui kondisi varians data

(homogen atau heterogen)

• pemakaiannya terbatas hanya untuk

sampel yang ukurannya tidak sama.

Hipotesis : H0 : Varians data homogen

H1 : Varians data heterogen

17

Uji Barlett

Statistik Uji =

koreksifaktor

SnSknk

iii

1

22

2

log1log3026,2

18

Uji Barlett

dimana :

= banyaknya data pada kelompok/ perlakuan ke-i

= varians data pada kelompok/ perlakuan ke-i

n = jumlah seluruh data =

= Mean Square Error (MSE) dari Tabel Anova Satu Arah

faktor koreksi =

in2iS

2S

knnk i

1

1

1

13

11

k

iin

1

19

Uji Barlett

Pengambilan Keputusan : Digunakan tabel Chi-Square dengan derajat

bebas dan tingkat signifikansi

H0 ditolak jika :

22tabel

20

Uji Cochran

• Pemakaiannya terbatas hanya untuk sampel yang ukurannya sama.

• Statistik uji yang digunakan adalah :

• Daerah kritis adalah H0 ditolak jika G > g,n,k dimana nilai g,n,k diperoleh dari tabel nilai kritis untuk uji Cochran.

k

iiS

terbesarSiG

1

2

2

21

Analisis Analisis VariansiVariansi

Dua Arah Dua Arah

Terdapat 2 variabel (A dan B)

22

Analisis Variansi 2 ArahSumber variasi

Jumlah kuadrat

Derajat kebebasan

Rataan kuadrat

F hitungan

F Tabel

Perlakuan (A)

JKA a-1

Perlakuan (B)

JKB b-1

Interaksi AB JKAB (a-1)(b-1)

Galat JKG axbx(n-1)

Total JKT abn-1

12

1

a

JKAs

12

2

b

JKs B

)1)(1(2

3

ba

JKs AB

)1)((2

naxb

JKs G

2

21

1 s

sf

2

22

2 s

sf

2

23

3 s

sf

23

Analisis Variansi 2 ArahMenghitung JKA, JKB, JKAB

abn

T

bxn

TJKA

a

ii

2

1

2

abn

T

axn

T

JKB

b

jj

2

1

2

abn

T

axn

T

bxn

T

n

T

JKAB

b

jj

a

ii

b

jij

a

i

2

1

2

1

2

1

2

1

n

jij

k

I nk

TyJKT

1

22

1JKG = JKT – JKA – JKB - JKAB

24

Contoh 1Seorang peneliti ingin menguji hipotesis penelitiannya bahwa penambahan unsur Kalsium (Ca) ke dalam pakan ayam akan meningkatkan tingkat kekerasan kulit telur pada dua bangsa ayam A dan B. Penambahan Ca diberikan sebesar 0, 1, 2, 3, dan 4 % masing-maisng terhadap 10 ekor ayam petelur. Setiap ayam petelur dikandangkan secara terpisah dan setiap ayang petelur yang dilibatkan dikondisikan homogen. Nilai total hasil penelitian diperoleh sebagai berikut:

Perlakuan 0 1 2 3 4 Total ayam Ayam A 8,04 8,15 10,00 13,00 15,71 54,90 Ayam B 7,52 8,05 12,01 14,10 14,05 55,73Total Ca 15,56 16,20 22,01 27,10 29,76 110,63

Lakukan pengujian pada taraf 5 %, apabila diketahui KTG = 0,45.Berikan kesiumpulan Saudara