UKURAN LOKASI DAN UKURAN LOKASI DAN VARIANSIVARIANSI

MEANMEAN::MeanMean merupakan ukuran rata-rata dari data. merupakan ukuran rata-rata dari data.

Dua metode yang akan dibahas untuk Dua metode yang akan dibahas untuk menentukan rata-rata adalah rata-rata menentukan rata-rata adalah rata-rata hitung dan rata-rata harmonik.hitung dan rata-rata harmonik.

Rata-rata hitungRata-rata hitungMerupakan pembagian antara jumlah nilai Merupakan pembagian antara jumlah nilai dari keseluruhan data dengan banyaknya dari keseluruhan data dengan banyaknya data :data :

RUMUS-RATA-RATA HITUNGRUMUS-RATA-RATA HITUNG

Contoh 3.1 :Apabila diketahui 5 orang istri tentara yang bekerja dengan penghasilan yang bervariasi. Masing-masing penghasilan (dalam rupiah) adalah 750.000, 800.000, 800.000, 850.000, 900.000, 1000.000.Berapa rata-rata penghasilan mereka ?Jawab :Sangat mudah menentukan rata-rata dari data tersebut, yaitu :

= 860.000= 860.000

Berdasarkan rumus di atas, dapat dikembangBerdasarkan rumus di atas, dapat dikembang kan kan

apabila datanya berkelompok, menjadiapabila datanya berkelompok, menjadi::

1 750.000+800.000+800.000+850.000+900.000+1.000.000

5

n

ii

xx

n

1

1

k

i iik

ii

f xx

f

dengan dengan ffII adalah adalah

frekuensi dari data frekuensi dari data ke ke ii..

Contoh 3.2Contoh 3.2 : :

Akan diteliti Akan diteliti banyaknya transaksi banyaknya transaksi dari 100 stan pada dari 100 stan pada suatu expo. suatu expo. Diperoleh data Diperoleh data sebagai berikut :sebagai berikut :

No Banyak transaksi frekuensi

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

5

22

30

18

15

10

= 2,46 = 2,46

Contoh 3.3Contoh 3.3 : :

Jika diketahui data Nilai Ebtanas Murni Jika diketahui data Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang diterima bekerja di (NEM) karyawan yang diterima bekerja di PT. PT. Maju Mapan. Carilah nilai rata-rata Maju Mapan. Carilah nilai rata-rata NEM nya :NEM nya :

1

1

0.5+1.22+2.30+3.18+4.15+5.10

5+22+30+18+15+10

k

i iik

ii

f xx

f

Tabel : Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang diterima bekerja di PT. yang diterima bekerja di PT. Maju MapanMaju Mapan

No Kelas Interval Frekuensi

1

2

3

4

5

6

35 – 39

40 - 44

45 - 49

50 - 54

55 - 59

60 - 64

5

15

20

15

10

5

Maka dapat dicari rata-ratanya dengan terlebih dahulu membuat tabel

berikut :

No Kelas Interval Frekuensi (fi) Nilai tengah (xi) fi.Xi

1 2 3 4 5 6

35 - 39 40 - 44 45 - 49 50 - 54 55 - 59 60 - 64

5 15 20 15 10 5

37 42 47 52 57 62

185 630 940 780 570 310

Jumlah 70 3415

Sedangkan rata-ratanya dicari dengan Sedangkan rata-ratanya dicari dengan menggunakan nilai tengah sebagai XI menggunakan nilai tengah sebagai XI untuk rumus di atas, yaitu :untuk rumus di atas, yaitu :

1

1

341548,78

70

k

i iik

ii

f xx

f

Apabila dipergunakan rata-rata duga, maka perumusan Apabila dipergunakan rata-rata duga, maka perumusan

rata-rata berubah menjadirata-rata berubah menjadi::

..

