analisis variansi (anava) - nico for math web viewpengertian . apa yang dimaksud dengan analisis...

69
ANALISIS VARIANSI (ANAVA) Analysis of Variances (ANOVA) Sumber : Budiyono. 2004. Statistika untuk Penelitian. Surakarta : Sebelas Maret University Press B.PENGERTIAN Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan. Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut Contoh 1 Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3 metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning. Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada 1

Upload: ngophuc

Post on 01-Feb-2018

233 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

ANALISIS VARIANSI (ANAVA)Analysis of Variances (ANOVA)

Sumber : Budiyono. 2004. Statistika untuk Penelitian. Surakarta : Sebelas Maret University Press

A. PENGERTIAN

Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi?

Pada kesempatan yang lalu telah dipelajari uji hipotesa untuk membandingkan dua populasi

berdasarkan uji beda rataan dan atau berdasarkan uji hubungan.

Sebelum kita memahami lebih jauh tentang Analisis Variansi, perhatikanlah contoh berikut

Contoh 1

Seorang peneliti pendidikan untuk program studi matematika ingin meneliti efektivitas dari 3

metode pembelajaran jika ditinjau dari prestasi belajar siswa. Ia telah memilih 3 metode

pembelajaran, yaitu Metode Teacher Oriented, Active Learning dan Contextual Learning.

Ketiga metode tersebut diterapkan untuk 3 sampel, artinya sample pertama diterapkan

Metode Pembelajaran Teacher Oriented, sample kedua diterapkan Metode Pembelajaran

Active Learning, dan pada sample ketiga diterapkan Metode Pembelajaran Contextual

Learning. Ketiga sample tersebut telah diyakinkan bahwa kemampuan awal yang dimiliki

oleh masing-masing sample adalah relatif sama. Peneliti tersebut bertujuan untuk menguji

ada atau tidaknya perbedaan efek/pengaruh beberapa perlakuan pada ketiga sample ditinjau

dari prestasi belajar siswa. Untuk melihatnya, peneliti tersebut menggunakan rata-rata nilai

dari masing-masing sample. Setelah beberapa waktu eksperimen, peneliti tersebut

melakukan pengujian sebagai tolak ukur untuk mengetahui prestasi belajar siswa. Setelah

data diperoleh, uji statistik apakah yang dapat direkomendasikan untuk dapat digunakan

peneliti tersebut dalam usaha mengambil kesimpulan?

Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa terdapat tiga sample yang diambil dari populasi, satu variable

bebas, yaitu model pembelajaran, dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa. Variabel

bebas ini dibagi menjadi 3 bagian yaitu model pembelajaran Teacher Oriented, Active Learning dan

Contextual Learning.

Statistik uji beda rataan untuk k-populasi yaitu Analisis Variansi

1

Page 2: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Jadi dapat disimpulkan bahwa

Analisis Variansi (ANAVA) atau Analysis of Variances (ANOVA) adalah prosedur pengujian

kesamaan beberapa rata-rata populasi.

Dalam Analisis Variansi, dapat dilihat variasi-variasi yang muncul karena adanya beberapa

perlakuan (treatment) untuk menyimpulkan ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi.

Ahli statistik yang mempunyai kontribusi besar dalam mengembangkan uji Analisis Variansi ini

adalah Sir Ronald A. Fisher (1890 – 1962)

B. KLASIFIKASI

Pada Contoh 1 diatas dapat Anda identifikasi bahwa satu variable bebas, yaitu model pembelajaran,

dan satu variable terikat, yaitu prestasi belajar siswa.

Berdasarkan banyak variable terikat-nya, Analisis Variansi diklasifikasikan menjadi dua kelompok,

yaitu

1. Analisis Variansi Univariate

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat

2. Analisis Variansi Mutivatiate

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat

Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Univariate dibagi menjadi tiga

kelompok yaitu

1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan satu variabel

bebas

2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan dua variabel

bebas

3. Analisis Variansi Univariate Tiga Jalan

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai satu variable terikat dan tiga variabel

bebas

2

Page 3: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Berdasarkan banyaknya variable bebas-nya, Analisis Variansi Multivariate juga dibagi menjadi 3

bagian yaitu

1. Analisis Variansi Multivariate Satu Jalan

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan

satu variabel bebas

2. Analisis Variansi Multivariate Dua Jalan

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan dua

variabel bebas

3. Analisis Variansi Multivariate Tiga Jalan

Analisis ini digunakan jika suatu eksperimen mempunyai lebih dari satu variable terikat dan tiga

variabel bebas

Pada bab ini, kita akan mempelajari terutama untuk Analisis Variansi Univariate

C. PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI

Tidak semua jenis penelitian dapat dianalisia dengan Analisis Variansi, tetapi penelitian yang hanya

memenuhi persyaratan Analisis Variansi.

Adapun persyaratan untuk Analisis Variansi adalah

1. Setiap sample diambil secara random dari populasinya

Dalam statistika, untuk hal pengambilan sample harus dilakukan secara random (acak) dari

populasinya. Hal ini dimaksudkan agar diperoleh sample yang dapat mewakili populasinya

(representative)

2. Masing-masing populasi saling independen dan masing-masing data amatan saling

independen di dalam kelompoknya

Dipenuhinya persyaratan ini dimaksudkan agar perlakuan yang diberikan kepada masing-

masing sample independen antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain antara sample

satu dengan sample yang lain berdiri sendiri dan tidak ada keterkaitan/hubungan.

Misalkan dilakukan eksperimen tindakan kelas yang ditinjau dari prestasi belajar siswa. Saat

dilakukan pengujian, peneliti harus menjamin bahwa antara sample yang satu dengan yang

lainnya independen/tidak ada hubungan/tidak ada kerjasama sehingga data yang diperoleh

merupakan data yang valid, artinya alat tes yang sudah diberikan kepada salah satu sample

diusahakan jangan sampai diberikan kepada sample yang lain.

3

Page 4: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Untuk masing-masing populasi harus saling independen dan masing-masing data amatan

harus saling independen di dalam kelompoknya, dalam arti bahwa kesalahan yang terjadi

pada suatu data amatan harus independen dengan kesalahan yang terjadi pada data amatan

yang lain.

Andaikan solusi independen antar tes dapat diselesaikan dengan memilih sample – sample

yang mewakili populasi-populasi yang berbeda, maka peneliti juga harus menjamin sifat

independen antar data amatan

Untuk menguji independence, dapat digunakan uji kecocokan (goodness – of – fit test).

Teorema Goodness – of – fit test

Uji kecocokan antara frekuensi amatan (observed frequencies) dan frekuensi harapan

(expected frequencies) mendasarkan kepada kuantitas berikut :

χ2=∑i=1

k (o i−ei )2

ei

Dimana nilai-nilai dari χ2

mendekati nilai-nilai dari variable random chi kuadrat

Lambang oi menyatakan frekuensi amatan dan lambang ei menyatakan frekuensi data yang

diharapkan

Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan

Bilangan yang menunjukkan derajat kebebasan pada uji kecocokan chi kuadrat adalah

banyaknya sel dikurangi banyaknya kuantitas yang diperoleh dari data amatan yang

digunakan untuk menghitung frekuensi harapan.

Pada uji ini, H0 yang dirumuskan ialah bahwa data amatan mempunyai distribusi tertentu

yang dihipotesiskan dan sebagai daerah kritiknya adalah

DK={ χ2|χ2> χα ; v2 }

Dengan v = derajat kebebasan

Berdasarkan Teorema Goodness-of-Fit Test diatas dapat dilihat bahwa semakin kecil nilai-

nilai χ2

menunjukkan data yang diamati semakin mendekati distribusi yang diteorikan.

3. Setiap populasi berdistribusi normal (Sifat Normalitas Populasi)

Persyaratan normalitas populasi harus dipenuhi karena Analisis Variansi pada dasarnya

adalah uji beda rataan, sama seperti uji beda rataan 2 populasi, misal uji t dan uji Z

Sebelum dilakukan uji beda rata-rata, harus ditunjukkan bahwa sampelnya diambil dari

populasi normal.

4

Page 5: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Apabila masing-masing sample berukuran besar dan diambil dari populasi yang berukuran

besar, biasanya masalah normalitas ini tidak menjadi masalah yang pelik, karena populasi

yang berukuran besar cenderung berdistribusi normal.

Terdapat 2 cara yang sering digunakan untuk uji normalitas, yaitu dengan variable random

chi kuadrat (dikatakan sebagai uji secara parametrik karena menggunakan penafsir rataan

dan deviasi baku) dan dengan metode Lilliefors (uji ini merupakan uji secara non-

parametrik).

Uji Normalitas dengan Chi Kuadrat

Uji kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan Teorema Goodness – of – fit test dan

Teorema Derajat Kebebasan untuk Uji Kecocokan diatas. Pada uji ini, untuk menentukan

frekuensi harapan, dilakukan tiga cuantiítas, yaitu frekuensi total, rataan, dan deviasi baku

sehingga derajat kebebasannya adalah (k-3).

Untuk dapat menggunakan cara ini, datanya harus dinyatakan dalam distribuís frekuensi

data bergolong. Prinsip yang dipakai dalam uji ini adalah membandingkan antara histogram

data amatan dengan histogram yang kurva poligon frekuensinya mendekati distribusi normal

Uji Normalitas dengan Metode Lilliefors

Uji normalitas dengan metode ini digunakan apabila datanya tidak dalam distribusi

frekuensi bergolong. Pada metode ini, setiap data X i diubah menjadi bilangan baku zi

dengan transformasi zi=

X i−X̄s

Statistik uji untuk metode ini adalah L =Maks|F (zi )−S (zi )|dengan

F (zi )=P (Z≤z ); Z ~ N (0,1 ) dan S (zi ) = proporsi cacah z≤zi terhadap seluruh zi .

Sebagai daerah kritiknya : DK={L|L>Lα ; n } dengan n sebagai ukuran populasi

Jika persyaratan normalitas populasi ini tidak dipenuhi, peneliti harus dapat melakukan

transformasi data sedemikian hingga data yang baru memenuhi persyaratan normalitas

populasi ini dan Analisis Variansi ini dapat diberlakukan pada data yang baru hasil

transformasi

4. Populasi-populasi mempunyai variansi yang sama (Sifat Homogenitas Variansi Populasi)

Persyaratan ini harus dipenuhi karena didalam Analisis Variansi ini dihitung variansi

gabungan (pooled varince) dari variansi-variansi kelompok

Hal ini berkaitan dengan digunakannya uji F pada Analisis Variansi, yang apabila variansi

populasi tidak sama maka uji F tidak dapat digunakan

5

Page 6: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Salah satu uji homogenitas variansi untuk k-populasi adalah Uji Bartlett. Uji ini mempunyai

2 bentuk.

