fungsi khusus pdb [compatibility mode]

Fungsi Khusus

Lanjutan (PDB)

MATEMATIKA FISIKA II MATEMATIKA FISIKA II

JURDIK FISIKA FPMIPA UPI

Bandung

Fungsi Khusus dalam bentuk PDB

terdiri atas :

� Polinomial Legendre dalam berbagai jenis

� Fungsi Bessel dalam berbagai bentuk

� Polinomial Hermite

� Polinomial Laguarre� Polinomial Laguarre

� Semua point di atas diperoleh dari solusi-solusi Persamaan Differensial (PD) Laguarre, PD Bessel, dst

Diperlukan pengetahuan tentang metode-

metode untuk mencari solusi PD :

� Telah dipelajari metode analitik untuk mencari solusi PDB orde I dengan PDB orde II dikenal :

� Metode pemisahan variable

� Metode linier orde I

� Metode PD homogen

� Metode Bernoulli

� Metode reduksi orde

� Metode Variasi parameter

� Metode aproksimasi dengan deret pangkat

PDB ORDE I

PDB ORDE II

Mencari Solusi PDB dengan metode

deret pangkat

� Solusi PDB = hubungan eksplisit antara variabel terikat dan variabel bebas yang jika kita substitusikan ke PDB yang bersangkutan akan menghasilkan suatu identitas.

� Dengan metode deret pangkat kita misalkan :� Dengan metode deret pangkat kita misalkan :

n

nn

o

n

nxaxaxaxaxaaxay ++++∑ ++==

∝

=...4

4

3

3

2

021

13

4

2

321...4320' −++++++= n

nxnaxaxaxaay

22

432)1(...126200'' −−++++++= n

nxannxaxaay

Sudah dibahas dalam deret pangkat

Persamaan Diferensial Legendre

0)1('2'')1( 2 =++−− yxyyx ll → ∑==

1

0n

n

nxay

...)3)(2()1()1(

1 42

−+−++++−= xxay

llllll

metode deret pangkat

Solusi :

......!5

)4)(3)(2()1(

!3

)2)(1(

...!4!2

1

53

1

0

+

−−−++++−−−+

−+−=

xxxa

xxay

llllll

12 <x

12 =x

Dengan menggunakan tes rasio maka deret ini memiliki selang konvergensi dan tidak konvergensi untuk

Polinomial Legendre

l → suatu konstanta sebarang

+=⇒=0

0 ayl1

aderet pangkat dengan koefisien

+=⇒= xay1

1l0

aderet pangkat dengan koefisien

+−=⇒= )31(2 2

0xayl

1aderet pangkat dengan koefisien

+−=⇒= )3

5(3 3

1xxayl

0aderet pangkat dengan koefisien

Secara umum setiap nilai , l

12 =x0

a1

a

dihasilkan suatu deret pangkat dan lainnya suatu polinomialdimana deret pangkat yang dihasilkan bersifat divergen pada nilai

. Selanjutnya jika nilai-nilai dan

Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai

1=y 12 =x

)(xPl

Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai

untuk

Maka akan dihasilkan suatu polinomial yang disebut polynomial legendre ditulis dengan

00 ay =⇒=l

1,1 == xy

1100

=⇒= aa

∴Polynomial Legendre

1)(0

=xP

xay1

1 =⇒=l1,1 == xy

11111=⇒⋅= aa

xxP =)(1

∴

∴ )31(2 2

0xay −=⇒=l

1,1 == xy

( )2

0)1(311 −= a

)2(10

−= a

2

10

−=a

∴ )3

5(3 3

1xxay −=⇒=l

1,1 == xy

−=35

111

a

2

31

−=a

)31(2

1)( 2

2xxP −−=

)13(2

1)( 2

2−= xxP

−=2

1

2

3)( 2

2xxP

2

−−= 3

3 35

23

)( xxxP

−= xxxP 3

3 3

5

2

3)(

−= xxxP2

3

2

5)( 3

3

Formula Rodriguez :

( )ll

l

ll

l1

!2

1)( 2 −= x

dx

dxP

( )02

0

0

001

!02

1)( −= x

dx

dxP 1= 1)(

0=⇒ xP

( ) )2(2

11

!12

1)(

12

1

1

11xx

dx

dxP =−= xxP =⇒ )(

1

( ) ( )( )( ) ( )( )

