trigonometri powerpoint

Nama kelompok:@tensesfo

CHRISTIAN FREDERIC PMAUDIA ARDANTI

MAWAHDAHM. BARRY ALDAFFA

M.GUSTI RAMARIZKY ASTRI WULANDARI

SAHARA OKTAVIAWATIYENIKA FIBRIANITA

Trigonometri• Pengertian Trigonometri• Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang 

matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik sepertisinus, cosinus, dan tangen. 

• Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. trigonometri identik dengan fungsi trigonometri yang meliputi sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cotan) yang kesemuanya merupakan cara untuk menentukan suatu sisi sebuah segitiga atau sudut yang terbentuk dari dua buah sisi dalam sebuah segitiga.

• Trigonometri merupakan ilmu matematika yang sangat penting dalam kehidupan. Aplikasi ilmu trigonometri dalam kehidupan mencangkup segala bidang seperti astronomi, geografi, teori musik, elektronik, ekonomi, medical, teknik, dan masih banyak lagi. Dengan trigonometri kita bisa mengukur jarak suatu bintang diangkasa tanpa harus pergi kesana. Dengan trigonometri kita bisa mengukur sudut ketinggian tebing tanpa harus memanjatnya. Bisa mengukur lebar suatu sungai tanpa harus menyeberanginya. Itulah manfaat dari mempelajari trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.

• Trigonometri adalah sebuah konsep. Hal pertama yang perlu dimengerti dalam memahami konsep dasar trigonometri adalah mengetahui, mengerti dan memahami bentuk dan rumus-rumus sebuah segitiga, terutama segitiga siku-siku. Pada dasarnya sebuah segitiga selalu terdiri dari 3 sisi, yaitu  sisi miring, sisi samping, dan sisi depan. Dan tiga buah sudut yaitu sudut tegak lurus, sudut depan dan sudut samping. Dimana jika di tambahkan jumlah sudut sebuah segitiga haruslah 180 derajat.

Tujuan Mempelajari TrigonometriAdapun pemanfaatan trigoneometri dalam kehidupan sehari-hari, antara lain: 

• untuk menemukan nilai sebuah sudut atau panjang sebuah sisi sebuah segitiga.• Untuk menghitung sudut serang (angle of attack) yang paling optimal dari suatu 

peluncur senjata agar mampu melontarkan projektil sejauh mungkin. • Untuk menghitung berapa "lift force" suatu sayap profil pesawat, dengan 

kecepatan tertentu, yang tidak boleh dilewati. Bila nilai ini dilewati, maka pesawat akan mengalami stall (jatuh karena tidak memiliki daya angkat), khususnya perhitungan ini diperlukan pada pesawat pemburu. 

•  Pada olah gerak teknis kapal selam dibawah air, dengan mengetahui sudut hidroplane depan dan belakang, menginterpolarisasikannya dengan kecepatan kapal, kita lalu dapat memperkirakan berapa kita harus mengisi compensating tank  agar kapal welltrimm pada kecepatan tersebut. 

• Mengukur luas atau keliling tanah.• untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk 

menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Trigonometri

Sudut

sudut sudut

Sudut sebagai bentuk (tidak berarah)

Dua sinar garis dengan titik pangkal yang berimpit membagi bidang menjadi dua bagian, masing-masing dinamakan sudut

Arah positifArah negatif

Sudut sebagai gerak putar (berarah)A

B

4

Trigonometri

Sudut

Kedudukan Standar dari Sudut

∠AOB=30°∠AOC=150°∠AOD=225°-360°=-135°

X

Y

BC

D

AO

5

Trigonometri

Sudut

Ukuran Sudut : Derajat

1° = 1/360 putaran 360° = 1 putaran

¼ putaran = ¼ x 360°6

Trigonometri

Sudut

Ukuran Sudut : Derajat

Contoh Soal

Tentukan ukuran sudut berikut dalam satuan derajata. ½ putaranb. ¼ putaran

Jawab :c. ½ putaran = ½ x 360° = 180° d. ¼ putaran = ¼ x 360° = 90° 

7

Sudut

Ukuran Sudut : Radian

∠POQ=Panjang PQ radian r

Besar sudut satu putaran penuh = keliling lingkaran radian

jari-jari=2 π r radian = 2π radian r

Besar sudut ½ putaran = π radian Besar sudut ¼ putaran = ½ π radianJika panjang busur PQ=r, maka besarsudut POQ = 1 radian.1 radian = besar sudut pusat lingkaran yang panjang busurnya r.

