Nama : Fattih Diwa Handalan Nim: 130401118Kelas: B

Optimasi Bebas Satu-Dimensi

Pada bab ini akan menjelaskan teknik untuk menemukan nilai minimum atau maksimum fungsi dari variabel tunggal, f (x). Sebuah gambar yang berguna dalam hal ini adalah satu-dimensi, "roller coaster" - seperti fungsi digambarkan dalam Gambar. 13.1. Ingat dari Bagian Kedua bahwa lokasi akar adalah komplikasi- berdedikasi oleh fakta bahwa beberapa akar dapat terjadi karena fungsi tunggal. Demikian pula, baik lokal dan optima global yang dapat terjadi dalam optimasi. Kasus seperti ini disebut multimodal. Di hampir semua di- sikap, kita akan tertarik untuk menemukan nilai tertinggi atau terendah mutlak fungsi. Dengan demikian, kita harus berhati-hati agar tidak terjadi kesalahan hasil lokal untuk optimum global.Sebuah fungsi yang asimtotik mendekati nol pada plus dan minus dan memiliki dua maksimum dan dua poin minimum di sekitar asal. Dua poin ke kanan yang optima lokal,sedangkan dua ke kiri bersifat global.Optimisasi satu dimensi dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu :1. Golden-section Search2. Interpolasi Parabolik3. Metode Newton

1. Golden-section SearchDalam pemecahan untuk akar persamaan nonlinear tunggal, tujuannya adalah untuk menemukan nilai x variabel yang menghasilkan nol dari fungsi f (x). Optimasi tunggal-variabel memiliki tujuan menemukan nilai x yang menghasilkan suatu ekstrem, baik maksimum atau minimum dari f (x).Ingat bahwa pembelahan bergantung pada mendefinisikan interval, yang ditentukan oleh menebak rendah (xl) dan menebak atas (xu), bahwa tanda kurung akar tunggal. Kehadiran akar antara batas tersebut telah diverifikasi dengan menentukan bahwa f (xl) dan f (xu) memiliki tanda-tanda yang berbeda. Akar itu kemudian diperkirakan sebagai titik tengah interval ini,

Metode dimulai dengan dua awal tebakan, xl dan xu, yang braket satu ekstrem lokal f (x). Berikutnya, dua poin interior x1 dan x2 yang dipilih sesuai dengan golden-ratio,

Fungsi ini dievaluasi pada dua titik interior ini. Dua hasil dapat terjadi:1. Jika, seperti yang terjadi pada Gambar. 13,4, f (x1)> f (x2), maka domain dari x di sebelah kiri x2, dari xl ke x2, dapat dihilangkan karena tidak mengandung maksimal. Untuk kasus ini, x2 menjadi xl baru untuk putaran berikutnya.2. Jika f (x2)> f (x1), maka domain dari x ke kanan x1, x1 dari ke xu akan dieliminasi. Dalam hal ini, x1 menjadi xu baru untuk putaran berikutnya.

FIGURE 13.4Sekarang, di sini adalah manfaat nyata dari penggunaan golden ratio. Karena x1 asli dan x2 dipilih menggunakan golden ratio, kita tidak perlu menghitung ulang semua nilai fungsi untuk iterasi berikutnya. Misalnya, untuk kasus yang diilustrasikan pada Gambar. 13,4, yang x1 lama menjadi x2 baru. Ini berarti bahwa kita sudah memiliki nilai untuk f baru (x2), karena sama dengan nilai fungsi pada x1 lama.Untuk menyelesaikan algoritma, sekarang kita hanya perlu menentukan x1 baru. Hal ini dilakukan dengan proporsionalitas yang sama seperti sebelumnya

Pendekatan serupa akan digunakan untuk kasus alternatif mana yang optimal jatuh di sub interval kiri

Contoh Soal :

perhatikan bahwa arus maksimum disorot untuk setiap iterasi. Setelah iterasi kedelapan, maksimum terjadi pada x = 1,4427 dengan nilai fungsi 1,7755. Dengan demikian, hasilnya konvergen pada nilai sebenarnya dari 1,7757 pada x = 1,4276.

2. Interpolasi ParabolikInterpolasi parabola mengambil keuntungan dari fakta bahwa polinomial orde kedua sering memberikan pendekatan yang baik dengan bentuk f (x) dekat optimal.Jika kita memiliki tiga poin yang bersama-sama braket optimal, kita bisa cocok dengan parabola untuk poin. Kemudian kita bisa membedakannya, mengatur hasil sama dengan nol, dan memecahkan perkiraan x optimal. Hal ini dapat ditunjukkan melalui beberapa manipulasi aljabar yang hasilnya adalah

di mana x0, x1, x2 dan adalah dugaan awal, dan x3 adalah nilai x yang sesuai dengan nilai maksimum dari parabola cocok dengan tebakan. Setelah menghasilkan titik baru, ada dua strategi untuk memilih poin untuk iterasi berikutnya. Yang paling sederhana pendekatan, yang mirip dengan metode garis potong, adalah untuk hanya menetapkan poin baru berurutan. Artinya, untuk iterasi baru, z0 = z1, z1 = z2, dan z2 = z3.Contoh Soal :

3. Metode NewtonIngat bahwa metode Newton-Raphson dari Chap. 6 adalah metode terbuka yang menemukan x akar fungsi sehingga f (x) = 0. Metode ini diringkas sebagai

Pendekatan terbuka sama dapat digunakan untuk menemukan optimal f (x) dengan mendefinisikan fungsi baru, g (x) = f (x). Dengan demikian, karena nilai optimal yang sama x * memenuhi

kita dapat menggunakan rumus berikut :

sebagai teknik untuk menemukan minimum atau maksimum f (x). Perlu dicatat bahwa persamaan ini juga dapat diturunkan dengan menulis orde kedua Taylor seri untuk f (x) dan pengaturan turunan dari seri sama dengan nol. Metode Newton adalah metode terbuka mirip dengan Newton-Raphson karena tidak memerlukan tebakan awal yang braket optimal. Selain itu, juga berbagi kerugian yang mungkin berbeda. Akhirnya, biasanya ide yang baik untuk memeriksa bahwa turunan kedua memiliki tanda yang benar untuk mengkonfirmasi bahwa teknik ini berkumpul di hasil yang Anda inginkan.

Contoh Soal :

Contoh 2 :