−=

−=−= 148

1212

8

11

!22

1)( 2222

2

2

22xx

dx

dxx

dx

dx

dx

dxP

( ) ( )( ) ( ) ( )41281

84481

241481

)( 2222

2−=+−=+−= xxxxxxxxP

2

1

2

3)( 2

2−=⇒ xxP

Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre

( ) ( ) 1,21, 2

12 <+−= −

hhxhhxφ

Fungsi pembangkit polinomial legendre dirumuskan sebagai berikut :

Disebut pungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsi

yhxh =− 22

( ) ( ) 2

1

1 −−= yyφ ( )px+1

Disebut pungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsiini dapat dibangkitkan polinomial legendre.

Maka gunakan uraian deret binomial

Misalkan :

( ) ...8

3

2

11 2 +++= yyyφ

22 hxhy −=

( ) ( ) ...28

3

2

11,

222 +−+−+= hxhhxhhxφ

( ) ( ) ...44431

1, ++−+−+= hxhhxhxhhxφ

Substitusi kembali:

( ) ( ) ...4448

3

2

11, 43222 ++−+−+= hxhhxhxhhxφ

( ) ...2

1

2

31, 22 +

−++= xhxhhxφ

( ) ...)()()(,2

2

10+++= xPhxhPxPhxφ

Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre berguna

untuk mencari hubungan-hubungan rekursif

polinomial legendre:

( ) ( ) )(1)(12)( 21 xPxxPxP −− −−−=lll

lll

)()(')('1

xPxPxxPlll

l=− −

a)

b)

)()(')('11

xPxxPxP −− =−lll

l

( ) )()()('11

2 xxPxPxPxlll

ll −=− −

( ) )(')(')(1211

xPxPxP −+ −=+lll

le)

d)

c)

Buktikan hubungan rekursif a)

( ) 2

1221

−+−= hxhφ( ) ( )hxhxh

h2221

2

12

32 +−+−−=

∂∂ −φ

h 2∂

( ) ( )φφhx

hhxh −=

∂∂+− 221

∑=∞

=0)(

ll

l xPhφTetapi

( ) ( )∑−=∑∂∂+−

∞

=

∞

= 00

2 )()(21l

l

l

ll

l xPhhxxPhh

hxh

( ) ( )∑−=∑+−∞

=

∞

=

−

00

12 )()(21l

l

l

ll

l

l xPhhxxPhhxh

Maka:

)()()()(2)( 1211 xPhhxPxhxPhhxPhxhxPhl

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lll −=+− −−−

)()()()(2)( 111 xPhxPxhxPhxPhxxPhl

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lll++− −=+−

( ) ( ) )()()(2)(12)(2

1

1

1

2

1

1

11 xPhxPxhxPhxPhxxPh −−

−−

−−

−−− −=−+−−

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lll

( ) ( ) )()()(2)(12)(2121

xPxxPxPxPxxP −−−− −=−+−−lllll

lll

Atau:

( ) ( ) )(1)(12)( 21 xPxxPxP −− −−−=lll

lll

1)(0

=xP

2=l → ( ) )()1()(122)(2012

xPxxPxP −−⋅=012

13)(22

−⋅= xxxP

21

23

)( 2

2−= xxP

xxP =)(1

3xx −

xxPxxxPxxx5

3)(

5

2

5

3)(

5

233

3 −−=

+−=−

xxxP2

3

2

5)( 3

3 −=

Nyatakan dalam kombinasi linier polinomial-polinomial

legendre!

xxPx5

3)(

5

23

3 +=

xxPxxxPxxx5

)(55

)(5 33

( ))()(5

231 xPxP −=

)(5

2

5

23 xPx −=

Ortogonalitas Polinomial Legendre:

090cosBABA =•

Dua buah vektor dikatakan ortogonal jika keduanya saling tegak lurusmengapit sudut 90o . Menurut perkalian titik (dot product) dua vektoryang ortogonal memenuhi :

