integral [compatibility mode]

INTEGRAL

Ol hOleh:Imam Awaluddin

1

PengertianPengertian Pengintegrasian adalah kebalikan dari penurunanPengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan

suatu fungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.

Keterangan: : Tanda Integral

f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)dx : Operator penurunan yang mengikat operasi

yang dibentuk terhadap variabel X.2

Bent k Um m IntegralBentuk Umum Integral

dF(X) / dx = f (x) ; maka f(x) dx = F (X) + k

Contoh :Contoh :F(X) = 2X2 + 3X + 5dY/dX = Y = f (x) = 4X + 3

(4X +3) dX = 2X2 + 3X + k (4X +3) dX = 2X2 + 3X + k3

Integral Tak Tent dan TertentIntegral Tak Tentu dan Tertentu Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak

ditentukan) berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).

(4 3)x dx+ Jika nilai k didefinisikan (tertentu atau

dapat ditentukan) dan nilai X ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (Definite Integral). 5

(4 3)x dx+42

(4 3)x dx+

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan pangkatAturan pangkat1

1n

n xd k+ 11nx dx k nn= + +

Contoh: 4 1 5+4 1 5

4

4 1 5x xx dx k k

+= + = ++

5

4 1 5+

Contoh at ran pangkatContoh aturan pangkat0 1 1+0 1 1

0 1 1x xdx k k x k

+= + = + = ++ 0 1 1+

1 1 25 5+1 1 25 551 1 2x xx dx k k

+= + = ++

6

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan log natural (aturan pangkat n = -1)Aturan log. natural (aturan pangkat n = -1)

1 ld k+ lndx x kx = +Contoh: 3 3lndx x k= + x

3 3ln( 1)dx x k+ + 773ln( 1)1dx x kx = + ++

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan pangkat dari suatu fungsi linearAturan pangkat dari suatu fungsi linear1( )( )

nn mx dmx d dx k

+++ = + ( ) ( 1)mx d dx km n+ = ++Contoh:

1untuk n Contoh:

2 12 3( 1) 1( 1) ( 1)

1(2 1) 3xx dx k x k

+++ = + = + ++88

1(2 1) 3+

Contoh lainContoh lain

5 1 65 (3 2) (3 2)(3 2)

3(5 1) 18x xx dx k k

++ ++ = + = ++ 3(5 1) 18+5 1 4(4 2) (4 2)x x + 5 (4 2) (4 2)(4 2) 4( 5 1) 16x xx dx k k = + = + +

9

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n = -1Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n -11( ) dxmx d dx+ = ( ) ( )

ln( )mx dmx d

++

Contoh:

ln( )mx d km+= +

Contoh:

1 ln(5 9)(5 9) dx xx dx k = = + 101010

(5 9)(5 9) 5

x dx kx

+

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan fungsi eksponensial dg basis eAturan fungsi eksponensial dg basis ex xe dx e k= +

( )( )

mx dmx d ed k

++

Contoh:

( )mx de dx km

+ = +Contoh:

(4 10)(4 10)

xx ee dx k

++ = +111111

4

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b

k 1x

x bb d k b untuk 1lnxb dx k bb= + Contoh:

2 2x x2 22ln 2 0,69315

x xx dx k k= + = +

121212

,

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b( )

( ) untuk 1mx d

mx d bb dx k b++ = +

Contoh:

, untuk 1ln

b dx k bm b

= + (3 5)

(3 5) 223ln 2

xx dx k

++ = +(3 5) (3 5)

3ln 22 2x xk k

+ += + = +

1313133(0,69315) 2,07944k k

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan fungsi logaritma naturalAturan fungsi logaritma naturalln (ln 1)xdx x x k= +

( )[ln( ) 1]ln( ) mx d mx dmx d dx k+ + + = +Contoh:

ln( )mx d dx km

+ +Contoh:

(6 2)[ln(6 2) 1]ln(6 2)6

x xx dx k+ + + = +14141414

( )6

ATURAN ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan substitusidu ( ) ( ) ( )duf u dx f u du F u kdx = = +

dimana ( ),u g x

d d k b i i b d

= dan du merupakan substitusi bg dx

15

contohcontoh5(3 2)x dx+

misalkan

(3 2)x dx+(3 2)x u+ = 13du dx dumisalkan (3 2) ,x u+ = 3

3dx du

dx= =

51 55 5 1(3 2)3 3

ux dx u du du + = = 5 6(3 2)

3 18u xdu k+= +

163 18

Contoh lain 22 ( 1)x x dx+Contoh lain 2 ( 1)x x dx+2( 1) 2du dudmisalkan 2( 1) , 2

2du dux u x dxdx x

+ = = =d22 ( 1) 2 ( )2dux x dx x u u dux

+ = = 2 2 2( 1)

2 2u xu du k k+= + = +

4 2 4 2

2 21 1( 2 1) ( 2 )k k+ + + + +

17

4 2 4 2( 2 1) ( 2 )2 2

x x k x x k= + + + = + +

Integral TertentIntegral Tertentu

Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X dibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.

