akt 4-anuitas-hidup

ANUITAS HIDUP

9/25/2012 1MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.

• Anuitas hidup adl serangkaian pembayaran(besarnya pembayaran berkala bolehberubah) yang dilakukan selama seseorangtertentu masih hidup.

• Pembayaran hanya dilakukan bila pada waktupembayaran itu jatuh orang tsb masih hidup.

9/25/2012 MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si. 2

MACAM ANUITAS HIDUP

• ANUITAS SEUMUR HIDUP:

1. Anuitas awal seumur hidup:adl serangkaian pembayaran sebesar 1 yg dilakukan tiap awal tahun,pembayaran berlangsung seumur hidup seseorang tertentu.

2. Anuitas akhir seumur hidup:

adl serangkaian pembayaran sebesar 1 yg dilakukan tiap akhir tahun,

pembayaran berlangsung seumur hidup seseorang tertentu.

Simbol x menyatakan usia sekarang orang yg dengannyaanuitas tsb dikaitkan.

xa

xa

1x xa a


• ANUITAS SEMENTARA / BERJANGKA(TEMPORARY ANNUITY):1. Anuitas sementara awal tahun:

adl serangkaian pembayaran yg dilakukan selama palinglama n tahun yg dilakukan di awal tahun dg syaratseseorang itu masih hidup.

2. Anuitas sementara akhir tahun:adl serangkaian pembayaran yg dilakukan selama palinglama n tahun yg dilakukan di akhir tahun dg syaratseseorang itu masih hidup.

:x na

:x na

: : 11

x n x na a


• ANUITAS DITUNDA:

1. Anuitas seumur hidup ditunda

Anuitas seumur hidup ditunda awal tahun:

adl serangkaian pembayaran di awal tahun yg ditundan tahun selama seumur hidup jika seseorang itu masihhidup.

Anuitas seumur hidup ditunda akhir tahun:

adl serangkaian pembayaran di akhir tahun ygditunda n tahun selama seumur hidup jika seseorangitu masih hidup.

|n xa

|n xa


2. Anuitas hidup sementara yang ditunda

Anuitas sementara ditunda awal tahun:

adl serangkaian pembayaran di awal tahun yg ditundan tahun selama paling lama m tahun jika seseorang itumasih hidup.

Anuitas sementara ditunda akhir tahun:

adl serangkaian pembayaran di awal tahun yg ditundan tahun selama paling lama m tahun jika seseorang itumasih hidup.

|n m xa

|n m xa

1 | 1| |; dan n x n x n m x n m xa a a a


• Misal setiap kohort (lx) yg menyetor sekarang(tunai) sejumlah A rupiah pada suatu danasedemikian rupa sehingga tiap orang ygmencapai usia x+1 menerima Rp. 1 dari danatsb, tiap orang yg mencapai usia x+2menerima Rp. 1 dar dana tsb, demikianseterusnya sampai sebanyak lx mati semua.Berapakah besarnya A..?


1. ANUITAS SEUMUR HIDUP

• Tiap orang menyetor A rupiah dan ada sebanyaklx orang, jadi besarnya uang dalam dana sekarangadl A.lx. Pada awal tahun berikutnya adasebanyak lx+1 orang yg masih hidup dan masing2mendapatkan Rp.1, shg dana yg harusdikeluarkan adalah lx+1. Dua tahun berikutnyadana yg harus dikeluarkan adl lx+2, demikianseterusnya. Jadi dapat ditulis,


2

1 2. . . .w x

x x x wAl v l v l v l

• A disebut nilai tunai anuitas hidup akhir dariseseorang dg pembayaran Rp. 1,- per tahun, disebut pula premi tunggal bersih, dilambangkan pula dengan


xa

2

1 2. . .w x

x x wx

x

v l v l v lA a

l

• Contoh:

Bila tingkat bunga 2,5% setahun, hitunglah dg menggunakan CSO 1941!

• Jawab:

50a

111,025

(1 0,025)v

1 2 49

50

1,025 (800.910) 1,025 (790.282) ... 1,025

810.900a

15,316571

Tidak sulit tapi amat sangat membosankan >>> Dibuat simbol komutasi9/25/2012 10MK. Aktuaria | Darmanto, S.Si.

• SIMBOL-SIMBOL KOMUTASI:


1

1

1

1

1

x

x x

x x x

x x x

x

x x

x x x

x x x

D v l

N D D

S N N

C v d

M C C

R M M

TABEL MORTALITAS CSO DAN KOMUTASI.pdf

• Didapatkan hubungan bahwa:


2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

. . .

. . .

