BAB 3BAB 3

PengantarPengantar MetodeMetode StatistikStatistik

� Ensambel Statistik� Distribusi Binomial� Nilai Rata-rata Sistem Spin� Distribusi Probabilitas Kontinu

Riview Bab 2 :

Konsep probabilitas sangat penting digunakan untuk memahami sistem makroskopik

Penggunaan Konsep Probabilitas:

1. Permainan (Game)2. Bisnis Asuransi3. BMG (Prakiraan Cuaca)3. BMG (Prakiraan Cuaca)4. Biologi (Genetika)5. Dll.

Penggunaan Konsep Probabilitas dalam Bidang Fisika:

• Peluruhan Radioaktif• Sinar kosmik yang sampai ke permukaan bumi• Emisi acak elektron dari filamen panas• Deskripsi atom & molekul dalam kuantum

Ensambel Statistik

� Tinjau sebuah sistem A dimana dapat dilakukan suatu eksperimen

� Apakah kita dapat mengetahui secara pasti hasil yang akan kita peroleh jika eksperimennya dilakukan tunggal?

� Tidak, mengapa?

� Karena informasi yang diperoleh dari sistem tidak cukup untuk membuat suatu prediksi hasil eksperimen.

� Lalu, bagaimana supaya kita dapat memprediksi hasil eksperimen � Lalu, bagaimana supaya kita dapat memprediksi hasil eksperimen tersebut?

� Perlu banyak informasi tentang sistem.

� Caranya, eksperimen yang sama dilakukan berulang-ulang sebanyak mungkin.

� Sehingga kita dapat memprediksi hasil eksperimen melalui Konsep Probabilitas

� Bagaimana cara menggunakan Konsep Probabilitas tersebut?

• Tinjau sebuah ensambel yang terdiri dari N buah (sangat besar) sistem

identik dengan sistem A

• Identik juga termasuk perlakuan yang sama untuk tiap sistem seperti pada

sistem A

Misalkan hasil eksperimen tertentu disimbolkan dengan r dan diantara N sistem dalam ensambel, Nr buah sistem yang memiliki hasil eksperimen tertentu yang sama.Maka probabilitas munculnya hasil eksperimen r ditulis:Maka probabilitas munculnya hasil eksperimen r ditulis:

N

NP r

r =

Kesimpulan:Probabilitas munculnya hasil sebuah eksperimen padasebuah sistem dapat ditentukan dengan mengulang

eksperimen yang sama sebanyak mungkin

Distribusi Binomial

� Tinjau sistem ideal berupa N buah partikel spin ½ ditempatkan dalam medan magnet B

� Apa yang terjadi?� Maka tiap momen magnetiknya dapat dapat paralel (up) atau

anti paralel (down) dengan arah B

Tinjau satu spin saja, probabilitas keadaaan up : pprobabilitas keadaaan down : q

Maka p + q = 1

Ketika B = 0, p = q = ½B ≠ 0, p > q

Pertanyaan:Pertanyaan:Bila n : jumlah momen magnetik yang paralel danBila n : jumlah momen magnetik yang paralel dan

n’ : jumlah momen magnetik yang anti paraleln’ : jumlah momen magnetik yang anti paralel

dan n + n’ = N, makadan n + n’ = N, maka

untuk setiap nilai n yang mungkin, berapa probabilitas P(n) untuk setiap nilai n yang mungkin, berapa probabilitas P(n) yaitu n dari N momen magnetik total yang up?yaitu n dari N momen magnetik total yang up?

JawabJawabJawabJawab

p : probabilitas sebuah momen magnetik arah upp : probabilitas sebuah momen magnetik arah up

q : probabilitas sebuah momen magnetik arah downq : probabilitas sebuah momen magnetik arah down

MakaMaka

Probabilitas munculnya satu keadaan/konfigurasi dimana n Probabilitas munculnya satu keadaan/konfigurasi dimana n momen magnetik up dan n’ momen magnetik down adalahmomen magnetik up dan n’ momen magnetik down adalah

p.p …… p . q.q …… q = pp.p …… p . q.q …… q = pnn qqn’n’

►► TetapiTetapi, , keadaankeadaan untukuntuk n n momenmomen magnetikmagnetik yang up yang up dapatdapatbervariasibervariasi

►► makamaka dikenalkandikenalkan::

yaituyaitu jumlahjumlah keadaankeadaan yang yang berbedaberbeda daridari N N momenmomenmagnetikmagnetik dimanadimana n n momenmomen magnetikmagnetik berarahberarah up (n’ up (n’ momenmomen magnetikmagnetik down) down) dimanadimana

NnC

N!

