6. ensambel dan sistem interaktif [compatibility mode]
TRANSCRIPT
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
1/22
EnsambelEnsambeldandan SistemSistem InteraktifInteraktif
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
2/22
Ensambel dan Sistem InteraktifEnsambel dan Sistem InteraktifTopikTopik--topik yang akan dibahas:topik yang akan dibahas: Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,
bab IV)bab IV)
Ensambel Kanonik (interaksi termal)Ensambel Kanonik (interaksi termal)
Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
3/22
EnsambelEnsambel KanonikKanonik ((interaksiinteraksi termaltermal))Tinjau 2 sistem A dan A` yang berinteraksi termal, hanya ukurannya yangsangat berlainan, tepatnya salah satu sistem jauh lebih besar dari sistemlainnya. Sistem yang besar dapat dipandang sebagai tandon/reservoar
Sistem yang apabila berinteraksi dengan sistemyang lain seolah-olah tidak mengalami perubahan
A`, E`
A*
apapun setelah proses berlangsung dan mencapaikeseimbangan.A, E
Energi total sistem A dan tandon A` E`EE* +=
Keadaan makro sistem dengan energi E mempunyai banyak sekali keadaanmikro. Interkasi termal menyebabkan aliran panas dari tandon ke dalam
sistem (atau sebaliknya) sampai terjadi keadaan seimbang
Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untuk
mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergiEr ?
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
4/22
Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untukmendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi
Er ?
Tinjau Sistem A*
Jumlah total keadaan yang diizinkan pada sistem A* adalah *total
Jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A* dimana sistem A berenergi Eadalah *(E)
Sehingga probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaanyang berenergi E adalah
(E)*C(E)**
1
*
(E)*P(E)
TotTot
===
*(E) dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A
dan sistem A
Jika sistem A berenergi E dan jumlah keadaannya adalah (E), maka
sistem A berenergi E= E* E dan jumlah keadaannya adalah (E* E), sehingga
E)*(E'(E)CP(E)sehinggaE),*(E'(E)(E)*=
=
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
5/22
Contoh
Sistem A dan A dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*
.Kedua sistem mengalami kesetimbangan dengan energi sistem A* adalah 13 satuan E.Tabel berikut menunjukkan energi yang dimiliki sistem A dan A dan jumlah keadaanyang berkaitan:
No ETotal
EA
EA
(E) (E) * (E)
1 13 3 10 2 40 80
2 13 4 9 5 26 130
3 13 5 8 10 16 160
4 13 6 7 17 8 1365 13 7 6 25 3 75
Berapakah probabilitas Pr untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaantertentu r yang berenergi Er = 3 satuan E ?
E)*(E'(E)CP(E) =581802.40.
5811P(E) ==
Hitung juga probabilitas untuk mendapatkan sistem A dengan energi yang lain (Er =4, 5, 6 dan 7 satuan E ?
Keadaan mana yang berpeluang besar mewakili sistemdalam keadaan setimbang tersebut?
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
6/22
Tinjau kembali sistem A dan A yang dapat berinteraksi dan berada dalam sistemyang terisolir A*
E)*(E'(E)CP(E) =
Probabilitas P untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentuyang berenergi E adalah
Selanjutnya kita ingin mengetahui kondisi seperti apa saatterjadi keseimbangan antara sistem A dan A
E)*(E'(E)CP(E) =
Saat seimbang, P(E) bernilai maksimum
nnnn =
ln P(E) bernilai maksimum
0P(E)lnE
=
{ } 0E)*(E'ln)(ElnCln
E
=++
0E
E)*E('ln
E
(E)ln=
+
0
E'
)E'('ln
E
(E)ln=
E'
)E'('ln
E
(E)ln
=
)'(')( EE =
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
7/22
)'(')( EE =
E'
)(E''
)(E''
1
E'
)E'('ln)'E('
E
(E)
)(E
1
E
(E)ln
)E(
=
=
=
=
Dua kuantitas penting: ln dan
satuannya adalah: (energi)1 (E)11 == k: konstanta Boltzmann
ln
Jadi saat setimbang: )'(')( EE = 'TT =
= lnkS S : Entropik: konstanta Boltzmann
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
8/22
Sistem yang Kontak Termal dengan Reservoar Kalor
A`, E`
A, E
A*
A`: Reservoar KalorA : Sistem yang Kecil
Probabilitas sistem A dalam keadaan tertentu r yang berenergi Er adalah Pr
*' = rrrr
r'
r
rrr
e*)E(')E*E('
E'*)E('lnE'E
'ln*)E('ln)E*E('ln
=
=
=
Sehingga
rr E'E'
rrr Ke(E*)e')(EC)(EP
==A : konstanta : karakteristik reservoar =1/kT
Fungsi Distribusi Kanonik
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
9/22
1Ke)E(Pr
E
r
r
rr == =
r
E reK
1
rE'
rr Ke)(EP
=
Fungsi Distribusi Kanonik:
Konstanta K dapat ditentukan dari syarat normalisasi:
'
=
r
kTE
kT
E
rr r
r
e
e
)E(P
Sehingga Fungsi Distribusi Kanonik dapat dituliskan:
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
10/22
Contoh Penggunaan
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
11/22
1. ParamagnetismeKita akan menyelidiki sifat magnetik suatu material yang terdiri N0 atom magnetikpersatuan volume yang ditempatkan dalam medan magnet luar B dan materialtersebut bersuhu T
Bext.
Kasus sederhana : tiap atom magnetiknya berspin dan momen magnetiknya 0
Tinjau sebuah atom magnetik, berapakah momen magnetik rata-rata dari sebuahatom tersebut?