10

1

k

i iik

ii

f U

x x pf

Penjelasan :Penjelasan :Xo = salah satu harga titik tengah kelas Xo = salah satu harga titik tengah kelas

(merupakan rata-rata duga)(merupakan rata-rata duga) p = panjang kelas intervalp = panjang kelas interval Ui = 0 jika = XoUi = 0 jika = Xo = 1,2,3, … untuk kelas di atas Xo = 1,2,3, … untuk kelas di atas Xo = -1,-2,-3, … untuk kelas di bawah Xo= -1,-2,-3, … untuk kelas di bawah Xo

Contoh 3.4Contoh 3.4 : : Dari contoh nilai NEM di atas, apabila Dari contoh nilai NEM di atas, apabila

dipergunakan rata-rata duga dengan nilai rata-dipergunakan rata-rata duga dengan nilai rata-rata duga adalah 47, maka :rata duga adalah 47, maka :

Tabel : Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang

diterima bekerja di PT. diterima bekerja di PT. Maju MapanMaju Mapan

NoNo Kelas Kelas IntervalInterval

Frekuensi (fFrekuensi (fii)) UiUi Ui . fiUi . fi

11 35 - 3935 - 39 55 -2-2 -10-10

22 40 - 4440 - 44 1515 -1-1 -15-15

33 45 - 4945 - 49 2020 00 00

44 50 - 5450 - 54 1515 11 1515

55 55 - 5955 - 59 1010 22 2020

66 60 - 6460 - 64 55 33 1515

JumlahJumlah 7070 33 2525

10

1

k

i iik

ii

f U

x x pf

dengan : Xo = 47, p = 5

5.{5(-2)+15(-1)+15.1+10.2+5.3}47

70x

12547

70

48,78

x

x

ModusModus

Merupakan nilai atau data yang paling sering Merupakan nilai atau data yang paling sering muncul.muncul.

Untuk data berkelompok :Untuk data berkelompok :

1

1 2

bMo b p

b b

Keterangan :Keterangan :

Dengan :Dengan :Mo = ModusMo = Modusb = batas bawah kelas modusb = batas bawah kelas modusb1 = beda frekuensi kelas modus dengan b1 = beda frekuensi kelas modus dengan kelas inteval yang mendahuluikelas inteval yang mendahuluib2 b2 = = beda frekuensi kelas modus dengan beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas interval berikutnya.frekuensi kelas interval berikutnya.P = P = Interval/ Interval/ panjang kelas moduspanjang kelas modus

..

b = 44.5b = 44.5p = 5p = 5b1 = 20 - 15 = 5b1 = 20 - 15 = 5b2 = 20 - 15 = 5b2 = 20 - 15 = 5Mo = 44.5 + 5 {5/(5+5)}Mo = 44.5 + 5 {5/(5+5)}Mo = 44.5 + 2.5Mo = 44.5 + 2.5Mo = 47Mo = 47 Jadi data yang paling sering muncul atau Jadi data yang paling sering muncul atau

modusnya adalah 47.modusnya adalah 47.

1

1 2

bMo b p

b b

Contoh 3.5Contoh 3.5 : :Dari data NEM di atas, berapa nilai yang paling Dari data NEM di atas, berapa nilai yang paling sering muncul (modusnya) ?sering muncul (modusnya) ?

Jawab Jawab : :

Kalau dilihat dari penyebaran datanya, maka Kalau dilihat dari penyebaran datanya, maka frekuensi tertinggi dan menyatakan kelas frekuensi tertinggi dan menyatakan kelas interval yang paling sering muncul adalah 45 - interval yang paling sering muncul adalah 45 - 49 yaitu 20 kali. Dengan demikian, pastilah 49 yaitu 20 kali. Dengan demikian, pastilah modus dari data ini nantinya tidak akan bergeser modus dari data ini nantinya tidak akan bergeser dari selang tersebut.dari selang tersebut.

Dipergunakan rumus umum mencari modus Dipergunakan rumus umum mencari modus yaitu :yaitu :

MEDIANMEDIAN

Median merupakan nilai sentral dari sebuah Median merupakan nilai sentral dari sebuah distribusi frekuensi. Merupakan nilai sentral distribusi frekuensi. Merupakan nilai sentral berhubungan dengan posisi sentral yang berhubungan dengan posisi sentral yang dimilikinya dalam sebuah distribusi,dimilikinya dalam sebuah distribusi,Median membagi seluruh jumlah observasi atau Median membagi seluruh jumlah observasi atau pengukuran kedalam 2 bagian yang sama.pengukuran kedalam 2 bagian yang sama.Untuk data yang berkelompok kelas yang Untuk data yang berkelompok kelas yang mengandung median adalah kelas pertama mengandung median adalah kelas pertama untuk frekwensi komulatif menyamai atau untuk frekwensi komulatif menyamai atau melebihi setengah dari ukuran sampel (populasi)melebihi setengah dari ukuran sampel (populasi)