Uji Bartlett bentuk pertama

Langkah komputasinya adalah

1. Hitunglah masing-masing variansi dari k-populasi yaitu s12 , s2

2 ,…, sk2 dari sampel yang

berukuran n1 ,n2 ,…, nk

2. Hitung variansi gabungan yang dirumuskan oleh sp

2= 1N−k ∑i=1

k

(nk−1 )s i2

3. Hitung bilangan b yang dirumuskan dengan b=

[ (s12)n1−1

⋅(s22 )

n2−1…(sk

2 )n k−1 ]

1N −k

s p2

yang

merupakan nilai dari variabel random B yang mempunyai distribusi Bartlett

4. Tentukan daerah kritiknya : DK={b|b<bk (α ;n1 , .. . , nk ) }dengan

bk (α ;n1 , n2 ,… ,nk )= 1N (n1bk (α ;n1 )+n2 bk (α ;n2 )+⋯+nk bk (α ;nk ))

Uji Bartlett bentuk kedua

Statistik Uji :χ2=2 ,303

c ( f log RKG−∑ f j log s j2)

dengan

χ2 ~ χ 2 (k−1 ) k = banyaknya populasi = banyaknya sampel

N = banyaknya seluruh nilai (ukuran)

n j = banyaknya nilai (ukuran) smapel ke-j = ukuran sampel ke-j

f j = n j−1 = derajat kebebasan untuk s j2 ; j=1,2 ,…, k

f = N−k=∑

j=1

k

f j = derajat kebebasan untuk RKG

c=1+

13 (k−1 ) (∑ 1

f j−

1f )

RKG = rataan kuadrat galat =

∑ SS j

∑ f j

SS j = = (n j−1 )s j2

6

Page 7: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

CATATAN

Dalam Analisis Variansi, masing-masing kelompok yang digunakan sebagai sample dari

populasinya masing-masing sehingga jika terdapat k-sampel yang diambil dari k-populasi dan setiap

sample mendapat perlakuan (treatment) sendiri-sendiri maka dapat dikatakan k-sampel identik

dengan k-populasi

Atau dengan kata lain,

Populasi-populasi pada Analisis Variansi merupakan sub-sub populasi dari populasi penelitian

D. PENYIMPANGAN PERSYARATAN ANALISIS VARIANSI Sejumlah penelitian telah dilakukan untuk mengetahui efek penyimpangan dari asumsi dalam

Analisis Variansi. Penelitian ini menunjukkan bahwa terdapat sedikit efek/akibat bila asumsi yang

mendasari Analisis Variansi tidak secara pasti memuaskan sehingga sedikit penyimpanagan dari

asumsi akan mendapat sedikit perhatian pula

E. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALANAnalisis ini digunakan jika data eksperimen mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :

1. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi

2. Mempunyai satu variable terikat

3. Mempunyai satu variable bebas

Contoh 2

Seorang peneliti pendidikan ingin meneliti pengaruh waktu pengajaran ditinjau dari prestasi

belajar siswa. Peneliti tersebut memilih masing-masing satu kelas untuk tiga sekolah yang

telah ditentukan sebelumnya dan telah diyakinkan bahwa ketiga sekolah dan ketiga kelas

tersebut mempunyai kemampuan/prestasi yang relatif sama. Dari ketiga kelas tersebut, satu

kelas diajarkan matematika tiap pagi hari, satu kelas lagi diajarkan matematika tiap siang

hari, dan satu kelas terakhir diajarkan matematika tiap sore hari selama waktu eksperimen.

Dari Contoh 2 dapat diidentifikasi variable bebas dan variable terikatnya yaitu

Variabel terikat :

Variabel bebas :

Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah

diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 2 diatas dapat digunakan uji

7

Page 8: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Analisis Variansi …

Contoh 3

Seperti Contoh 2 diatas, misalkan disamping diuji pengaruh waktu mengajar terhadap prestasi

belajar siswa, secara serentak juga akan dilihat pengaruh ukuran kelas (besar dan kecil)

terhadap prestasi belajar siswa, maka akan terdapat variable tambahan sehingga dapat

diidentifikasikan variable terikat dan variable bebasnya yaitu

Variabel terikat :

Variabel bebas :

Jika diasumsikan bahwa keempat persyaratan dari Analisis Variansi diatas telah terpenuhi dan telah

diidentifikasi variable-variabelnya, maka pada Contoh 3 dapat digunakan uji

Analisis Variansi …

Berdasarkan ukuran data amatan, Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dapat digolongkan

menjadi 2 yaitu

1. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama

2. Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Berbeda

ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL SAMA

- Syarat

Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut

i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi

ii. Mempunyai satu variabel terikat

iii. Mempunyai satu variable bebas

iv. Ukuran masing-masing sample adalah sama

- Misalkan ukuran sample yang sama adalah n

- Tata letak data

Misalkan terdapat k-sampel dengan masing-masing sample berukuran n maka banyaknya

seluruh data amatan adalah nk

Notasi dan tata letak data pada k-sampel berukuran n dapat digambarkan pada tabel berikut

Perlakuan1 2 … k

X11 X12 … X1 kX21 X22 … X2 k⋮ ⋮ … ⋮

X n1 X n2 … X nkJumlah T 1 T 2 … T k T = G

8

Page 9: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Rataan X1 X 2 … X k X- Keterangan

X ij = data amatan ke-i pada perlakuan ke-j (sample ke-j)

T j = Jumlah data amatan sample ke-j

X̄ j = Rataan sample ke-j

G = T = Jumlah seluruh data amatan

X = rataan dari seluruh data amatan

- Model Data

Pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan Sel Sama, setiap data/nilai X ij pada

populasi dapat dimodelkan dalam bentuk

X ij=μ j+ε ij

Misalkan rataan dari seluruh data pada k-populasi adalah μ , maka μ j dapat dinyatakan

sebagai

μ j=μ+α j

dengan

∑j=1

k

α j=∑j=1

k

(μ j−μ )=0

dimana

μ j = rataan pada populasi ke-j

ε ij = deviasi X ij dari rataan populasinya

α j = efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat

- Dengan demikian, model dari nilai X ij pada populasi adalah

X ij=μ+α j+εij

dengan

X ij = data amatan ke-i pada perlakuan ke-j

μ = rerata dari seluruh data pada populasi

α j = efek perlakuan ke-j terhadap variable terikat

ε ij = deviasi X ij dari rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan nol

9

Page 10: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Deviasi X ij terhadap rataan populasi sering disebut dengan galat (error)

i = 1, 2, … , n

j = 1, 2, … ,k

k = cacah populasi/cacah perlakuan/cacah klasifikasi

n = banyaknya data amatan

- Perhatikan dan selesaikanlah contoh-contoh berikut

Contoh 4

Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan P1,

P2, dan P3

Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai

Perlakuan P1 P2 P3

Nilai 3, 4, 4, 5 5, 5, 3, 3 2, 4, 4, 6

Carilah nilai α 1 , α 2 dan α 3 !

Nyatakan setiap nilai X ij dengan model X ij=μ+α j+εij !

Solusi :

Langkah pertama, carilah dahulu nilai μ dan μ j . Setelah diperoleh kedua nilai tersebut

dapat dicari nilai α j

μ=4μ1=4 α1=0μ2=4 α2=0μ3=4 α 3=0

Setiap data pada populasi tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk X ij=μ+α j+εij

sebagai berikut

X11=3=4+0+ε 11→ε11=−1

X21=4=4+0+ε21→ε21=0

10

Page 11: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa

μ1=μ2=μ3=… dan α 1=α2=α 3=…

Keadaan seperti ini dapat dikatakan bahwa …

Contoh 5

Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan

K1, K2, dan K3

Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai

Perlakuan K1 K2 K3

Nilai 2, 3, 3, 4 5, 5, 3, 3 3, 5, 5, 7

Carilah nilai α 1 , α 2 dan α 3 !

Nyatakan setiap nilai X ij dengan model X ij=μ+α j+εij !

Solusi :

Contoh 6

Tabel berikut adalah data populasi pada eksperimen dengan 3 perlakuan, yaitu perlakuan T1,

T2, dan T3

Misalkan variable terikatnya adalah prestasi belajar yang berupa nilai

11

Page 12: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Perlakuan T1 T2 T3

Nilai 3, 4, 4, 6 3, 4, 4, 5 5, 6, 7, 8

Carilah nilai α 1 , α 2 dan α 3 !

Nyatakan setiap nilai X ij dengan model X ij=μ+α j+εij !

Solusi :

Dari Contoh 4 sampai Contoh 6 dapat disimpulkan bahwa

1. Jika μ1=μ2=μ3 dan α 1=α2=α 3=0 maka dapat dikatakan ….

2. Jika ketiga μ tidak bernilai sama dan nilai ketiga α juga berbeda maka dapat diartikan

….

- Perumusan Hipotesa

Misalkan terdapat k-perlakuan. Pasangan hipotesa yang diuji pada analisis variansi satu jalan

ini adalah

H0 : μ1=μ2=…=μk

12

Page 13: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama

Perhatikan bahwa H1 : μ1≠μ2≠…≠μk sebab notasi itu menunjukkan bahwa μ1≠μ2 dan

μ2≠μ3 dan μ3≠μ4 dan seterusnya padahal tidak selalu demikian

Berdasarkan model data pada Analisis Variansi Univariate Satu Jalan, maka pasangan

hipotesisnya dapat dirumuskan sebagai berikut

H0 : α 1=α2=…=α k=0

(dapat juga ditulis α j=0 untuk setiap j)

H1 : paling sedikit ada satu α j yang tidak nol

Atau dapat ditulis dengan

H0 : tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat

H1 : ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat

Atau dapat ditulis dengan

H0 : variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variable terikat

H1 : variabel bebas berpengaruh terhadap variable terikat

Jika kata “pengaruh” digunakan, maka harus dimengerti bahwa ada atau tidaknya pengaruh

ditandai oleh ada atau tidaknya perbedaan rataan pada k-populasi

Hal ini dilambangkan dengan nilai α j

- Prosedur Uji Analisis Variansi

Analisis Variansi pada prinsipnya mendasarkan kepada perbandingan dua estimator

independen untuk variansi seluruh populasi, yaitu σ2

Estimator-estimator ini diperoleh dari pemisahan variansi data amatan pada seluruh sample

menjadi 2 komponen yaitu

1. Estimator untuk variansi antar kelompok (variances between the sample means)

2. Estimator variansi dalam kelompok (variances within k-samples)

Tentu saja estimator-estimator ini diperoleh dari variansi-variansi sample

Variansi dari seluruh data amatan pada k-sampel dan dengan ukuran data nk adalah

s2=∑j=1

k

∑i=1

n

( X ij−X )2

nk−1 =

∑j=1

k

∑i=1

n

X ij2

nk−1−∑j=1

k

∑i=1

n

X2

nk−1

13

Page 14: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Pembilang dari ruas kanan pada formula variansi diatas disebut dengan Jumlah Kuadrat

Total (Total sum of Squares) yang disingkat dengan JKT atau SST sehingga diperoleh

JKT = SST =∑j=1

k

∑i=1

n

( X ij−X )2

Dan penyebutnya merupakan Derajat Kebebasan untuk JKT

Dengan menggunakan sifat sigma diperoleh

JKT =∑j=1

k

∑i=1

n

( X ij−X )2=

n∑j=1

k

∑i=1

n

( X j−X )2+∑j=1

k

∑i=1

n

( X ij−X j )2

Untuk selanjutnya, suku pertama ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Rataan Perlakuan

(Treatment Sum of Squares atau Sum of Squares for Column Means), disajikan dengan JKA

atau SSC dan suku keduanya disebut Jumlah Kuadrat Galat (Error Sum of Squares) yang

dinotasikan dengan JKG atau SSE

Sehingga diperoleh

JKA = SSC = n∑

j=1

k

∑i=1

n

( X j−X )2 dan JKG = SSE =

∑j=1

k

∑i=1

n

( X ij−X j )2

Estimator untuk variansi antar kelompok σ2

, dengan derajat kebebasan (k−1 ) , ditentukan

olehs1

2= JKA(k−1 )

Jika H0 benar maka s12

merupakan estimator tak bias σ2

, sebaliknya jika H1 benar, maka

JKA akan mempunyai nilai yang cenderung besar dan s12

jauh melebihi σ2

Estimator untuk variansi dalam kelompok σ2

dengan derajat kebebasan (nk−k ) ,

ditentukan oleh s2

2= JKGnk−k

Estimator ini merupakan estimator tak bias σ2

terlepas apakah H0 yang benar ataukah H1

jika H0 benar, maka rasio s12

dan s22

adalah

F=s1

2

s22

adalah nilai dari variabel random Fisher yang mempunyai distribusi F dengan derajat

kebebasan (k-1) dan (nk-k)

14

Page 15: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Untuk selanjutnya s12

disebut rataan kuadrat perlakuan (treatment mean squares) yang

dinotasikan dengan RKA atau MSC dan s22

disebut rataan kuadrat galat (error means

squares) yang dinotasikan dengan RKG atau MSE.

