2.3 2.3 AnuitasAnuitas(A i(A i AA ))(Annuity, (Annuity, AngsuranAngsuran))

Sebuah anuitas adalah sederetan pembayaran berkala dalamjumlah tertentu yang dilakukan setiap periode tertentu dan selamajumlah tertentu, yang dilakukan setiap periode tertentu dan selamawaktu tertentu. Lamanya waktu antara dua pembayaran berurutan disebut periodepembayaran atau jangka waktu pembayaran.Lamanya waktu antara permulaan periode pembayaran pertamadan periode akhir pembayaran disebut waktu anuitas. Suatu anuitas yang pasti dilakukan selama jangka pembayarandisebut anuitas pasti (certain annuity), sedangkan jika anuitastidak pasti dilakukan selama jangka pembayaran atau tergantungdari hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup (life annuity). S t it b dil k k d l i dSuatu anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal periodedisebut anuitas awal atau anuitas sekarang (annuity-due), sedangkan jika anuitas yang pembayarannya dilakukan padaakhir periode disebut anuitas akhir atau anuitas segera (annuity-p g ( yimmediate).

2.4 2.4 AnuitasAnuitas PastiPasti PembayaranPembayaranS iS i 11 T hT h S k liS k liSetiapSetiap 1 1 TahunTahun SekaliSekali

Misalkan anuitas awal (anuitas yang pembayarannya dilakukan setiap awal periode) sebesar A dibayarkan selamadilakukan setiap awal periode) sebesar A dibayarkan selama n tahun dengan bunga tahunan i, maka nilai total (nilai akhir) anuitas awal tersebut pada n tahun kemudian adalah:

( ) ( ) ( )11 1 1n nA i A i A i−( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

1 1 .. . 1

1 1 .. . 1

n

n n

s A i A i A i

A i i i−

= + + + + + +

⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦

( ) ( )( )

11 11 1

ni iA

i

++ − +=

+ −

⎡ ⎤( ) ( )

( )

1 1 1n

n

i iA

i

⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=

( )1 1niA

d+ −

=

Sedangkan nilai sekarang atau nilai tunai (nilai awal) dari anuitas awal tersebut pada n tahun kemudian adalah:anuitas awal tersebut pada n tahun kemudian adalah:

1

1

. . . nna A A v A v −= + + +

⎡ ⎤11 . . .

1

n

n

A v v

vA

−⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦−

11 n

Av

vA

=−

−Ad

=

Untuk kasus anuitas akhir (anuitas yang pembayarannya dilakukan setiap akhir periode) sebesar A dibayarkan selama dilakukan setiap akhir periode) sebesar A dibayarkan selama n tahun dengan bunga tahunan i maka nilai total (nilai akhir) anuitas akhir tersebut pada n tahun kemudian adalah:

( ) ( )1 21 1n nA i A i A− −+ + + + +( ) ( )( ) ( )1 2

1 1 ...

1 1 ... 1

n

n n

s A i A i A

A i i− −

= + + + + +

⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦

( )( )1 11 1

niA

i+ −

=+ −

( )

( )

1 1n

n

iA

i+ −

=

( )( )

1 11

niA

d is

+ −=

+

1ns

Ai

=+

Sedangkan nilai sekarang (nilai awal) dari anuitas akhir tersebut pada n tahun kemudian adalah:

2 ... nna A v A v A v= + + +

2

1

...n

n

n

A v v v+

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦1

11

n

n

v vAv

+−=−

1 nvA vd

A a v

−=

nA a v=

PERHITUNGAN NILAI ANUITAS TAHUNAN

Nilai Anuitas Rp1,000,000.00Bunga pertahun (effective interest rate) 13%Discount pertahun 88 50%Discount pertahun 88.50%Lama Anuitas (tahun) 5

Tahun Anuitas Awal (Due Annuity) Anuitas Akhir (Immediately Annuity)ke- Anuitas Nilai Sekarang Nilai Total Anuitas Nilai Sekarang Nilai Total

0 Rp1,000,000.00 Rp1,000,000.00 Rp1,842,435.18 Rp0.00 Rp0.00 Rp0.001 Rp1,000,000.00 Rp884,955.75 Rp1,630,473.61 Rp1,000,000.00 Rp884,955.75 Rp1,630,473.612 Rp1 000 000 00 Rp783 146 68 Rp1 442 897 00 Rp1 000 000 00 Rp783 146 68 Rp1 442 897 00

