ANUITAS HIDUP (LIFE ANNUITY)

Disusun Oleh :

Anggareni Anitadara M0111008

Kiki Aprilia M0112049

Nur Alfiani Santoso M0112062

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2015

1. PENDAHULUAN

Anuitas hidup (life annuity) adalah serangkaian pembayaran yang

dilakukan terus menerus atau pada interval yang sama (seperti sebulan, tiga bulan,

setahun) ketika individu bertahan hidup. Anuitas dapat bersifat sementara, yaitu,

dibatasi pada jangka waktu yang diberikan, atau dapat dibayar untuk seumur

hidup. Interval pembayaran dapat dimulai segera atau sebaliknya, anuitas dapat

ditangguhkan. Pembayaran dapat dilakukan di awal interval pembayaran

(annuities-due) atau pada akhir interval tersebut (annuities-immediate).

Melalui studi anuitas tertentu (annuities-certain) dalam teori suku bunga,

telah diberikan pengetahuan tentang istilah anuitas, notasi, dan teori. Teori anuitas

hidup yang akan dibahas dalam makalah ini hampir sama dengan teori yang telah

dipelajari sebelumnya, namun syarat kondisi pembayaran yang digunakan adalah

kelangsungan hidup dari individu. Seperti halnya dalam asuransi jiwa yang

berhubungan dengan endowment murni dan jatuh tempo pembayaran pada

asuransi endowment.

Anuitas hidup berperan penting dalam operasi asuransi jiwa. Asuransi

jiwa biasanya dibeli dengan premi anuitas hidup bukan dengan premi tunggal.

Jumlah yang dibayar pada saat klaim mungkin akan berubah berdasarkan pilihan

penyelesaian dalam beberapa bentuk anuitas hidup bagi penerima. Beberapa jenis

asuransi jiwa menjalankan konsep ini lebih jauh dan, bukannya menampilkan

sejumlah uang yang dibayarkan pada saat kematian, namun memberikan bentuk

pernyataan dari manfaat penghasilan. Misalnya, pendapatan bulanan dibayarkan

kepada pasangan hidup atau kepada pensiunan yang ikut asuransi.

Salah satu contoh anuitas adalah sistem pensiun. Pada kenyataannya,

rencana pensiun dapat dianggap sebagai sebuah sistem untuk pembelian anuitas

hidup yang ditangguhkan (dibayar selama pensiun) dengan beberapa bentuk

anuitas sementara dari kontribusi selama masa aktif. Anuitas sementara dapat

terdiri dari iuran yang berbeda-beda, dan penilaian itu dapat mempertimbangkan

tidak hanya bunga dan kematian, tetapi faktor lain seperti kenaikan gaji dan

penghentian partisipasi untuk alasan lain selain kematian.

Anuitas hidup juga berperan dalam asuransi cacat dan asuransi

kompensasi pekerja. Dalam hal asuransi cacat, ketika tertanggung cacat telah

pulih mungkin perlu dipertimbangkan dalam pemutusan manfaat anuitas. Untuk

kelangsungan hidup pasangan di bawah kompensasi pekerja, menikah kembali

dapat mengakhiri anuitas tersebut.

Selanjutnya, dengan mengekspresikan nilai present value dari benefit

yang akan diterima oleh annuitant sebagai fungsi , variabel acak seumur hidup

masa depan annuitant. Sehingga dapat dimungkinkan untuk mempelajari sifat dari

distribusi variabel nilai finansial acak. Nilai ekspektasinya masih disebut nilai

pemberian yang berhubungan dengan penaksiran sebelumnya pada penetapan

asuransi (actuarial present value), dapat dievaluasi dengan cara alternatif baik

menggunakan integral parsial atau penjumlahan parsial tergantung apakah

pembayaran sedang dievaluasi kontinu atau diskrit. Hasil dari proses ini memiliki

interpretasi yang berguna dan mengarah pada metode alternatif untuk memperoleh

actuarial present value yang disebut teknik pembayaran saat ini (current payment

technique).

Seperti pada asuransi jiwa, kecuali jika dinyatakan sebaliknya

diasumsikan tingkat tahunan efektif konstan dari suku bunga (atau konstanta

gaya setara dengan bunga ). Asumsikan pula bahwa jumlah kematian untuk

sebagian besar perkembangan menunjukkan situasi-situasi dimana asumsi

kematian yang dipilih membuat perbedaan besar.