Oleh karena itu, statistik ujinya adalah

F= RKARKG

RKA ini merupakan estimator untuk variansi antar kelompok

RKG merupakan estimator variansi gabungan (pooled variance) dari variansi – variansi

populasi.

- Daerah Kritik

Karena s12

adalah over estimates σ2

jika H0 salah, maka daerah kritik untuk uji ini adalah

DK={F|F>Fα ;'k−1, nk−k }

- Formula Praktis

Pada praktiknya, nilai rataan sample tidak merupakan bilangan bulat sehingga formula JKA,

JKG, dan JKT seperti yang ditulis dimuka tidak mudah digunakan.

Namun demikian, sifat-sifat berikut ini dipenuhi, sehingga untuk menghitung JKT, JKA,

dan JKG lebih baik digunakan formula

JKT=∑j=1

k

∑i=1

n

X ij2−T2

nkatau JKT =∑

j=1

k

∑i=1

n

X ij2−G2

nk

JKA=∑j=1

k

T j2

n−G2

nk

JKG = JKT - JKA

- Contoh 7

Untuk melihat apakah obat sakit kepala jenis A, jenis B, jenis C, jenis D, dan jenis E

memberikan efek yang sama untuk menghilangkan rasa sakit kepala, obat-obat tersebut

diberikan kepada kelompok yang berbeda yang masing-masing kelompok

beranggotakan 5 orang yang sedang sakit kepala yang sama. Kelompok I diberi obat A,

Kelompok II diberi obat B, Kelompok III diberi obat C, Kelompok IV diberi obat D,

dan Kelompok V diberi obat E. Data berikut menyatakan lama waktu penyembuhan

yang dicatat untuk masing-masing kelompok. Jika α = 5%, apakah dapat disimpulkan

15

Page 16: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

bahwa kelima jenis obat sakit kepala tersebut memberikan efek yang sama?

Diasumsikan semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi

Lama Waktu Hilangnya Rasa Sakit pada Lima Jenis Obat

Jenis Obat Sakit KepalaA B C D E5 9 3 2 74 7 5 3 68 8 2 4 96 6 3 1 43 9 7 4 7

Solusi :

Langkah pertama akan dicari nilai total dan rataan dari masing-masing sel dan diperoleh

Jenis Obat Sakit KepalaA B C D E5 9 3 2 74 7 5 3 68 8 2 4 96 6 3 1 43 9 7 4 7

Total T 1 = 26 T 2 = 39 T 3 = 20 T 4 = 14 T 5 = 33 G = T = 132

Rataan X1 = 5,2 X 2 = 7,8 X3 = 4,0 X 4 = 2,8 X5 = 6,6 X = 5,28

Uji Hipotesa :

1. Perumusan Hipotesa

H0 : μ1=μ2=…=μk

H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama

2. Taraf Signifikansi α = 5%

3. Statistik Uji yang digunakan

F= RKARKG

4. Komputasi

JKT = ∑j=1

k

∑i=1

n

X ij2−T 2

nk = 834 – 696,960 = 137,040

JKA =

∑j=1

k

T j2

n−G2

nk = 79,440

JKG = JKT – JKA = 57,6

16

Page 17: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

RKA =

JKA(k−1 )

=79 ,4404 = 19,860

RKG =

JKGnk−k

=57 ,620 = 2,88

Fobs=RKARKG

=6 , 90

Rangkuman Analisis Variansi dari Contoh 7

Sumber Variasi Jumlah Kuadrat Derajat Kebebasan Rataan Kuadrat Nilai F amatanPerlakuan 79,440 4 19,860 6,90Galat 57,600 20 2,880Total 137,040 24

5. Daerah Kritik

F0, 05 ; 4 , 20= 2,87

DK = {F|F>2,87}

Fobs=6 , 90∈DK

6. Keputusan Uji : H0 ditolak

7. Kesimpulan : Kelima obat sakit kepala tersebut tidak memberikan efek yang sama dalam

menghilangkan rasa sakit

TUGAS I1. Data berikut adalah data populasi untuk memodelkan uji statistik dengan menggunakan

analisis variansi dengan model X ij=μ+α j+εij

A B C D6,7,8 8,8,8 8,9,11 2,3,4

a) Carilah semua nilai dari α i yang dapat ditarik dari data tersebut

b) Nyatakan setiap X ij dalam α i dan ε ij !

c) Apakah untuk setiap i berlaku α i = 0?

d) Apakah variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat?

2. Seperti Soal no 1, untuk pada populasi berikut ini

A B C D6,7,8 7,7,7 4,7,10 2,9,10

17

Page 18: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

3. Untuk melihat apakah ada perubahan antara 3 metode pembelajaran A, B, dan C, ketiga

metode pembelajaran tadi diberikan kepada tiga kelas yang kondisi awalnya sama. Metode

pembelajaran A diberikan kepada Kelas IA, Metode pembelajaran B diberikan kepada Kelas

IB, dan Metode pembelajaran C diberikan kepada Kelas IC. Untuk kepentingan analisi data,

diambil secara random sejumlah siswa dan datanya adalah sebagai berikut

Kelas IA : 2, 4, 3, 5, 4

Kelas IB : 8, 7, 8, 9, 8

Kelas IC : 5, 6, 5, 6, 7

Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi dan uji analisis variansi

dilakukan pada tingkat signifikansi 1% dan 5%

a) Apakah ada perbedaan kinerja dari ketiga metode tersebut?

b) Apakah variabel bebas mempunyai pengaruh yang sama terhadap variabel terikat?

4. Seperti soal no 3, untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5% dan 10%

Kelas IA : 7, 6, 4, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 7

Kelas IB : 8, 9, 5, 4, 6, 7, 2, 4, 7, 9

Kelas IC : 6, 4, 7, 8, 5, 8, 2, 4, 5, 6

5. Seperti soal no 3, tetapi untuk 4 metode untuk data berikut dan untuk taraf signifikansi 5%

Kelas IA : 7, 3, 6, 7, 8, 3, 2, 6, 8, 4

Kelas IB : 4, 7, 5, 8, 9, 4, 8, 7, 5, 2

Kelas IC : 5, 8, 7, 8, 2, 3, 5, 6, 4, 6

Kelas ID : 5, 8, 9, 2, 3, 6, 4, 8, 7, 8

18

Page 19: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE SATU JALAN DENGAN SEL YANG BERBEDA

Jika Analisis Variansi Univariate Satu Jalan dengan sel yang sama, ukuran masing-masing

sample sama, yaitu n, maka pada analisis variansi dengan sel tak sama, ukuran masing-

masing sel tidak harus sama. Jadi, pada sample ke-1, ukuran sampelnya ialah n1; pada

sample ke-2, ukuran sampelnya alah n2,…., pada sample ke-k, ukuran sampelnya ialah nk

Tujuan

Seperti pada avana satu jalan dengan sel sama, tujuan dipakainya anava satu jalan dengan

sel tak sama adalah untuk melihat efek variable bebas terhadap variable terikat dengan

membandingkan rataan beberapa populasi

Syarat

Uji ini digunakan jika data amatan hasil eksperimen memenuhi persyaratan sebagai berikut

i. Memenuhi 4 persyaratan Analisis Variansi

ii. Mempunyai satu variabel terikat

iii. Mempunyai satu variable bebas

iv. Ukuran masing-masing sample adalah berbeda

Tata letak data

Misalnya terdapat k populasi yang akan dibandingkan rataanya, yang dengan kata lain,

misalnya terdapat k kategori perlakuan. Perlakuan-perlakuan itu disajikan dengan A1, A2, … ,

Ak. Notasi data dari ANAVA jenis ini dapat digambarkan dalam table berikut

Tabel Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama

A1 A2 … Ak

19

Page 20: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Data Amatan X11

X21

…Xn11

X12

X22

…Xn22

…………

X1k

X2k

...Xnkk

Model

Model untuk data populasi pada analisis variansi satu jalan dengan sel tak sama ialah:

Xij = µ + αj + εij

dengan:

Xij = data ke-i pada perlakuan ke-j;

µ = rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);

αj = µj - µ = efek perlakuan ke-j pada variable terikat;

εij = deviasi data Xij terhadap rataan populasinya yang berdistribusi normal dengan rataan 0.

i = 1, 2, 3, … , nj; ; j = 1, 2, 3, …, k

k = cacah populasi (cacah perlakuan, cacah klasifikasi)

Notasi dan Tata Letak

Karena setiap perlakuan tersebut terdiri dari data amatan yang banyaknya berbeda maka

harus dicari jumlah, rataan, jumlah kuadrat, suku korelasi, dan variasi untuk masing-masing

kategori perlakuan maupun keseluruhan (total) sehingga data amatan dan perhitungan yang

dicari diatas dapat disajikan pada tabel berikut

Tabel Notasi dan Tata Letak Pada Anava Satu Jalan Sel Tak Sama

A1 A2 … Ak Total

Data Amatan X11

X21

….Xn11

X12

X22

….Xn22

…………

X1k

X2k

....Xnkk

Cacah data n1 n2 … nk NJumlah data T1 T2 … Tk GRataan X1 X 2 … X k XJumlah Kuadrat ∑ X1

2 ∑ X22 … ∑ Xk

2 ∑ij

X ij2

Suku Korelasi T12

n1

T22

n2

… Tk2

nk∑

j

T j2

n jVariasi SS1 SS2 … SSk ∑

jSS j

Dari table di atas, perlu diketahui bahwa

20

Page 21: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

N=∑i=1

k

ni=n1+n2+. ..+nk G=∑i=1

k

T i=T 1+T 2+. . .+Tk

X=GN SS j=∑

jX j

2−T j

2

n j

Hipotesis

Pasangan hipotesis yang diuji adalah:

H0 : µ1 = µ2 =…= µk

H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama

Atau

H0 : α1 = α2 = αk = 0

(dapat juga ditulis αj = 0 untuk setiap j)

H1 : Paling sedikit ada satu αj yang tidak nol

Atau

H0 : Tidak ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat

H1 : Ada pengaruh variable bebas terhadap variable terikat

Komputasi

Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan besaran-besaran (1), (2), dan (3), sebagai

berikut

(1) G2

N (2) ∑

ijX ij

2

(3) ∑

j

T j2

n j

Akan ditentukan

JKA = ∑

j

T j2

n j - G2

N = (3) – (1)

JKT = ∑

ijX ij

2

- G2

N = (2) – (1)

JKG = JKT - JKA = ∑

j

T j2

n j - G2

N - ∑

ijX ij

2

+ G2

N = ∑

j

T j2

n j - ∑

ijX ij

2

= (2) – (3)

Derajat Kebebasan untuk masing-masing jumlah kuadrat itu adalah

dkA = k – 1

dkG = N – k

dkT = N – 1

Rataan Kuadratnya adalah

21

Page 22: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

RKA =

JKAdkA RKG =

JKGdkG

Statistik Uji

F obs =RKARKG

Yang merupakan nilai dari variable random yang brdistribusi F dengan derajat kebebasan

k – 1 dan N – k

Daerah Kritik

Seperti halnya pada analisis variansi satu jalan dengan sel sama, maka daerah kritik uji ini

adalah:

DK = {F | F > Fα: k – 1, N – k}

Rangkuman Analisis

Sebaiknya, hasil-hasil komputasi disajikan dalam table rangkuman analisis variansi dengan

format berikut.