( y) ( y y)

2 Rp1,000,000.00 Rp783,146.68 Rp1,442,897.00 Rp1,000,000.00 Rp783,146.68 Rp1,442,897.003 Rp1,000,000.00 Rp693,050.16 Rp1,276,900.00 Rp1,000,000.00 Rp693,050.16 Rp1,276,900.004 Rp1,000,000.00 Rp613,318.73 Rp1,130,000.00 Rp1,000,000.00 Rp613,318.73 Rp1,130,000.005 Rp0.00 Rp0.00 Rp0.00 Rp1,000,000.00 Rp542,759.94 Rp1,000,000.00p p p p , , p , p , ,

Total Rp5,000,000.00 Rp3,974,471.33 Rp7,322,705.79 Rp5,000,000.00 Rp3,517,231.26 Rp6,480,270.61Rumus Rp5,000,000.00 Rp3,974,471.33 Rp7,322,705.79 Rp5,000,000.00 Rp3,517,231.26 Rp6,480,270.61

PERHITUNGAN NILAI ANUITAS BULANAN

Nilai Anuitas Rp83,333.33Bunga perbulan (nominal interest rate) 1.08%Discount pertahun 98.93%Lama Anuitas (bulan) 60Lama Anuitas (bulan) 60

Bulanke- Anuitas Nilai Sekarang Nilai Total Anuitas Nilai Sekarang Nilai Total

0 Rp83,333.33 Rp83,333.33 Rp159,071.38 Rp0.00 Rp0.00 Rp0.001 Rp83,333.33 Rp82,440.23 Rp157,366.57 Rp83,333.33 Rp82,440.23 Rp157,366.572 Rp83,333.33 Rp81,556.70 Rp155,680.04 Rp83,333.33 Rp81,556.70 Rp155,680.043 Rp83 333 33 Rp80 682 64 Rp154 011 58 Rp83 333 33 Rp80 682 64 Rp154 011 58

Anuitas Awal (Due Annuity) Anuitas Akhir (Immediately Annuity)

3 Rp83,333.33 Rp80,682.64 Rp154,011.58 Rp83,333.33 Rp80,682.64 Rp154,011.584 Rp83,333.33 Rp79,817.94 Rp152,361.00 Rp83,333.33 Rp79,817.94 Rp152,361.005 Rp83,333.33 Rp78,962.52 Rp150,728.12 Rp83,333.33 Rp78,962.52 Rp150,728.126 Rp83,333.33 Rp78,116.26 Rp149,112.73 Rp83,333.33 Rp78,116.26 Rp149,112.737 Rp83,333.33 Rp77,279.07 Rp147,514.65 Rp83,333.33 Rp77,279.07 Rp147,514.658 Rp83,333.33 Rp76,450.85 Rp145,933.70 Rp83,333.33 Rp76,450.85 Rp145,933.709 Rp83,333.33 Rp75,631.51 Rp144,369.70 Rp83,333.33 Rp75,631.51 Rp144,369.70

10 Rp83 333 33 Rp74 820 95 Rp142 822 46 Rp83 333 33 Rp74 820 95 Rp142 822 4610 Rp83,333.33 Rp74,820.95 Rp142,822.46 Rp83,333.33 Rp74,820.95 Rp142,822.4611 Rp83,333.33 Rp74,019.07 Rp141,291.79 Rp83,333.33 Rp74,019.07 Rp141,291.7912 Rp83,333.33 Rp73,225.80 Rp139,777.54 Rp83,333.33 Rp73,225.80 Rp139,777.5413 Rp83,333.33 Rp72,441.02 Rp138,279.51 Rp83,333.33 Rp72,441.02 Rp138,279.5114 Rp83,333.33 Rp71,664.65 Rp136,797.54 Rp83,333.33 Rp71,664.65 Rp136,797.5415 Rp83,333.33 Rp70,896.60 Rp135,331.45 Rp83,333.33 Rp70,896.60 Rp135,331.4516 Rp83,333.33 Rp70,136.79 Rp133,881.07 Rp83,333.33 Rp70,136.79 Rp133,881.0717 Rp83 333 33 Rp69 385 12 Rp132 446 23 Rp83 333 33 Rp69 385 12 Rp132 446 2317 Rp83,333.33 Rp69,385.12 Rp132,446.23 Rp83,333.33 Rp69,385.12 Rp132,446.2318 Rp83,333.33 Rp68,641.50 Rp131,026.78 Rp83,333.33 Rp68,641.50 Rp131,026.7819 Rp83,333.33 Rp67,905.85 Rp129,622.53 Rp83,333.33 Rp67,905.85 Rp129,622.5320 Rp83,333.33 Rp67,178.09 Rp128,233.34 Rp83,333.33 Rp67,178.09 Rp128,233.34

