smart solution un matematika sma 2013 (skl 6.2 kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi)
Post on 13-Jan-2017
466 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Smart Solution
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 303
6. 2. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.
Kaidah Pencacahan
Aturan Perkalian
Banyak cara memilih unsur pertama
Banyak cara memilih unsur kedua
Banyak cara memilih kedua unsur sekaligus
๐ ๐ ๐ ร ๐
Faktorial โPerkalian Bilangan Urutโ ๐! = ๐ ร (๐ โ 1) ร (๐ โ 2) ร โฆ ร 3 ร 2 ร 1 Catatan: 1! = 1 dan 0! = 1
Banyak cara menyusun ๐ buah unsur dari keseluruhan ๐ buah unsur
Permutasi Kombinasi โPerhatikan Urutanโ โUrutan Tidak Diperhatikanโ
๐๐๐ =๐!
(๐ โ ๐)!
Catatan: ๐ โค ๐
๐๐ถ๐ =
๐!
๐! (๐ โ ๐)!
Catatan: ๐ โค ๐
Permutasi Ada Unsur Sama โAda ๐ unsur yang sama, ada ๐ต unsur yang sama, dan ๐ unsur yang samaโ
๐๐(๐,โ,๐) =๐!
๐! โ! ๐!
Catatan: ๐ + โ + ๐ โค ๐
๐๐ถ๐ =
๐๐๐
๐!
Permutasi Siklis โPosisi Melingkarโ
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (๐ โ 1)!
Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi ๐ unsur dari ๐ unsur
namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan maka dianggap hasil permutasi tersebut ada ๐ unsur yang sama.
Halaman 304 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Permutasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus permutasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus permutasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:
๐๐๐ =๐!
(๐ โ ๐)!
Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:
๐๐๐ = ๐ ร (๐ โ 1) ร (๐ โ 2) ร โฆ ร (๐ โ ๐ + 1) Rumus tersebut adalah pengembangan dari aturan perkalian dalam menyusun banyak ๐ unsur berbeda yang bisa dibuat dari ๐ unsur. Misalnya saja, menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur yang diberikan. Maka kita akan membuat 3 kotak sebagai berikut:
Pada kotak pertama bisa diisi 5 unsur. Pada kotak kedua bisa diisi 4 unsur, karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak pertama. Pada kotak ketiga bisa diisi 3 unsur, karena 2 unsur sudah diisikan pada kotak pertama dan kedua. Sehingga dari aturan perkalian diperoleh banyaknya cara menyusun 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:
5 ร 4 ร 3 = 60 cara. Dari sini jelas bahwa rumus permutasi 3 unsur berbeda dari 5 unsur adalah:
5 ร 4 ร 3 = โperkalian mundur dimulai dari bilangan 5 sebanyak 3 faktorโ Jadi bisa disimpulkan bahwa:
๐๐ท๐ = โ๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซโ Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:
15๐4 = 15 ร 14 ร 13 ร 12 (perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15)
10๐3 = 10 ร 9 ร 8 (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10)
7๐2 = 8 ร 7 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7)
5๐2 = 5 ร 4 (perkalian mundur 2 angka terakhir dari 5) Dstโฆ dstโฆ dstโฆ
Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:
Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih ketua, wakil ketua, dan sekretaris dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak โฆ. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan memperhatikan urutan, maka digunakan konsep permutasi 12๐3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:
12๐3 = 12 ร 11 ร 10 = 1320 cara (perkalian mundur 3 angka terakhir dari 12)
Mudah bukan?!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 305
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Kombinasi. Cara paling mudah untuk menyusun rumus kombinasi adalah menggunakan definisi aslinya. Di sekolah mungkin adik-adik diberikan rumus kombinasi seperti dituliskan pada halaman sebelumnya, yaitu:
๐๐ถ๐ =๐!
๐! (๐ โ ๐)!
Padahal, definisi asli dari permutasi adalah sebagai berikut:
๐๐ถ๐ =๐๐ถ๐
๐!
