a70 - pemodelan dan teori risiko - 25 juni 2013 siang

PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

Komisi Penguji

PERSATUAN AKTUARIS

INDONESIA

UJIAN PROFESI AKTUARIS

2013

MATA UJIAN : A70 – Pemodelan dan

Teori Risiko

TANGGAL : 25 Juni 2013

JAM : 13.30 16.30 WIB

LAMA UJIAN : 180 Menit

SIFAT UJIAN : Tutup Buku

A70 – Pemodelan dan Teori Risiko

Periode Juni 2013 Halaman 2 dari 26


Komisi Penguji

TATA TERTIB UJIAN

1. Setiap Kandidat harus berada di ruang ujian selambat-lambatnya 15 (lima belas) menit

sebelum ujian dimulai.

2. Kandidat yang datang 1 (satu) jam setelah berlangsungnya ujian dilarang memasuki

ruang ujian dan mengikuti ujian.

3. Kandidat dilarang meninggalkan ruang ujian selama 1 (satu) jam pertama

berlangsungnya ujian.

4. Setiap kandidat harus menempati bangku yang telah ditentukan oleh Komisi Penguji.

5. Buku-buku, diktat, dan segala jenis catatan harus diletakkan di tempat yang sudah

ditentukan oleh Pengawas, kecuali alat tulis yang diperlukan untuk mengerjakan ujian

dan kalkulator.

6. Setiap kandidat hanya berhak memperoleh satu set bahan ujian. Kerusakan lembar

jawaban oleh kandidat, tidak akan diganti. Dalam memberikan jawaban, lembar jawaban

harus dijaga agar tidak kotor karena coretan. Lembar jawaban pilihan ganda tidak boleh

diberi komentar selain pilihan jawaban yang benar.

7. Kandidat dilarang berbicara dengan/atau melihat pekerjaan kandidat lain atau

berkomunikasi langsung ataupun tidak langsung dengan kandidat lainnya selama ujian

berlangsung.

8. Kandidat dilarang menanyakan makna pertanyaan kepada Pengawas ujian.

9. Kandidat yang terpaksa harus meninggalkan ruang ujian untuk keperluan mendesak

(misalnya ke toilet) harus meminta izin kepada Pengawas ujian dan setiap kali izin keluar

diberikan hanya untuk 1 (satu) orang. Setiap kandidat yang keluar tanpa izin dari

pengawas maka lembar jawaban akan diambil oleh pengawas dan dianggap telah selesai

mengerjakan ujian.

10. Alat komunikasi (telepon seluler, pager, dan lain-lain) harus dimatikan selama ujian

berlangsung.

11. Pengawas akan mencatat semua jenis pelanggaran atas tata tertib ujian yang akan

menjadi pertimbangan diskualifikasi.

12. Kandidat yang telah selesai mengerjakan soal ujian, harus menyerahkan lembar jawaban

langsung kepada Pengawas ujian dan tidak meninggalkan lembar jawaban tersebut di

meja ujian.

13. Kandidat yang telah menyerahkan lembar jawaban harus meninggalkan ruang ujian.

14. Kandidat dapat mengajukan keberatan terhadap soal ujian yang dinilai tidak benar

dengan penjelasan yang memadai kepada komisi penguji selambat-lambatnya 10

(sepuluh) hari setelah akhir periode ujian.




Komisi Penguji

PETUNJUK MENGERJAKAN SOAL

Ujian Pilihan Ganda

1. Setiap soal akan mempunyai 5 (lima) pilihan jawaban di mana hanya 1 (satu) jawaban

yang benar.

2. Setiap soal mempunyai bobot nilai yang sama dengan tidak ada pengurangan nilai

untuk jawaban yang salah.

3. Berilah tanda silang pada jawaban yang Saudara anggap benar di lembar jawaban.

Jika Saudara telah menentukan jawaban dan kemudian ingin merubahnya dengan

yang lain, maka coretlah jawaban yang salah dan silang jawaban yang benar.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang sediakan dan tanda

tangani lembar jawaban tersebut tanpa menuliskan nama Saudara.

Ujian Soal Esay

1. Setiap soal dapat mempunyai lebih dari 1 (satu) pertanyaan, Setiap soal mempunyai

bobot yang sama kecuali terdapat keterangan pada soal.

