fungsi khusus pdb [compatibility mode]

51
Fungsi Khusus Lanjutan (PDB) MATEMATIKA FISIKA II MATEMATIKA FISIKA II JURDIK FISIKA FPMIPA UPI Bandung

Upload: nguyencong

Post on 31-Dec-2016

246 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Fungsi Khusus

Lanjutan (PDB)

MATEMATIKA FISIKA II MATEMATIKA FISIKA II

JURDIK FISIKA FPMIPA UPI

Bandung

Page 2: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Fungsi Khusus dalam bentuk PDB

terdiri atas :

� Polinomial Legendre dalam berbagai jenis

� Fungsi Bessel dalam berbagai bentuk

� Polinomial Hermite

� Polinomial Laguarre� Polinomial Laguarre

� Semua point di atas diperoleh dari solusi-solusi Persamaan Differensial (PD) Laguarre, PD Bessel, dst

Page 3: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Diperlukan pengetahuan tentang metode-

metode untuk mencari solusi PD :

� Telah dipelajari metode analitik untuk mencari solusi PDB orde I dengan PDB orde II dikenal :

� Metode pemisahan variable

� Metode linier orde I

� Metode PD homogen

� Metode Bernoulli

� Metode reduksi orde

� Metode Variasi parameter

� Metode aproksimasi dengan deret pangkat

PDB ORDE I

PDB ORDE II

Page 4: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Mencari Solusi PDB dengan metode

deret pangkat

� Solusi PDB = hubungan eksplisit antara variabel terikat dan variabel bebas yang jika kita substitusikan ke PDB yang bersangkutan akan menghasilkan suatu identitas.

� Dengan metode deret pangkat kita misalkan :� Dengan metode deret pangkat kita misalkan :

n

nn

o

n

nxaxaxaxaxaaxay ++++∑ ++==

=...4

4

3

3

2

021

13

4

2

321...4320' −++++++= n

nxnaxaxaxaay

22

432)1(...126200'' −−++++++= n

nxannxaxaay

Sudah dibahas dalam deret pangkat

Page 5: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Persamaan Diferensial Legendre

0)1('2'')1( 2 =++−− yxyyx ll → ∑==

1

0n

n

nxay

...)3)(2()1()1(

1 42

−+−++++−= xxay

llllll

metode deret pangkat

Solusi :

......!5

)4)(3)(2()1(

!3

)2)(1(

...!4!2

1

53

1

0

+

−−−++++−−−+

−+−=

xxxa

xxay

llllll

12 <x

12 =x

Dengan menggunakan tes rasio maka deret ini memiliki selang konvergensi dan tidak konvergensi untuk

Page 6: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Polinomial Legendre

l → suatu konstanta sebarang

+=⇒=0

0 ayl1

aderet pangkat dengan koefisien

+=⇒= xay1

1l0

aderet pangkat dengan koefisien

+−=⇒= )31(2 2

0xayl

1aderet pangkat dengan koefisien

+−=⇒= )3

5(3 3

1xxayl

0aderet pangkat dengan koefisien

Page 7: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Secara umum setiap nilai , l

12 =x0

a1

a

dihasilkan suatu deret pangkat dan lainnya suatu polinomialdimana deret pangkat yang dihasilkan bersifat divergen pada nilai

. Selanjutnya jika nilai-nilai dan

Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai

1=y 12 =x

)(xPl

Pada setiap polinomial dipilih sedemikian rupa sehingga nilai

untuk

Maka akan dihasilkan suatu polinomial yang disebut polynomial legendre ditulis dengan

Page 8: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

00 ay =⇒=l

1,1 == xy

1100

=⇒= aa

∴Polynomial Legendre

1)(0

=xP

xay1

1 =⇒=l1,1 == xy

11111=⇒⋅= aa

xxP =)(1

Page 9: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

∴ )31(2 2

0xay −=⇒=l

1,1 == xy

( )2

0)1(311 −= a

)2(10

−= a

2

10

−=a

∴ )3

5(3 3

1xxay −=⇒=l

1,1 == xy

−=35

111

a

2

31

−=a

)31(2

1)( 2

2xxP −−=

)13(2

1)( 2

2−= xxP

−=2

1

2

3)( 2

2xxP

2

−−= 3

3 35

23

)( xxxP

−= xxxP 3

3 3

5

2

3)(

−= xxxP2

3

2

5)( 3

3

Page 10: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Formula Rodriguez :