Penjelasannya sebagai berikut:
Kombinasi adalah permutasi tanpa memperhatikan urutan obyek. Jadi, rumus kombinasi diperoleh dari permutasi ๐ unsur dari ๐ unsur, namun karena hasil permutasi tersebut urutan tidak diperhatikan, maka dianggap hasil permutasi tersebut ada ๐ unsur yang sama.
Jadi bisa disimpulkan bahwa:
๐๐ช๐ = โ(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)
(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐๐ฃ๐ฎ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)โ
Sehingga dengan mudah kita hitung nilai permutasi berikut:
15๐ถ4 =15 ร 14 ร 13 ร 12
1 ร 2 ร 3 ร 4 (
perkalian mundur 4 angka terakhir dari 15
perkalian maju 4 angka terdepan)
10๐ถ3 =10 ร 9 ร 8
1 ร 2 ร 3 (
perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10
perkalian maju 3 angka terdepan)
7๐ถ2 =8 ร 7
1 ร 2(
perkalian mundur 2 angka terakhir dari 7
perkalian maju 2 angka terdepan)
Dstโฆ dstโฆ dstโฆ
Atau bila soalnya berbentuk kalimat seperti berikut:
Di suatu kelas terdapat 12 siswa. Banyak cara memilih 3 siswa dari 12 siswa dalam suatu kelas tersebut adalah sebanyak โฆ. cara. Karena kita menyusun 3 siswa dari keseluruhan 12 siswa dengan tanpa memperhatikan urutan, maka digunakan konsep kombinasi 12๐ถ3. Sehingga banyak cara memilihnya ada sebanyak:
12๐ถ3 =12 ร 11 ร 10
1 ร 2 ร 3= 220 cara (
perkalian mundur 2 angka terakhir dari 15
perkalian maju 2 angka terdepan)
Mudah bukan?! Khusus untuk Kombinasi berlaku sifat berikut:
๐๐ช๐ = ๐๐ช(๐โ๐)
Jadi,
10๐ถ7 = 10๐ถ3 =10 ร 9 ร 8
1 ร 2 ร 3(
perkalian mundur 3 angka terakhir dari 10
perkalian maju 3 angka terdepan)
2
Halaman 306 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan aturan perkalian. Contoh Soal 1: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
7
7 7
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 7 ร 7 ร 7 = 343 buah. Contoh Soal 2: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
7 7
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka boleh berulang adalah: 6 ร 7 ร 7 = 294 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 307
Contoh Soal 3: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus genap maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 4 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 4, 6. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
7 4
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 ร 7 ร 4 = 168 buah. Contoh Soal 4: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Angka puluhan : dapat dipilih 7 angka, yaitu angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
7 3
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: 6 ร 7 ร 3 = 126 buah.
Halaman 308 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 5: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 300 adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka lebih dari 300, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : karena ada syarat harus lebih dari 300 maka angka ratusan hanya dapat dipilih
sebanyak 4 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
4
7 7
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 300 adalah: 4 ร 7 ร 7 = 196 buah.
Contoh Soal 6: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah โฆ.
Penyelesaian: Bilangan lebih dari 320, artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. - Bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3. Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan 3, yang bilangan puluhannya harus lebih dari 20. maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat dipilih sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi angka 3 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 5 cara saja, yaitu dapat diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
1
5 7
Untuk bilangan ratusan dengan angka ratusan selain 3, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 4, 5, dan 6 saja. Angka puluhan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Angka satuan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
3
7 7
Jadi banyaknya bilangan terdiri atas 3 angka boleh berulang lebih dari 320 adalah: (1 ร 5 ร 7) + (3 ร 7 ร 7) = 35 + 147 = 182 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 309
Contoh Soal 7: Dari angka-angka: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 7 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan. Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan
sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6, 7. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.
Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 3, 4, 5, 6, 7 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
7
6 5
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 7 ร 6 ร 5 = 210 buah. Contoh Soal 8: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka ratusan : dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, karena tidak
mungkin ada angka ratusan 0. Biasanya bilangan 012 hanya ditulis 12 gitu aja. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan
Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 6 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka puluhan.