MEDIANMEDIAN

Merupakan setengah dari data, setelah Merupakan setengah dari data, setelah disortir dengan cara :disortir dengan cara :

Susun data mulai yang terkecilSusun data mulai yang terkecil

Jika banyak data ganjil, median adalah Jika banyak data ganjil, median adalah yang paling tengahyang paling tengah

Jika banyak data genap, median adalah Jika banyak data genap, median adalah rata-rata data tengahrata-rata data tengah

RUMUS YANG DIGUNAKAN RUMUS YANG DIGUNAKAN MEDIAN.... 1MEDIAN.... 1

(n/2) - F = B + ----------------- X i

F m - F

Dimana :Dimana :

B = Tepi kelas bawah dari interval dimana mediannya terletakFm = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan tepi kelas atas

dari interval dimana median dihitung.F = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan Bn = nilai observasii = Interval kelas

RUMUS YANG DIGUNAKAN .....2RUMUS YANG DIGUNAKAN .....2

(n/2) - ( n - F' m)md = A - -------------------------- X i

F' m - F'

Dimana :Dimana :

A = Tepi kelas atas dari interval dimana mediannya terletak F' m = Frekwensi komulatif yang sesuai dengan A F' = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan

tepi kelas atas dari interval dimana median dihitungi = Interval kelas

Hasil Ujian Statistik 111 orang Hasil Ujian Statistik 111 orang Mahasiswa FEUIMahasiswa FEUI

53,53 63,14 49,03 55,15 67,79 63,49 58,63 50,84 51,77 41,22 73,55 50,74 56,00 46,98 46,33 62,66 66,60 59,16 50,37 44,82 52,49 53,35 61,61 55,54 50,94 33,88 52,26 47,92 64,00 58,94 34,88 58,87 59,84 56,23 42,59 45,77 63,28 48,75 69,79 56,71 70,51 56,72 66,12 59,06 44,54 48,10 47,83 56,31 51,54 44,88 58,21 44,14 67,48 58,77 53,94 61,50 50,91 34,38 63,85 36,41 57,07 45,41 71,16 55,78 56,57 65,41 69,65 54,96 52,26 45,01 51,61 47,76 29,10 53,02 73,53 44,06 47,54 50,09 39,19 48,97 60,48 74,63 54,31 55,27 44,48 63,48 43,01 52,94 50,75 51,31 40,48 48,67 66,19 57,29 55,05 56,34 32,61 62,98 45,09 37,57 54,09 51,74 35,54 38,87 27,43 51,13 60,36 54,51 52,43 26,87 20,07

MEDIANMEDIAN

Nilai Ujian mi fi mi. Fi Tepi FrekwensiKelas Komulatif kurang dari

19,995 020,00 - 29,99 24,995 4 99,980 29,995 4 30,00 - 39,99 34,995 9 314,955 39,995 13 40,00 - 49,99 44,995 25 1.124,875 49,995 38 50,00 - 59,99 54,995 48 2.639,760 59,995 86 60,00 - 69,99 64,995 20 1.299,900 69,995 106 70,00 - 79,99 74,995 5 374,975 79,995 111

Jumlah 111 5.854,445

X = 52,743

Tabel nilai Ujian 111 orang Mahasiswa yang mengikuti statistik FEUI Tabel nilai Ujian 111 orang Mahasiswa yang mengikuti statistik FEUI tahun 1967tahun 1967