Tabel Rangkuman Analisis Variansi

Sumber JK dk RK Fobs Fα p

Perlakuan JKA k - 1 RKA RKARKG

F* p < α atau

p > α

Galat JKG N – k RKG - - -

Total JKT N - 1 - - - -

Ket : p adalah probabilitas amatan

F* adalah nilai F yang diperoleh dari table atau komputer

Contoh 8

Untuk melihat apakah ada perbedaan efek tiga metode pembelajaran, yaitu metode A, B, C,

terhadap prestasi belajar, kepada kelas 1A diberi pelajaran dengan metode A, kepada kelas

1B diberi pelajaran dengan metode B, dan kepada kelas 1C diberi pelajaran dengan metode

C. Pada akhir semester, kepada mereka diberi tes yang sama. Untuk kepentingan analisis,

secara random pada kelas 1A diambil 4 siswa, dari kelas 1B diambil 6 siswa, dan dari kelas

1C diambil 5 siswa. Nilai-nilai mereka adalah sebagai berikut

Metode A: 4 7 6 6

22

Page 23: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Metode B: 5 1 3 5 3 4

Metode C: 8 6 8 9 5

Jika dimbil tingkat signifikan 5% bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan

semua persyaratan uji analisis variansi dipenuhi.

Solusi

1. Perumusan Hipotesa

H0 : µ1 = µ2 = µ3

H1 : paling sedikit ada dua rataan ang tidak sama

2. Taraf Signifikansi α = 5%

3. Statistic diuji yang digunakan:

F= RKARKG

4. Komputasi

Tabel Analisis Variansi

Metode TotalA B C

Data Amatan

4766

513534

68958

nj 4 6 5 N = 15Tj 23 21 36 G = 80

X j 5.75 3.5 7.2 X = 5.33

∑j

X j2

137 85 270 ∑j

X j2

= 492T2

n 132.25 73.50 259.20 ∑j

T j2

n j = 464.95SSj 4.75 11.5 10.8 ∑

jSS j

= 27.05

JKA = 38.283 JKG = 27.050 JKT = 65.333

dkA = 2 dkG = 12 dkT = 14

23

Page 24: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

RKA = 19.142

RKG = 2.254

Diperoleh Fobs = 8.49

Dan diperoleh juga

Tabel Rangkuman Analisis Variansi

Sumber JK dk RK Fobs Fα p

Perlakuan 38.283 2 19.142 8.49 3.89 > 0.05

Galat 27.050 12 2.254 - - -

Total 65.333 14 - - - -

5. Daerah Kritik : DK = {F|F>3.89}

6. Keputusan Uji : Ho ditolak

7. Kesimpulan : Ketiga metode mengajar tidak memberikan efek yang sama (atau ketiga

metode mengajar berpengaruh terhadap prestasi belajar)

Beberapa catatan untuk ANAVADibandingkan dengan uji beda rataan dengan menggunakan statistk uji Z maupun uji student t,

Analisis Variansi mempunyai keuntungan yaitu dapat dilakukannya uji beda rataan untuk beberapa

populasi sekaligus. Namun, analisis variansi juga mempunyai kelemahan. Kelemahan yang pertama

ialah apabila H0 ditolak, peneliti hanya mengetahui bahwa perlakuan-pelakuan yang diteliti tidak

memberikan efek yang sama. Namun, peneliti belum mengetahui manakah dari perlakuan-

perlakuan itu yang secara signifikan berbeda dengan yang lain. Untuk menutup kelemahan ini, perlu

dilakukan uji Pasca ANAVA ( yang mudah digunakan dan paling ketat) ialah Metode Scheffe’.

Kelemahan yang kedua adalah sebagai berikut. Apabila peneliti berkeinginan untuk

melihat, misalnya pada Contoh 8, manakah metode yang paling baik. Misalnya hipotesis

penelitiannya (berdasar kajian teori tertentu) ialah “Metode A yang paling baik”, maka secara logis

harus dipenuhi “µA > µB” dan “µA > µC”. ANAVA tidak menyediakan cara untuk menguji itu, karena

H0 yang dirumuskan adalah µA = µB = µC. oleh karena itu, prosedur yang ditempuh adalah sebagai

berikut. Pertama, diuji H0 nya dulu. Apabila H0 ditolak, kemudian dilakukan uji lanjut (perhatikan

bahwa pada kasus ini, cacah perlakuan ada 3 buah). Apabila pada uji lanjut terdapat beda yang

signifikan antara rataan populasi yang dibandingkan, maka pada rataan populasi yang terbesar

24

Page 25: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

menunjukkan adanya perlakuan yang lebih (misalnya lebih baik) daripada yang lain. Rataan

populasi tersebut tentu saja dilihat dari estimatornya, yaitu rataan pada sample yang berkaitan.

Interpretasi bahwa pada rataan populasi yang terbesar menunjukkan adanya perlakuan yang lebih

biasanya dilakukan pada pembahasan hasil penlitian.

Untuk mengatasi kelemahan kedua, peneliti dapat juga melakukan uji pasca anava dengan

menggunakan uji t satu ekor. Namun, peneliti perlu memulai perhitungan lagi dari awal, berbeda

dengan metode Scheffe’ yang dapat memanfaatkan hasil perhitungan ANAVA (yang dalam hal ini

adalah menggunakan RKG yang diperoleh dari pehitungan ANAVA).

METODE SCHEFFE’ UNTUK ANAVA SATU JALAN Terdapat beberapa metode untuk komparasi ganda Pasca ANAVA, di antaranya Metode

Scheffe’, Metode Tukey, Metode Newman-Keuls, dan Metode Duncan. Pada bagian ini hanya

dibicarakan Metode Scheffe’.

Metode Scheffe’ ini dapat digunakan baik untuk analisis variansi dengan sel sama maupun

untuk analisis variansi dengan sel tak sama. Metode Scheffe’ menghasilkan cacah beda rataan

signifikan paling sedikit, dan sebaliknya, Metode Duncan menghasilkan cacah beda rataan yang

paling banyak (Fergson 1989). Ini berarti bahwa banyaknya beda rataan pada uji lanjut sangat

tergantung kepada metode komparasi ganda yang dipakai. Dapat terjadi dengan suatu metode beda

rataannya signifikan, tetapi dengan metode yang lain tidak demikian halnya. Oleh karena itu, perlu

dicantumkan metode mana yang dipakai dalam setiap laporan penelitian (baik dalam bentuk

lengkapnya maupun dalam bentuk ringkasannya).

Langkah-langkah yang perlu ditempuh pada metode Scheffe’ ialah:

1. Identifikasikan semua pasangan komparasi rataan yang ada. Jika terdapat k perlakuan, maka ada

k (k−1)2 pasangan rataan dan rumuskan hipotesis yang bersesuaian dengan komparasi tersebut.

2. Tentukan tingkat signifikan α (pada umumnya α yang dipilih sama dengan pada uji analisis

variansinya).

3. Carilah nilai statistic uji F dengan menggunakan formula berikut:

F i− j=(X i−X j )

2

RKG ( 1ni

+ 1n j )

dengan:

Fi-j = nilai Fobs pada pembanding perlakuan ke-i dan perlakuan ke-j;

Xi = rataan pada sample ke-i;

25

Page 26: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Xj = rataan pada sample ke-j;

RKG = rataan kuadrat galat, yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi;

ni = ukuran sample ke-i;

nj = ukuran sample ke-j;

4. Tentukan daerah kritik dengan formula berikut:

DK = {F | F > (k-1) Fα;k-1,N-k }

5. Tentukan keputusan uji untuk masing-masing komparasi ganda.

6. Tentukan kesimpulan dari keputusan uji yang ada.

Contoh 9

Di suatu sekolah pada saat yang hampir bersamaan kedatangan tiga orang salesman dari tiga

penerbit bahan belajar mandiri, yaitu Penerbit A, Penerbit B, Penerbit C. Menurut masing-masing

penerbit bahan belajar terbitannya paling baik di antara bahan belajar yang ada. Tentu saja, sekolah

tidak akan membeli ketiga-tiganya sekaligus, namun hanya akan membeli bahan belajar yang paling

baik diantara ketiganya. Untuk memilih bahan belajar yang paling baik, kepala sekolah

mengujicobakan bahan belajar tersebut kepada tiga kelompok, yaitu kelompok I, II, III. Siswa-siswa

kelompok I (7 orang) diminta mempelajari bahan belajar penebit A, siswa-siswa kelompok II (9

orang) diminta untuk mempelajari bahan belajar penerbit B, dan siswa-siswa kelompok III diminta

untuk mempelajari bahan belajar penerbit C. Setelah selesai mempelajari bahan tersebut, kepada

mereka diberikan tes yang sama. Skor mereka adalah sebai berikut:

Kelompok I : 87 80 74 82 74 81 97

Kelompok II : 58 63 64 75 70 73 80 62 71

Kelompok III : 81 62 70 64 70 72 92 63

Jika diambil α = 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan semua persyaratan

analisis variansi dipenuhi.

