bab ii determinan
Post on 05-Dec-2014
62 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Page 1DETERMINAN
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan
itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita
jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan
Matematika. Oleh karena itu saya membuat makalah ini dengan maksud membantu
pemahaman dan opersai perhitungan dalam bidang Matematika khususnya Determinan
yang merupakan cabang dari ilmu pengetahuan Aljabar Linear.
1.2 Tujuan
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah
Aljabar Linear, yang diberikan oleh Sibut, ST. MT.. Di samping itu adalah sebagai
sumber informasi yang saya harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para
pembaca makalah ini.
Page 2DETERMINAN
BAB II
DETERMINAN
2.1 Pengertian Determinan.
Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah
matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis
tegak atau . Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau
DA. Determinan dengan matriks dalam tiga hal:
1. Determinan unsur–unsurnya diapit dengan sepasang garis tegak,
sedangkan matriks diapit dengan tanda kurung.
2. Determinan senantiasa berbentuk bujur sangkar (jumlah baris = jumlah
kolom, m=n), sedangkan matriks tidak harus demikian.
3. Determinan mempunyai nilai numerik, tetapi tidak demikian halnya
dengan matriks.
Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan
cara mengalikan unsur–unsurnya secara diagonal.
a11 a12 a11 a12Matriks A a
, det er min annya; A a a
a21 22 21 22
Nilai numeriknya: A
a11
a21
a12
a22
a11a22 a21a12
Contoh:
1 2 2 4A , B
2 3mak a
3 1
det A 1
2 1.3 2.2 1
2
2
det B 3
Page 3DETERMINAN
3
4 2.1 3.4 10
1
3 3 3
A 3 3 3 27 27 27 27 27 27 0
3 3 3
A a
1
Untuk determinan berdimensi 3.
a11 a12 a13 21
22 23
a31 a32 a33
Metode yang digunakan oleh Sarrus untuk menentukan determinan matriks A
adalah;
a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a13 a11
a23 a21
a33 a31
a12
a22
a32
A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12
Contoh:
1 2
A 2 31 2
mak a
4
1
1
det A 2
1
2 4 1
3 1 2
2 1 1
2
3 1.3.1 2.1.1 4.2.2 1.3.4 2.1.1 1.2.2 3
2
2.2 Sifat–sifat Determinan.
Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai
numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:
1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.
Contoh:
2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sama.
Contoh:
2 4 1
A 3 2 2 4 16 12 4 16 12 02 4 1
3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sebanding.
Contoh:
2 1 3
A 2 5 2 60 8 12 60 8 12 04 2 6
4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau
kolom semuanya nol.
Contoh:
2 3 5
A 2 1 4 0 0 0 0 0 0 00 0 0
5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling
bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan
determinan matriks ubahannya A’; A A' .
Contoh:
2 3 1
A 4 2 1 12 6 20 4 10 36 122 5 3
2 4 2
A' 3 2 5 12 20 6 4 10 36 121 1 3
6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris
atau dua kolom bertukar letak.
Contoh:
2 4 2
A 4 2 1 12 8 40 8 10 48 62 5 3
4 2 2
B 2 4 1 48 10 8 40 8 12 65 2 3
7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur
diagonalnya.
Contoh:
2 0 0
A 0 4 0 240 0 3
8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu
bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan
bilangan tersebut.
Contoh:
2 4
A 4 2
2 5
2
2
1 12 8 40 8 10 48 6 jik a.baris..k edua..dik ali.3
3
4 2A * 12 6
2 53 36 24 120 24 30 144 18 3 A
3
9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,
determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan
atau lebih.
10. Jika elemen – elemen salah satu baris atau kolom semua dikalaikan dengan
faktor yang sama, maka determinannya pun dikalikan dengan faktor tersebut.
11. Jika elemen – elemen salah satu baris atau kolom ditambah atau dikurangi
dengan kelipatan elemen – elemen baris atau kolom lain yang bersesuaian,
maka haraga determinannya tidak berubah
12. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya
dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0 ,
A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.
13. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya
dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0 , A
merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.
14. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama
dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris
atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris
atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.