HISTOGRAM FREKUENSI HASIL UJIAN STATISTIK FEUI

0

10

20

30

40

50

60

x = NILAI UJIAN

Y =

JUM

LAH

MAH

ASIS

WA

24,995

34,995

44,995

54,995

64,995

74,995

POLIGON FREKWENSI KUMULATIF UJIAN STATISTIK

FEUI

0

20

40

60

80

100

120

X = NILAI MAHASISWA

Y =

JU

ML

AH

MA

HA

SIS

WA 14,995

24,995

34,995

44,995

54,995

64,995

74,995

MEDIANMEDIAN

(111/2 - 38(111/2 - 38= 49,995 + X 10= 49,995 + X 10 86 -3886 -38= 49,995 + 3,645= 49,995 + 3,645= 53,640= 53,640 PENENTUAN MEDIAN DARI DATA TERTINGGI KE TERENDAHPENENTUAN MEDIAN DARI DATA TERTINGGI KE TERENDAH (111/2) – (111 – 86)(111/2) – (111 – 86)= 59,995 - X 10= 59,995 - X 10 86 -3886 -38

= 59,995 - 6,354= 59,995 - 6,354= 53,640= 53,640

KUARTILKUARTIL

Cara menghitung kuartir pada dasarnya sama Cara menghitung kuartir pada dasarnya sama dengan menghitung median, secara teoritis Xi dengan menghitung median, secara teoritis Xi yang ordinatnya membagi seluruh distribusi yang ordinatnya membagi seluruh distribusi kedalam empat bagian yang sama, dimana nilai-kedalam empat bagian yang sama, dimana nilai-nilai kuartil (Q1 merupakan kuartil pertama yang nilai kuartil (Q1 merupakan kuartil pertama yang nilai Xi memiliki frekuensi kurang dari sebesar nilai Xi memiliki frekuensi kurang dari sebesar n/40. n/40.

Q1, Q2, dan Q3 pada dasarnya sama dengan Q1, Q2, dan Q3 pada dasarnya sama dengan menghitung median.menghitung median.

Cara menghitung Q1Cara menghitung Q1

n/4 = 111/4 = 27,75 n/4 = 111/4 = 27,75

(111/4) - 13(111/4) - 13 Q1= 39,995 + X 10Q1= 39,995 + X 10 38 - 1338 - 13 = 45,895 = 45,895

Q2 = MedianQ2 = Median

3 n/4 = 83,253 n/4 = 83,25

83,25 – 3883,25 – 38

Q 3 = 49,995 + X 10Q 3 = 49,995 + X 10

86 -3886 -38

= 60,0512= 60,0512

PENGUKURAN DESILPENGUKURAN DESIL

Desil nilai-nilai Xi yang membagi seluruh Desil nilai-nilai Xi yang membagi seluruh luas segi empat panjang dari histogram luas segi empat panjang dari histogram kedalam 10 bagian yang sama. D1 kedalam 10 bagian yang sama. D1 merupakan Desil pertama nilai Xi memiliki merupakan Desil pertama nilai Xi memiliki frekwensi komulatif “kurang dari” sebesar frekwensi komulatif “kurang dari” sebesar n/10n/10

Pengukuran persentilPengukuran persentil

Persentil adalah nilai-nilai Xi yang Persentil adalah nilai-nilai Xi yang membagi seluruh distribusi kedalam 100 membagi seluruh distribusi kedalam 100 bagian yang sama. P1 merupakan bagian yang sama. P1 merupakan persentil pertama, dimana nilai Xi memiliki persentil pertama, dimana nilai Xi memiliki frekwensi komulatif “ kurang dari” sebesar frekwensi komulatif “ kurang dari” sebesar n/100n/100 P 50 merupakan sentil ke 50 dimana nilai P 50 merupakan sentil ke 50 dimana nilai Xi memiliki frekwensi komulatif “ kurang Xi memiliki frekwensi komulatif “ kurang dari” sebesar 50 n/100dari” sebesar 50 n/100

SOAL QUISSOAL QUIS

JJika dikelompokkan nilai ujian ika dikelompokkan nilai ujian Matematika I seluruh Kadet tingkat I Matematika I seluruh Kadet tingkat I yang berjumlah 150 orang dalam 6 kelas yang berjumlah 150 orang dalam 6 kelas interval hasilnya adalah sebagai berikut :interval hasilnya adalah sebagai berikut :

No Kelas Interval Frekuensi 1 2 3 4 5 6

31- 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90

5 10 35 50 30 20

Carilah :Carilah :MeaMeannModusModusMedianMedianKuartilKuartilPersentil pertamaPersentil pertama