Masalah Maksimum dan Minimum Fungsi
Tugas ini meminta anda untuk menyelidiki tentang maksimum, minimum fungsi, serta titik kritis
fungsi dengan bentuk ( ) ( ) ( )
Pada contoh ini kita akan menyelidiki fungsi ( ) (
)
1. Pertama, kita harus menggambar grafik fungsi tersebut untuk memperoleh gambaran umum
tentang fungsi tersebut.
Perintah Matlab untuk ini
>>x=linspace(-3,3,61);
>>y=linspace(-3,3,61);
>>[X,Y]=meshgrid(x,y)
>>z=10*exp(-X.*X-0.5*X.*Y-0.5*Y.*Y).*sin(X).*sin(Y)
>>mesh(X,Y,z) atau pun meshc(X,Y,z)
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-3
-2
-1
0
1
2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2. Untuk lebih jelasnya, kita akan mencoba menggambar kurva ketinggian fungsi tersebut
untuk melihat titik kritis tersebut.
3. Selanjutnya, definisi turunan ( ) di titik adalah ( ) ( )
, maka nilai dapat
dihampiri dengan ( ) ( )
asalkan cukup kecil.
Gambarkan grafik turunan
( ) dan
( )
Juga hasil kali
( )
( )
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-3
-2
-1
0
1
2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-5
0
5
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-6
-4
-2
0
2
4
6
Melalui gambar, cobalah cari titik kritis tersebut. Berikan penjelasan hasil anda tersebut.
4. Untuk fungsi satu variabel ( ), kita mengenal uraian Taylor yaitu ( ) ( )
( ) ( )
dan ( ) ( ) ( )
( )
. Berdasarkan dua persamaan
tersebut, turunan kedua dapat dicari sebagai ( ) ( ) ( ) ( )
.
Dengan menggunakan ini, carilah nilai turunan parsial kedua yaitu
( ),
( ) dan
( ).
5. Saat ini kita akan mencari titik kritis melalui perhitungan iterasi numerik. Misalkan kita
mempunyai sistem persamaan
{ ( )
( )
Kita akan mencari jawab tersebut melalui numerik. Berdasarkan uraian Taylor, misalkan kita
menaksir jawab tersebut dengan titik ( ). Selanjutnya, kita akan mencari jawab sistem
persamaan di atas melalui sistem persamaan linear
{
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
Pada sistem persamaan ini, misalkan ( ), adalah jawab ( ) dan ( )
, maka
{
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
-3-2
-10
12
3
-4
-2
0
2
4-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Karena sistem persamaan ini linear, maka kita dapat mencari ( ), yaitu {*
+
( ( )
( ))
6. Hasil ini tentu tidak memuaskan, tetapi kita dapat menggunakan cara di atas berulang kali.
Sekarang ( ) menempati posisi ( ) di atas, dan kita dapat mencari ( ) sebagai
posisi ( ) di persoalan di atas. Lanjutkan beberapa kali sehingga
‖ ‖ ‖ ‖
dengan bilangan .
Dengan cara ini, carilah semua titik kritis fungsi yang diberikan dan selidiki sifatnya.