Dalam sebagian besar aplikasi dari teori yang dikembangkan dalam bab

ini, pembayaran anuitas kontinu saat kehidupan manusia tetap berada dalam status

tertentu. Namun, kemungkinan aplikasi teori jauh lebih luas. Teori tersebut dapat

diterapkan untuk semua pembayaran berkala dimana pembayaran tidak dibuat

dengan pasti. Contoh dari beberapa aplikasi ini terlihat dalam bab-bab selanjutnya

yang berhubungan dengan beberapa kehidupan atau beberapa penyebab

pengurangan.

2. PEMBAHASAN

2.1 Anuitas Hidup Kontinu

2.1.1 Anuitas Seumur Hidup (Whole Life Annuity)

Anuitas seumur hidup disediakan untuk seorang individu dengan

pembayaran sampai individu meninggal. Sehingga, nilai pemberian (present

value) dari pembayaran yang akan dilakukan didefinisikan = | untuk semua

0 dimana adalah waktu hidup() yang akan datang. Fungsi distribusi dari

dapat diperoleh dari T, yaitu

= Pr = Pr | = Pr 1

= Pr 1

= Pr 1

= Pr[log log 1 ]

= Pr[log log 1 ]

= Pr log 1

= Pr log(1 )

= log (1)

, untuk 0 < )

= Pr(1 > . )

= Pr (1- . >)

= Pr (

= Pr ( <

+)

= Pr (T >1

log

+)

= 0

Dengan 0 = 1

log(

+)

= exp[ ]0

= exp 00t

= exp (0 0)

= exp (1

log

+)

=

+

2.1.2 Anuitas Hidup Sementara n-Tahun

(n-Year temporary Life annuity)

Present value dari variabel random pembayaran dalam anuitas

hidup sementra n-tahun sebesar 1 per tahun, yang dibayar terus menerus

pada seseorang berumur (x) sampai individu hidup n- tahun ke depan.

= |

, 0 <

| , (2.1.10)

Distribusi dari variabel Y merupakan distribusi campuran dengan

nilai Y maksimum terbatas sampai | dan nilai probabilitas positif yang

berkaitan dengan | adalah P(T )= xn p . Ciri fungsi distribusi variabel

random dijelaskan pada Gambar 2.1.2.

Gambar 2.1.2

Actuarial present value (APV) pada anuitas hidup n-tahun

dinotasikan dengan :| .

:| = = |

0 xtp + t + | xn p (2.1.11)

Integral ini adalah pembayaran saat ini untuk actuarial present

value pada anuitas sementara n-tahun. Hal ini dianggap sebagai pembayaran

sebesar 1dt yang dibuat pada waktu ke t. Didiskontokan dengan bunga yang

kembali adalah 0 dengan dikalikan dan selanjutnya dikalikan dengan

xt p untuk mencerminkan bahwa probabilitas pembayaran dilakukan pada

waktu t kali sampai waktu n. Tidak ada pembayaran harus dilakukan setelah

waktu n sehingga kemungkinan pembayaran tersebut adalah 0.

Persamaan seperti yang ditunjukan pada (2.1.6) berlaku dengan

u(x) = : dan seperti fungsi c(x) yang sekarang kita kenali yaitu :1| .

Kita disini menggunakan n=y-x. Hanya perlu berpikir mengganti nilai awal,

untuk itu kita menggunakan u(y)= :0 . Persamaan yang lain untuk anuitas

sementara periode n-tahun diselesaikan pada latihan 5.7.

Dari (2.1.10) kita peroleh

= | =

1

, 0 <

| =1

,

(2.1.13)

0

1

dimana

= , 0 < ,

(2.1.14)

Pada Persamaan (2.1.14), Z adalah nilai variabel random untuk

asuransi endowment n-tahun .

Oleh karena itu

= :| = 1

=

1 : |

(2.1.15)

dan

=

2

: | 2 :

2

2 (2.1.16)

nilai anuitas dari (2.1.16) menjadi:

=

2

= : |

2 : | 2

2

= 122 : (1 : | )

2

2

=122 : | (12 : | +

22: | )

2

=22 :| + 2 : |

22: | 2

=2

( :| :| ) :|

2

2

2.1.3 Anuitas Seumur Hidup Tertunda n Tahun

(n-Year Deffered Whole Life Annuity)

Nilai variabel random Y memberi definisi

= 0 = | | , 0 <

| =1

,

(2.1.17)

variabel random Y dapat menggunakan nilai lebih besar daripada

1

| =

dan probabilitas nilainya adalah 0 yaitu Pr(T n) = xn q .