P

Q

O

r

r

r

8

Sudut

Hubungan Satuan Derajat dan radian

Jika Sudut satu putaran penuh = 360°= 2π radian,Maka 180°= π radian.

Contoh Soal 1. Ubahlah 90° ke dalam satuan radian2. Ubahlah ½ π radian ke dalam satuan derajat3. Ubahlah ¼ radian ke dalam satuan derajat

Jawab :a. 90° = 90 x π/180 rad = ½ π radb. ½ π rad = ½ π x 180°/ π = 90°c. ¼ rad = 1/4 x 180°/ π = 45°/ π

1°= π rad atau 1 rad = 180° = 57,3° 180 π

9

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-sikuA.Panjang sisi-sisi suatu segitiga 

• Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan a• Panjang sisi dihadapan sudut   dinamakan b• Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan c• Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan • c2 = a2 + b2

Besar sudut pada segitiga• Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah` 

• Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.

Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00, 300, 450, 600, 900)

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran

• Sudut dalam kuadran I  terletak antara 0o dan 90o (0° < x < 90°), semua bernilai positif • Sudut dalam kuadran II terletak antara 90o dan 180o (90° < x < 180°), hanya nilai sinus yang positif 

(cosinus dan tangent bernilai negatif)• Sudut dalam kuadran III  terletak antara 180o dan  270o (180° < x < 270°), hanya nilai tangen yang positif 

(cosinus dan sinus bernilai negatif)• Sudut dalam kuadran IV  terletak antara 270o dan  360o (270° < x < 360°), hanya nilai cosinus yang positif 

(sinus dan tangent bernilai negatif.Untuk memudahkan mengingatnya kita dapat menggunakan kalimat semua sindikat tangannya kosongmaksudnya adalah semua, sinus, tangent dan cosinus

Dikuadran ITitik A(x,Y) dikuadran IAbsis positif  rA(x,y)Ordinat positif 

positifx

yTan

positifr

xCos

positifr

ySin

Dikuadran II• Titik A(-x,y) dikuadran II• A(-x,y)• Absis negatif Ordinat positif

negatifx

yTan

negatifr

xCos

positifr

ySin

Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran.

Rumus di kuadran I

Rumus di kuadran II

Rumus di kuadran III

Rumus sudut negatif

Rumus sudut lebih dari 3600

CotgTan

Cos

Sin

)90(

sin)90(

cos)90(

CotgTan

SinCos

CosSin

)90(

)90(

)90(

TanTan

CosCos

SinSin

)180(

)180(

)180(

CotgTan

SinCos

CosSin

)270(

)270(

)270(

CotgTan

SinCos

CosSin

)270(

)270(

)270(

TanTan

CosCos

SinSin

)(

)(

)(

TankTan

CoskCos

SinkSin

)360.(

)360.(

)360.(

Contoh : Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya 

2. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)   = -Sin 45

                     =           

3. Sin 7500 = = Sin (2.3600 + 300)    = Sin 300

    = 

32

1 32

11. Sin 1200 = Sin (900 + 30)

=

Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600)= Sin 600 =

22

1

2

1

TABEL LENGKAP NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA KUADRAN 1,2,3,4

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

• Sin x = Sin pX1 = p + k.360                  atau    x1 = p + k.2 

X2 = (180 – p) + k.360                 x2 = (  - p) + k.2 

 • Cos x = Cos pX1 = p + k.360       atau     x1 = p + k.2 

X2 = -p + k.360                     x2 = -p + k.2 

 • Tan x = Tan pX1 = p + k.180       atau     x1 = p + k.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian a. Sin x = Sin 200   x1 = 20 + k.360 ,   untuk k = 0  x1 = 20

              k = 1  x2 = 20 + 360                          = 380 (tidak memenuhi)