Keadaan partikel pada sistem di atas adalah sebagai berikut:
1. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang searah dengan medan magnetluar;
2. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang berlawanan arah denganmedan magnet luar.
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
12/22
Distribusi kanonik:
Pr = Ce -Er
P+ = Ce-E+ dan P- = Ce
-E-
Energinya:
E+ = -(B) (+o) = -Bo
E - = -(B) (-o) = Bo
Sehingga:
P+ = Ce Bo dan P- = Ce- Bo
Karena hanya ada dua keadaan, maka :
P- + P+ = 1
Ce- Bo + Ce Bo = 1, sehinggaoo BB ee
1
C +=
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
13/22
Pernyataan momen magnetik partikel rata-rata dinyatakan oleh:
= rrP oooo
BB
B
o
B
o
ee)e()e(
+++=
+
=
oo
oo
BB
BB
o ee
ee
dimana secara umum harga : tanhee
=
sehingga B)tanh( oo=
Jika digunakan definisikT
1=
maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):
NM =kT
BtanhNM oo=
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
14/22
Deret Mc. Laurin tanh xadalah :
++
+++
+
+++
=
...!2!1
1...!2!1
1
...!2!11...!2!11tanh
22
22
xxxx
xxxx
x .
!2
22
!32211
tanh2
3
x
xxx
+
++=
1
kT
Bo
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
15/22
1kT
Bo >>
kT
B
kT
B
kT
B
kT
B
o
oo
oo
ee
ee
kT
Btanh
+
= 1
e
e
kT
Btanh
kT
B
kT
B
o
o
o
=
Kasus harga oB >> kT maka nilai
maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari materialMa netisasi :
0NM =
Nilai maksimum (saturasi), tidak bergantung B dan T
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
16/22
2. Energi Total Rata-Rata Gas IdealTinjau sebuah gas yang terdiri dari N buah molekul identik, masing-masingbermassa m yang ditampatkan pada sebuah kotak 3-D dengan sisi-sisi Lx , Ly , Lzdan gas bersuhu T
Penyederhanaan Sistem (Idealisasi):
1. Energi potensial interaksi sangat kecil dibanding energi kinetik2. Non degenerasi3. Molekul gas monoatomik
Berapakah energi total rata-rata gas ideal tersebut?
NkT2
3E =
Penggunaan Distribusi Kanonik:
Tinjau sebuah molekul dalam gas ideal tersebut (sistem kecil)
Berapakah probabilitas menemukan molekul tersebut dalam keadaan kuantum ryang energinya r ?
rrr Ke)(EP
=
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
17/22
r
rr Ke)(EP
=
=
r
kT
kT
rr r
r
e
e
)(EP
Pernyataan r untuk sistem ini?
++=2
2
z
2
2
y
2
2
x
22
rL
n
L
n
L
n
2m
h
Energi rata-ratanya?
rrP =
=
r
r
r
re
r
( )
=
=
=
Z
rr
rrr
rr eee
Perhatikan pembilangnya!
PartisiFungsi:eZr
r =
Sehingga energi rata-ratanya:
=
=
ZZ
Z
ln1
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
18/22
Fungsi partisi sebuah molekul:
zyx
n2
z
2
z
2
y
2
y
2
x
2
x
22
nnr
ZZZ
Ln
Ln
Ln
2mexpeZ
zyx
r =
++==
h
dengan:
=xn
2
x
2
x
22
L
n
2m
expZ
h
x
=
2
y22 n
exZh
Karena bentuknya mirip, kita hitung salahsatu saja, misal Zx:
Aproksimasi, nx, ny, nz variabel kontinu:
yn yL2m
=
zn2
z
2
z
22
L
n
2m
expZ
h
zkonstanta):(b
Lb
dnL
n
2m
expZ
21
x
x
0
2
x
xx
=
=
Hal serupa untuk Zy dan Zz:
L
bdan ZL
bZ21
zz
21
y
y
==
Vb
LLLbZZZZ
23
3
23
zyx3
zyx ===
Sehingga fungsi partisi Z:
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
19/22
33ln3
3lnbln23lnV
lnZ
Z
Z1
+
=
=
=
Energi rata-rata sebuah molekul:
V
bZ23
3
=
222
Energi rata-rata gas ideal:
NkT2
3
NE ==
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
20/22
3. Tekanan Rata-Rata Gas Ideal
fr
Lx
y
x
Ly
gas idealfr : Gaya dalam arah x yang diberikan oleh
sebuah molekul pada dinding kanankotak, dimana molekul tersebut dalam
keadaan kuantum r dan energinya r
Misalkan dindin kanan berubah secara lambat sebesar dL
Maka, molekul melakukan usaha pada dinding sebesar fr dLx
Molekul kehilangan energi sebesar dr
x
rrrxr
L
fddLf
==
Sehingga:
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
21/22
Gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:
===
r
r x
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
e
Le
e
ef
fPf
Perhatikan pembilang:
Ze r
=
=
11e r
r
xrx
Lr x
Sehingga
xx
x
LlnZ
1
LZ
Z1
ZL
Z
1
f
=
=
=
LLL
bZ23
zyx3
=
Diperoleh gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:
xx L
kT
L ==
=
1
L
lnZ
1f
x
-
7/30/2019 6. Ensambel Dan Sistem Interaktif [Compatibility Mode]
22/22
Gaya rata-rata oleh N molekul pada dinding:
xL
NkTfNF ==
Tekanan rata-rata oleh N molekul pada dinding kanan seluas LyLz :
V
NkT
LLL
NkT
LL
fN
A
FP
zyxzy
====
NkTVP = Persamaan Keadaan Gas Ideal
Catatan: Perhitungan P pada dinding yang lain, akan menghasilkan persamaan
yang sama