( )ll

l

ll

l1

!2

1)( 2 −= x

dx

dxP

( )02

0

0

001

!02

1)( −= x

dx

dxP 1= 1)(

0=⇒ xP

( ) )2(2

11

!12

1)(

12

1

1

11xx

dx

dxP =−= xxP =⇒ )(

1

( ) ( )( )( ) ( )( )

−=

−=−= 148

1212

8

11

!22

1)( 2222

2

2

22xx

dx

dxx

dx

dx

dx

dxP

( ) ( )( ) ( ) ( )41281

84481

241481

)( 2222

2−=+−=+−= xxxxxxxxP

2

1

2

3)( 2

2−=⇒ xxP

Page 11: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre

( ) ( ) 1,21, 2

12 <+−= −

hhxhhxφ

Fungsi pembangkit polinomial legendre dirumuskan sebagai berikut :

Disebut pungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsi

yhxh =− 22

( ) ( ) 2

1

1 −−= yyφ ( )px+1

Disebut pungsi pembangkit polinomial legendre karena dari fungsiini dapat dibangkitkan polinomial legendre.

Maka gunakan uraian deret binomial

Misalkan :

( ) ...8

3

2

11 2 +++= yyyφ

Page 12: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

22 hxhy −=

( ) ( ) ...28

3

2

11,

222 +−+−+= hxhhxhhxφ

( ) ( ) ...44431

1, ++−+−+= hxhhxhxhhxφ

Substitusi kembali:

( ) ( ) ...4448

3

2

11, 43222 ++−+−+= hxhhxhxhhxφ

( ) ...2

1

2

31, 22 +

−++= xhxhhxφ

( ) ...)()()(,2

2

10+++= xPhxhPxPhxφ

Page 13: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre berguna

untuk mencari hubungan-hubungan rekursif

polinomial legendre:

( ) ( ) )(1)(12)( 21 xPxxPxP −− −−−=lll

lll

)()(')('1

xPxPxxPlll

l=− −

a)

b)

)()(')('11

xPxxPxP −− =−lll

l

( ) )()()('11

2 xxPxPxPxlll

ll −=− −

( ) )(')(')(1211

xPxPxP −+ −=+lll

le)

d)

c)

Page 14: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Buktikan hubungan rekursif a)

( ) 2

1221

−+−= hxhφ( ) ( )hxhxh

h2221

2

12

32 +−+−−=

∂∂ −φ

h 2∂

( ) ( )φφhx

hhxh −=

∂∂+− 221

∑=∞

=0)(

ll

l xPhφTetapi

Page 15: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( ) ( )∑−=∑∂∂+−

=

= 00

2 )()(21l

l

l

ll

l xPhhxxPhh

hxh

( ) ( )∑−=∑+−∞

=

=

00

12 )()(21l

l

l

ll

l

l xPhhxxPhhxh

Maka:

)()()()(2)( 1211 xPhhxPxhxPhhxPhxhxPhl

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lll −=+− −−−

)()()()(2)( 111 xPhxPxhxPhxPhxxPhl

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lll++− −=+−

( ) ( ) )()()(2)(12)(2

1

1

1

2

1

1

11 xPhxPxhxPhxPhxxPh −−

−−

−−

−−− −=−+−−

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

lll

( ) ( ) )()()(2)(12)(2121

xPxxPxPxPxxP −−−− −=−+−−lllll

lll

Page 16: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Atau:

( ) ( ) )(1)(12)( 21 xPxxPxP −− −−−=lll

lll

1)(0

=xP

2=l → ( ) )()1()(122)(2012

xPxxPxP −−⋅=012

13)(22

−⋅= xxxP

21

23

)( 2

2−= xxP

xxP =)(1

Page 17: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

3xx −

xxPxxxPxxx5

3)(

5

2

5

3)(

5

233

3 −−=

+−=−

xxxP2

3

2

5)( 3

3 −=

Nyatakan dalam kombinasi linier polinomial-polinomial

legendre!

xxPx5

3)(

5

23

3 +=

xxPxxxPxxx5

)(55

)(5 33

( ))()(5

231 xPxP −=

)(5

2

5

23 xPx −=

Page 18: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Ortogonalitas Polinomial Legendre:

090cosBABA =•

Dua buah vektor dikatakan ortogonal jika keduanya saling tegak lurusmengapit sudut 90o . Menurut perkalian titik (dot product) dua vektoryang ortogonal memenuhi :

