integral [compatibility mode]

Download INTEGRAL [Compatibility Mode]

Post on 12-Jul-2016

218 views

Category:

Documents

3 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bahan Matematika Ekonomi

TRANSCRIPT

  • INTEGRAL

    Ol hOleh:Imam Awaluddin

    1

  • PengertianPengertian Pengintegrasian adalah kebalikan dari penurunanPengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan

    suatu fungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.

    Keterangan: : Tanda Integral

    f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)dx : Operator penurunan yang mengikat operasi

    yang dibentuk terhadap variabel X.2

  • Bent k Um m IntegralBentuk Umum Integral

    dF(X) / dx = f (x) ; maka f(x) dx = F (X) + k

    Contoh :Contoh :F(X) = 2X2 + 3X + 5dY/dX = Y = f (x) = 4X + 3

    (4X +3) dX = 2X2 + 3X + k (4X +3) dX = 2X2 + 3X + k3

  • Integral Tak Tent dan TertentIntegral Tak Tentu dan Tertentu Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak

    ditentukan) berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).

    (4 3)x dx+ Jika nilai k didefinisikan (tertentu atau

    dapat ditentukan) dan nilai X ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (Definite Integral). 5

    (4 3)x dx+42

    (4 3)x dx+

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan pangkatAturan pangkat1

    1n

    n xd k+ 11nx dx k nn= + +

    Contoh: 4 1 5+4 1 5

    4

    4 1 5x xx dx k k

    += + = ++

    5

    4 1 5+

  • Contoh at ran pangkatContoh aturan pangkat0 1 1+0 1 1

    0 1 1x xdx k k x k

    += + = + = ++ 0 1 1+

    1 1 25 5+1 1 25 551 1 2x xx dx k k

    += + = ++

    6

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan log natural (aturan pangkat n = -1)Aturan log. natural (aturan pangkat n = -1)

    1 ld k+ lndx x kx = +Contoh: 3 3lndx x k= + x

    3 3ln( 1)dx x k+ + 773ln( 1)1dx x kx = + ++

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan pangkat dari suatu fungsi linearAturan pangkat dari suatu fungsi linear1( )( )

    nn mx dmx d dx k

    +++ = + ( ) ( 1)mx d dx km n+ = ++Contoh:

    1untuk n Contoh:

    2 12 3( 1) 1( 1) ( 1)

    1(2 1) 3xx dx k x k

    +++ = + = + ++88

    1(2 1) 3+

  • Contoh lainContoh lain

    5 1 65 (3 2) (3 2)(3 2)

    3(5 1) 18x xx dx k k

    ++ ++ = + = ++ 3(5 1) 18+5 1 4(4 2) (4 2)x x + 5 (4 2) (4 2)(4 2) 4( 5 1) 16x xx dx k k = + = + +

    9

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n = -1Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n -11( ) dxmx d dx+ = ( ) ( )

    ln( )mx dmx d

    ++

    Contoh:

    ln( )mx d km+= +

    Contoh:

    1 ln(5 9)(5 9) dx xx dx k = = + 101010

    (5 9)(5 9) 5

    x dx kx

    +

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan fungsi eksponensial dg basis eAturan fungsi eksponensial dg basis ex xe dx e k= +

    ( )( )

    mx dmx d ed k

    ++

    Contoh:

    ( )mx de dx km

    + = +Contoh:

    (4 10)(4 10)

    xx ee dx k

    ++ = +111111

    4

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b

    k 1x

    x bb d k b untuk 1lnxb dx k bb= + Contoh:

    2 2x x2 22ln 2 0,69315

    x xx dx k k= + = +

    121212

    ,

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b( )

    ( ) untuk 1mx d

    mx d bb dx k b++ = +

    Contoh:

    , untuk 1ln

    b dx k bm b

    = + (3 5)

    (3 5) 223ln 2

    xx dx k

    ++ = +(3 5) (3 5)

    3ln 22 2x xk k

    + += + = +

    1313133(0,69315) 2,07944k k

  • ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan fungsi logaritma naturalAturan fungsi logaritma naturalln (ln 1)xdx x x k= +