51 Rp83,333.33 Rp48,101.81 Rp91,819.46 Rp83,333.33 Rp48,101.81 Rp91,819.4652 Rp83,333.33 Rp47,586.30 Rp90,835.41 Rp83,333.33 Rp47,586.30 Rp90,835.4153 Rp83,333.33 Rp47,076.30 Rp89,861.91 Rp83,333.33 Rp47,076.30 Rp89,861.9154 Rp83,333.33 Rp46,571.78 Rp88,898.84 Rp83,333.33 Rp46,571.78 Rp88,898.8455 Rp83,333.33 Rp46,072.65 Rp87,946.09 Rp83,333.33 Rp46,072.65 Rp87,946.0956 Rp83,333.33 Rp45,578.88 Rp87,003.55 Rp83,333.33 Rp45,578.88 Rp87,003.5557 Rp83,333.33 Rp45,090.40 Rp86,071.11 Rp83,333.33 Rp45,090.40 Rp86,071.1158 R 83 333 33 R 44 607 16 R 85 148 67 R 83 333 33 R 44 607 16 R 85 148 6758 Rp83,333.33 Rp44,607.16 Rp85,148.67 Rp83,333.33 Rp44,607.16 Rp85,148.6759 Rp83,333.33 Rp44,129.09 Rp84,236.11 Rp83,333.33 Rp44,129.09 Rp84,236.1160 Rp0.00 Rp0.00 Rp0.00 Rp83,333.33 Rp43,656.15 Rp83,333.33

Total Rp5,000,000.00 Rp3,702,186.12 Rp7,066,942.16 Rp5,000,000.00 Rp3,662,508.94 Rp6,991,204.12Rumus Rp5,000,000.00 Rp3,702,186.12 Rp7,066,942.16 Rp5,000,000.00 Rp3,662,508.94 Rp6,991,204.12

Anuitas ke- PV Awal Tahun PV Awal Bulan PV Akhir Tahun PV Akhir BulanAnuitas Awal Anuitas Akhir

Nilai Sekarang

1 Rp1,000,000.00 Rp1,016,336.86 Rp884,955.75 Rp933,003.532 Rp884,955.75 Rp819,839.10 Rp783,146.68 Rp819,839.103 Rp783,146.68 Rp720,400.44 Rp693,050.16 Rp720,400.444 Rp693,050.16 Rp633,022.74 Rp613,318.73 Rp633,022.745 R 613 318 73 R 512 586 97 R 542 759 94 R 556 243 125 Rp613,318.73 Rp512,586.97 Rp542,759.94 Rp556,243.12

Total Rp3,974,471.33 Rp3,702,186.12 Rp3,517,231.26 Rp3,662,508.94

An itas ke NT Awal Tahun NT Awal Bulan NT Akhir Tahun NT Akhir BulanAnuitas Awal Anuitas Akhir

Nilai Total

Anuitas ke-1234

NT Awal Tahun NT Awal Bulan NT Akhir Tahun NT Akhir BulanRp1,842,435.18 Rp1,940,041.26 Rp1,630,473.61 Rp1,780,969.88Rp1,630,473.61 Rp1,564,955.23 Rp1,442,897.00 Rp1,564,955.23Rp1,442,897.00 Rp1,375,141.09 Rp1,276,900.00 Rp1,375,141.09Rp1,276,900.00 Rp1,208,349.60 Rp1,130,000.00 Rp1,208,349.60

5Total

p , , p , , p , , p , ,Rp1,130,000.00 Rp978,454.99 Rp1,000,000.00 Rp1,061,788.32Rp7,322,705.79 Rp7,066,942.16 Rp6,480,270.61 Rp6,991,204.12