2. Tuliskan jawaban Saudara pada Buku Jawaban Soal dengan jelas, rapi dan terstruktur

sehingga akan mempermudah pemeriksaan hasil ujian.

3. Saudara bisa mulai dengan soal yang anda anggap mudah dan tuliskan nomor

jawaban soal dengan soal dengan jelas.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang disediakan dan

tanda tangani Buku Ujian tanpa menuliskan nama Saudara.

KETENTUAN DAN PROSEDUR KEBERATAN SOAL UJIAN PAI

1. Peserta dapat memberikan sanggahan soal, jawaban atau keluhan kepada Komisi Ujian

dan Kurikulum selambat-lambatnya 10 hari setelah akhir periode ujian.

2. Semua pengajuan keberatan soal dialamatkan ke [email protected].

3. Pengajuan keberatan soal setelah tanggal tersebut (Poin No 1) tidak akan diterima dan

ditanggapi.



1. Diketahui data klaim sebagai berikut :

Kelas A : 3 ; 4 ; 6 ; 10

Kelas B : 4 ; 5 ; 8

Data tersebut cocok (fitted) dengan distribusi invers eksponensial dengan parameter

yang tergantung pada kendala :

untuk Kelas B adalah lebih besar 2 dari untuk Kelas A

Dengan menggunakan maksimum likelihood, maka nilai dari untuk Kelas A sama

dengan …..

A. 1,87

B. 2,11

C. 3,57

D. 4,24

E. 5,20

2. Dalam polis pertanggungan Cacat Tetap Total, berikut adalah distribusi dari

pengamatan waktu kejadian Cacat Tetap Total :

Tahun Kejadian Cacat Banyaknya Tertanggung

(0,1]

(1,2]

(2,3]

(3,)

65

20

12

3

Waktu kejadian Cacat Tetap Total berdistribusi uniform dalam setiap tahun

Jika nilai waktu kejadian Cacat Tetap Total adalah X, maka nilai dari Var(X 3) sama

dengan .....

A. 0,58

B. 0,68

C. 0,78

D. 0,88

E. 0,98

3. Untuk keluarga estimator Ya , diketahui sebagai berikut :

bias(Ya) = 4 – a dan Var(Ya) = a2 + a + 1

Untuk nilai a yang meminimalkan MSE(Ya), dimana MSE = Mean Square Error, maka

nilai dari MSE(Ya) sama dengan …..

A. 101

2

B. 105

8

C. 103

4

D. 107

8

E. 11



Informasi berikut ini adalah khusus untuk pertanyaan No. 4 dan 5 :

Frekuensi klaim berdistribusi binomial dengan parameter m = 3 dan q = 0,2

Besarnya klaim berdistribusi :

Besar Klaim Probabilitas

0

1

2

3

0,20

0,50

0,20

0,10

4. Dari informasi di atas, jika diketahui penutupan reasuransinya menggunakan aggregate

deductible sebesar 6. Maka expected aggregate amount yang dibayarkan oleh

reasuradur sama dengan .....

A. 3,00 10-4

B. 3,12 10-4

C. 3,24 10-4

D. 3,36 10-4

E. 3,48 10-4

5. Dari informasi di atas, jika S variabel acak aggregate klaim, maka nilai dari E(S 2,4)

sama dengan .....

A. 6,25 10-1

B. 6,37 10-1

C. 6,50 10-1

D. 6,64 10-1

E. 6,83 10-1

6. Untuk suatu pertanggungan asuransi, besarnya klaim memiliki fungsi probabilitas

densitas sebagai berikut :

𝑓 𝑥 = 30 𝑥

𝜃

3

𝜃 − 𝑥

𝜃

2 1

𝑥 0 < 𝑥 < 𝜃

Diketahui 3(tiga) pengalaman klaim sebagai berikut : 90 ; 90 dan 20

Dengan menggunakan maksimum likelihood, maka nilai estimasi sama dengan …..

A. 44,88

B. 66,55

C. 111,77

D. 131,66

E. 136,99



7. Hasil pengamatan atas besar klaim sebagai berikut :

100 ; 200 ; 500 ; 800 ; 1.000 ; 1.300 ; 2.000 ; 2.000

Misalkan p = Pr(X < 1000 X > 500), dimana p diestimasi secara empiris.