Solusi:

Pertama-tama, lakukanlah ANAVA terlebih dahulu sebagai berikut :

1. Perumusan Hipotesa

H0 : µ1 = µ2 = µ3

H1 : paling sedikit ada dua rataan yang tidak sama

2. Taraf Signifikan α = 5%

3. Statistik Uji

F= RKARKG

4. Komputasi

26

Page 27: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Tabel Analisis Variansi

Bahan Ajar TotalA B C

Data Amatan

87 8074 8274 81

97

58 6364 7570 7380 62

71

81 6270 6470 7292 63

nj 7 9 8 N = 24Tj 575 616 574 G = 1765

X j 82.14 68.44 71.75 X = 73.54

∑j

X j2

47615 42568 41918 ∑j

X j2

= 132101T2

n 47232.14 42161.78 41184.5 ∑j

T j2

n j = 130578.42SSj 382.86 406.22 733.5 ∑

jSS j

= 1522.58

JKA = 777.38 JKG = 1522.58 JKT = 2299.96

dkA = 2 dkG = 21 dkT = 23

RKA = 388.69 RKG = 72.50

Diperoleh Fobs = 5.36

Dan diperoleh juga

Tabel Rangkuman Analisis Variansi

Sumber JK dk RK Fobs Fα p

Perlakuan 777.38 2 388.69 5.36 3.47 > 0.05

Galat 1522.58 21 72.50 - - -

Total 2299.96 23 - - - -

5. Daerah Kritik DK = {F|F > 3.47} ; Fobs = 5.36 ∈DK

6. Keputusan Uji : Ho ditolak

7. Kesimpulan : Ketiga bahan belajar tersebut tidak mempunyai mutu yang sama

Setelah dalam keputusan uji Ho ditolak, maka untuk menentukan bahan belajar manakah yang

paling baik, dilakukan uji komparasi ganda dengan Metode Scheffe’, sebagai berikut :

1. Komparasi rataan Ho dan H1-nya tampak pada table berikut

Komparasi Ho H1

μ1 vs μ2 μ1 = μ2 μ1 ¿ μ2

27

Page 28: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

μ2 vs μ3 μ2 = μ3 μ2 ¿ μ3

μ1 vs μ3 μ1 = μ3 μ1 ¿ μ3

2. Taraf signifikansi : α = 5%

3. Komputasi

F1−2=10. 20 F2−3=0 .64 F1−3=5 .56

4. Daerah Kritik : DK = {F|F>(2)(3.47))}={F|F>6.94}

5. Keputusan Uji :

Dengan membandingkan Fobs dengan daerah kritik, tampak bahwa perbedaan yang signifikan

hanyalah antara μ1 dan μ2

6. Kesimpulan :

Bahan Ajar A sama baiknya dengan Bahan Ajar C, Bahan Ajar B sama baiknya dengan Bahan

Ajar C, tetapi Bahan Ajar A lebih baik daripada Bahan Ajar B

Dari dua analisis tersebut (ANAVA dan komparasi ganda), dapat disimpulkan bahwa ketiga bahan

belajar tersebut mempunyai kualitas yang berbeda. Dari ketiganya, yang paling baik adalah bahan

belajar dari penerbit A, disusul dari penerbit B, dan dari penerbit C

Tugas Kelompok 11. Untuk melihat apakah ada perubahan antara 3 metode pembelajaran A, B, dan C, ketiga metode

pembelajaran tadi diberikan kepada tiga kelas yang kondisi awalnya sama. Metode

pembelajaran A diberikan kepada Kelas IA, Metode pembelajaran B diberikan kepada Kelas IB,

dan Metode pembelajaran C diberikan kepada Kelas IC. Untuk kepentingan analisi data, diambil

secara random sejumlah siswa dan datanya adalah sebagai berikut

Kelas IA : 2, 4, 3

Kelas IB : 8, 7, 6, 9

Kelas IC : 3, 4, 5, 6, 7

Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi dan uji analisis variansi dilakukan

pada tingkat signifikansi 5%

a) Apakah ada perbedaan kinerja dari ketiga metode tersebut?

b) Apakah diperlukan uji lanjut untuk menentukan metode mana yang paling baik kinerjanya?

Kalau ya, lakukanlah uji lanjut itu, dan kalau tidak, jelaskan mengapa?

c) Bagaimana kesimpulan penelitiannya?

28

Page 29: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

2. Seperti No 1, untuk data berikut :

Kelas IA : 2, 4, 3, 5, 4

Kelas IB : 8, 7, 8, 9, 8

Kelas IC : 5, 6, 5, 6, 7

3. Seperti No 1, tetapi untuk 4 metode dengan data berikut:

Kelas IA : 7, 6, 4, 5, 2

Kelas IB : 8, 9, 7, 6, 5

Kelas IC : 8, 6, 3, 5

Kelas ID : 3, 2, 4, 3, 2, 1

Catatan : Metode Pembelajaran D diterapkan pada Kelas ID

F. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE DUA JALANPerhatikan kembali persoalan pada Contoh 9. Ada kemungkinan, disamping melibatkan

ketiga bahan belajar A, B, dan C, kepala sekolah juga melibatkan ketiga bahan belajar A, B, dan C,

kepala sekolah juga melibatkan gender (pria dan wanita) dalam penelitiannya. Oleh karenanya ada 6

kelompok (sample) yang dikenai penelitiannya, yaitu

Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar A

Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar B

Kelompok siswa pria yang dikenai bahan belajar C

Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar A

Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar B

Kelompok siswa wanita yang dikenai bahan belajar C

Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah

1. Apakah siswa-siswa wanita dan siswa-siswa pria mempunyai prestasi belajar yang sama jika

belajar dengan bahan belajar mandiri?

2. Apakah ketiga bahan belajar mandiri (A, B, dan C) berkualitas sama?

29

Page 30: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

3. Apakah perbedaan prestasi antara siswa – siswa pria dan siswa – siswa wanita konsisten

(berlaku sama) pada tiap-tiap jenis bahan belajar?

4. Apakah perbedaan antara masing-masing jenis bahan belajar konsisten (berlaku sama) pada

setiap jenis kelamin?

Dari permasalahan diatas dapat Anda lihat bahwa

Variable terikat

Variabel bebas

Permasalahan pertama dan kedua disebut efek utama (main effects) sedangkan permasalahan

ketiga dan keempat disebut interaksi (interaction) atau kombinasi efek antara faktor bahan belajar

dan faktor gender. Untuk menyelesaikan keempat permasalahan tersebut secara serentak

digunakanlah analisis variansi dua jalan.

Perhatikanlah bahwa makna interaksi dalam kasus analisis variansi mungkin berbeda dengan

makna interaksi dalam percakapan sehari-hari. Untuk jelasnya perhatikan uraian berikut.

Jika misalnya untuk setiap bahan belajar A, B, maupun C, rataan prestasi siswa putra secara

signifikan selalu terjadi interaksi; dan secara keseluruhan (tidak dengan memperhatikan jenis bahan

belajar) pastilah juga prestasi siswa putra lebih baik daripada prestasi siswa wanita.

Jika misalnya untuk bahan belajar A, prestasi siswa putra secara signifikan lebih baik daripada

prestasi siswa wanita, tetapi untuk bahan beljar B dan C, prestasi siswa wanita yang secara

signifikan justru lebih baik daripada prestasi siswa pria, maka terjadi interaksi. Dalam keadaan

seperti ini baik atau tidaknya bahan belajar tergantung kepada jenis kelamin siswa.

Pada bagian ini akan dibicarakan Analisis Variansi Univariate Dua Jalan

Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dibagi menjadi dua kelompok yaitu

1. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan sel sama

2. Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan sel yang berbeda

ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE DUA JALAN DENGAN SEL SAMATujuan

30

Page 31: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Analisis Variansi Univariate Dua Jalan (faktor) pada dasarnya merupakan perluasan dari

Analisis Variansi Univariate Satu Jalan.

Tujuan dari Analisis Variansi Univariate Dua Jalan adalah

1. Untuk menguji signifikansi efek dua variabel bebas terhadap satu variabel terikat.

Kedua variabel bebas tersebut disebut faktor ”baris” (faktor A) dan faktor ”kolom” (faktor

B).

2. Untuk menguji signifikansi interaksi kedua variabel bebas terhadap variabel terikat.

Pada dasarnya, pengujian pertama adalah pengujian rataan antar baris, pengujian kedua

dengan pengujian rataan antar sel pada baris atau kolom yang sama.

Persyaratan Analisis

Persyaratan yang harus dipenuhi oleh analisis variansi dua jalan sama dengan persyaratan

analisis variansi satu jalan, yaitu :

1. Memenuhi keempat persyaratan dalam ANAVA

2. Variabel terikatnya ada satu

3. Variabel bebasnya ada dua

Pengujian Data

Perhatikan bahwa kalau variabel ”baris” mempunyai p kategori, variabel ”kolom” mempunyai q

kategori, maka ada sebanyak pq sel. Ini berarti, ditinjau menurut barisnya, ada p populasi;

ditinjau dari kolomnya ada q populasi, dan ditinjau dari selnya, ada pq populasi.

Secara teoritis, p populasi (pada baris) masing-masing harus berdistribusi normal dan

kesemuanya mempunyai variansi yang sama; dan q populasi (pada kolom) masing-masing harus

berdistribusi normal dan mempunyai variansi yang sama. Hal yang sama berlaku untuk

populasi-populasi yang berkaitan dengan sel-sel pada baris/kolom yang sama.

Untuk lebih jelasnya perhatikan kasus di mana ada dua variabel bebas, yaitu jenis kelamin dan

bahan belajar.

Tabel Populasi

Bahan Belajar A Bahan Belajar B Bahan Belajar CPria Pria-A Pria-B Pria-C

Wanita Wanita-A Wanita-B Wanita-C Uji normalitas dilakukan 11 kali, yaitu menguji normalitas (prestasi belajar) untuk populasi

pria, wanita, bahan belajar A, bahan belajar B, bahan belajar C, pria yang menggunakan

bahan belajar A, pria yang menggunakan bahan belajar B, pria yang menggunakan bahan

31

Page 32: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

belajar C, wanita yang menggunakan bahan belajar A, wanita yang menggunakan bahan

belajar B, dan wanita yang menggunakan bahan belajar C.

Untuk uji homogenitas variansi, dilakukan 7 kali, yaitu menguji kesamaan variansi (prestasi

belajar):

σ2A=σ

2B=σ2C , σ

2 pria=σ2wanita , σ

2P−A=σ2P−B=σ

2P−C , σ2W−A=σ

2W−B=σ2W −C ,

σ2P−A=σ

2W−A , σ2P−B=σ

2W−B , dan σ2P−C=σ

2W −C

Namun pada taktik penelitian, biasanya, peneliti cukup hanya menguji normalitas dan

homogenitas variansi untuk populasi-populasi ”baris” dan ”kolom”saja, sehingga pada uji

normalitas hanya dilakukan 5 kali dan uji homogenitas variansi hanya dilakukan 2 kali saja,

yaitu

untuk uji normalitas dilakukan 5 kali yaitu untuk menguji populasi pria, wanita, bahan

belajar A, bahan belajar B, dan bahan belajar C

untuk uji homogenitas dilakukan 2 kali yaitu untuk menguji kesamaan variansi prestasi

belajar siswa wanita dan siswa pria

Notasi dan Tata Letak Data

Misalnya variabel A mempunyai p nilai dan variabel B mempunyai q nilai, sehingga terhadap p

baris dan q kolom.