0=• BA

kAjAiAA ˆˆˆ321

++=0

332211=++=⋅ BABABABA

DBAi

ii30

3

1→=∑

=

Karena

Maka atau

01

11=∑

=iBA

)(xA )(xB

),( ba

0)()( =∫ dxxBxAb

Secara umum dua buah vektor yang saling tegak lurus memenuhi

Analogi dengan itu jika kita memiliki dua fungsi kontinu yaitu

dan maka kedua fungsi tersebut akan saling ortogonal

jika memenuhi: dalam selang

0)()( =∫ dxxBxAa

)(xA )(xB )(xA)(xB

0)()( =∫∗ dxxBxA

b

a

→∗ )(xA

Jika merupakan fungsi kompleks maka syarat dan orthogonal ditulis sebagai berikut :

kompleks berkonjugat dengan )(xA

)(xAn dstn ,...,3,2,1=

nm ≠;0

Jika kita memiliki himpunan fungsi dimana

=∫ dxxAxAb

amn

)()(

)(xAn

0≠nm =konstanta jika

maka fungsi-fungsi disebut himpunan fungsi ortogonal

Contoh :

∫ =−

π

πmxdxnxsinsin

nm ≠;0

0; ≠= nmπnxsin

( )ππ ,−

Maka merupakan himpunan fungsi-fungsi yang ortogonal

dalam selang ( )ππ ,−

∫ =−

1

1

0)()( dxxPxPml

m=l

)(1

xP )(2

xP

)(0

xP )(3

xP

)(2

xP )(5

xP

kecuali untuk

Pertanyaan apakah?

ortogonal dengan

ortogonal dengan

ortogonal dengan

dalam selang

Bukti:

( ) ( ) 01'2''1 2 =++−− yxyyx ll

)(xPyl

=⇒

( ) ( ) 0)(1)('2)(''1 2 =+−−− xPxxPxPxlll

ll

( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗ xPxPxd

ll

PD Legendre

atau( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗ xPxPxdx

dll

ll

( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗⊗ xPmmxPxdx

dmm

( )[ ] ( ) 0)(1)('1)( 2 =

++−⊗ xPxPx

dx

dxP

m llll

( ) ( ) 0)(1)('1)( 2 =

++

−⊗⊗ xPmmxPxdx

dxP mml

atau

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)('1)()('1)( 22 =+−++−−− xPxPmmxPxdx

dxPxPx

dx

dxP

mmm lllll

⊗⊗⊗

( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(1 2 =+−++−− xPxPmmxPxPxPxPxd

ll

⊗ ⊗⊗ ⊗⊗⊗Selanjutnya dikurangi didapat :

dua suku pertama menjadi :

( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(1 =+−++−− xPxPmmxPxPxPxPxdx mmm lll

ll

⊗⊗⊗ )1,1(−

( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(11

1

2 =∫

+−++−−

−dxxPxPmmxPxPxPxPx

dx

dmmm lll

ll

Kemudian lakukan integrasi untuk selang

Suku I Suku II

( )( )[ ]dxxPxPxPxPxdx

dmm∫ −−=

−

1

1

2 )(')()(')(1ll

( )( )[ ] 0)(')()(')(11

1

2 =−−= −xPxPxPxPxmm ll

( ) ( )[ ] dxxPxPmm )()(111

∫+−+= ll

Suku I

Suku II ( ) ( )[ ] dxxPxPmmm

)()(111∫+−+=−

lll

( ) ( )[ ] 0)()(1101

1

=∫+−++−

dxxPxPmmml

ll

( ) ( )[ ] 011

0)()(

1

1

=+−+

=∫− mm

dxxPxPm

lll

Suku II

Suku I + Suku II = 0

0)()(1

1

=∫−

dxxPxPml

0)()(1

1

=∫−

dxxPxPml

13

)(1 = xxP

Polinomial-polinomial legendre merupakan

fungsi-fungsi yang saling ortogonal:

1−

2

1

2

3)( 2

2 −= xxP

04

1

8

3

4

1

8

3

4

1

8

3

2

1

2

3

2

1

2

31

1

241

1

31

1

2 =

−−

−=

−=∫

−=∫

−−−−

xxdxxxdxxx

3

2

3

1

3

1

3

1)()(

1

1

31

1

21

111

=

−−=

=∫=∫−−−

xdxxdxxPxP

Normalisasi polinomial legendre

A

Au r

r) = →Vektor satuan

disebut proses normalisasi

Besarnya satu satuan

22

)()()( NdxxAdxxAxAb

a

b

a

=∫=∫

)(xA ),( baBerapa normalisasi dalam selang ?