Maka nilai variansi dari estimator p tersebut sama dengan …..

A. 13,67 10-3

B. 31,25 10-3

C. 32,00 10-3

D. 40,00 10-3

E. 48,00 10-3

8. Terdapat 2 tipe pemegang polis, dengan distribusi besar klaim sebagai berikut :

Besar Klaim 0 5 10 20

Probabilitas klaim – tipe 1

Probabilitas klaim – tipe 2

0,40

0,40

0,40

0

0,20

0,40

0

0,20

Seorang pemegang polis dipilih secara acak dan diperoleh klaim sebesar 10. Nilai

harapan untuk klaim berikutnya dari pemegang polis yang terpilih tersebut adalah 5,6.

Maka besarnya probabilitas prior bahwa pemegang polis tersebut adalah tipe 1 sama

dengan .....

A. 1/2

B. 5/8

C. 2/3

D. 3/4

E. 4/5

9. Perusahaan Anda baru saja memiliki sistem pricing dan valuasi baru. Anda ingin

membuat kode untuk setiap produk-produk perusahaan yang berjumlah 283, kemudian

akan diinput ke sistem baru tersebut. Anda menugaskan project ini kepada 3 orang

anggota tim Anda. Pada 4 hari pertama, masing-masing anggota tim telah mengkode

produk sebanyak :

Hari Alan Boni Charles

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

10

8

7

11

11

12

9

10

9

10

10

8



Pada hari Jumat, Anda pulang lebih awal. Anda tahu bahwa Alan mengkode paling

sedikit 8 produk, Boni paling sedikit 10 produk dan Charles paling sedikit 6 produk.

Diasumsikan setiap hari kerja adalah sama lama durasinya dan semua plan sama tingkat

kesulitannya dalam proses pengkodeannya.

Jika diberikan salah satu dari anggota tim Anda, mengkode paling sedikit 9 produk pada

hari Senin berikutnya, maka banyaknya produk yang diharapkan telah dikode oleh

anggota tersebut sama dengan .....

A. 9 7

15

B. 92

3

C. 101

3

D. 10 7

15

E. 102

3

10. Frekuensi klaim berdistribusi negatif Binomial dengan parameter r = 2 dan = 5.

Besarnya klaim berdistribusi invers eksponensial dengan parameter = 10. Misalkan N

adalah banyaknya klaim yang besarnya lebih kecil dari 20. Maka nilai coefficient of

variation dari N sama dengan …..

A. 0,40

B. 0,60

C. 0,64

D. 0,66

E. 0,82

11. Frekuensi klaim bulanan dalam suatu pertanggungan asuransi berdistribusi Poisson

dengan mean . Distribusi prior untuk adalah gamma dengan parameter dan .

Tertanggung yang dipilih secara acak, diamati selama n bulan dan tidak mengajukan

klaim apapun. Maka nilai n terkecil sedemikian sehingga banyaknya klaim yang

diharapkan dari tertanggung ini sama dengan setengah dari nilai harapan banyaknya

klaim dari populasi adalah …..

A.

B. 1 /

C.

D. /

E. /



12. Diketahui pengalaman dari 80 klaim yang pertanggungannya tanpa deductible atau limit

sebagai berikut :

Besar Klaim Frekuensi

(0 , 1.000]

(1.000 , 2.000]

(2.000 , 5.000]

(5.000 , 20.000]

30

18

22

10

Diasumsikan besar klaim berdistribusi uniform untuk setiap interval.

Frekuensi klaim tahunan berdistribusi binomial dengan parameter m = 2 dan q =0,1.

Jika deductible sebesar 500 diberlakukan, maka persentase penurunan aggregate klaim

tahunan sama dengan .....

A. 14,86%

B. 15,72%

C. 16,35%

D. 17,18%

E. 18,21%

13. Diketahui untuk variabel acak klaim X sebagai berikut :

Besar Klaim Frekuensi

(0 , 100]

(100 , 500]

(500 , 1.000]

22

x

25

Diasumsikan besar klaim berdistribusi uniform pada setiap batas atas interval.