2.5 2.5 AnuitasAnuitas PastiPasti PembayaranPembayaranS iS i 11 T hT h kk k lik liSetiapSetiap 1 1 TahunTahun kk kalikali

Anuitas di atas adalah anuitas dengan perhitungan bunga efektif dimana pembayaran dilakukan setiap tahun sekaliefektif dimana pembayaran dilakukan setiap tahun sekali. Pada kasus lain jika pembayaran dilakukan k kali dalam setahun dengan tetap menggunakan bunga efektif, maka:nilai akhir untuk anuitas awal adalahnilai akhir untuk anuitas awal adalah

( ) ( ) ( )1/ 1/( )

1/ 1/

1 1 1 ... 1n n k kkn

k k

s A i A i A ik

−⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤( ) ( )( )

( ) ( )( )

1/ 1/

1/

1 1 1 1 1 1

1 11 1k

k n k n

k ik

i i i iA Ak ki

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =+ −+ −

( ) ( ) ( ) ( )( )

1/ 1/

( )

1 1 1 1 1 1k

k n k n

kik

i i i iA Ak i

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =

( )( )

1 1n

k

iA

d+ −

=

nilai awal untuk anuitas awal adalah

( ) ( )( ) 1/ 1/ 1/ 1/1 ... 1 ...

1 1 1 1

k k n k k n kn

n n n n

Aa A Av Av v vk kA A A A

− −= + + + = + + +

( )( )( )

1/

1/ 1/

1/ 1/ 1 1 11 1

1 1 1 11 1 1 k

k k

n n n n

k k ii i

A v A v A v A vk v k v k k + −

+ +

− − − −= = = =− − −

( ) ( )( )

( ) ( )1/ 1/

1/ ( )

1 1 1 1/1 1

k kn n

k k

i v i vA Ak k i ki

+ − + −= =

+( )( ) ( )1/

/1 1

1 1 1k n n

k k i ki

i v vA A

+ −

+ − −= =( ) ( )k kA Ai d

nilai akhir untuk anuitas akhir adalah

( ) ( )1/ 2 /( ) 1 n k n kk − −⎡ ⎤( ) ( )

( ) ( )

1/ 2 /( )

1/ 2 /

1 1 1 ...

1 1 ... 1

n k n kkn

n k n k

s A i A i AkA i ik

− −

⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦

( )( )

( ) ( )( )1/ 1/( ) ( )

1 1 1 1 1 1/1 1 1

n n nn

k kk k

ksi i iA A A A

k k i k ii i+ − + − + −

= = = =+ − +

dan nilai awal anuitas akhir adalah

( ) 1/ 2/ 1/ 2/1k k k n k k nAa Av Av Av v v v⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )1/ 1/

1/1/1/ 1/ 1

... ...

1 1 11 1 11

n

k n k n nk

kk k

a Av Av Av v v vk kA v v A v A vvk v k v k i

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− − −= = =+( ) ( )

( ) ( ) ( )

1/

1/

11

1/ 1/ ( ) ( )1 1

1 1 11

1 1 1 1 1/1 1 1

k

k

i

n n n n

k k k k ni

k v k v k i

A v A v A v vA Aa vk k k i k ii i

+

+ −

− − −+

− − − −= = = = =( ) ( )

( )( )1/

( ) ( )1 1

1/1 1 1k

ni

ik k k i k ii i+ −

++ + −

2.6 Perpetuity 2.6 Perpetuity (( ii ll ))((anuitasanuitas selamanyaselamanya))

Perpetuity adalah pembayaran investasi untuk selamanyaPerpetuity adalah pembayaran investasi untuk selamanya(tak hingga) dengan perhitungan bunga setiap tahunsekali, sehingga nilai tunai awal untuk setiap $1 adalah

( ) 1

jika pembayaran dilakukan di awal tahun, atau

( )20 0 0

11 ... .1

S S v v S S av∞ ∞

= + + + = =−

jika pembayaran dilakukan di akhir tahun

( )2 30 0 0 0... . . .

1vS S v v v S S v a S a

v∞ ∞ ∞= + + + = = =

−jika pembayaran dilakukan di akhir tahun.