disebut proses normalisasi tinjau untuk fungsi

)(xA ),( ba

)(xAN

1

Jadi jika dinormalisasi dalam selang maka

dikali dengan setelah dinormalisasi N

1)( =nilainya

N

xA

N

1

setelah dinormalisasi

disebut faktor normalisasi

( )∫−

==π

π

ππ2

sinsin nxdxnx

nxsin π=NNormalisasifungsi ?

Contoh:

nxsin π=N

π11 =

N

1sin1 =nxπ

Normalisasifungsi ?

Faktor normalisasi fungsi nxsin ?

)(xPl

Berapa normalisasi untuk ?

)()(')('1

xPxPxxPlll

l=− −

⊗ )(xPl

⊗⊗−= − )(')()(')()()(1

xPxPxPxxPxPxPllllll

l

Hubungan Rekursif Polinomial Legendre b)

Kalikan dengan

⊗⊗ )1,1(−

dxxPxPdxxPxxPdxxPxP )(')()(')()()(1

1

1

1

1

1

1−

−−−∫−∫=∫ llllll

l

0dxxPxxPdxxPxP )(')()()(

1

1

1

1llll

l ∫=∫−−

∫udv

integrasikan untuk selang

bypart

( )

( )2)(

21

)()()(')(

xPv

xPdxPdxxPxPdv

dxduxu

l

llll

=

===→=

( ) − 11

11

Ruas kanan dengan integral bypart:

( ) ∫−

−−

1

11

2 )()(21

)(21

dxxPxPxPxlll

( ) ∫−

=∫−−−

1

1

1

1

21

1

)()(2

1)(

2

1)()( dxxPxPxPxdxxPxP

llllll

( ) ( )221

1

)1(2

1)1(

2

1)()(

2

1 −+=∫

+−

lllll PPdxxPxP

dengan demikian:

21

1)()(

1

1 +=∫

−l

lldxxPxP

122

212

1)()(

1

1 +=+=∫

− llll

dxxPxP

Jadi

)(xPl

12

2

+=

lN

2121 += l

N

Berapa normalisasi untuk ?

Faktor normalisasi ?

Fungsi Legendre yang Diasosiasikan

( ) 01

12'')1(2

2

2 =

−−++−− y

x

mxyyx ll

22l≤m

PDB yang mirip dengan Legendre

dengan

)()1( 22 xPdx

dxy

m

mm

l−=

( ) )(1)( 22 xPdx

dxxP

m

mmm

ll−=

PDB ini memiliki solusi :

Solusi ini disebut fungsi legendre yang diasosiasikan yang ditulis sebagai :

( ) ( )ll

l

ll

l11

!21

)( 222 −−=+

+

xdx

dxxP

m

mmm

mUntuk negatif fungsi legendre asosiasi dapat ditentukan

Formula Rodriguez untuk mencari

fungsi legendre yang diasosiasikan :

dengan formula sebagai berikut :

( ) ( )( ) )(

!

!1)( xP

m

mxP mmm

ll

l

l

+−−=−

)(xPm

lm

)1,1(−

ndxxPxP mn

m ≠=∫−

ll

,0)()(1

1

Fungsi untuk setiap merupakan himpunan fungsi-

sehingga :

dengan formula sebagai berikut :

fungsi yang orthogonal pada selang

( )( )!

!