Jika diketahui bahwa E(X 600) = 323, maka nilai x sama dengan .....

A. 20

B. 23

C. 26

D. 29

E. 32



14. Untuk membangkitkan hasil kerja yang bagus, perusahaan XYZ memberlakukan sistem

bonus berdasarkan pendapatan. Besarnya bonus sebagai berikut :

Pendapatan Bonus

10 Juta

11 Juta

12 Juta

0

10.000

15.000

Dengan interpolasi linier diantara setiap nilai di atas, maksimum bonus adalah 15.000

dan minimum bonus adalah 0. Jika pendapatan berdistribusi single parameter Pareto

dengan parameter = 1 dan = 9 Juta, maka nilai harapan dari bonus tersebut sama

dengan .....

A. 11.300

B. 11.500

C. 11.800

D. 12.000

E. 12.500

15. Diketahui variabel acak X berdistribusi Pareto dengan parameter = 5 dan = 10.000.

Maka nilai dari koefisien variasi untuk (X – 30.000)+ sama dengan .....

A. 52,25

B. 53,35

C. 54,45

D. 55,55

E. 56,65

16. Diketahui hasil pengamatan sebagai berikut :

5 ; 7 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 14 ; 19 ; 25 ; 40

Metode densitas kernel digunakan untuk membuat smooth distribusi empiris. Jika

digunakan kernel uniform dengan bandwith 4, maka nilai dari median dari distribusi

yang diperoleh sama dengan …..

A. 11,60

B. 11,80

C. 12,00

D. 12,20

E. 12,40



17. Pengamatan atas frekuensi klaim dari 4 pemegang polis sebagai berikut :

Pemegang Polis Tahun ke-1 Tahun ke-2

A

B

C

D

7

2

0

2

5

2

2

4

Untuk setiap pemegang polis, frekuensi klaim tahunan berdistribusi Poisson.

Menggunakan metode empiris Bayes semiparametric untuk mengestimasi klaim masa

depan. Maka banyaknya klaim yang diharapkan dari pemegang polis A pada tahun ke-3

sama dengan …..

A. 4,58

B. 4,82

C. 5,04

D. 5,23

E. 5,43

18. Besar klaim X dari suatu pertanggungan asuransi, memiliki fungsi distribusi kumulatif

sebagai berikut :

𝐹 𝑥 = 𝑥

10.000 0 < 𝑥 < 10.000

Pertanggungan asuransi tersebut memiliki franschise deductible sebesar 1.000. Maka

rasio dari pembayaran tahunan yang diharapkan dengan pembayaran klaim tahunan

untuk pertanggungan asuransi tersebut sama dengan …..

A. 0,76

B. 0,80

C. 0,93

D. 0,97

E. 0,99



19. Suatu variabel acak X memiliki fungsi probabilitas densitas sebagai berikut

𝑓 𝑥 =2𝑥

𝜃2 , 0 < 𝑥 < 𝜃

Sampel x1 , x2 , ... , xn diambil dari populasi. Maka bias dari max(x1 , x2 , ... , xn) sebagai

estimator dari θ , sama dengan …..

A. / n

B. / (n + 1)

C. / (2n)

D. / (2n + 1)

E. / (2n + 2)

20. Suatu pertanggungan asuransi memiliki deductible sebesar 5. Berikut ini adalah

pengamatan atas besar klaim (sudah termasuk deductiblenya) :

10 ; 12 ; 15 ; 15 ; 18 ; 32

Data tersebut cocok (fitted) dengan distribusi invers ekponensial dengan parameter

θ = 10. Maka nilai statistik Kolmogorov-Smirnov-nya sama dengan …..

A. 26,82 10-2

B. 26,89 10-2

C. 31,01 10-2

D. 32,63 10-2

E. 36,82 10-2

21. Besar klaim berdistribusi mixture Pareto dengan parameter = 2 dan = 1.000

berbobot 0,75 dan Pareto dengan parameter = 0,5 dan = 1.000 berbobot 0,25. Maka

nilai dari expected payment per payment pada polis dengan limit 2.000 sama dengan

…..

