geometri vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · geometri vektor kusbudiono jurusan...

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Geometri Vektor

Kusbudiono

Jurusan Matematika

1 Nopember 2011

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

1 Vektor dan Garis

2 Koordinat

3 Norma Vektor

4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi

5 Hasil Kali Silang

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Definisi Vektor

DefinisiJika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya disebut vektordan dinotasikan dengan

−→AB atau

−→CD yang menunjukkan ruas

garis tersebut mempunyai panjang dan arah. Dapat puladinotasikan sebagai huruf kecil tebal.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Definisi Vektor

Dua buah vektor v dan w adalah sama (v = w) jika mempunyaipanjang dan arah sama. Vektor yang mempunyai besar samadengan vektor v tetapi arahnya berlawanan dinyatakan dengan−v. Apabila panjang suatu vektor nol maka disebut vektor noldan dinotasikan dengan 0.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Penjumlahan Vektor

DefinisiJika a dan b adalah dua vektor sembarang, untuk menghitungpenjumlahan a + b: tempatkan ekor ruas garis yang meyatakanb pada ujung ruas garis yang menyatakan a. Vektor a + bdinyatakan oleh panah dengan ekor a dan ujung b(parallelogram rule).

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.

2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,vdan w.

3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,v

dan w.

3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,v

dan w.3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.

4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,v

dan w.3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Perkalian skalar dengan vektor

DefinisiDiberikan sembarang vektor v dan sembarang bilangan a,perkalian skalar dari v oleh a adalah vektor av dengan besardan arah sebagai berikut:

1 Besar dari av adalah ‖av‖ = |a|‖v‖.2 Arah dari av adalah

sama dengan v jika a > 0 dan v 6= 0tidak dapat ditentukan jika a = 0 atau v = 0berlawanan arah dengan v jika a < 0 dan v 6= 0

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Sifat-sifat Perkalian skalar dengan vektor

Sifat-sifat dari perkalian vektor dengan skalar sebagai berikut:1 ‖av‖ = |a|‖v‖ untuk sembarang skalar a dan vektor v.2 1v = v untuk sembarang vektor v.3 (−1)v = −v untuk sembarang vektor v.4 0v = 0 untuk sembarang vektor v.5 a0 = 0 untuk sembarang skalar a.

Suatu vektor disebut vektor satuan jika besar atau panjangnya1. Jika v 6= 0, maka 1

‖v‖v adalah vektor satuan dengan arahsama dengan arah v .

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Koordinat Siku-siku

Pada koordinat siku-siku pada ruang terdapat tiga garis salingtegak lurus sebagai sumbu utama yang disebut sumbu X,sumbu Y dan sumbu Z yang ketiganya bertemu disatu titik dandisebut titik asal. Ketiga sumbu merupakan garis bilangan realdengan 0 pada titik asal. Sedangkan bidang yang didapat darisumbu X dan Y disebut bidang X− Y, begitu pula untuk duabidang yang lain. Masing-masing titip P dinyatakan dengantunggal tiga bilangan (x , y , z) yang disebut koordinat. Sehinggatitik P ditulis sebagai P(x , y , z).

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Vektor Posisi

DefinisiDiberikan titik P(x , y , z), vektor posisi dari P didefinisikansebagai p =

−→OP dari titik asal ke P, dan dinotasikan dengan

p = (x , y , z)

dan bilangan x , y dan z disebut komponen X ,Y dan Z dari p.Jika P = P(x , y) dalam bidang X− Y, vektor posisi dinotasikandengan

p = (x , y).

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:

1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.

2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:

1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).

3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:

1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.

4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:

1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

TeoremaDiberikan titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2), vektor dari P1 keP2 adalah −−−→

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Norma Vektor dan Rumus Jarak

Panjang vektor sering disebut juga norma vektor

TeoremaMisalkan v = (x , y , z) adalah sebuah vektor. Maka

‖v‖ =√

x2 + y2 + z2

Teorema (Rumus Jarak)

Jarak d anatar titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) diberikanoleh √

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Hasil kali titik

DefinisiHasil kali dalam u · v dari dua vektor u dan v didefinisikansebagai berikut:

u · v =

{‖u‖‖v‖ cos θ jika u 6= 0 dan v 6= 00 jika u = 0 atau v = 0

Dari definisi diatas, u · v adalah bilangan sehingga seringkalidisebut perkalian skalar u dan v.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Hasil kali titik

Teorema

Misalkan v1 = (x1, y1, z1) dan v2 = (x2, y2, z2) dua vektor dalam bentukkomponen. Maka perkalian titiknya dihitung sebagai berikut:

v1 · v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

Teorema

Misalkan u, v dan w sembarang vektor.1 u · v adalah bilangan real2 u · v = v · u3 u · 0 = 0 = 0 · u4 u · u = ‖u‖2

5 (ku) · v = k(u · v) = u · (kv) untuk sembarang skalar k6 u · (v±w) = u · v± u ·w

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Orthogonal

DefinisiDua vektor u dan v disebut orthogonal jika u = 0 atau v = 0atau sudut dua vektor tersebut adalah π

2

TeoremaDua vektor tak nol u dan v orthogonal jika dan hanya jikau · v = 0

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Proyeksi Orthogonal

Diberikan vektor taknol d dan suatu vektor u yang dituliskansebagai penjumlahan dua buah vektor,

u = u1 + u2

dengan u1 sejajar d dan u2 = u− u1 orthogonal pada d.Anggap bahwa u dan d 6= 0 dimulai dari titik awal Q, P ujung u,dan P1 . Maka u1 = QP1 mempunyai sifat:

1 u1 sejajar pada d2 u2 = u − u1 orthogonal pada d3 u = u1 + u2

DefinisiVektor u1 = QP1 disebut proyeksi u atas d dan dinotasikan

u1 = projdu

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Proyeksi Orthogonal

TeoremaMisalkan u dan d 6= 0 adalah vektor.

1 Proyeksi u1 dari u atas d diberikan oleh projdu = u·d‖d‖2 d.

2 Vektor u− projdu adalah orthogonal ke d.

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Definisi Hasil Kali Silang

DefinisiDiberikan vektor v1 = (x1, y1, z1) dan v2 = (x2, y2, z2), hasil kalisilang v1 × v2 didefinisikan sebagai

v1 × v2 = ((y1z2 − z1y2),−(x1z2 − z1x2), (x1y2 − y1x2))

atau dalam notasi determinan

v1 × v2 =

(∣∣∣∣ x2 x3y2 y3

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ x1 x3y1 y3

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x1 x2y1 y2

∣∣∣∣)

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Hasil kali silang

TeoremaJika u,v dan w adalah vektor sembarang.

1 u× v adalah vektor2 u× v orthogonal pada u dan v3 u× 0 = 0 = 0× u4 u× u = 05 u× v = −(v× u)6 (ku)× v = k(u× v) = u× (kv) untuk semabarang skalar k7 u× (v + w) = (u× v) + (u×w)

8 (v + w)× u = (v× u) + (w× u)

Kusbudiono Geometri Vektor

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Hasil Kali Silang

TeoremaJika u dan v dua vektor, maka

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u× v)2

TeoremaJika u dan v dua vektor dan θ sudut antara u dan v, maka

1 ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ = luas jajargenjang yang dibangunu dan v.

2 u dan v sejajar jika dan hanya jika u× v = 0

Kusbudiono Geometri Vektor