Datanya dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut :

Tata Letak Data Sampel pada Anava Dua Jalan Sel Sama

Faktor AFaktor B

b1 b2 ... bq

a1

X111 X121 ... X1 q 1X112 X122 ... X1 q 2

... ... ... ...X11 n X12n ... X1 qn

a2

X211 X221 ... X2 q 1X212 X222 ... X2 q 2

... ... ... ...X21n X22 n ... X2 qn

... ... ... ... ...

a p

X p11 X p21... X pq 1

X p12 X p22... X pq 2

... ... ... ...X p1 n X p2 n

... X pqnSelanjutnya,

32

Page 33: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

A1 = jumlah data pada baris ke-i

B j = jumlah data pada kolom ke-j

ABij = jumlah data pada baris ke-i dan kolom ke-j

G = jumlah seluruh data amatan

Jumlah-jumlah dari elemen setiap sel dapat dimasukkan dalam tabel berikut

Tabel Jumlah AB

Faktor AFaktor B

b3 b2 ... bqTotal

1a AB12 ... AB1q A1

a2 AB21 AB22 ... AB2 q A2

... ... ... ... ...ABp 1 ABp 2

... ABpq ApTotal B1 B2 ... Bq

G

Model

Model untuk data populasi pada analisis variansi dua jalan dengan sel sama ialah :

X ijk=μ+αi+β j+ (αβ )ij+εijk

dengan :

X ijk = data (nilai) ke-k pada baris ke-i dan kolom ke-j

μ = rerata dari seluruh data (rerata besar, grand mean);

α i = μi⋅¿− μ ¿ = efek baris ke-i pada variabel terikat;

β j = μ¿ j−μ = efek kolom ke-j pada variabel terikat;

(αβ )ij = μij−(μ+αi+β j )

= kombinasi efek baris ke-i dan kolom ke-j pada variabel terikat

ε ijk = deviasi data X ijk terhadap rataan populasinya μij yang berdistribusi normal

dengan rataan 0;

i = 1, 2, 3, ..., p ; p = banyaknya baris;

j = 1, 2, 3, ..., q ; q = banyaknya kolom;

k = 1, 2, 3, ..., n ; n = banyaknya data amatan pada setiap sel

Perhatikanlah bahwa pada model tersebut berlaku :

33

Page 34: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

∑i=1

p

αi=0 ∑i=1

q

β i=0 ∑i=1

p

(αβ )i=0 ∑j=1

q

( αβ )i=0

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut

Contoh 10

Diketahui data populasi seperti pada tabel berikut :

Tabel Data Populasi Menurut Faktor A dan Faktor B

A BB1 B2 B3

A1 8, 9, 10 11, 12, 13 17, 18, 19A2 7, 9, 11 8, 10, 12 13, 14, 15

Carilah semua α i , β j , dan (αβ )ij

Solusi :

Tabel Kerja untuk Mencari α i , β j , dan (αβ )ij

A B μiB1 B2 B3

A18, 9, 10 11, 12, 13 17, 18, 19 μi⋅¿ ¿ = 13μ11 = 9 μ12 = 12 μ13 = 18

A27, 9, 11 8, 10, 12 13, 14, 15 μ2⋅¿ ¿ = 11μ21 = 9 μ22 = 10 μ23 = 14

μ jμ¿ 1 = 9 μ¿ 2 = 11 μ¿ 3 = 16 μ = 12

Dari Tabel diatas dapat dilihat bahwa :

α 1=μ1⋅¿−μ=13−12=1 ¿

α 2=μ2⋅¿−μ=11−12=−1 ¿

β1=μ¿1−μ=9−12=−3

β2=μ¿2−μ=11−12=−1

β3=μ¿3−μ=16−12=4

(αβ )11=μ11−(μ+α1+β1)=9−(12+1−3 )=−1

(αβ )21=μ21−(μ+α2+β1 )=9−(12−1−3 )=1

(αβ )12=μ12−(μ+α 1+β2)=12− (12+1−1 )=0

(αβ )22=μ22−(μ+α2+β2 )=10−(12−1−1 )=0

(αβ )13=μ13−(μ+α1+ β3 )=18−(12+1+4 )=1

(αβ )23=μ23−(μ+α2+β3)=14−(12−1+4 )=−1

34

Page 35: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Perhatikan bahwa pada Contoh diatas, tidak semua α i bernilai nol, yang ini berarti bahwa A1

dan A2 memberikan efek yang berbeda terhadap variabel terikat. Tampak juga bahwa tidak

semua β j bernilai nol, yang ini juga berarti bahwa B1, B2, dan B3 memberikan efek yang

berbeda juga.

Untuk (αβ )ij , tampak bahwa tidak semua (αβ )ij bernilai nol, yang ini berarti terdapat interaksi

antara variabel A dan variabel B terhadap variabel terikat. Terdapatnya interaksi ini dapat dilihat

dari kenyataaan bahwa A1 dan A2 memberikan efek yang sama pada kategori B1, tetapi tidak

demikian halnya pada kategori B2 dan B3. Artinya, pengaruh variabel A terhadap variabel

terikat tergantung kepada kategori (tingkatan) variabel B.

Contoh 11

Diketahui data populasi seperti pada tabel berikut :

A BB1 B2 B3

A1 8, 9, 10 4, 5, 6 1, 1, 1A2 10, 11, 12 6, 7, 8 2, 3, 4

Carilah semua α i , β j , dan (αβ )ij

Solusi :

Tabel Kerja untuk Mencari α i , β j , dan (αβ )ijA B μiB1 B2 B3A1 8, 9, 10 4, 5, 6 1, 1, 1

μ1⋅¿ ¿ = 5μ11 = 9 μ12 = 5 μ13 = 1A2 10, 11, 12 6, 7, 8 2, 3, 4

μ2⋅¿ ¿ = 7μ21 = 11 μ22 = 7 μ23 = 3μ j

μ¿ 1 = 10 μ¿ 2 = 6 μ¿ 3 = 2 μ = 6

Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa :

α 1=μ1−μ=5−6=−1

α 2=μ2−μ=7−6=1

β1=μ1−μ=10−6=4

35

Page 36: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

β2=μ2−μ=6−6=0

β3=μ3−μ=2−6=−4

(αβ )11=μ11−(μ+α1+β1)=9−(6−1+4 )=0

(αβ )21=μ21−(μ+α2+β1 )=11−(6+1+4 )=0

(αβ )12=μ12−(μ+α1+β2)=5−(6+1+4 )=0

(αβ )22=μ22−(μ+α2+β2 )=7−(6+1+0 )=0

(αβ )13=μ13−(μ+α1+ β3 )=1−(6−1−4 )=0

(αβ )23=μ23−(μ+α2+β3)=3−(6+1−4 )=0

Perhatikanlah bahwa tidak semua α 1 bernilai nol, yang berarti bahwa A1 dan A2 memberikan

efek yang berbeda terhadap variabel terikat. Tampak juga bahwa tidak semua β j bernilai nol,

yang juga berarti bahwa B1, B2, dan B3 memberikan efek yang berbeda juga. Untuk (αβ )ij ,

tampak bahwa semua (αβ )ij bernilai nol, yang berarti tidak terdapat interaksi antar variabel A

dan variabel B terhadap variabel terikat. Tidak terdapatnya interaksi ini dapat dilihat dari

kenyataan bahwa pengaruh variabel A terhadap variabel terikat tidak tergantung kepada

kategori variabel B. Artinya, pada B1 berlaku μ21>μ11 , pada B2 juga berlaku μ22>μ12 , dan

pada B3 juga berlaku μ23>μ13 . Pada sisi lain, pengaruh variabel B terhadap variabel terikat

juga tidak tergantung kepada kategori variabel A.

Tugas Individu 21. Data berikut adalah data populasi untuk memodelkan uji statistik dengan menggunakan Analisis

Variansi dengan model

X ijk=μ+αi+β j+(αβ )ij+εijk

A BB1 B2 B3 B4

A1 6, 7, 8 8, 8, 8 8, 10, 12 2, 3, 3A2 8, 9, 10 6, 8, 10 5, 6, 7 12, 13, 14

a. Carilah semua nilai dari α i , β j , (αβ )ij yang dapat ditarik dari data tersebut

b. Nyatakan setiap X ijk dalam X ijk=μ+αi+β j+(αβ )ij+εijk

c. Apakah untuk setiap i berlaku α i = 0?

d. Apakah untuk setiap j berlaku β j = 0?

36

Page 37: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

e. Apakah untuk setiap i dan j berlaku (αβ )ij = 0?

f. Apakah terdapat perbedaan efek antar baris?

g. Apakah terdapat perbedaan efek antar kolom?

h. Apakah terdapat interaksi antara A dan B?

2. Seperti soal Nomor 1 untuk data populasi berikut

A BB1 B2 B3 B4

A1 6, 7, 8 8, 8, 8 2, 3, 4 2, 5, 8A2 8, 9, 10 6, 10, 14 5, 5, 5 7, 7, 7

3. Seperti soal Nomor 1 untuk data populasi berikut

A BB1 B2 B3 B4

A1 6, 7, 8, 9, 10, 12

8, 8, 8, 7, 8, 9

8, 10, 12, 15, 14

2, 3, 3, 4, 6, 10

A2 8, 9, 10, 6, 5, 7

6, 8, 10, 4, 12, 14

5, 6, 7, 8, 9, 10

12, 13, 14, 8, 8, 7

Perhitungan dan pengujian hipotesa pada Analisis Variansi Univariate Dua Jalan dengan Sel

Sama sebagai berikut

Perumusan Hipotesis

Seperti yang dibicarakan di muka, ada tiga pasang hipotesis yang dapat diujii dengan analisis

variansi dua jalan ini. Tiga pasang tersebut ialah :

H0 A : α i=0 untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., p

H1 A : paling sedikit ada satu α i yang tidak nol

H0 B : B j=0 untuk setiap j = 1, 2, 3, ..., p

H1 B : paling sedikit ada satu B j yang tidak nol

H0 AB : (αβ )ij=0 untuk setiap i = 1, 2, 3, ..., p dan j = 1, 2, 3, ..., p

37

Page 38: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

H1 AB : paling sedikit ada satu (αβ )ij yang tidak nol

Ketiga pasang hipotesis ini ekuivalen dengan tiga pasang hipotesis berikut ini :

H0 A : Tidak ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat;

H1 A : Ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat

H0 B : Tidak ada perbedaan efek antar kolom terhadap variabel terikat;

H1 B : Ada beberapa efek antar kolom terhadap variabel terikat

H0 AB : Tidak ada interaksi baris dan kolom terhadap variabel terikat;

H1 AB : Ada interaksi baris dan kolom terhadap variabel terikat.

Perhatikanlah bahwa kalimat ”ada perbedaan efek antar baris terhadap variabel terikat” sering

dinyatakan dengan kalimat lain, yaitu bahwa ”variabel A berpengaruh terhadap variabel

terikat”, jika kategori-kategori variabel A dinyatakan dalam baris-baris.

Komputasi

Seperti pada analisis variansi satu jalan, untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan besaran-

besaran (1), (2), (3), (4), dan (5) sebagai berikut :

(1 ) G2

N; (2 ) ∑

i , j , kX ijk

2 ;

(3 ) ∑i

A i2

nq;

(4 ) ∑

j

B j2

np; (5 ) ∑

i , j

ABij2

n

Terdapat lima jumlah kuadrat pada analisis variansi dua jalan, yaitu jumlah kuadrat baris (JKA),

jumlah kuadrat kolom (JKB), jumlah kuadrat interaksi (JKAB), jumlah kuadrat galat (JKG), dan

jumlah kuadrat total (JKT). Berdasarkan sifat-sifat matematis tertentu dapat diturunkan

formula-formula untuk JKA, JKB, JKAB, JKG, JKT dan sebagainya.

JKA = (3) – (1) = ∑

i

Ai2

nq - G2

N

JKB = (4) – (1) = ∑

j

B j2

np - G2

N

JKAB = (1) + (5) – (3) – (4) = G2

N + ∑i , j

ABij2

n - ∑

i

Ai2

nq - ∑

j

B j2

np

JKG = (2) – (5) = ∑

i , j , kX ijk

2

- ∑i , j

ABij2

n

38

Page 39: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

JKT = (2) – (1) = ∑

i , j , kX ijk

2

- G2

N (atau JKT = JKA + JKB + JKAB + JKG)

Derajat kebebasan untuk masing-masing jumlah kuadrat tersebut adalah :

dkA = p – 1

dkB = q – 1

dkAB = (p – 1)(q – 1)

dkG = pq(n – 1) = N – pq

dkT = N – 1

Berdasarkan jumlah kuadrat dan derajat kebebasan masing-masing, diperoleh rataan kuadrat

berikut :

RKA= JKAdkA

RKAB= JKABdkAB

RKB= JKBdkB

RKG= JKGdkG

Statistik Uji

Statistik uji analisis variansi dua jalan dengan sel sama ini ialah :

1. Untuk H0 A adalah Fa=

RKARKG yang meruupakan nilai dari variabel random yang

berdistribusi F dengan derajat kebebasan p-1 dan N-pq;

2. untuk H0 B adalah Fb=

RKBRKG yang merupakan nilai dari variabel random yang

berdistribusi F dengan derajat kebebasan p-1 dan N-pq;

3. untuk H 0 AB adalah Fab=

RKABRKG yang merupakan nilai dari variabel random yang

berdistribusi F dengan derajat kebebasan (p-1)(q-1) dan N-pq.