Ciri distribusi dijelaskan pada Gambar 2.1.3.

Gambar 2.1.3

Selanjutnya

| = = |

xt p

+

= | xsn p

+ +

0

= xn p |

0 nxsp

+ +

ditunjukan

| = xn E + . (2.1.18)

Sebuah pembangunan alternatif akan untuk dicatat bahwa, dari definisi ,

( untuk anuitas hidup-n-tahun ditangguhkan keseluruhan) = ( untuk anuitas

seumur hidup ) ( untuk anuitas hidup n-tahun sementara ).

Nilai harapan didefinisikan sebagai

nxxxn aaa : (2.1.19)

integrasi parsial dapat digunakan untuk memverifikasi hasil yang diberikan oleh

teknik pembayaran tersebut. Anuitas akan dibayaran setelah waktu jika

bertahan, nilai actuarial present dapat ditulis sebagai

1

0

1

dtEdtpvaxn ttxn

txn

. (2.1.20)

Untuk mengembangkan Persamaan rekursi mundur untuk anuitas

tangguhan dengan = > 1, tidak adai istilah yang sesuai dengan integral

untuk nilai t antara 0 dan 1. Jadi, untuk = pada usia kurang dari ,

= 0, dan = . Untuk nilai awal digunakan = .

Salah satu cara untuk menghitung varians dari untuk anuitas tertnda

adalah sebagai berikut

22

0

2

222

)()()(

)()()()(

xnnxssxn

n

xnxtntn

n

adssnxpapv

adttxpavYVar

dengan menggunakan integral parsial,

222

2

0

22

22

0

2

)()(2

)()(2

)()()(

xnnxnxxn

n

xnnxs

ss

xn

n

xnnxssxn

n

aaapv

adspvvpv

adssnxpapv

(2.2.21)

2.1.4 Anuitas Hidup n-Tahun Tertentu

(n-Year Certain and Life Annuity)

Anuitas hidup n-tahun tertentu adalah anuitas seumur hidup dengan

jaminan pembayaran untuk tahun n pertama. Present value dari pembayaran

anuitas adalah

= ,

, > (2.1.22)

Tipe fungsi distribusinya ditunjukkan pada Gambar 2.1.4, yang

mencerminkan sifat campuran distribusi dan nilai minimum dan batas atas Y,

masing-masing adalah dan 1

.

Gambar 2.1.4

APV dinotasikan dengan nxa : . Simbol ini diadopsi untuk menunjukkan

bahwa pembayaran berlanjut sampai , :

n

txtnxn

n

txtn

n

txnnx

dttxpaaq

dttxpaadttxpaYEa

0

00:

)(

)()(

(2.1.23)

integrasi parsial dapat digunakan untuk memperoleh

dtpvaatxn

tnnx

: (2.1.24)

Ini adalah nilai pembayaran saat ini dari APV, karena pada waktu 0

sampai pembayaran n yang pasti, sedangkan untuk waktu yang lebih besar dari

pembayaran n dilakukan jika )(x hidup. Pemahaman lebih lanjut dapat diperoleh

dengan menulis ulang sebagai

= + 0

+ > .

Y adalah jumlah dari konstanta na dan variabel acak untuk tahun n

anuitas tangguhan. Dengan demikian,

)25.1.2()19.1.2()(

)18.1.2(

:

:

nxxn

nxxnn

xnnnx

aaa

aEa

aaa

0

1

1

selanjutnya, karena )()( YVaraYVar n , variansi untuk anuitas hidup n-tahun

tertentu dan hidup adalah sama dengan bahwa dari tahun n anuitas tangguhan

yang diberikan oleh (2.1.21).

Analog dengan fungsi

dtisn n

n

0

1

1

Dalam teori suku bunga, diperoleh tunjangan hari tua

dtEE

as

n

txtnxt

nx

nx

0

:

:

1 (2.1.26)

Persamaan (2.1.26) mereprsentasikan nilai akumulasi aktuaria pada akhir masa

sebuah anuitas hidup sementara n-tahun dengan 1 unit per tahun dibayar terus

menerus sementara (x) hidup. Akumulasi nilai tersebut, sering disebut telah

terakumulasi di bawah (atau dengan keuntungan) dari bunga dan hidup lebih

lama, tersedia pada usia nx jika (x) bertahan.

