ANALISIS DERET WAKTU

Abdul Kudus, SSi., MSi., PhD.

Ingat bahwa fungsi autokorelasi utk proses AR(1):

( 0)kk k

1t t tx x w adalah

dimana proses tsb bersifat stabil jika 1 Persamaan (1) menunjukkan bhw grafik autokorelasi akan meluruh menuju nol, dan peluruhannya akan lebih cepat untuk yang kecil.

.................(1)

Autokorelasi Parsial (PACF = Partial Autocorrelation Function)

atau1 1 2 2 1 ( 1)

1 ( 1) 2 ( 2) 1 1

( ,

)

kk t t t k t k

t k t k t k k t

Corr Y Y Y Y

Y Y Y Y

Contoh untuk2

2 122 2

11

Sehingga autokorelasi parsial untuk proses AR(1) yang mempunyai fungsi autokorelasi adalahk

k 2 2

22 20

1

Jadi, bagi AR(1) PACF lag ke-2-nya adalah nol.Secara umum bagi AR(p), PACF lag ke-(p+1) dst-nya adalah nol.

0 untuk kk k p

REGRESI

Linier

Contoh model linier: Polinom ber-orde p

ui,t adalah variabel prediktor ke-i pada waktu t

dimana ui,t = ti (i = 1,2,...,p)

Kasus khusus adalah jika p = 1 0 1t tx t z

KestasioneranModel linier utk deret waktu bersifat TIDAK stasioner krn merupakan fungsi dari t. Pembedaan pertama terhadap model (2)

.........(2)

Artinya dgn asumsi {zt} stasioner, maka xt stasioner krn tidak merupakan fungsi dari t.

Simulasi

wt stasioner

zt = 0.8zt-1 + wt error dari regresi adalah berkorelasi berupa AR(1)50 3t tx t z

Misal t = 1,2,...,100

> set.seed(1)> z <- w <- rnorm(100, sd = 20)> for (t in 2:100) z[t] <- 0.8 * z[t - 1] + w[t]> Time <- 1:100> x <- 50 + 3 * Time + z> plot(x, xlab = "time", type = "l")

0 20 40 60 80 100

10

02

00

30

04

00

time

x

Penaksiran Model

Penaksiran Model Berdasarkan Data Hasil Simulasi

Model linier ditaksir dengan metode peminimuman jumlah kuadrat error

yang dapat dilakukan dengan perintah lm dalam R

> x.lm <- lm(x ~ Time)> coef(x.lm)(Intercept) Time 58.551218 3.063275 > sqrt(diag(vcov(x.lm)))(Intercept) Time 4.88006278 0.08389621

Setelah penaksiran model, kita harus melakukan pemeriksaan korelogram dari residu.> acf(resid(x.lm))> pacf(resid(x.lm))

0 5 10 15 20

-0.2

0.4

1.0

Lag

AC

F

Series resid(x.lm)

5 10 15 20

-0.2

0.2

0.6

Lag

Pa

rtia

l AC

F

Series resid(x.lm)

Berdasarkan ACF dan PACF di atas, residu tsb merupakan proses apa?

Penaksiran Model utk Data Suhu Global (kuliah-2 slide-13)

Kita hanya ambil data tahun 1970 sampai 2005

> temp <- window(Global.ts, start = 1970)> temp.lm <- lm(temp ~ time(temp))> coef(temp.lm)(Intercept) time(temp) -34.920409 0.017654> confint(temp.lm) 2.5 % 97.5 %(Intercept) -37.21001248 -32.63080554time(temp) 0.01650228 0.01880572

0 5 10 15 20 25

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Lag

AC

F

Series resid(temp.lm)

> acf(resid(temp.lm))

Generalised Least Squares (GLS)

Jika {xt: t = 1,...,n} merupakan deret waktu yang stasioner dengan E(xt) = dan Var(xt) = 2 TETAPI tidak saling bebas, melainkan mempunyai autokorelasi Corr(xt, xt+k) = k, maka varians dari rata-rata sampelnya adalah

Oleh karena itu, jika k > 0 maka varians yang sesungguhnya adalah lebih besar dari yg kita hitung (underestimate). Salah satu solusinya adalah metode penaksiran GLS.

Penaksiran Menggunakan Metode GLS utk Data Simulasi

> library(nlme)> x.gls <- gls(x ~ Time, cor = corAR1(0.8))> coef(x.gls)(Intercept) Time 58.233018 3.042245 > sqrt(diag(vcov(x.gls)))(Intercept) Time 11.9245679 0.2024447

Bagaimana kalau data riil?

Selang Kepercayaan utk Trend dari Data Suhu

> temp.gls <- gls(temp ~ time(temp), cor = corAR1(0.7))> confint(temp.gls) 2.5 % 97.5 %(Intercept) -39.80571598 -28.49658972time(temp) 0.01442274 0.02011148