Daerah Kritik

Untuk masing-masing nilai F diatas, daerah kritiknya adalah sebagai berikut :

1. Daerah kritik untuk Fa adalah DK={F|F>Fα ; p−1 ; N−pq }

2. Daerah kritik untuk Fb adalah DK={F|F>Fα ; p−1 ; N−pq }

3. Daerah kritik untuk Fab adalah DK={F|F>Fα; ( p−1 ) ( q−1 ) ; N−pq }

Rangkuman Analisis

39

Page 40: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Sebaiknya, hasil-hasil komputasi disajikan dalam tabel rangkuman analisis variansi dengan

format berikut :

Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan

Sumber JK dk RK Fobs Fα p

Baris (A) JKA p-1 RKA Fa F* ¿α atau>αKolom (B) JKB q-1 RKB Fb F* ¿α atau>α

Interaksi (AB) JKAB (p-1)(q-1) RKAB Fab F* ¿α atau>αGalat JKG N-pq RKG - - -Total JKT N-1 - - - -

Keterangan : p adalah probabilitas amatan; F* adalah nilai F yang diperoleh dari tabel

Contoh 12

Seorang peneliti ingin melihat manakah strategi pembelajaran yang paling efektif di antara strategi

pembelajaran A, B, dan C, dengan pengertian strategi pembelajaran yang satu lebih efektif

dibanding dengan strategi pembelajaran lainnya apabila strategi yang pertama menghasilkan rataan

prestasi belajar yang lebih baik daripada rataan prestasi belajar yang dihasilkan oleh strategi yang

kedua. Peneliti tersebut juga ingin melihat manakah yang lebih baik, prestasi belajar siswa-siswa

pria ataukah prestasi belajar siswa-siswa wanita dan sekaligus juga ingin melihat apakah terdapat

perbedaan prestasi antara siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita pada tiap-tiap strategi

pembelajaran. Setelah dilakukan eksperimen dan diambil sampel yang representatif terhadap

populasinya, datanya adalah sebagai berikut :

Prestasi Belajar Siswa Menurut Seks dan Strategi Mengajar

Jenis Kelamin Strategi mengajarA B C

Pria 4 7 5 2 3 2 5 6 4Wanita 9 8 8 8 7 5 10 8 7

Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut? Diasumsikan

semua persyaratan analisis variansi dipenuhi.

Solusi:

Dilakukan analisis variansi dulu untuk melihat apakah terdapat efek utama pada baris dan kolom

serta efek interaksi.

1. Perumusan Hipotesa

(a) H0 A : α i=0 untuk setiap i = 1, 2

H1 A : paling sedikit ada satu α i yang tidak nol

(b) H0 B : Bi=0 untuk setiap i = 1, 2, 3

(c) H1 B : paling sedikit ada satu β j yang tidak nol

H0 AB : (αβ )ij=0 untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3

40

Page 41: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

H1 AB : paling sedikit ada satu (αβ )ij yang tidak nol

2. α=5 %

3. Komputasi :

Jumlah AB

A B C DPria 16 7 15 38 (A1)

Wanita 25 20 25 70 (A2)41 (B1) 27 (B2) 40 (B3) 108 (G)

JKA = 56.889 dkA = 1 RKA = 56.889 Fa = 39.40

JKB = 20.333 dkB = 2 RKB = 10.167 Fb = 7.04

JKAB = 1.445 dkAB = 2 RKAB = 0.723 Fab = 0.50

JKG = 17.333 dkG = 12 RKG = 1.444

JKT = 96 dkT = 17

Untuk Fa adalah DK = {F|F>F0.05;1;12} = { F|F>4.75}

Untuk Fb adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>3.89}

Untuk Fab adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>3.89}

Tabel Rangkuman Analisis Dua Jalan

Sumber JK dk RK Fobs Fα pJenis Kelamin (A)Strategi Mengajar (B)Interaksi (AB)Galat

56.88920.3331.44517.333

12212

56.88910.1670.7231.444

39.407.040.50

-

4.753.893.89

-

< 0.05< 0.05> 0.05

-Total 96.000 17 - - - -

4. Keputusan Uji

H0A ditolak ; H0B ditolak ; H0AB diterima

5. Kesimpulan

a. Siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita mempunyai prestasi belajar yang berbeda

b. Ketiga strategi mengajar tidak memberikan efek yang sama terhadap prestasi belajar

c. Tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan strategi mengajar terhadap prestasi belajar

Perhatikan Contoh 12 diatas, perlukah dilakukan uji pasca ANAVA?

Sebelum membahas uji pasca ANAVA untuk Contoh 12 diatas, pahamilah lebih dahulu teroi uji

pasca ANAVA untuk Analisis Variansi Univariate 2 Jalur sebagai berikut:

41

Page 42: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

METODE SCHEFFE’ UNTUK ANAVA DUA JALANLangkah-langkah komparasi ganda dengan metode Scheffe’ untuk analisis variansi dua jalan pada

dasarnya sama dengan langkah-langkah pada komparasi ganda untuk analisis variansi satu jalan.

Bedanya ialah pada analisis variansi dua jalan terdapat empat macam komparasi, yaitu komparasi

ganda rataan antara :

(1) baris ke-i dan baris ke-j,

(2) kolom ke-i dan kolom ke-j,

(3) sel ij dan sel kj (sel-sel pada kolom ke-j), dan

(4) komparasi ganda antara sel pada baris dan kolom yang tidak sama.

Komparasi Rataan Antar Baris

Uji Scheffe untuk komparasi rataan antar baris adalah :

F i⋅− j⋅¿=¿¿ ¿¿¿dengan

F i⋅− j⋅¿ ¿ = nilai Fobs pada pembandingan baris ke-i dan baris ke-j

X i⋅¿ ¿ = rataan pada baris ke-i

X j⋅¿ ¿ = rataan pada baris ke-j

RKG = rataan kuadrat galat yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi

ni⋅¿ ¿ = ukuran sampel baris ke-i

n j⋅¿ ¿ = ukuran sampel baris ke-j

Daerah kritik untuk uji itu ialah:

DK={F|F> ( p−1 ) Fα ; p−1; N −pq }

Komparasi Rataan Antar Kolom

Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar kolom adalah :

F ¿i−¿ j=( X ¿i−X ¿ j )

2

RKG [ 1n¿i

+ 1n¿ j ]

dengan daerah kritik :

DK={F|F>( p−1 ) Fα ; p−1, N −pq }

42

Page 43: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Makna dari lambang-lambang pada komparasi ganda rataan antar kolom ini mirip dengan makna

lambang-lambang komparasi ganda rataan antar baris; hanya dengan mengganti baris menjadi

kolom.

Komparasi Rataan Antar Sel Pada Kolom yang Sama

Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar sel pada kolom yang sama adalah sebagai berikut :

F ij−kj=( X ij−X ikj )

2

RKG[ 1nij

+ 1nkj ]

dengan :

F ij−kj = nilai Fobs pada pembandingan rataan pada sel ke - ij dan rataan pada sel ke - kj

X ij = rataan pada sel ke - ij

X kj = rataan pada sel ke - kj

RKG = rataan kuadrat galat, yang diperoleh dari perhitungan analisis variansi

nij = ukuran sel ke - ij

n jk = ukuran sel ke - kj

Daerah kritik untuk uji itu ialah :

DK={F|F> ( pq−1 ) Fα ; pq−1; N−pq }

Komparasi Rataan Antar Sel Pada Baris yang sama

Uji Scheffe’ untuk komparasi rataan antar sel pada baris yang sama adalah sebagai berikut :

F ij−ik=(X ij−X ik )2

RKG [ 1nij

+ 1nik ]

Daerah kritik untuk uji itu ialah :

DK={F|F> ( pq−1 ) Fα ; pq−1; N−pq }

Untuk mendiskusikan hal itu lebih mendalam lagi, perhatikan lebih dahulu tabel rataan, yang

diperoleh dari perhitungan pada Contoh 12 diatas

Rataan masing-masing Sel dari Data pada Conoth 12

43

Page 44: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Jenis Kelamin Strategi Mengajar Rataan MarginalA B C

Pria 5.3 2.3 5.0 4.2Wanita 8.3 6.7 8.3 7.8Rataan Marginal 6.8 4.5 6.7

Perhatikanlah bahwa H0A ditolak. Ini berarti bahwa siswa pria dan wanita berbeda prestasi

belajarnya. Dalam kasus ini, karena variable jenis kelamin hanya mempunyai 2 nilai (yaitu pria dan

wanita), maka untuk antar baris untuk antar baris tidak diperlukan komparasi Pasca ANAVA.

Kalaupun dilakukan komparasi ganda antara rataan siswa-siswa pria dan rataan siswa-siswa wanita

dapat dipastikan bahwa hipotesis nolnya juga akan ditolak. Komparasi itu menjadi tidak berguna,

karena ANAVA telah menunjukkan bahwa H0A ditolak. Dari rataan marginalnya, yang

menunjukkan bahwa rataan siswa-siswa wanita lebih tinggi daripada rataan siswa-siswa pria dapat

disimpulkan bahwa siswa-siswa wanita lebih baik prestasi belajarnya dibandingkan dengan siswa-

siswa pria. Perhatikanlah bahwa penyimpulan (dengan melihat rataannya) itu dilakukan setelah

secara statistik disimpulkan bahwa siswa pria dan wanita berbeda prestasi belajarnya.

Bagaimanakah dengan komparasi ganda Pasca ANAVA antar kolom?

Karena H0A ditolak, maka ini berarti tidak semua strategi pembelajaran memberikan efek yang sama

terhadap prestasi belajar. Dengan kata lin, pasti terdapat paling sedikit dua rataan yang tidak sama.

Karena variabel strategi pembelajaran mempunyai tiga nilai (A, B, dan C) maka komparasi ganda

perlu dilakukan untuk melihat manakah yang secara signifikan mempunyai rataan yang berbeda.

Setelah dicari dengan rumus Scheffe’ untuk komparasi antar kolom diperoleh

F ¿1−¿ 2 = 11.00; F ¿1−¿ 3 = 0.02; F¿2−¿ 3 = 10.06

DK = {F|F>7.60}

Sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut :

Rataan yang diperoleh dari strategi pembelajaran A berbeda secara signifikan dengan rataan

diperoleh dari strategi pembelajaran B. Karena rataan untuk strategi pembelajaran A lebih tinggi

dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, maka diperoleh kesimpulan bahwa strategi

pembelajaran A lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B.

Dengan pemikiran yang sama dapat disimpulkan bahwa strategi pembelajaran A sama efektifnya

dengan strategi pembelajaran C dan strategi pembelajaran C lebih efektif dibandingkan dengan

strategi pembelajaran B.

Perlukah dilakukan uji komparasi ganda antar sel (pada baris yang sama atau kolom yang sama)?