Diperoleh ekspresi untuk xadx

d dengan membedakan integral dalam

(5.2.4), dengan asumsi bahwa probabilitas berasal dari tabel agregat

)1()()(

)()(00

xxxx

xt

t

xt

tx

aaxAax

dttxxpx

vdtpx

vadx

d

sehingga,

1)( xx axadx

d (2.1.27)

interpretasi Persamaan (2.1.27) adalah perubahan actuarial present value pada

rata-rata adalah jumlah dari bunga pendapatan xa dan rata-rata keuntungan

hidup lebih lama xax)( , kurang tingkat pengeluaran pembayaran.

Contoh 2.1.2

Asumsikan bahwa probabilitas berasal dari sebuah tabel agregat, tentukan

formula untuk

a.

:

b.

Penyelesaian :

a. Lanjutan dari perkembngan persamaan (2.1.27), kita peroleh

: = : :

1

= : (1 : )

= + : (1 )

c.

=

=

Tabel 2.1.1 merangkum konsep untuk anuitas hidup kontinu (terus

menerus).

Gambar 2.1.1 menunjukkan fungsi distribusi untuk masing-masing jenis anuitas

hidup kontinu yang dipelajari pada bagian ini. Nilai batas dan titik diskontinu

ditunjukkan pada satu atau kedua sumbu.

Ketika 0 = 0, = [1

0] , APV dari dapat

divisualisasikan sebagai daerah di atas grafik dari = , bawah = 1, dan di

sebelah kanan garis = 0. Interpretasi ini dapat memberikan jembatan antara

nilai aktuaria sekarang sebagai evaluasi dari definisi dari variabel acak dan bentuk

pembayaran saat ini untuk nilai aktuaria sekarang.

Tabel 2.1.1. Rangkuman dari Anuitas hidup kontinu (Anuitas dari 1 per tahun

yang dibayar secara kontinu)

Tambahan relasi diberikan oleh,

1 = +

1 = : + :

= :

: = :

= (1 + )

+

+

0

2.2 Annuitas Hidup Diskrit

Teori anuitas hidup diskrit analog dengan teori anuitas hidup kontinu,

dengan integral digantikan oleh jumlahan (sigma), integran oleh summands, dan

differential oleh diference. Untuk anuitas hidup diskrut waktu pembayaran diawal

(annuities-due) atau waktu pembayaran di akhir (annuities-immediate)

diperhitungkan, akan dimulai dengan annuities-due yang memiliki peran yang

lebih menonjol dalam aplikasi nyata. Sebagai contoh, asuransi jiwa yang

digunakan kabanyakan orang berdasarkan annuities-due yang dibayar secara

berkala.

2.2.1 Anuitas Seumur Hidup Yang Dibayar Diawal

(Whole Life Annuity-due)

Anuitas seumur hidup yang dibayar diawal merupakan sebuah anuitas

hidup dengan pembayaran dimulai di awal tahun untuk setiap individu (x) yang

masih bertahan hidup.

Diberikan present-value dari variabelrandom, Y

= +1|

dengan K waktu hidup yang akan datang dari individu (x), untuk anuitas hidup

diskrit nilai present-value yang mungkin terjadi berada pada interval 1| = 1

sampai | yang kurang dari 1

. Nilai probabilitas yang berhubungan adalah

Pr = = + .

Selanjutnya akan dibahas menganai actuarial present value ,

= E Y = E +1| = +1| +

=0 (2.2.1)

Pr = = + , dengan penjumlahan parsial pada apendix 5,misal

= + = +1 dan g(k) = +1| dan menggunakan

hubungan g(k) = +1| = vk+1 dan = konversikan ke

= 1 + vk+1 +1

=0 (2.2.2)

= vk

=0 . (2.2.3)

Persamaan (2.2.3) adalah bentuk present value dari actuarial present

value untuk anuitas-due seumur hidup dimana adalah probabilitas

pembayaran ukuran 1 yang dibuat pada waktu k.

Dimulai dengan jumlah dalam Persamaan (2.2.2) di atas diperoleh

= 1 + vk+1 +1

=0 = 1 + v

k +1

.=0 (2.2.4)

Persamaan ini adalah contoh dari Persamaan rekursi mundur dengan

= , = 1 = . Nilai inisial digunakan untuk anuitas

seumur hidup = 0.

Dari (2.2.1) diperoleh berturut-turut

= E 1vk+1

d =

1

(2.2.5)

dan

= | | (2.2.6)

1 = d + (2.2.7)

Dengan membandingkan Persamaan (2.1.8) dan Persamaan (2.2.7) dapat

disimpulkan bahwa Persamaan (2.2.7) menunjukkan bahwa sebuah unit yang

diinvestasi sekarang akan menghasilkan bunga di awal tahun dari d per tahun

selama (x) masih bertahan hidup ditambah pembayaran dari unit pada akhir tahun

kematian (x).

