Masalah Maksimum dan Minimum Fungsi

Tugas ini meminta anda untuk menyelidiki tentang maksimum, minimum fungsi, serta titik kritis

fungsi dengan bentuk ( ) ( ) ( )

Pada contoh ini kita akan menyelidiki fungsi ( ) (

)

1. Pertama, kita harus menggambar grafik fungsi tersebut untuk memperoleh gambaran umum

tentang fungsi tersebut.

Perintah Matlab untuk ini

>>x=linspace(-3,3,61);

>>y=linspace(-3,3,61);

>>[X,Y]=meshgrid(x,y)

>>z=10*exp(-X.*X-0.5*X.*Y-0.5*Y.*Y).*sin(X).*sin(Y)

>>mesh(X,Y,z) atau pun meshc(X,Y,z)

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-3

-2

-1

0

1

2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2. Untuk lebih jelasnya, kita akan mencoba menggambar kurva ketinggian fungsi tersebut

untuk melihat titik kritis tersebut.

3. Selanjutnya, definisi turunan ( ) di titik adalah ( ) ( )

, maka nilai dapat

dihampiri dengan ( ) ( )

asalkan cukup kecil.

Gambarkan grafik turunan

( ) dan

( )

Juga hasil kali

( )

( )

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-3

-2

-1

0

1

2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-5

0

5

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-6

-4

-2

0

2

4

6

Melalui gambar, cobalah cari titik kritis tersebut. Berikan penjelasan hasil anda tersebut.

4. Untuk fungsi satu variabel ( ), kita mengenal uraian Taylor yaitu ( ) ( )

( ) ( )

dan ( ) ( ) ( )

( )

. Berdasarkan dua persamaan

tersebut, turunan kedua dapat dicari sebagai ( ) ( ) ( ) ( )

.

Dengan menggunakan ini, carilah nilai turunan parsial kedua yaitu

( ),

( ) dan

( ).

5. Saat ini kita akan mencari titik kritis melalui perhitungan iterasi numerik. Misalkan kita

mempunyai sistem persamaan

{ ( )

( )

Kita akan mencari jawab tersebut melalui numerik. Berdasarkan uraian Taylor, misalkan kita

menaksir jawab tersebut dengan titik ( ). Selanjutnya, kita akan mencari jawab sistem

persamaan di atas melalui sistem persamaan linear

{

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

Pada sistem persamaan ini, misalkan ( ), adalah jawab ( ) dan ( )

, maka

{

( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

-3-2

-10

12

3

-4

-2

0

2

4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Karena sistem persamaan ini linear, maka kita dapat mencari ( ), yaitu {*

+

( ( )

( ))

6. Hasil ini tentu tidak memuaskan, tetapi kita dapat menggunakan cara di atas berulang kali.

Sekarang ( ) menempati posisi ( ) di atas, dan kita dapat mencari ( ) sebagai

posisi ( ) di persoalan di atas. Lanjutkan beberapa kali sehingga

‖ ‖ ‖ ‖

dengan bilangan .

Dengan cara ini, carilah semua titik kritis fungsi yang diberikan dan selidiki sifatnya.