.

w x

x x wx

x

x x w

x x w

x

x

x x w

x

x

x

v l v l v la

l

v l v l v l

v l

D D D

D

N

D

• Karena

• Maka


1x xa a

1 1

1 2

1

x x xx

x x

x x x w

x

x

x

N D Na

D D

D D D D

D

N

D

– Contoh:

Hitunglah nilai tunai (premi tunggal bersih) suatu anuitas awalseumur hidup dg pembayaran Rp. 1.500 setahun untukseseorang berusia 20 tahun jika i = 2,5% !

– Jawab:

20

20

20

Premi tunggal bersih

1500.

15.744.215,691500 1500

580.662,42

Rp. 40.671,35

a

N

D


2. ANUITAS HIDUP SEMENTARA/BERJANGKA

• Merupakan serangkaian pembayaran ygdilakukan selama paling lama n tahun ygdilakukan di awal/di akhir tahun dg syaratseseorang itu masih hidup.


2

1 2

:

1 2

1 2

1 2 1 1

. . .

. . .

.

n

x x x n

x n

x

x x n

x x x n

x

x

x x x n x x n

x x

v l v l v la

l

v l v l v l

v l

D D D N N

D D

Anuitas hidupBerjangka akhir

• Karena:

• Didapatkan:


: : 1

2 1

1 2 1

:

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 1

1

. . .

. . . 1

. . .

.

x n x n

n

x x x n

x n

x

x x n

x x x n

x

x

x x x n

x x x x n

x

x

x x x n x x n

x x

a a

v l v l v la

l

v l v l v l

v l

v l v l v l v l

v l

D D D N N

D D

: : 11

x n x na a

3. ANUITAS HIDUP DITUNDA

• Ada 2:

1. Anuitas seumur hidup yang ditunda

2. Anuitas hidup sementara/berjangkan yang ditunda


3.1. ANUITAS SEUMUR HIDUP DITUNDA

• Adalah serangkaian pembayaran di awal/ diakhir tahun yg ditunda n tahun selama seumurhidup jika seseorang itu masih hidup.


x+1x x+n……

Rp.1

x+n+1

Rp.1

x+n+2

Rp.1

…..

• Nilai tunai untuk pembayaran di akhir tahun(sebesar Rp.1) :


1 2

1 2|

1 2

1 2

1 2 1

. . .

. . .

.

n n w x

x n x n wn x

x

x n x n w x

x n x n w

x

x

x n x n w x n

x x

v l v l v la

l

v l v l v l

v l

D D D N

D D

• Nilai tunai untuk pembayaran di awal tahun(sebesar Rp. 1):


1

1|

1

1

1

. . .

. . .

.

n n w x

x n x n wn x

x

x n x n w x

x n x n w

x

x

x n x n w x n

x x

v l v l v la

l

v l v l v l

v l

D D D N

D D

• Didapatkan hubungan:

| :n x x x na a a

1 1 1

1

x x x n

x x

x n

x

N N N

D D

N

D

| :n x x x na a a

x x x n

x x

x n

x

N N N

D D

N

D

dan


3.2. ANUITAS HIDUP BERJANGKA DITUNDA

• adl serangkaian pembayaran di awal/ di akhirtahun yg ditunda n tahun selama paling lama m tahun (pembayaran terbatas hingga mtahun) jika seseorang itu masih hidup.


x x+n+mtahun

1

x+n

1 1

masa penundaan masa pembayaran

• Nilai tunai untuk pembayaran di akhir tahun(sebesar Rp. 1):


1 2

1 2|

1 2

1 2

1 2 1 1

. . .

. . .

.

n n n m

x n x n x n mn m x

x

x n x n n m

x n x n x n m

x

x

x n x n x n m x n x n m

x x

v l v l v la

l

v l v l v l

v l

D D D N N

D D

• Nilai tunai untuk pembayaran di akhir tahun(sebesar Rp. 1):


1 1

1 1|

1 1

1 1

1 1

. . .

. . .

.

n n n m

x n x n x n mn m x

x

x n x n n m

x n x n x n m

x

x

x n x n x n m x n x n m

x x

v l v l v la

l

v l v l v l

v l

D D D N N

D D

• Diperoleh juga hubungan:

| 1|m n x m n xa a

x m x m n

x

N N

D


• Endowmen murni adl suatu pembayaran yg dilakukanpada akhir suatu jangka waktu tertentu bagi seseorangtertentu bila dia hidup mencapai akhir jangka waktutersebut. Bila orang tsb mati sebelum akhir jangkawaktu tsb maka tidak ada pembayaran sama sekali.

• Dilambangkan dengan nEx :: Artinya: nilai tunaiEndowmen Murni yg dikeluarkan bagi seorang berusiax selama jangka waktu n tahun. Bila (x) mati sebelumusia x+n thn maka tidak ada pembayaran, tapi bila diamencapai usia x+n maka kepadanya akan dibayarkansebesar 1 pada akhir tahun ke x+n.


ENDOWMEN MURNI

• Nilai tunai dari Rp. 1 adalah vn, peluangnyadibayarkan adalah npx yaitu peluang (x) mencapai usia x+n. Jadi,


.. .