►► SehinggaSehingga P(n) :P(n) :

nNnnNnNn qp

n)!(Nn!

N!qpCP(n) −−

−==

n)!(Nn!

N!CN

n −=

Nilai Rata-rata

rr

α

1rrr

α

1rrr

αα2211

PN

N Karena

uPN

uN

N

uN.......uNuNu

=

==+++= ∑∑

=

=

rPN

Karena =

∑=

=α

1rrr )f(uPf(u)

:f(u)atau f rata-rata makau dari fungsiadalah f(u) Jika

Nilai Rata-rata

[ ]

g(u)f(u)

)g(up)f(up)g(u)f(upg(u)f(u)

maka u, dari fungsi g(u)dan f(u) JikaN

1iii

N

1iii

N

1iiii

+=

+=+=+ ∑∑∑===

[ ]

f(u)c

)f(upc)cf(upcf(u)

maka konstanta, c JikaN

1iii

N

1iii

=

== ∑∑==

Jika ∆u adalah simpangan dari rata-rata ū, maka

uu∆u −=Rata-rata simpangan:

( )0uu

puuupupuu∆uN

1ii

N

1ii

N

1iii

=−=

−=−=−= ∑∑∑===

0uu =−=

Rata-rata kuadrat simpangan/dispersi/varians:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0uu

uuu2uuu2uuuu∆u Karena

0uuP∆uP∆u

22

222222

2r

α

1rr

2α

1rr

2

≥−=

+−=+−=−=

≥−== ∑∑==

Standar Deviasi:

( )2uu ∆=∆

LatihanBuku Reif no 2.9 dan 2.13Buku Reif no 2.9 dan 2.13

Nilai Rata-rata Sistem Spin� Tinjau sebuah sistem ideal yang terdiri N spin ½

� Berapakan nilai rata-rata momen magnetik totalnya (M)

� Momen magnetik total adalah penjumlahan momen magnetik dari

semua spin:

� Rata-rata momen magnetik:

∑=

=

=+++++=Ni

1iiN4321 µµ.........µµµµM

� Rata-rata momen magnetik:

� Karena probabilitas tiap momen magnetik berarah up atau down sama,

maka rata-rata momen magnetik tiap spin sama juga, sehingga

∑∑=

=

=

=

µ=µ=Ni

1ii

Ni

1iiM

µNM =

►► Kita cari dispersi/varians dari sistem spin tersebut:Kita cari dispersi/varians dari sistem spin tersebut: ( )2∆M

Standar Deviasi Sistem Spin

∑∑=

=

=

=

µ∆=µ−µ=−=∆Ni

1ii

Ni

1ii )(MMM

( ) ( )( ) ( ) ( )∑∑==

+++⋅+++=⋅

==NiNi

2∆µ∆µ∆µ.∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆M∆M∆M KK( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=

=≠

=

=

=

=

=

=≠

= =

=

=

= =

=

=

==

=+=+=

≠+=

++++++++++++++++=

+++⋅+++=

⋅

==

Ni

1i

2i

ji

Ni

1i

Nj

1jji

Ni

1i

2i

ji

j

N

1i

N

1ji

Ni

1i

2i

2

j

N

1i

N

1ji

Ni

1i

2i

2

NNN2423212

N14131212

N2

32

22

o2

3213211i

i1i

i

∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆M

sehinggajidengan,∆µ∆µ∆µ∆M

∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ

∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆M

∆µ∆µ∆µ.∆µ∆µ∆µ∆µ∆µ∆M∆M∆M

KK

KK

KK

Standar Deviasi Sistem Spin

� Dispersi/varians dari sistem spin tersebut:

� Karena probabilitas tiap momen magnetik berarah up atau down sama, maka dispersi/varians tiap spin sama juga, sehingga

( ) ( )∑=

=

=Ni

1i

2i

2∆µ∆M

maka dispersi/varians tiap spin sama juga, sehingga

� Standar deviasinya:

N∆µ∆M =

( ) ( )2i

2∆µN∆M =

Distribusi Probabilitas KontinuDistribusi Probabilitas Kontinu

(((( )))) 1uPr

r ====∑∑∑∑ (((( )))) 1duu2

1

====∫∫∫∫a

a

P

(((( )))) (((( )))) (((( ))))du uf uuf2

1

∫∫∫∫====a

a

P(((( )))) (((( )))) (((( ))))rr

r uf uPuf ∑∑∑∑====

Rapat Probabilitas P (u) didefinisikan dari sifat bahwa P (u) du menghasilkan Probabilitas menemukan variabel kontinu u dalam range antara u dan u + du

Tugas 2

Buku Reif no 2.15, 2.16 dan 2.17