    X2 = (180 – 20) + k.360,  untuk k = 0  x2 = 160 Jadi HP = {20, 160}

IDENTITAS TRIGONOMETRI

                    Identitas  trigonometri adalah persamaan  trigonometri  yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

 1.  Sin2x + Cos2x = 1

Sin2x = 1 – Cos2xCos2x = 1 – Sin2x

 2.  1 + tan2x = sec2x

1 = sec2x – tan2xTan2x = sec2x – 1

 3.  1 + cotg2x = cosec2x

1 = cosec2x – cotg2xCotg2x = cosec2x – 1

SinX = Sin put, maka:      X₁= put + k.360⁰

      X₂= (180⁰ - p)+ k.360⁰

CosX= Cos put, maka:       X₁=  put + k.360⁰

       X₂= (-p) + k.360⁰

CosX = Cos put, makaX= put + k.180⁰

Contoh : 1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1

Jawab   :5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4

   = 5 sec2x – 5 + 4               = 5 sec2x – 1   (terbukti)2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3

Jawab  :3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)

 = 3 . 1 = 3     (terbukti)

LUAS SEGITIGA

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui :

    Luas = ½ b.c. sin A    Luas = ½ a.b. sin C     Luas = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui:

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh : Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. 

Sudut C = 450

Jawab :L = ½ a.b.sin C   = ½ 5.8.sin 450

   = 20. ½  = 10 

Penerapan Trigonometri

   Sudut  Elevasi: sudut antara garis pandang dan garis mendatar ketika pengamat melihat ke atas. 

   Sudut  Depresi: sudut antara  garis pandang dan garis mendatar ketika pengamat melihat ke bawah.

1. Seorang siswa akan mengukur tinggi sebuah pohon yang berjarak 6 meter dari dirinya. Ia melihat puncak pohon dengan sudut elevasi 300. Jika tinggi anak 1,6 meter, maka tinggi pohon adalah…. Pembahasan

Perhatikan BDE. tan 300 =  DE = 6 . tan 300 DE = 6 . 0,577DE = 3,46 meter

Panjang DE   = 3,462 meterTinggi anak   = 1,60 meterTinggi pohon = 3,462 m + 1,60 m                          = 5,062 meter                           = 5,1 meter.Jadi, tinggi pohon adalah 5,1 m 

2. Sebuah tiang bendera berdiri tegak pada tepian sebuah gedung bertingkat.  Dari  suatu  tempat  yang  berada  di  tanah,  titik pangkal  tiang  bendera  terlihat  dengan  sudut  elevasi  300  dan titik ujung tiang bendera terlihat dengan sudut elevasi 600 . Jika jarak horizontal dari titik pengamatan ke  tepian gedung  sama dengan 10 m. Berapa meter tinggi tiang bendera tersebut?

Sketsa Gambar!!

A B

C

D

600300

300

?

10m

m

32

2. Membuat Grafik Fungsi Trigonometri

a. Grafik y = sin xo , 00 ≤ X ≤ 3600

x 0 30 90 150 180 210 270 330 360

y 0 ½ 1 ½ 0 -1/2 -1 -1/2 0

33

1

0

-1

90 0 180 0

270 0

360 0

Y = sin xy

x

34

b. Grafik y = Cos xo ; 00 ≤ X ≤ 3600

x 0 60 90 120 180 240 270 300 360 y 1 1/2 0 1/2 -1 - 1/2 -1 1/2 1

1

0

-1

90 0180 0

270 0

360 0

Y = Cos x

36

c. Grafik y = tg xo

x 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y 0 1 ∞ -1 0 1 ∞ 1 0

37

1

0

-190 0 180 0

270 0

360 0

Y = Tg x

45 0

315 0135 0

225 0

Uji kompetensi 8.1

Latihan uji kompetensi 8.docx