Angka satuan : angka satuan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka ratusan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
6
6 5
Jadi banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 6 ร 6 ร 5 = 180 buah.
Halaman 310 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 9: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan genap yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Bilangan genap dan tersedia angka 0 (nol), artinya kita harus memecah menjadi dua bagian, yaitu: - Bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan. - Bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan. Untuk bilangan genap dengan angka 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti 0 (nol) maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 1 cara saja, yaitu diisi dengan angka 0 saja. Angka puluhan : dapat dipilih 6 angka, yaitu angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Misal kita pilih angka 1 sebagai angka puluhan. Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 0 yang sudah digunakan
sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka puluhan. Jadi angka satuan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 2, 3, 4, 5, 6 saja.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
1
6 5
Untuk bilangan genap dengan angka genap selain 0 (nol) berada di posisi angka satuan, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena angka satuan sudah pasti angka bukan 0 (nol) maka angka satuan hanya
dapat dipilih sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 2, 4, 6 saja. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka satuan.
Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 1, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka ratusan.
Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 2 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 1 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
3
5 5
Jadi banyaknya bilangan genap terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: (1 ร 6 ร 5) + (3 ร 5 ร 5) = 30 + 75 = 105 buah.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 311
Contoh Soal 10: Dari angka-angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka dengan tidak angka yang boleh berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun adalah โฆ.
Penyelesaian: Karena bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 angka, maka terdapat aturan sebagai berikut: Angka satuan : karena ada syarat bilangan harus ganjil maka angka satuan hanya dapat dipilih
sebanyak 3 cara saja, yaitu diisi dengan angka 1, 3, 5. Misal kita pilih angka 1 sebagai angka satuan.
Angka ratusan : angka ratusan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan jangan lupa angka 0 tidak boleh berada di angka ratusan. sehingga untuk angka ratusan dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu angka 2, 3, 4, 5, 6. Misal kita pilih angka 2 sebagai angka ratusan.
Angka puluhan : angka puluhan hanya dapat diisi dengan angka selain angka 1 yang sudah digunakan sebagai angka satuan, dan angka 2 yang digunakan sebagai angka ratusan. Jadi angka puluhan hanya dapat dipilih sebanyak 5 cara, yaitu diisi dengan angka 0, 3, 4, 5, 6 saja.
Sehingga bisa dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
Angka Ratusan
Angka Puluhan
Angka Satuan
3
5 5
Jadi banyaknya bilangan ganjil terdiri atas 3 angka tidak boleh berulang adalah: 3 ร 5 ร 5 = 75 buah.
Halaman 312 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menempatkan 7 orang duduk dalam satu baris dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah sebanyak 7 orang diambil sekaligus semuanya. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 7 orang.
7๐7 =7!
(7 โ 7)!=
7!
0!=
7!
1= 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 = 5040
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
๐๐ท๐ = โ๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซโ
7 permutasi 7, bisa diartikan perkalian 7 angka terakhir dari 7.
7๐7 = 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 = 5040 Contoh Soal 2: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara menempatkan orang duduk dalam satu baris yang terdiri dari 4 kursi dalam urutan yang berbeda? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi duduk diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 4 orang dari total 7 orang secara permutasi. Tujuh orang disusun secara permutasi sebanyak 4 orang.
7๐4 =7!
(7 โ 4)!=
7!
3!=
7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
3 ร 2 ร 1= 7 ร 6 ร 5 ร 4 = 840
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 7 permutasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7.
7๐4 = 7 ร 6 ร 5 ร 4 = 840 Contoh Soal 3: Ada 12 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan permutasi karena urutan posisi jabatan pengurus diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.
12๐3 =12!
(12 โ 3)!=
12!
9!=
12 ร 11 ร 10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1= 12 ร 11 ร 10 = 1320
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 permutasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12.