44

Page 45: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Perhatikanlah bahwa H0AB diterima, berarti tidak terdapat interaksi antara variabel jenis kelamin dan

strategi pembelajaran terhadap prestasi belajar. Dari kenyataan bahwa tidak terdapat interaksi itu,

dapat disimpulkan bahwa karakteristik perbedaan antara siswa pria dan siswa wanita untuk setiap

strategi pembelajaran sama. Karakteristik tersebut tentu saja sama dengan karakteristik marginal

perbedaan jenis kelamin. Perhatikanlah bahwa secara marginal (secara umum, dilihat dari rataan

marginal), siswa wanita lebih baik dibandingkan dengan siswa pria. Karena tidak ada interaksi,

maka hal tersebut berlaku juga pada kelompok siswa yang diberi pelajaran dengan strategi A; dalam

arti pada strategi pembelajaran A, siswa wanita juga lebih pandai daripada siswa pria. Demikian

pula halnya kalau hanya diperhatikan strategi pembelajaran B atau strategi pembelajaran C saja.

Bagaimana kalau ditinjau perbandingan anatar sel pada baris yang sama?

Karena interaksi tidak tidak ada, maka karakteristik perbedaan strategi pembelajaran akan sama

pada setiap jenis kelamin dan akan sama pula dengan karakteristik marginalnya. Artinya, kalau

secara marginal (secara umum) strategi pembelajaran A dan strategi pembelajaran C sama

efektifnya, maka kalau ditinjau pada siswa pria saja, juga akan berlaku kesimpulan strategi A sama

efektifnya dengan strategi pembelajaran C. Demikian pula, kalau ditinjau pada siswa wanita saja,

maka strategi pembelajaran A juga akan sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C.

Jadi, kalau interaksi antara variabel bebas tidak ada, maka tidak perlu dilakukan uji lanjut antar sel

pada kolom/baris yang sama. Kesimpulan pembandingan rataan antar sel mengacu kepada

kesimpulan pembandingan rataan marginalnya.

Kesimpulan penelitian

Berdasarkan analisis variansi dan uji lanjut setelah analisis variansi, kesimpulan penelitian untuk

Contoh 12 diatas adalah

1. Siswa wanita lebih baik prestasinya dibandingkan dengan siswa pria, baik secara umum maupun

jika ditinjau pada masing-masing strategi pembelajaran

2. Strategi pembelajaran A lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, strategi

pembelajaran C lebih efektif dibandingkan dengan strategi pembelajaran B, dan strategi

pembelajaran A sama efektifnya dengan strategi pembelajaran C; baik secara umum maupun

kalau ditinjau dari masing-masing jenis kelamin

Perhatikan bahwa pada kesimpulan penelitian tersebut, kata interaksi tidak muncul, namun esensi

interaksi tersebut secara implisit telah tertuang pada kesimpulan tersebut.

45

Page 46: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Profil Efek Bersama (Interaksi)Secara grafis, tidak adanya interaksi antara jenis kelamin dan strategi pembelajaran pada Contoh 12

dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar Profil Efek Variabel Jenis Kelamin

Pada gambar itu, profil siswa-siswa wanita dan profil siswa-siswa pria tidak berpotongan. Dari

profil itu dapat juga dilihat bahwa rataan untuk siswa-siswa wanita selalu lebih tinggi dibandingkan

dengan rataan untuk siswa-siswa pria, baik pada strategi pembelajaran A, atau B, maupun C

Ada atau tidaknya interaksi dapat diduga dari grafik profil variable-variabel bebasnya. Jika profil

variable bebas pertama dan profil variable bebas kedua tidak berpotongan, maka kecenderungannya

tidak ada interaksi diantara mereka. Sebaliknya, jika profil variable bebas pertama berpotongan

dengan profil variable bebas kedua, maka kecenderungannya ada interaksi diantara keduanya.

Namun, ada atau tidaknya interaksi (yang signifikan) tetap saja harus dilihat dari signifikansi

interaksi pada analisis variansinya.

Contoh 13

Seorang peneliti ingin melihat mana yang lebih baik, metode ceramah atau metode kerja kelompok,

dalam menyampaikan pokok bahasan Persamaan Kuadrat. Dia ingin juga melihat apakah siswa pria

dan wanita sama kemampuannya dalam hal menangkap pokok bahasan tersebut dan juga ingin

melihat apakah terjadi perbedaan prestasi belajar antara siswa pria dan wanita pada setiap metode

pembelajaran. Setelah pokok bahasan Persamaan Kuadrat diberikan dan diberi tes yang sama, nilai-

nilai yang diperoleh tampak pada tabel berikut

Tabel Nilai Siswa Pada Pokok Bahasan Persamaan Kuadrat

Jenis Kelamin

Metode MengajarCeramah Kerja Kelompok

Pria 4 5 6 8 103 5 6 8 7

5 5 7 8 94 5 6 7 8

Wanita 7 5 7 8 93 4 8 6 9

4 5 3 4 93 5 6 8 7

8.3

6.7 wanita

5.3 5.0

2.3 pria

A B C

46

Page 47: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut?

Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi

Solusi

Uji ANAVA Dua Jalan

1. Perumusan Hipotesa

(a) H0 A : α i=0 untuk setiap i = 1, 2

H1 A : paling sedikit ada satu α i yang tidak nol

(b) H0 B : Bi=0 untuk setiap i = 1, 2, 3

(c) H1 B : paling sedikit ada satu β j yang tidak nol

H0 AB : (αβ )ij=0 untuk setiap i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3

H1 AB : paling sedikit ada satu (αβ )ij yang tidak nol

2. Taraf signifikansi α=5 %

3. Statistik yang digunakan : F= RKA

RKG

4. Komputasi :

Jumlah AB

Metode MengajarTotalCeramah Kerja

KelompokPria 62 64 126 (A1)

Wanita 66 54 120 (A2)128 (B1) 118 (B2) 246 (G)

JKA = 0.90 dkA = 1 RKA = 0.90 Fa = 0.23

JKB = 2.50 dkB = 1 RKB = 2.50 Fb = 0.64

JKAB = 4.90 dkAB = 1 RKAB = 4.90 Fab = 1.25

JKG = 140.80 dkG = 36 RKG = 3.91

Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan Data pada Tabel Nilai Siswa Pada Pokok Bahasan

Persamaan Kuadrat diatas adalah sebagai berikut

Rangkuman Analisis Variansi Dua Jalan

Sumber JK dk RK Fobs Fα pJenis Kelamin (A)Metode Mengajar (B)Interaksi (AB)Galat

0.902.504.90

140.80

11136

0.902.504.903.91

0.230.641.25

-

4.12*4.12*4.12*

-

> 0.05> 0.05> 0.05

-

47

Page 48: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Total 149.10 39 - - - -

Tabel Rataan Nilai

Metode Mengajar Rataan MarginalCeramah Kerja

KelompokPria 6.20 6.40 6.30

Wanita 6.60 5.40 6.00Rataan

Marginal 6.40 5.90

5. Daerah Kritik

Untuk Fa adalah DK = {F|F>F0.05;1;12} = { F|F>4.12}

Untuk Fb adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>4.12}

Untuk Fab adalah DK = {F|F>F0.05;2;12} = { F|F>4.12}

6. Keputusan

H0A = H0B = H0AB diterima

7. Kesimpulan

Ketiga hipotesa nol diterima, berarti

(1). Tidak ada perbedaan prestasi belajar antara siswa-siswa pria dan siswa-siswa wanita

(2). Tidak ada perbedaan efek antara metode ceramah dan metode kerja kelompok

(3). Tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan metode mengajar

Tidak adanya interaksi antara jenis kelamin dan metode pembelajaran pada Contoh 13 memberi arti

bahwa, misalnya, kalau pada kelompok siswa pria saja, ceramah juga akan sama efeknya dengan

kerja kelompok. Demikian juga untuk kelompok wanita, ceramah juga sama efeknya dengan kerja

kelompok.

Dari sisi kolom, tidak adanya interaksi memberi arti bahwa pada ceramah, antara siswa pria dan

siswa wanita tidak ada perbedaan prestasi, dan hal yang sama berlaku kalau dilihat pada metode

kerja kelompok.

Perhatikan gambar grafik berikut

6.60 6.40 6.20 Ceramah

Kerja kelompok 5.40

Pria Wanita

48

Page 49: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

Gambar Profil Efek Variabel Metode Pembelajaran

Dapat dilihat pada gambar diatas, profil untuk metode ceramah berpotongan dengan profil untuk

metode kerja kelompok. Namun, adanya perpotongan ini tidak berarti adanya interaksi antara

variable jenis kelamin dan metode mengajar. Antara rataan sel ”Pria-Kerja Kelompok” dan rataan

sel ”Wanita- Kelompok”, yang kalau dilihat sepentas berbeda, sebenarnya tidak menunjukkan

perbedaan berarti (perbedaan yang signifikan). Hal ini juga dapat ditunjukkan dengan uji Sceffe’

berikut ini

F12−22=(6 .40−5 . 40 )2

(3 .91 )( 110

+ 110 )

= 10.782

=1 .28

Dengan

DK = {F|F>(3)F0.05;3;36} = {F|F>(3)(2.87)} = {F|F>8.61}

Sehingga Ho diterima, yang berarti μ12=μ22 atau dengan kata lain, pada metode kerja kelompok,

siswa-siswa pria tidak berbeda prestasinya dibandingkan dengan siswa-siswa wanita.

Ilustrasi tersebut sekali lagi menunjukkan bahwa jika interaksi tidak ada, maka tidak perlu uji

komparasi ganda antar sel setelah ANAVA

Kesimpulan Penelitian Contoh 13

1. Tidak ada perbedaan antara metode ceramah dengan metode kerja kelompok, baik secara umum

maupun kalau ditinjau dari masing-masing jenis kelamin (pria dan wanita)

2. Tidak ada perbedaan prestasi antara pria dan wanita, baik secara umum maupun kalau ditinjau

dari masing-masing metode mengajar (ceramah dan kerja kelompok).

Contoh 14

Seorang peneliti ingin melihat apakah metode pembelajaran 9yang dalam hal ini adalah metode

ceramah dan metode diskusi) berpengaruh terhadap prestasi belajar. Kecuali juga ingin dilihat

apakah siswa-siswa yang mempunyai kategori IQ yang berbeda (tinggi, sedang, dan rendah)

49

Page 50: ANALISIS VARIANSI (ANAVA) - Nico For Math Web viewPENGERTIAN . Apa yang dimaksud dengan Analisis Variansi? ... Teorema . Goodness – of – fit test. Uji kecocokan antara frekuensi

mempunyai prestasi belajar yang berbeda pula. Setelah eksperimen selesai, dari populasinya secara

random diambil masing-masing sel 4 orang seperti tampak pada tabel berikut

Tabel Prestasi Belajar Ditinjau dari IQ dan Metode Mengajar

IQ Metode MengajarCeramah (C) Diskusi (D)

Tinggi (T) 7 8 9 8 8 8 8 8Sedang (S) 5 6 7 6 9 7 8 8Rendah (R) 3 4 5 4 4 2 3 3

Jika diambil tingkat signifikansi 5%, bagaimana kesimpulan penelitian tersebut?

Diasumsikan semua persyaratan analisis variansi dipenuhi

Solusi

G. ANALISIS VARIANSI UNIVARIATE TIGA JALAN

50