0=• BA

kAjAiAA ˆˆˆ321

++=0

332211=++=⋅ BABABABA

DBAi

ii30

3

1→=∑

=

Karena

Maka atau

Page 19: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

01

11=∑

=iBA

)(xA )(xB

),( ba

0)()( =∫ dxxBxAb

Secara umum dua buah vektor yang saling tegak lurus memenuhi

Analogi dengan itu jika kita memiliki dua fungsi kontinu yaitu

dan maka kedua fungsi tersebut akan saling ortogonal

jika memenuhi: dalam selang

0)()( =∫ dxxBxAa

)(xA )(xB )(xA)(xB

0)()( =∫∗ dxxBxA

b

a

→∗ )(xA

Jika merupakan fungsi kompleks maka syarat dan orthogonal ditulis sebagai berikut :

kompleks berkonjugat dengan )(xA

Page 20: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

)(xAn dstn ,...,3,2,1=

nm ≠;0

Jika kita memiliki himpunan fungsi dimana

=∫ dxxAxAb

amn

)()(

)(xAn

0≠nm =konstanta jika

maka fungsi-fungsi disebut himpunan fungsi ortogonal

Page 21: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Contoh :

∫ =−

π

πmxdxnxsinsin

nm ≠;0

0; ≠= nmπnxsin

( )ππ ,−

Maka merupakan himpunan fungsi-fungsi yang ortogonal

dalam selang ( )ππ ,−

∫ =−

1

1

0)()( dxxPxPml

m=l

)(1

xP )(2

xP

)(0

xP )(3

xP

)(2

xP )(5

xP

kecuali untuk

Pertanyaan apakah?

ortogonal dengan

ortogonal dengan

ortogonal dengan

dalam selang

Page 22: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Bukti:

( ) ( ) 01'2''1 2 =++−− yxyyx ll

)(xPyl

=⇒

( ) ( ) 0)(1)('2)(''1 2 =+−−− xPxxPxPxlll

ll

( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗ xPxPxd

ll

PD Legendre

atau( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗ xPxPxdx

dll

ll

( )[ ] ( ) 0)(1)('1 2 =++−⊗⊗ xPmmxPxdx

dmm

( )[ ] ( ) 0)(1)('1)( 2 =

++−⊗ xPxPx

dx

dxP

m llll

( ) ( ) 0)(1)('1)( 2 =

++

−⊗⊗ xPmmxPxdx

dxP mml

atau

Page 23: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)('1)()('1)( 22 =+−++−−− xPxPmmxPxdx

dxPxPx

dx

dxP

mmm lllll

⊗⊗⊗

( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(1 2 =+−++−− xPxPmmxPxPxPxPxd

ll

⊗ ⊗⊗ ⊗⊗⊗Selanjutnya dikurangi didapat :

dua suku pertama menjadi :

( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(1 =+−++−− xPxPmmxPxPxPxPxdx mmm lll

ll

⊗⊗⊗ )1,1(−

( )( )[ ] ( ) ( )[ ] 0)()(11)(')()(')(11

1

2 =∫

+−++−−

−dxxPxPmmxPxPxPxPx

dx

dmmm lll

ll

Kemudian lakukan integrasi untuk selang

Suku I Suku II

Page 24: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( )( )[ ]dxxPxPxPxPxdx

dmm∫ −−=

1

1

2 )(')()(')(1ll

( )( )[ ] 0)(')()(')(11

1

2 =−−= −xPxPxPxPxmm ll

( ) ( )[ ] dxxPxPmm )()(111

∫+−+= ll

Suku I

Suku II ( ) ( )[ ] dxxPxPmmm

)()(111∫+−+=−

lll

( ) ( )[ ] 0)()(1101

1

=∫+−++−

dxxPxPmmml

ll

( ) ( )[ ] 011

0)()(

1

1

=+−+

=∫− mm

dxxPxPm

lll

Suku II

Suku I + Suku II = 0

Page 25: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

0)()(1

1

=∫−

dxxPxPml

0)()(1

1

=∫−

dxxPxPml

13

)(1 = xxP

Polinomial-polinomial legendre merupakan

fungsi-fungsi yang saling ortogonal:

1−

2

1

2

3)( 2

2 −= xxP

04

1

8

3

4

1

8

3

4

1

8

3

2

1

2

3

2

1

2

31

1

241

1

31

1

2 =

−−

−=

−=∫

−=∫

−−−−

xxdxxxdxxx

3

2

3

1

3

1

3

1)()(

1

1

31

1

21

111

=

−−=

=∫=∫−−−

xdxxdxxPxP

Page 26: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Normalisasi polinomial legendre

A

Au r

r) = →Vektor satuan

disebut proses normalisasi

Besarnya satu satuan

22

)()()( NdxxAdxxAxAb

a

b

a

=∫=∫

)(xA ),( baBerapa normalisasi dalam selang ?

disebut proses normalisasi tinjau untuk fungsi

Page 27: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

)(xA ),( ba

)(xAN

1

Jadi jika dinormalisasi dalam selang maka

dikali dengan setelah dinormalisasi N

1)( =nilainya

N

xA

N

1

setelah dinormalisasi

disebut faktor normalisasi

Page 28: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( )∫−

==π

π

ππ2

sinsin nxdxnx

nxsin π=NNormalisasifungsi ?

Contoh:

nxsin π=N

π11 =

N

1sin1 =nxπ

Normalisasifungsi ?

Faktor normalisasi fungsi nxsin ?

Page 29: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

)(xPl

Berapa normalisasi untuk ?

)()(')('1

xPxPxxPlll

l=− −

⊗ )(xPl

⊗⊗−= − )(')()(')()()(1

xPxPxPxxPxPxPllllll

l

Hubungan Rekursif Polinomial Legendre b)

Kalikan dengan

⊗⊗ )1,1(−

dxxPxPdxxPxxPdxxPxP )(')()(')()()(1

1

1

1

1

1

1−

−−−∫−∫=∫ llllll

l

0dxxPxxPdxxPxP )(')()()(

1

1

1

1llll

l ∫=∫−−

∫udv

integrasikan untuk selang

bypart

Page 30: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( )

( )2)(

21

)()()(')(

xPv

xPdxPdxxPxPdv

dxduxu

l

llll

=

===→=

( ) − 11

11

Ruas kanan dengan integral bypart:

( ) ∫−

−−

1

11

2 )()(21

)(21

dxxPxPxPxlll

( ) ∫−

=∫−−−

1

1

1

1

21

1

)()(2

1)(

2

1)()( dxxPxPxPxdxxPxP

llllll

( ) ( )221

1

)1(2

1)1(

2

1)()(

2

1 −+=∫

+−

lllll PPdxxPxP

dengan demikian:

Page 31: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

21

1)()(

1

1 +=∫

−l

lldxxPxP

122

212

1)()(

1

1 +=+=∫

− llll

dxxPxP

Jadi

)(xPl

12

2

+=

lN

2121 += l

N

Berapa normalisasi untuk ?

Faktor normalisasi ?

Page 32: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Fungsi Legendre yang Diasosiasikan

( ) 01

12'')1(2

2

2 =

−−++−− y

x

mxyyx ll

22l≤m

PDB yang mirip dengan Legendre

dengan

)()1( 22 xPdx

dxy

m

mm

l−=

( ) )(1)( 22 xPdx

dxxP

m

mmm

ll−=

PDB ini memiliki solusi :

Solusi ini disebut fungsi legendre yang diasosiasikan yang ditulis sebagai :

Page 33: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( ) ( )ll

l

ll

l11

!21

)( 222 −−=+

+

xdx

dxxP

m

mmm

mUntuk negatif fungsi legendre asosiasi dapat ditentukan

Formula Rodriguez untuk mencari

fungsi legendre yang diasosiasikan :

dengan formula sebagai berikut :

( ) ( )( ) )(

!

!1)( xP

m

mxP mmm

ll

l

l

+−−=−

)(xPm

lm

)1,1(−

ndxxPxP mn

m ≠=∫−

ll

,0)()(1

1

Fungsi untuk setiap merupakan himpunan fungsi-

sehingga :

dengan formula sebagai berikut :

fungsi yang orthogonal pada selang

Page 34: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( )( )!

!