2.3 Minor dan Kofaktor.
Laplace berhasil mengembangkan suatu cara penyelesaian yang berlaku
umum untuk determinan berdimensi berapapun, yakni menggunakan minor dan
kofaktor dari determinan yang bersangkutan.
a a a
i
a a
Perhatikan kembali penyelesaian determinan berdimensi 3,
A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12
Dengan mengatur letak suku-sukunya, penulisan ini bisa diubah menjadi:
A a11a22a33 a11a23a32 a12a23a31 a21a12a33 a13a32a21 a31a22a13 A a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a32a21 a31a22 A a11 a22a33 a23a32 a12 a21a33 a23a31 a13 a32a21 a31a22
22 23 a21 a23 a21 a22A a1132 a33
a1231 a33
a1331 a32
A a11M11 a12 M12 a13M13
Ternyata dengan menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu,
determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan).
Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum
dilambangkan dengan notasi Mij.
M11 adalah minor dari unsur a11 , diperoleh dengan jalan menutup
baris ke -1 dan kolom ke-1 dari determinan A .
M12 adalah minor dari unsur a12 , diperoleh dengan jalan menutup
baris ke -1 dan kolom ke-2 dari determinan A .
M13 adalah minor dari unsur a13 , diperoleh dengan jalan menutup
baris ke -1 dan kolom ke-3 dari determinan A .
Penulisan determinan dalam bentuk minor seperti di atas diubah ke dalam
penulisan kofaktor. Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M11
dilambangkan dengan Aij.
Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij 1 Mij
1 1
1 1
Mij adalah minor dari unsur aij , diperoleh dengan jalan menutup baris
ke -i dan kolom ke-j dari determinan A .
Aij adalah kofaktor dari unsur aij.
Dengan demikian,
A11 111 M 12 M M11
A12
A13
11 2
M
11 3 M13
13 M
14 M13
M12
M13
Kofaktor Aij praktis adalah sama dengan minor Mij itu sendiri, jika i + j
menghasilkan bilangan genap, dan Aij negatif dari Mij apabila i + j menghasilkan
bilangan ganjil.
Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor untuk matriks
berdimensi 3 adalah sebagai berikut;
A a11 A11 a12 A12 a13 A13
a21 A21 a22 A22 a23 A23
a31 A31 a32 A32 a33 A33
a11 A11 a21 A21 a31 A31
a12 A12 a22 A22 a32 A32
a13 A13 a32 A32 a33 A33
Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor
n
A a11M11 a12 M12 a13 M13 aij M iji , j 1
dalam notasi kofaktor menjadi:
n
A a11 A11 a12 A12 a13 A13 aij Aiji , j 1
atau:
n
A aij M
ijj 1
untuk setiap baris; i = 1, 2, 3, …, n.
n
A aij M
iji 1
untuk setiap kolom; j = 1, 2, 3, …, n.
Definisi
Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor a ij , maka
matriks
A11 A12 A1n A A A
21 22 2 n An1 An 2 Amn
Dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoint A
dan dinyatakan dengan adj(A)
3. Diketahui matriks A sebagai berikut:
1 2 3 A 4 5 67
8 9
Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya.
5
4
4
2
1
1
2 3
1
1
6 6
6
3
Penyelesaian:
M 3 A 12 3 311 8 9
11
M 6 A 13 6 612 7 9
12
M 3 A 14 3 313 7 8
13
M 6 A 13 6 621 8 9
21
M 12 A 14 12 1222 7
M
9
2 6 A
22
15 6 623 7
M
8 23
3 A 14 3 331 5 6
31
M 6 A 15 6 632 4 6
32
M 3 A 16 3 333 4 5
33
Maka matriks kofaktornya adalah
3 3
6
12
6
3
3
Sedangkan matriks adjoinnya adalah
3Adj( A) 6
3
6
12
6
3
3
4. Diketahui matriks B sebagai berikut:
3 1 0 B 2 4
5 4 2
3
1
0
3
2 4
3
2
2
4
Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya
Penyelesaiannya:
4M 11
4 4 A11 1
2
4 4
1 0 3M 21 4
2 A21 1 2 2 2
M 3 A 14 3 331 4
2
3 31
3 3M 12
5
11 A12 1 11 11 2
3M 22
5 6 A22 1
2
6 6
M 9 A 15 9 932 2 3 32
M 12 A 14 12 1213 5
M
4
1 7 A
13
15 7 723
5 4 22
3 1 6M 33 2 4
10 A32 1 10 10
Maka matriks kofaktornya adalah
4 3
11 12 6 7 9 10
Sedangkan matriks adjoinnya adalah
4 2 3 Adj(B) 11 6 9
12 7
10
5
4
4
2.4 Ekpansi Kofaktor
Cara penyelesaian determinan yang dikembangkan oleh Laplace dengan
menggunakan minor dan kofaktor ini, dikenal dengan sebutan metode ekspansi
dengan kofaktor.