A. 836

B. 866

C. 900

D. 921

E. 1121



22. Dalam suatu studi mortalita, diawal pengamatan terdapat 200 orang. Tidak terdapat new

entrants. Berikut ini data pengamatan waktu meninggal dunia :

Waktu Banyaknya orang yang meninggal

2

5

10

15

20

1

2

1

2

3

Pada waktu 7 terdapat beberapa orang yang keluar dari studi bukan karena meninggal

dunia. Jika Kaplan-Meier product limit estimator S(20) = 0,953564. Maka banyaknya

orang yang keluar dari studi pada waktu 7 sama dengan …..

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

E. 13

23. Untuk variabel acak X, diberikan informasi sebagai berikut :

d E(X d) e(d) Pr(X > d)

20

50

15 200

180

0,9

Maka nilai batas bawah terbesar dari kemungkinan nilai E(X 50) sama dengan …..

A. 32

B. 33

C. 34

D. 35

E. 36



24. Diketahui sampel dari X yang terdiri dari 3 pengamatan sebagai berikut :

100 ; 400 ; 600

Batas nilai harapan 400, E(X 400), diestimasi secara empiris sebesar 300. Maka nilai

bootstrap approximation MSE (Mean Square Error) dari estimator empiris E(X 400)

sama dengan …..

A. 4445

B. 5556

C. 6667

D. 7778

E. 8889

25. Diketahui informasi sebagai berikut :

Besar klaim berdistribusi invers gamma dengan parameter = 3 dan .

Nilai bervariasi untuk setiap tertanggung dan memiliki fungsi probabilitas densitas

sebagai berikut :

𝑓 𝜃 =𝑒−𝜃/10

10

Diamati klaim sebesar 20. Maka nilai harapan dari klaim berikutnya dari tertanggung

yang sama adalah …..

A. 20/3

B.

C. /3

D.

E. /3



26. Diberikan informasi data besar klaim dari suatu pertanggungan asuransi :

Range Frekuensi Klaim

0 – 1.000

1000 – 2.000

di atas 2.000

25

15

10

Data tersebut cocok (fitted) dengan distribusi Weibull dengan menggunakan maksimum

likelihood. Maka nilai dari parameter sama dengan …..

A. 0,82

B. 1,02

C. 1,22

D. 1,42

E. 1,62

27. Diberikan data besar klaim X sebagai berikut :

x E(X x)

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

400

700

900

1.000

1.100

2.500

Suatu pertanggungan asuransi dengan deductible 2.000. Maka nilai loss elimination

ratio setelah inflasi sebesar 100% jika deductible tidak dibayarkan sama dengan …..

A. 0,08

B. 0,14

C. 0,16

D. 0,20

E. 0,40

28. Variabel acak diskrit X berdistribusi binomial dengan parameter m = 2 dan q. Maka

range dari nilai q dimana 1 adalah persentil ke-70 dari X adalah .....

A. 0,10 q 0,45

B. 0,16 q 0,55

C. 0,28 q 0,66

D. 0,34 q 0,72

E. 0,45 q 0,84



29. Misalkan suatu proses discrete-time dengan surplus awal sama dengan 1 dan premi

tahunan yang tetap sebesar 2½ , dan diketahui losses sebagai berikut :

Pr (St = 1) = 55% dan Pr (St = 5) = 45%

Jika diasumsikan tidak ada cash flows lainnya. Maka nilai dari finite-horizon ruin

probability 𝜓 1, 2 sama dengan …..

A. 10%

B. 30%

C. 50%

D. 70%

E. 90%

30. Diketahui total klaim yang dibayarkan dalam setahun dengan nilai probabilitasnya

sebagai berikut :

Pr (Sk = 3k) = 20% untuk setiap k = 1, 2, 3, 4, dan 5

Besar premi tahunan sebesar 1½ ditagih pada setiap awal tahun. Tingkat bunga 4%

dihasilkan atas semua dana yang ada pada setiap awal tahun, dan klaim akan dibayarkan

pada setiap akhir tahun. Maka nilai dari finite-horizon ruin probability 𝜓 2 , 1 sama

dengan …..

A. 100%

B. 80%

C. 60%

D. 40%

E. 20%




LAMPIRAN TABEL & FORMULA

MATA UJIAN


a70 - pemodelan dan teori risiko - 25 juni 2013 siang

Documents