.

x nn n x n x n x n

n x n x x

x x x

l v l DE v p v

l v l D

|n xa

Anuitas awal seumur hidup yang ditunda selama n tahun danPembayarannya hanya 1 kali sebesar Rp. 1,-.

• Anuitas hidup berjangka akhir dapatdipandang sbg gabungan dari serangkaianendowment murni:


1 2 3:

1 2

1 2 1 1

...

... .

x x x n xx n

x x x n

x x x

x x x n x x n

x x

a E E E E

D D D

D D D

D D D N N

D D

• Demikian juga:


| 1 2 3

1 2

1 1

...

...

.

m n x m x m x m x m n x

x m x m x m n

x x x

x m x m n

x

a E E E E

D D D

D D D

N N

D

SOAL - JAWAB

1. Hitunglah nilai tunai suatu endowmen murnisebesar Rp. 1juta yg dikeluarkan bagiseseorang berusia 25 thn selama 40 thn!

• Jawab:


6540 25

25

1.000.000 1.000.000

116.088,15 1.000.000

506.594,02

Rp. 229.154,21.

DE

D

2. Pada hari ulang tahunnya yg ke-30, si Ali membeli endowmenmurni sebesar Rp. 5.000,- untuk selama 35 thn. Bila diamencapai usia 65 thn, berapa besarkah yang akan diaterima?

• Jawab:

35E30 adl nilai tunai dari 1, jd dgn nilai tunai Rp. 5.000,- Aliakan dapat membeli endowmen murni dg besar pembayaran:

35 30

30

6535 30 65

30

1. 5.000

5.000 5.0005.000

440.800,58 5.000 Rp. 18.985,60.

116.088,15

E

D

DE D

D


3. Si Ali, yg sekarang berusia 25 thn, inginmembeli suatu rencana pensiun mulai usia55 thn dg penerimaan 3 juta rupiah setahun. Pembayaran pertama pada hari ulangtahunnya yg ke-55. Untuk itu dia akanmelakukan pembayaran tahunan padapermulaan tiap tahun mulai sekarang danberakhir pada hari ulang tahunnya yg ke-54. Berapa besarkah pembayaran tahunan tsb?


• Jawab:Nilai tunai dari penerimaan tahunan sebesar 3jtbagi seseorang berusia 25thn ditunda 30thnadalah

Untuk membeli ini si Ali harus melakukanpembayaran yg berbentuk anuitas sementara.Misalkan pembayaran tahunannya adl B, makanilai tunai anuitas tsb adl


5530| 25

25

3.000.000 3.000.000N

aD

25 55

25:30

25

.N N

B a BD

• Dengan menyamakan kedua nilai tunai anuitastsb maka nilai B dapat diperoleh:


25 55 55

25 25

55

25 55

3.000.000

3.000.000

2.754.768,79 3.000.000

12.992.619,10 2.754.768,79

Rp. 807.230,63.

N N NB

D D

NB

N N

4. Pada usia 65 si Ali mpy dua pilihan:a) Menerima 25jt dari suatu perusahaan asuransi yg akan

membungakannya dg i = 2,5% setahun, dan dia akanmenerima dg cara tentu tiap permulaan tahun selama20thn (anuitas tentu selama 20thn) sejumlah uang ygsama besarnya dan sesudah 20 kali pembayaran dana tadihabis.

b) Membiarkan uangnya pd perusahaan tadi dan menerimajumlah uang sama besarnya tiap permulaan tahun selama20thn bila dia hidup (anuitas hidup).

Hitunglah besarnya penerimaan si Ali tiap tahun dalam keduahal tsb. Bila si Ali mati tepat sebelum mencapai usia 80thn,berapa besarkah yg akan diterima oleh ahli warisnya?


• Misalkanlah penerimaan tahunan si Ali Rp. B

a) Nilai tunai anuitas awal tentu selama 20 thn dgpembayaran B tiap tahun adl

2025.000.000Ba

20

20

20

111 1,025

1(0,025)1,025

vBa B B

iv

20

1(0,025)1,025

25.000.000111,025

B

Rp. 1.564.564,12


• Bila si Ali mati tepat sebelum berusia 80 tahun maka masih tersisa 5 kalipembayaran yg hrs dilaksanakan yg akan diterima oleh si Ali. Nilai tunaisisa pembayarannya adl:

b. Pembayaran tahunan untuk anuitas hidup awal berjangka pada usia 65thnselama 20 thn adl

Dalam hal ini jika si Ali mati maka ahli waris tidak mendapat apa-apa.

51.564.564,12 Rp. 7.450.413,93a

65 85

65:20

65

25.000.000N N

Ba BD

65

65 85

25.000.000 Rp. 2.557.820,58D

BN N


akt 4-anuitas-hidup

Economy & Finance