5. Diketahui matriks A sebagai berikut:
1 2 3 A 4 5 67
8 9
Hitunglah determinan dari matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor
sepanjang:
a.baris pertama
b. baris kedua
c. baris ketiga
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama)
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
M 3 A 12 3 311 8 9
11
M 6 A 13 6 612 7 9
12
M 3 A 14 3 313 7 8
13
A a11 A11 a12 A12 a13 A13 1(3) 2(6) 3(3) 0
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris kedua)
2
1
1
2
1
1
3
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
M 6 A 13 6 621 8 9
21
M 12 A 14 12 1222 7
M
9
2 6 A
22
15 6 623 7 8
23
A a21 A21 a22 A22 a23 A23 4(6) 5(12) 6(6) 0
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris ketiga)
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
M 3 A 14 3 331 5 6
31
M 6 A 15 6 632 4 6
32
M 3 A 16 3 333 4 5
33
A a31 A31 a32 A32 a33 A33 7(3) 8(6) 9(3) 0
6. Diketahui matriks B sebagai berikut:
3 1 0 B 2 4
5 4 2
Hitunglah determinan dari matriks B dengan menggunakan ekspansi kofaktor
sepanjang:
a. kolom pertama
b. kolom kedua
3
0
1
6
2
3
c. kolom ketiga
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom pertama)
3 1 0
B 2 4 3
5 4 2
4M 11
4 4 A11
1 2
4 4
1M 21
4 2 A21 1
2 2 2
M 3 A 14 3 331 4 3 31
B a11 A11 a 21 A21 a31 A31 3(4) (2)(2) 5(3) 1
Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom kedua)
3
B 25
2
1 0
4 3
4 2
3 3M 1 2 5
3
11 A1 2 1 2
0 4
11 11
M 2 2 5
3
6 A2 2 1 2
0 5
6 6
M 3 2 2
9 A3 2 1
3
9 9
B a1 2 A1 2 a2 2 A2 2 a2 3 A2 3 1(11) (4)(6) 4(9) 1
7. Diketahui matriks C sebagai berikut:
4 4 01 1 0
C 3 0 3
6 14 3
4 1
1
4 4 0 4
1 1 0 13 0 3 1
6 14 3 6
Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor
Penyelesaian:
Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua,
C
Karena a13 dan a23 nilainya masing-masing adalah nol, maka minor yang
dicari hanya M33 dan M43.
Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
4 4 4
M 33 1 1 16 14 6
4 4 4 4 4 4 1.(1) 21 .
14 1.(1) 2 2
.6 6
(1).(1) 23 .6 6 14
1.((24 56)) 1.(24 24) (1).((56 24))
32 0 32
64
Sehingga diperoleh kofaktor A33 (1)3 3.64 64
Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
ketiga
4 4 4
M 43 1 1 13 0 1
4 4 4 4 3.(1)31 .
1 (1).(1)33 .
1 1 1
3.(4 4) 1.(4 4)
24
2 5 4 1
3 2 8 1
4 1 3 2
2 6 1 3
1
Sehingga diperoleh kofaktor A43 (1)4 3.(24) 24
Maka determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah
C (3).64 3.24 120
8. Diketahui matriks D sebagai berikut:
2 5 4 1 1
D 3 2
4 12 6
8 3 2
Hitunglah determinan dari matriks D dengan menggunakan ekspansi kofaktor
a. sepanjang kolom keempat.
b. Sepanjang baris pertama.
Penyelesaian:
a. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom keempat,
D
Maka minor yang dicari adalah M14, M24, M34, M44
Pada minor M14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
3 2 84 1 3
2 6 1
2 5 44 1 3
2 6 1
M 14
4.(1) 21 . 2
68 3
1.(1) 2 2
.1 2
8 3 2 3.(1) 23 .
1 2 6
4.((2 48)) 1.(3 16) 3.((18 4))
4.46 (13) 3.(14)
184 13 42
129
Sehingga diperoleh kofaktor A14 (1)1 4.129 129
Pada minor M24 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 24
4.(1) 21 . 5
64 2
1.(1) 2 2
.1 2
4 2 5 3.(1) 23 .