    ( )[ln( ) 1]ln( ) mx d mx dmx d dx k+ + + = +Contoh:

    ln( )mx d dx km

    + +Contoh:

    (6 2)[ln(6 2) 1]ln(6 2)6

    x xx dx k+ + + = +14141414

    ( )6

  • ATURAN ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

    Aturan substitusidu ( ) ( ) ( )duf u dx f u du F u kdx = = +

    dimana ( ),u g x

    d d k b i i b d

    = dan du merupakan substitusi bg dx

    15

  • contohcontoh5(3 2)x dx+

    misalkan

    (3 2)x dx+(3 2)x u+ = 13du dx dumisalkan (3 2) ,x u+ = 3

    3dx du

    dx= =

    51 55 5 1(3 2)3 3

    ux dx u du du + = = 5 6(3 2)

    3 18u xdu k+= +

    163 18

  • Contoh lain 22 ( 1)x x dx+Contoh lain 2 ( 1)x x dx+2( 1) 2du dudmisalkan 2( 1) , 2

    2du dux u x dxdx x

    + = = =d22 ( 1) 2 ( )2dux x dx x u u dux

    + = = 2 2 2( 1)

    2 2u xu du k k+= + = +

    4 2 4 2

    2 21 1( 2 1) ( 2 )k k+ + + + +

    17

    4 2 4 2( 2 1) ( 2 )2 2

    x x k x x k= + + + = + +

  • Integral TertentIntegral Tertentu

    Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X dibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.

    Xa : Batas terendah dari integrasi;Xb : Batas tertinggi dari integrasi.bx

    ( ) ( ) ( ) ( )b

    b

    a

    xxf x dx F x F b F a= =

    18ax

  • Integral TertentIntegral Tertentub

    af(x) Luas L ( ) ( ) ( ) ( )aba

    f x dx F x F b F a= = =

    f(x)Luas L

    x1 = a0 x2 = b

    19

    1x

    2

  • contohcontoh55 3 55 3 52 3 3 3

    11

    33 5 13xx dx x= = =

    11 3125 1 124= =

    20

  • contohcontoh2 32 2

    00

    3 3ln( 1)1dx x

    x= ++0 1

    3ln(2 1) 3ln(0 1)x +

    = + +3ln 3 3ln1= 3(1,09861) 03 29584

    = =

    213, 29584=

  • Contoh lain3 6x dxContoh lain 20 1

    dxx +

    2 du dumisalkan 2( 1) , 22

    du dux u x dxdx x

    + = = =3 3 36x du1 1

    20 0 0

    6 6 ( ) 321

    x dudx x u u duxx

    = =+ 0 0 033 2

    0 03ln 3ln | 1|u x= = +2 23ln | 3 1| 3ln | 0 1|= + +

    223ln10 3ln 0 6,90776= =

  • Contoh bon sContoh bonus2 232 2

    3 23

    ( 1)x dx+1. 3 20 ( 1)x +

    22

    24 xxe dx+21

    4xe dx2.23

  • C t h bContoh bonus1010

    22 xe dx3. 40 4

    1/2 1/2( 3 )x x dx +5.3

    24 xe dx4 1( )

    0

    4e dx4.24

  • Penerapan IntegralPenerapan Integral

    F i bi t t l (TC)Fungsi biaya total (TC)Fungsi penerimaan total (TR)Fungsi utilitas total (TU)Fungsi produksi total (TP)g p ( )Fungsi konsumsi (C) dan tabungan (S)In estasi dan pembent kan modalInvestasi dan pembentukan modalSurplus konsumen (SK) dan surplus

    d ( )produsen (SP)25

  • TC MC dQ= TR MRdQ= TU MU dQ= TP MPdX=

    C MPC dY= S MPS dY= ( ) ( )K t I t dt=

    26

  • Contoh soalContoh soal

    Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit biaya total 125; Tentukan Fungsi Biaya Total (TC)Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR

    = 5 3Q; Tentukan fungsi TR dan AR.Diketahui fungsi Produk marginal :Diketahui fungsi Produk marginal :

    MP = 9 + 16X 3X2; Tentukan Fungsi Produksi Total (TP)Produksi Total (TP)

    27

  • Contoh soalContoh soal

    Dik h i K d k i i lDiketahui Kecenderungan konsumsi marginal (Marginal Propensity to Consume): MPC = 0,8

    d K i d t d t N l; dan Konsumsi pada saat pendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, ; Tentukan Fungsi konsumsi ( C)konsumsi ( C)Diketahui fungsi kecenderungan tabungan

    marginal (Marginal Propensity to Save) :marginal (Marginal Propensity to Save) : MPS = 0,3 0,1 Y-1/2 ; diwaktu Tabungan Nol (S 0) Pendapatan ( Y 81); Tentukan Fungsi(S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan 28

  • Contoh soalContoh soal

    Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi (TC) = 90 y p ( )diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC

    29

  • Surplus Konsumen pdan Surplus Produsen

    P

    P0d

    Surplus KonsumenS

    PeE

    DP0sSurplus Produsen

    30Qe Q0

  • S rpl s Kons men (SK CS)Surplus Konsumen (SK = CS)

    Jika fs. Permintaan : P = f(Q)

    ( )eQ

    SK f Q dQ PQ0 ( )d e eSK f Q dQ PQ= Jika fs. Permintaan : Q = f(P)

    0dP 0 ( )

    e

    PdP

    SK f P dP= 31

  • S rpl s Prod sen (SP PS)Surplus Produsen (SP = PS)

    Jika fs. penawaran: P = f(Q)

    ( )eQ

    S Q f Q dQ0 ( )eQe e sSP PQ f Q dQ= Jika fs. penawaran: Q = f(P)

    P0

    ( )esP

    sPSP f P dP=

    3232

  • ContohContohDiketahui fungsi permintaan:Diketahui fungsi permintaan:

    Q = 60 4P P = 15 0,25QFungsi penawaran:

    Q = 30 + 5P P = 6 + 0,2QsQ QKeseimbangan pasar : QD = QS

    30 + 5P = 60 4P 9P = 90 30 + 5P = 60 4P 9P = 90 Pe = 10, Qe = 20

    33

  • Fungsi Permintaan: Q = 60 4P P = 15 0 25QFungsi Permintaan: Q = 60 4P P = 15 0,25QFungsi penawaran: Q = 30 + 5P P = 6 + 0,2Qs

    P

    15

    Surplus KonsumenS

    10E

    D6Surplus Produsen

    3420 Q0 60

  • ( )eQ

    SK f Q dQ PQ= Cara I 0 ( )d e eSK f Q dQ PQ= Cara I20

    0(15 0, 25 ) (10)(20)SK Q dQ=

    202015 0,125 200Q Q =

    2{[12(20) 0,125(20 )] 0} 200250 200 50

    = = =250 200 50= =

    35

  • ( )eQ

    SP PQ f Q dQCara I 0 ( )e e sSP PQ f Q dQ= Cara I20

    0(10)(20) (6 0, 2 )SP Q dQ= +

    2020200 6 0, 2Q Q = +

    2200 {[6(20) 0, 2(20 )] 0}200 160 40

    = + = =200 160 40= =

    36

  • Cara II0 ( )dP

    SK f P dP= Cara II ( )e

    dPSK f P dP=

    15

    10(60 4 )SK P dP=

    [ ]152 102 2

    60 2P P= 2 2[60(15) 2(15 )] [60(10) 2(10 )]

    [900 450] [600 200] 50= = =[900 450] [600 200] 50

    37

  • Cara II ( )eP

    SP f P dP= 10

    Cara II0

    ( )s sPSP f P dP= 10

    610

    ( 30 5 )SP P dP= +1026

    2 2

    30 2,5

    [ 30(10) 2 5(10 )] [ 30(6) 2 5(6 )]

    P P = + 2 2[ 30(10) 2,5