Xa : Batas terendah dari integrasi;Xb : Batas tertinggi dari integrasi.bx

( ) ( ) ( ) ( )b

b

a

xxf x dx F x F b F a= =

18ax

Integral TertentIntegral Tertentub

af(x) Luas L ( ) ( ) ( ) ( )aba

f x dx F x F b F a= = =

f(x)Luas L

x1 = a0 x2 = b

19

1x

2

contohcontoh55 3 55 3 52 3 3 3

11

33 5 13xx dx x= = =

11 3125 1 124= =

20

contohcontoh2 32 2

00

3 3ln( 1)1dx x

x= ++0 1

3ln(2 1) 3ln(0 1)x +

= + +3ln 3 3ln1= 3(1,09861) 03 29584

= =

213, 29584=

Contoh lain3 6x dxContoh lain 20 1

dxx +

2 du dumisalkan 2( 1) , 22

du dux u x dxdx x

+ = = =3 3 36x du1 1

20 0 0

6 6 ( ) 321

x dudx x u u duxx

= =+ 0 0 033 2

0 03ln 3ln | 1|u x= = +2 23ln | 3 1| 3ln | 0 1|= + +

223ln10 3ln 0 6,90776= =

Contoh bon sContoh bonus2 232 2

3 23

( 1)x dx+1. 3 20 ( 1)x +

22

24 xxe dx+21

4xe dx2.23

C t h bContoh bonus1010

22 xe dx3. 40 4

1/2 1/2( 3 )x x dx +5.3

24 xe dx4 1( )

0

4e dx4.24

Penerapan IntegralPenerapan Integral

F i bi t t l (TC)Fungsi biaya total (TC)Fungsi penerimaan total (TR)Fungsi utilitas total (TU)Fungsi produksi total (TP)g p ( )Fungsi konsumsi (C) dan tabungan (S)In estasi dan pembent kan modalInvestasi dan pembentukan modalSurplus konsumen (SK) dan surplus

d ( )produsen (SP)25

TC MC dQ= TR MRdQ= TU MU dQ= TP MPdX=

C MPC dY= S MPS dY= ( ) ( )K t I t dt=

26

Contoh soalContoh soal

Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit biaya total 125; Tentukan Fungsi Biaya Total (TC)Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR

= 5 3Q; Tentukan fungsi TR dan AR.Diketahui fungsi Produk marginal :Diketahui fungsi Produk marginal :

MP = 9 + 16X 3X2; Tentukan Fungsi Produksi Total (TP)Produksi Total (TP)

27

Contoh soalContoh soal

Dik h i K d k i i lDiketahui Kecenderungan konsumsi marginal (Marginal Propensity to Consume): MPC = 0,8

d K i d t d t N l; dan Konsumsi pada saat pendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, ; Tentukan Fungsi konsumsi ( C)konsumsi ( C)Diketahui fungsi kecenderungan tabungan

marginal (Marginal Propensity to Save) :marginal (Marginal Propensity to Save) : MPS = 0,3 0,1 Y-1/2 ; diwaktu Tabungan Nol (S 0) Pendapatan ( Y 81); Tentukan Fungsi(S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan 28

Contoh soalContoh soal

Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi (TC) = 90 y p ( )diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC

29

Surplus Konsumen pdan Surplus Produsen

P

P0d

Surplus KonsumenS

PeE

DP0sSurplus Produsen

30Qe Q0

S rpl s Kons men (SK CS)Surplus Konsumen (SK = CS)

Jika fs. Permintaan : P = f(Q)

( )eQ

SK f Q dQ PQ0 ( )d e eSK f Q dQ PQ= Jika fs. Permintaan : Q = f(P)

0dP 0 ( )

e

PdP

SK f P dP= 31

S rpl s Prod sen (SP PS)Surplus Produsen (SP = PS)

Jika fs. penawaran: P = f(Q)

( )eQ

S Q f Q dQ0 ( )eQe e sSP PQ f Q dQ= Jika fs. penawaran: Q = f(P)

P0

( )esP

sPSP f P dP=

3232

ContohContohDiketahui fungsi permintaan:Diketahui fungsi permintaan:

Q = 60 4P P = 15 0,25QFungsi penawaran:

Q = 30 + 5P P = 6 + 0,2QsQ QKeseimbangan pasar : QD = QS

30 + 5P = 60 4P 9P = 90 30 + 5P = 60 4P 9P = 90 Pe = 10, Qe = 20

33

Fungsi Permintaan: Q = 60 4P P = 15 0 25QFungsi Permintaan: Q = 60 4P P = 15 0,25QFungsi penawaran: Q = 30 + 5P P = 6 + 0,2Qs

P

15

Surplus KonsumenS

10E

D6Surplus Produsen

3420 Q0 60

( )eQ

SK f Q dQ PQ= Cara I 0 ( )d e eSK f Q dQ PQ= Cara I20

0(15 0, 25 ) (10)(20)SK Q dQ=

202015 0,125 200Q Q =

2{[12(20) 0,125(20 )] 0} 200250 200 50

= = =250 200 50= =

35

( )eQ

SP PQ f Q dQCara I 0 ( )e e sSP PQ f Q dQ= Cara I20

0(10)(20) (6 0, 2 )SP Q dQ= +

2020200 6 0, 2Q Q = +

2200 {[6(20) 0, 2(20 )] 0}200 160 40

= + = =200 160 40= =

36

Cara II0 ( )dP

SK f P dP= Cara II ( )e

dPSK f P dP=

15

10(60 4 )SK P dP=

[ ]152 102 2

60 2P P= 2 2[60(15) 2(15 )] [60(10) 2(10 )]

[900 450] [600 200] 50= = =[900 450] [600 200] 50

37

Cara II ( )eP

SP f P dP= 10

Cara II0

( )s sPSP f P dP= 10

610

( 30 5 )SP P dP= +1026

2 2

30 2,5

[ 30(10) 2 5(10 )] [ 30(6) 2 5(6 )]

P P = + 2 2[ 30(10) 2,5