1 2 6
4.((5 24)) 1.(2 8) 3.((12 10))
4.19 (6) 3.(2)
76 6 6 64
Sehingga diperoleh kofaktor A24 (1)2 4.64 64
Pada minor M34, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
2 5 43 2 8
2 6 1
2 5 43 2 8
4 1 3
2 5 4 1
3 2 8 1
4 1 3 2
2 6 1 3
M 34
3.(1) 21 . 5
64 2 2.(1) 2 2 .
1 2
4 2 5 8.(1) 23 .
1 2 6
3.((5 24)) 2.(2 8) 8.((12 10))
3.19 2.(6) 8.(2)
57 12 16
29
Sehingga diperoleh kofaktor A34 (1)3 4.29 29
Pada minor M44 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 44
3.(1) 21 . 5
14 2 2.(1) 2 2 .
3 4
4 2 5 8.(1) 23 .
3 4 1
3.((15 4)) 2.(6 16) 8.((2 20))
3.(11) 2.(10) 8.18
33 20 144
91
Sehingga diperoleh kofaktor A44 (1)4 4.91 91
D 1.(129) 1.64 2.(29) 3.91 150
b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama,
D
Maka minor yang dicari adalah M11, M12, M13, M14
2 8 11 3 2
6 1 3
3 8 14 3 2
2 1 3
Pada minor M11 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 11
1.(1) 21 .8
11 2 3.(1) 2 2 .
3 6
1 2 8 2.(1) 23 .
3 6 1
1.((24 1)) 3.(6 6) 2.((2 48))
(23) 92
69
Sehingga diperoleh kofaktor A11 (1)11.69 69
Pada minor M12 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 12
4.(1) 21 .8
11 3 3.(1) 2 2 .
3 2
1 3 8 2.(1) 23 .
3 2 1
4.((24 1)) 3.(9 2) 2.((3 16))
4.(23) 21 26
45
Sehingga diperoleh kofaktor A12 (1)1 2.(45) 45
Pada minor M13, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
3 2 14 1 2
2 6 3
3 2 84 1 3
2 6 1
M 13
4.(1) 21 . 2
6
1 3 1.(1) 2 2
.3 2
1 3 2 2.(1) 23 .
3 2 6
4.((6 6)) 1.(9 2) 2.((18 4))
7 28
21
Sehingga diperoleh kofaktor A13 (1)
1 3.(21) 21
Pada minor M14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris
kedua
M 14
4.(1) 21 . 2
68 3
1.(1) 2 2
.1 2
8 3 2 3.(1) 23 .
1 2 6
4.((2 48)) 1.(3 16) 3.((18 4))
4.46 (13) 3.(14)
184 13 42
129
Sehingga diperoleh kofaktor A14 (1)1 4.129 129
D 2.69 5.45 4.(21) 1.(129) 138 225 84 129 150
2.5 Reduksi Baris.
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks
tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari
perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara
langsung.
0
a
a a
Mula –mula kita meninjau dua golongan matriks yang determinannya
dapat dihitung dengan mudah, tidak peduli berapapun besarnya ukuran matriks
tersebut.
Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua
entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita
namakan segitiga bawah (lower triangular)) jika semua entri di atas diagonal
utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun
yang merupakan segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).