12๐3 = 12 ร 11 ร 10 = 1320
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 313
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi dengan ada unsur yang sama. Contoh Soal 1: Berapa banyak cara menyusun kata berlainan dari kata MATEMATIKA? Penyelesaian: Elemen penyusun kata MATEMATIKA adalah M, A, T, E, M, A, T, I, K, A. Maka banyaknya elemen adalah: ๐ = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Huruf M ada sebanyak 2 buah, jadi ๐ = 2. - Huruf A ada sebanyak 3 buah, jadi โ = 3. - Huruf T ada sebanyak 2 buah, jadi ๐ = 2. Jadi banyaknya kata berbeda yang bisa disusun adalah:
10๐(2,3,2) =10!
2! 3! 2!=
10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
2 ร 1 ร 3 ร 2 ร 1 ร 2 ร 1= 151.200 kata
Contoh Soal 2: Dalam suatu rak buku terdapat 5 buku Biologi, dan 4 buku Matematika serta 1 buah buku Fisika. Buku-buku tersebut akan disusun dengan ditumpuk dari bawah ke atas. Ada berapa banyak cara berbeda dalam menyusun buku tersebut? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 5 buku Biologi, 4 buku Matematika, serta 1 buah buku Fisika. Maka banyaknya elemen adalah: ๐ = 10 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Buku Biologi ada sebanyak 5 buah, jadi ๐ = 5. - Buku Matematika ada sebanyak 4 buah, jadi โ = 4. Jadi banyaknya susunan berbeda dari buku yang bisa disusun adalah:
10๐(5,4) =10!
5! 4!=
10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1= 1.260 cara
Contoh Soal 3: Ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Bendera-bendera tersebut akan digantung secara vertikal, maka ada berapa banyak cara menyusun bendera tersebut secara berbeda? Penyelesaian: Elemen penyusun ada 3 bendera merah, 1 bendera biru, dan 1 bendera hijau. Maka banyaknya elemen adalah: ๐ = 5 Banyak elemen huruf yang sama adalah: - Bendera merah ada sebanyak 3 buah, jadi ๐ = 3. Jadi banyaknya susunan berbeda dari bendera yang bisa disusun adalah:
5๐(3) =5!
3!=
5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
3 ร 2 ร 1= 20 cara
Halaman 314 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan permutasi siklis. Contoh Soal 1: Tentukan ada berapa banyak cara mengatur posisi duduk 5 orang mengelilingi meja berbentuk lingkaran! Penyelesaian: Mengatur 7 orang duduk secara melingkar, ๐ = 5. Berarti kita gunakan permutasi siklis.
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (5 โ 1)! = 4! = 4 ร 3 ร 2 ร 1 = 24 cara
Contoh Soal 2: Berapa cara 10 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar apabila ada 2 orang yang harus duduk secara berdekatan? Penyelesaian: Karena ada 2 orang harus duduk berdekatan, berarti 2 orang ini kita anggap menjadi satu kesatuan. Sementara banyak cara menyusun 2 orang yang duduk saling berdekatan sebanyak 2!. Nah, karena 2 orang dianggap menjadi satu, maka dari total 10 orang kini tinggal 9 orang yang akan diatur duduk secara melingkar. Mengatur 9 orang duduk secara melingkar, ๐ = 9. Berarti kita gunakan permutasi siklis.
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (9 โ 1)! = 8! Jadi banyaknya cara menyusun 10 orang duduk melingkar apabila ada 2 orang yang harus duduk bersebelahan:
๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐ ร 2! = 8! 2! = 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 ร 2 ร 1 = 80.640 cara
Contoh Soal 3: Ada 4 orang siswa kelas X, 3 orang siswa kelas XI, dan 2 orang siswa kelas XII akan berunding duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara duduk apabila siswa satu kelas harus duduk bersebelahan. Penyelesaian: Nah, yang ditanyakan oleh soal adalah banyak cara menyusun 3 kelompok kelas yang akan diatur duduk secara melingkar. Berarti kita gunakan permutasi siklis.