Persamaan variansi

Var( +1| ) = Var 1vk+1

d =

Var (vk+1)

d2=

2( )2

2 (2.2.8)

2.2.2 Anuitas Hidup Sementara n-Tahun Yang Dibayar Di Awal

n-Year Temporary Life Annuity-due

Variabel random present value dari sebuah anuitas hidup sementara n-

ytahun yang dibayar diawal dengan tempo 1 per tahun adalah

= { +1| 0 K n

| K n

dengan actuarial present value adalah

:| = E Y = +1| + + | n1k=0 (2.2.9)

penjumlahan parsial dapat digunakan untuk mengubah (2.2.9) dalam bentuk

:| = vk

n1k=0 (2.2.10)

Untuk anuitas hidup n-tahun sementara yang dibayar di awal pada

umur y = x + n :

:| = 1 + +1:(+1)| (2.2.11)

Formulasi rekursif untuk nilai asuransi sekarang adalah sama dengan

(2.2.4) tetapi perbedaannya disini digunakan nilai awal :0| =0.

Karena = (1 )/, dimana

= { +1 0

menggunakan c(x) = 0 dan d(x) = . Perubahan tersebut kita gunakan nilai

present-value asuransi untuk sebuah anuitas-due, = , untuk nilai awal.

Variansi dari Y dapat dikembangkan secara sepenuhnya analog dengan

yang digunakan pada formula (2.121) dan mengarah ke ekspresi

=2

2

+ + 2 + |

2 ( | )2 (2.2.18)

2.2.4 Anuitas Hidup Tertentu Yang Dibayar Di Awal

(n-Year Certain and Life Annuity-Due)

Anuitas hidup tertentu yang dibayar di awal merupakan anuitas hidup

dengan pembayaran individu (x) setidaknya selama n tahun. Nilai present-value

dari pembayaran anuitas adalah

= +1| | 0

2.2.5 Anuitas Hidup Yang Dibayar Di Akhir

(Annuities-immediate)

Prosedur yang digunakan di atas untuk anuitas-due dapat disesuaikan

untuk anuitas-immediate dimana pembayaran dilakukan diakhir periode

pembayaran. Misalnya, untuk anuitas-immediate seumur hidup, variabel random

present value adalah Y= | . Sehingga

= = +=0 | , (2.2.23)

Dan penjumlahan parsial akan memberikan bentuk pembayaran saat ini

dari nilai kini asuransi seperti

=

=1 . (2.2.24)

karena persamaan 1

= 1 1 + +1 /, kita mempunyai nilai harapan

= =1(1+)

(2.2.25)

Persamaan ini dapat ditulis kembali seperti 1 = + (1 + ) . Perbandingan

Persamaan (2.2.25) dengan Persamaan (2.2.7) menunjukkan bahwa pembayaran

bunga i dibuat pada akhir setiap tahun, sedangkan (x) tetap hidup dan bahwa pada

akhir tahun kematian suatu pembayaran bunga i bersama dengan jumlah pokok 1

harus dibayar. Persamaan ini memiliki arti penting bagi perpajakan real. Untuk

setiap unit tingkat dalam hidup, mendefinisikan menjadi kawasan hidup dan

1 + = 1 sebagai sisa jika ditujukan untuk sebuah organisasi amal

yang berkualitas, dibebaskan dari pajak real.

Analisis untuk bentuk-bentuk lain dari anuitas-immediate hampir sama.

Variabel random present value dapat dibentuk dengan cara analog untuk anuitas-

due. Persamaan untuk actuarial present value dapat diperoleh dari definisi dan

dengan penjumlahan parsial. Persamaan untuk variansi dari anuitas- immediate di

bagian ini juga dapat diperoleh.

Contoh 2.2.1

Tentukan Persamaan untuk ekspektasi dan variansi dari variabel random present-

value untuk life annuity-immediate sementara

Penyelesaian:

Dimulai dengan variable present value untuk n-tahun annuity immediate,

=

=

1

0

Dengan menggabungkannya kita dapatkan

= 1 + 2 : |

1 :| 1

22 1 + :|

1 + 2 1

2

Tabel 2.2.1

Rangkuman dari life annuities diskrit [tunjangan per pembayaran awal tahun

(annuity-Due) atau akhir tahun (annuity-immediate).