Contoh:
Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:
a11 a12 a13 a14 22
0 0
a23
a33
24
a34
0 0
0 a 44
Maka nilai determinan det A a.11 a22 .a33 a44
Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:
a11 0 0 0
21
a22 00
a31a32 a33 0
a41
a42 a43
a 44
Maka nilai determinan det A a.11 a22 .a33 a44
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga ukuran n x n ,maka det(A) adalah hasil kali
entri –entri pada diagonal utama, yakni det A a.11 a22 .a33 a44
2 5 4 1
0 2 8 1
0 0 3 2
0 0 0 3
Contoh:
A
2.2.3.3
36
1 3 1 5 3
0 7 0 4 2
B 0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
1.(7).1.1.1
7
Teorema
Misalkan A adalah sebarang matriks n x n
1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh
konstanta k, maka det(A) =k.det(A)
2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan,
maka det(A’) = - det(A)
3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A
ditambahkan pada baris lain, maka det(A) =det(A)
Contoh:
Tentukan determinan matriks–matriks berikut ini menggunakan reduksi baris:
4 8 12
A1 0 1 4
1 2 1
4 8 120 1 4
0 0 - 2
0 4
4
2
1 2
A 11 2
4 8
A 0 1
1
3
112
4 2 1 0 1 4
A 1 2 3
1
1 2 3 A3 2 3 2
1 2 1
Penyelesaian:
1 2 3
A 0 1 4
1 2 1
1 2 30 1 4 (baris 3 dikurang pada baris
1)0 0 2
1.1.(2)
2
(baris ke - 3 dikurang 1 x baris ke - 1 )
4.1.(-2)
-8
Matriks A1 di atas dapat pula diselesaikan dengan cara reduksi baris berikut ini:
Page 23DETERMINAN
4 8 12
A1 0 1 4
1 2 1
1 2 34.0 1 4
1 2 1
1 2 3
4. 0 1 4
0 0 - 2
4.(1.1.(-2))
-8
0 1 4
A2 1 2 3
1 2 1
1 2 3
(faktor bersama baris ke - 1 terlebih dahulu diambil)
(baris ke - 3 dikurang baris ke - 1)
01
1
00
1 4
2 1
2 3
1 4
0 2
(tukarkan baris ke - 1 dg baris ke - 2 )
(baris ke - 3 dikurang baris ke - 1 )
1.1.(2) 2
1
A3 21
1
21
1 2
0 1
0 0
2 3
3 2
2 1
2 3
3 2
2 1
3
8
2
(baris ke - 2 ditambah 2 kali baris ke - 1 , baris ke - 3 dikurang baris ke - 1)
1.1.(2)
2
Page 24DETERMINAN
8
4
0
6
2
Contoh;
Hitunglah determinan A, dimana:
1 3 2 42 6
A 4
3 9 1 5 1 1
Penyelesaian:
A
1 3 22 6 43 9 1
1 1 4
1 3 20 0 0
3 9 1
1 1 4
4
8
5
8
4
0(baris ke - 2 ditambah (-2)dikali baris ke - 1 )
5
8
0 ( kita tidak memerlukan reduksiselanjutnya karena sesuaisifat determinan)
Contoh;
Setiap matriks berikut mempunyai dua baris yang sebanding, jadi berdasarkan
sifat –sifat determinan maka matriks tersebut memiliki determinan sebesar nol.
1 23
4 2 5 3
2 5 4 3 1 0 , 1 3 1 , 4 10 0 3 2 1
3 6 12 8 6
9. Diketahui matriks C sebagai berikut:
4 4 01 1 0
C 3 0 36 14 3
4 1
1
4 4 0 4
1 1 0 13 0 3 1
6 14 3 6
1 1 0 1
8
Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan reduksi baris.
Penyelesaian:
C
4 4 0 4 ( tukarkanb1 dg b2 )3 0
6 14
1 1
0 0
0 30 8
1 1
0 8
3 1
3 6
0 10 8
3 2
3 12
0 1
3 12
(b2 4b1 , b3 3b1 , b4 6b1 )
0 3 30 0 0
(tuk ark an b22
8
dg b4 )
1 1
0 1 8
0 30 0
1 1
0 1
0 13 128 8
3 2
0 8
0 13 12
( f ak tor bersama baris ke - 2 dikeluarkan )
8.0 0
8 8
15 528 8
(b3 3b2 )
0 0 0 8
8.1.1. 15 .8 120
BAB III
RANGKUMAN.
Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks
bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau
. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau DA
Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai
numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:
1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.
2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sama.
3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang
unsur–unsurnya sebanding.
4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau
kolom semuanya nol.
5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling
bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan
determinan matriks ubahannya A’; A A' .
6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris
atau dua kolom bertukar letak.
7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur
diagonalnya.
8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu
bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan
bilangan tersebut.
i
9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,
determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan
atau lebih.
10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya
dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0
, A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.
11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya
dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A 0 ,
A merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.
12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama
dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur
baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu
baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu
sendiri.
Menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas
beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini
dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi Mij.
Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M11 dilambangkan dengan
Aij. Hubungan antara kofaktor dan minor: Aij 1 Mij
Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut
pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan
panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.
Page 32DETERMINAN
Page 32DETERMINAN
Daftar Pustaka.
1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan
Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.
2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE.
Page 32DETERMINAN
top related