12

2)()(

1

1 m

mdxxPxP m

m −+

+=∫

− l

l

ll

l

PDB legendre diasosiasikan sering juga ditulis dalam bentuk

Normalisasi fungsi Legendre yang

diasosiasikan adalah :

sebagai berikut :

( ) 0sin

1sinsin

12

2

2=

−++

ym

d

dy

d

d

θθθ

θθll

θcos=x

?)(cos1

1θP

Fungsi ini diperoleh dengan mengganti

sebagai berikut :

Page 35: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

?)(cos1

1θP

( ) )(1)(1

2

121

1xP

dx

dxxP −=

( ) )(1)( 2

121 x

dxxP −=

( )xxP 211 cos1)( −=

( )xxP 21

1sin)( =( ) )(1)( 221

1x

dx

dxxP −=

( ) 11)( 2

121

1⋅−= xxP

( )21

11)( xxP −=

( )1

xxP sin)(11 =

Page 36: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

PDB Bessel

( ) 0''' 222 =−++ ypxxyyx

P adalah konstan, tidak perlu bilangan bulat, disebut orde fungsi Bessel. Dengan menggunakan metode deret pangkat, PDB bessel dapat dicari solusinya.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+Γ−

+Γ+

+Γ−

+Γ+Γ= ...

24!3

1

23!2

1

22

1

1

11

642

0

x

p

x

p

x

pppxay p

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

+ΓΓ−

+ΓΓ+

+ΓΓ−

+ΓΓ+Γ

= ...24)4(

123)3(

122)2(

11)1(1

12

2642

0

x

p

x

p

x

ppp

xay

p

p

PDB bessel dapat dicari solusinya.

atau

Solusi pertama yang memenuhi PDB bessel adalah

Page 37: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( )pay

p +Γ==

12

10

!2

100 P

a =

y

)(xJp

atau Maka:

Jenispertamayangditulis sebagai

Jika dipilih

disebut sebagai Fungsi Bessel

)(xJp

( ) ( ) ( )( )

( )pn

n

nppp

p

x

pnn

x

p

x

p

x

pxJ

+∞

=

++

++Γ+Γ−=+

+ΓΓ+

+ΓΓ−

+ΓΓ= ∑

2

0

62

21)1(

1...

23)3(

1

22)2(

1

21)1(

1)(

( )( )

pn

n

n

p

x

pnnxJ

−∞

=−

+−Γ+Γ−=

2

0 21)1(

1)(

Jenispertamayangditulis sebagai

Dengan demikian :

Solusi kedua yang memenuhi PDB Bessel menghasilkan fungsibessel jenis kedua sebagai berikut :

Page 38: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

)(xJp

)(xJp−

( ) )(1)( xJxJp

p

p−=→ −

0=→ p

dan

Hubungan

( ) ( ) ( )

...3664644

1

...23)3(

122)2(

121)1(

1)(

0

642

420

0

+⋅

−+−=

ΓΓ+

ΓΓ−

ΓΓ=

=→

xxx

xxxxJ

p

Page 39: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

[ ] )()(1

xJxxJxdx

dp

p

p

p

−=

[ ] )()(1

xJxxJxdx

dp

p

p

p

+−− −=

Hubungan Rekursif Fungsi Bessel :

a)

b) [ ]1dx pp +

c) )(2

)()(11

xJx

pxJxJ

ppp=+ +−

)('2)()(11

xJxJxJppp

=− +−

)()()()()('11

xJxJx

pxJxJ

x

pxJ

ppppp +− −=+−=

d)

e)

Page 40: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

( ) 0'21

''2

22221 =

−++−+ − yx

cpabcxy

x

ay c

( )c

p

a bxJxy =11

Solusinya

PDB umum yang solusinya mengandung

fungsi bessel

)2( xxJy =0

14'

1''

2=

++− yx

yx

y

220 −= cxx

1

22

121

==

−=−

a

a

a

2

4)1(

42

22

±===

b

b

cb

1

22

022

==

=−

c

c

c

0

0

1)1()1(

1

2

222

222

==

=−=−

p

p

p

cpa

)2(0

xxJy =

Page 41: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Jenis-jenis lain fungsi bessel:

)()()(

)()()()2(

)1(

xiNxJxH

xiNxJxH

ppp

ppp

−=

+=xixe ix sincos ±=±

a) Fungsi Bessel jenis ketiga disebut fungsi Henkel

Bandingkan dengan

( )( )p

xJxJpxYxN pp

pp ππ

sin

)()(cos)()( −−

==di sini

b) Fungsi Bessel Hiperbolik

)(2

)(

)()(

)1(1 ixHixK

ixJpixI

pp

p

pp

+

=

=

π

Page 42: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

−== + x

x

dx

d

xxxJ

xxJ

n

n

nn

sin1)(

2)(

2

)12(

π

c) Fungsi Bessel Sperik

−−==

+ x

x

dx

d

xxxY

xxY

n

n

nn

cos1)(

2)(

2

)12(

π

)()()(

)()()()2(

)1(

xiYxJxh

xiYxJxh

pnp

pnp

−=+=

Page 43: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Ortogonalitas Fungsi Bessel