12

2)()(

1

1 m

mdxxPxP m

m −+

+=∫

− l

l

ll

l

PDB legendre diasosiasikan sering juga ditulis dalam bentuk

Normalisasi fungsi Legendre yang

diasosiasikan adalah :

sebagai berikut :

( ) 0sin

1sinsin

12

2

2=

−++

ym

d

dy

d

d

θθθ

θθll

θcos=x

?)(cos1

1θP

Fungsi ini diperoleh dengan mengganti

sebagai berikut :

?)(cos1

1θP

( ) )(1)(1

2

121

1xP

dx

dxxP −=

( ) )(1)( 2

121 x

dxxP −=

( )xxP 211 cos1)( −=

( )xxP 21

1sin)( =( ) )(1)( 221

1x

dx

dxxP −=

( ) 11)( 2

121

1⋅−= xxP

( )21

11)( xxP −=

( )1

xxP sin)(11 =

PDB Bessel

( ) 0''' 222 =−++ ypxxyyx

P adalah konstan, tidak perlu bilangan bulat, disebut orde fungsi Bessel. Dengan menggunakan metode deret pangkat, PDB bessel dapat dicari solusinya.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+Γ−

+Γ+

+Γ−

+Γ+Γ= ...

24!3

1

23!2

1

22

1

1

11

642

0

x

p

x

p

x

pppxay p

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+ΓΓ−

+ΓΓ+

+ΓΓ−

+ΓΓ+Γ

= ...24)4(

123)3(

122)2(

11)1(1

12

2642

0

x

p

x

p

x

ppp

xay

p

p

PDB bessel dapat dicari solusinya.

atau

Solusi pertama yang memenuhi PDB bessel adalah

( )pay

p +Γ==

12

10

!2

100 P

a =

y

)(xJp

atau Maka:

Jenispertamayangditulis sebagai

Jika dipilih

disebut sebagai Fungsi Bessel

)(xJp

( ) ( ) ( )( )

( )pn

n

nppp

p

x

pnn

x

p

x

p

x

pxJ

+∞

=

++

++Γ+Γ−=+

+ΓΓ+

+ΓΓ−

+ΓΓ= ∑

2

0

62

21)1(

1...

23)3(

1

22)2(

1

21)1(

1)(

( )( )

pn

n

n

p

x

pnnxJ

−∞

=−

∑

+−Γ+Γ−=

2

0 21)1(

1)(

Jenispertamayangditulis sebagai

Dengan demikian :

Solusi kedua yang memenuhi PDB Bessel menghasilkan fungsibessel jenis kedua sebagai berikut :

)(xJp

)(xJp−

( ) )(1)( xJxJp

p

p−=→ −

0=→ p

dan

Hubungan

( ) ( ) ( )

...3664644

1

...23)3(

122)2(

121)1(

1)(

0

642

420

0

+⋅

−+−=

−

ΓΓ+

ΓΓ−

ΓΓ=

=→

xxx

xxxxJ

p

[ ] )()(1

xJxxJxdx

dp

p

p

p

−=

[ ] )()(1

xJxxJxdx

dp

p

p

p

+−− −=

Hubungan Rekursif Fungsi Bessel :

a)

b) [ ]1dx pp +

c) )(2

)()(11

xJx

pxJxJ

ppp=+ +−

)('2)()(11

xJxJxJppp

=− +−

)()()()()('11

xJxJx

pxJxJ

x

pxJ

ppppp +− −=+−=

d)

e)

( ) 0'21

''2

22221 =

−++−+ − yx

cpabcxy

x

ay c

( )c

p

a bxJxy =11

Solusinya

PDB umum yang solusinya mengandung

fungsi bessel

)2( xxJy =0

14'

1''

2=

++− yx

yx

y

220 −= cxx

1

22

121

==

−=−

a

a

a

2

4)1(

42

22

±===

b

b

cb

1

22

022

==

=−

c

c

c

0

0

1)1()1(

1

2

222

222

==

=−=−

p

p

p

cpa

)2(0

xxJy =

Jenis-jenis lain fungsi bessel:

)()()(

)()()()2(

)1(

xiNxJxH

xiNxJxH

ppp

ppp

−=

+=xixe ix sincos ±=±

a) Fungsi Bessel jenis ketiga disebut fungsi Henkel

Bandingkan dengan

( )( )p

xJxJpxYxN pp

pp ππ

sin

)()(cos)()( −−

==di sini

b) Fungsi Bessel Hiperbolik

)(2

)(

)()(

)1(1 ixHixK

ixJpixI

pp

p

pp

+

−

=

=

π

−== + x

x

dx

d

xxxJ

xxJ

n

n

nn

sin1)(

2)(

2

)12(

π

c) Fungsi Bessel Sperik

−−==

+ x

x

dx

d

xxxY

xxY

n

n

nn

cos1)(

2)(

2

)12(

π

)()()(

)()()()2(

)1(

xiYxJxh

xiYxJxh

pnp

pnp

−=+=

Ortogonalitas Fungsi Bessel

badxbxJaxJxpp

≠=∫ ;0)()(1

0

a b )(xJp

xxJ sin2

)( =

dan pembuat nol

Diketahui xx

xJ sin2

)(2

1 π=

)(2

3xJ )(),(

10xJxJ

?)(2

3 =xJ

Diketahui

Dengan menggunakan hubungan rekursif Fungsi Bessel.Cari

kemudian cari

=)(2

3xJ

)()(2

32

1

2

12

1

xJxxJxdx

d −−−=

)(sin2

32

1

2

1

xJxxx

xdx

d −−−=

π

−−=−

2

2

1

2

3

sincos2)(

x

xxxxxJ

π

−= xx

x

xxJ cos

sin2)(

3 π2

3xdx

π

)(sin2

2

32

1

2

1

2

1

xJxxxxdx

d −−−−=

π

)(sin2

2

32

1

xJx

x

dx

dx =

−−

π

−= xxx

xJ cos)(2

3 π

x

xx

xxxJ

xxJ

sinsin

2

2)(

2)(

2

10===

πππ

2

sincossincos2

2)(

2)(

2

2

1

2

31

xxx

x

xxxx

xxJ

xxJ

−=

−⋅==π

ππ

Fungsi Hermite

( ) 3,2,1,0;12'' 2 =+−=− nynyxynnn

2

2

2 x

n

nx

ne

dx

dey −=

2

Persamaan Differensial untuk fungsi hermite :

Solusi PDB ini adalah disebut sebagai fungsi Hermitedx

( ) 2

2

1x

ne−

( ) 2

2

21)( x

n

nxn

ne

dx

dexH −−=

Jika fungsi hermite ini dikalikan dengan

akan didapat polinomial hermite

,...2,1,0=n

24)(

2)(

1)(

2

2

1

0

−===

xxH

xxH

xH

Untuk didapat

02'2'' =+− nyxyyn

0;0)()(2

=≠=∫∞

∞−

− mndxxHxHe mnx

Polinomial hermite memenuhi persamaan differensial hermite

Ortogonalitas polinomial hermite

mnndxxHxHe n

mn

x ==∫∞

∞−

− ;!2)()(2 π

∑==∞

− )(),(2

nhxHehxφ

Fungsi pembangkit polinomial hermite

Normalisasi polinomial hermite

∑==∞

=

−

0

2

!)(),(

2

nn

hxh

n

hxHehxφ

)(2)('1

xnHxHnn −=

)(2)(2)(11

xnHxxHxHnnn −+ −=

242)2(2)( 2

2−=−= xxxxH

Hubungan rekursif polinomial hermite :

a)

b)

Fungsi Laguarre

0')1('' =+−+ nyyxxy

( )nd= 1

Polinomial laguarre merupakan solusi dari PDB :

Dapat dicari dengan formula Rodriguez sebagai berikut :

( )xn

n

x

nex

dx

de

nxL −=

!

1)(

,...2,1,0=n

221)(

1)(

1)(

2

2

1

0

xxxL

xxL

xL

+−=

−==

Untuk didapat:

Ortogonalitas polinomial laguarre

∫ ≠=∞

−

0

;0)()( kndxxLxLekn

x

∫∞

−

Normalisasi polinomial laguarre

∫− ==

0

;1)()( kndxxLxLe knx

∑∞

=

−−

=−

=0

)1(

)(1

),(n

nn

h

xh

hxLh

ehxφ

Fungsi pembangkit polinomial laguarre

Hubungan rekursif polinomial laguarre :

0)()(')('1

=+−+ xLxLxLnnn

( ) 0)()(12)()1( =+−+−+ xnLxLxnxLn

a)

b) ( ) 0)()(12)()1(11

=+−+−+ −+ xnLxLxnxLnnnn

0)()()('1

=+− − xnLxnLxxLnnn

b)

c)

HAVE FINISHED…

Go to the next concept…Go to the next concept…