๐๐ ๐๐๐๐๐ = (3 โ 1)! = 2! Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas X adalah sebanyak 4๐4 = 4!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XI adalah sebanyak 3๐3 = 3!. Sementara banyaknya cara menyusun posisi duduk siswa kelas XII adalah sebanyak 2๐2 = 2!. Jadi banyaknya cara menyusun siswa duduk melingkar apabila ada siswa satu kelas harus duduk bersebelahan:
๐ = ๐๐ ๐๐๐๐๐ ร 4! ร 3! ร 2! = 2! ร 4! ร 3! ร 2! = 576 cara
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 315
Menentukan kaidah pencacahan menggunakan kombinasi. Contoh Soal 1: Dari keseluruhan 7 orang ada berapa banyak cara memilih 4 orang untuk dijadikan pengurus RT? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi duduk tidak diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต = ๐ต๐ด. Maka banyaknya cara memilih adalah memilih 4 orang dari total 7 orang secara kombinasi Tujuh orang dipilih secara kombinasi sebanyak 4 orang.
7๐ถ4 =7!
(7 โ 4)! 4!=
7!
3! 4!=
7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
3 ร 2 ร 1 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1=
7 ร 6 ร 5
3 ร 2 ร 1= 35
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
๐๐ช๐ = โ(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐ฎ๐ง๐๐ฎ๐ซ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)
(๐ฉ๐๐ซ๐ค๐๐ฅ๐ข๐๐ง ๐ฆ๐๐ฃ๐ฎ ๐๐ข๐ฆ๐ฎ๐ฅ๐๐ข ๐๐๐ซ๐ข ๐๐ข๐ฅ๐๐ง๐ ๐๐ง ๐ ๐ฌ๐๐๐๐ง๐ฒ๐๐ค ๐ ๐๐๐ค๐ญ๐จ๐ซ)โ
7 kombinasi 4, bisa diartikan perkalian 4 angka terakhir dari 7 dibagi perkalian 4 angka awal.
7๐ถ4 =7 ร 6 ร 5 ร 4
4 ร 3 ร 2 ร 1= 35
Contoh Soal 2: Ada 12 orang siswa yang telah mendaftar, akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus OSIS. Ada berapa banyak cara menyusun pengurus OSIS tersebut? Penyelesaian: Banyak urutan adalah bisa ditentukan menggunakan kombinasi karena urutan posisi jabatan pengurus tidak diperhatikan. Sehingga ๐ด๐ต = ๐ต๐ด. Maka banyaknya posisi duduk adalah mengambil 3 orang dari keseluruhan 12 orang secara permutasi. Dua belas orang disusun secara permutasi sebanyak 3 orang.
12๐ถ3 =12!
(12 โ 3)! 3!=
12!
9! 3!=
12 ร 11 ร 10 ร 9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1
9 ร 8 ร 7 ร 6 ร 5 ร 4 ร 3 ร 2 ร 1 ร 3 ร 2 ร 1
=12 ร 11 ร 10
3 ร 2 ร 1= 220
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 12 kombinasi 3, bisa diartikan perkalian 3 angka terakhir dari 12 dibagi perkalian 3 angka awal.
12๐ถ3 =12 ร 11 ร 10
3 ร 2 ร 1= 1320
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/03/smart-solution-un-matematika-sma-2013_31.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Kaidah Pencacahan (Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi) iniโฆ.
Halaman 316 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Bilangan terdiri dari 4 angka disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 7. Banyak susunan bilangan
dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang) adalah ....
A. 20
B. 40
C. 80
D. 120
E. 360
2. Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata โWIYATAโ adalah ....
A. 360 kata
B. 180 kata
C. 90 kata
D. 60 kata
E. 30 kata
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Permutasi 4 angka dari 6 angka:
6๐4 =6!
(6 โ 4)! =
6!
2!=
6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1
2 โ 1= 6 โ 5 โ 4 โ 3 = 360
Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama, yakni huruf A: 6!
2!=
6 โ 5 โ 4 โ 3 โ 2 โ 1
2 โ 1= 360 kata
Bisa juga dikerjakan dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya bilangan berbeda yang bisa dibentuk adalah: ๐ = 6 ร 5 ร 4 ร 3 = 360 bilangan
top related