badxbxJaxJxpp

≠=∫ ;0)()(1

0

a b )(xJp

xxJ sin2

)( =

dan pembuat nol

Diketahui xx

xJ sin2

)(2

1 π=

)(2

3xJ )(),(

10xJxJ

?)(2

3 =xJ

Diketahui

Dengan menggunakan hubungan rekursif Fungsi Bessel.Cari

kemudian cari

Page 44: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

=)(2

3xJ

)()(2

32

1

2

12

1

xJxxJxdx

d −−−=

)(sin2

32

1

2

1

xJxxx

xdx

d −−−=

π

−−=−

2

2

1

2

3

sincos2)(

x

xxxxxJ

π

−= xx

x

xxJ cos

sin2)(

3 π2

3xdx

π

)(sin2

2

32

1

2

1

2

1

xJxxxxdx

d −−−−=

π

)(sin2

2

32

1

xJx

x

dx

dx =

−−

π

−= xxx

xJ cos)(2

3 π

x

xx

xxxJ

xxJ

sinsin

2

2)(

2)(

2

10===

πππ

2

sincossincos2

2)(

2)(

2

2

1

2

31

xxx

x

xxxx

xxJ

xxJ

−=

−⋅==π

ππ

Page 45: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Fungsi Hermite

( ) 3,2,1,0;12'' 2 =+−=− nynyxynnn

2

2

2 x

n

nx

ne

dx

dey −=

2

Persamaan Differensial untuk fungsi hermite :

Solusi PDB ini adalah disebut sebagai fungsi Hermitedx

( ) 2

2

1x

ne−

( ) 2

2

21)( x

n

nxn

ne

dx

dexH −−=

Jika fungsi hermite ini dikalikan dengan

akan didapat polinomial hermite

Page 46: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

,...2,1,0=n

24)(

2)(

1)(

2

2

1

0

−===

xxH

xxH

xH

Untuk didapat

02'2'' =+− nyxyyn

0;0)()(2

=≠=∫∞

∞−

− mndxxHxHe mnx

Polinomial hermite memenuhi persamaan differensial hermite

Ortogonalitas polinomial hermite

Page 47: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

mnndxxHxHe n

mn

x ==∫∞

∞−

− ;!2)()(2 π

∑==∞

− )(),(2

nhxHehxφ

Fungsi pembangkit polinomial hermite

Normalisasi polinomial hermite

∑==∞

=

0

2

!)(),(

2

nn

hxh

n

hxHehxφ

)(2)('1

xnHxHnn −=

)(2)(2)(11

xnHxxHxHnnn −+ −=

242)2(2)( 2

2−=−= xxxxH

Hubungan rekursif polinomial hermite :

a)

b)

Page 48: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Fungsi Laguarre

0')1('' =+−+ nyyxxy

( )nd= 1

Polinomial laguarre merupakan solusi dari PDB :

Dapat dicari dengan formula Rodriguez sebagai berikut :

( )xn

n

x

nex

dx

de

nxL −=

!

1)(

,...2,1,0=n

221)(

1)(

1)(

2

2

1

0

xxxL

xxL

xL

+−=

−==

Untuk didapat:

Page 49: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Ortogonalitas polinomial laguarre

∫ ≠=∞

0

;0)()( kndxxLxLekn

x

∫∞

Normalisasi polinomial laguarre

∫− ==

0

;1)()( kndxxLxLe knx

∑∞

=

−−

=−

=0

)1(

)(1

),(n

nn

h

xh

hxLh

ehxφ

Fungsi pembangkit polinomial laguarre

Page 50: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

Hubungan rekursif polinomial laguarre :

0)()(')('1

=+−+ xLxLxLnnn

( ) 0)()(12)()1( =+−+−+ xnLxLxnxLn

a)

b) ( ) 0)()(12)()1(11

=+−+−+ −+ xnLxLxnxLnnnn

0)()()('1

=+− − xnLxnLxxLnnn

b)

c)

Page 51: Fungsi Khusus PDB [Compatibility Mode]

HAVE FINISHED…

Go to the next concept…Go to the next concept…