catatan kuliah aljabar linier -...

Catatan Kuliah Aljabar Linier

Suryadi Siregar

Sekolah Tinggi Manajemen

Informatika dan Komputer Bandung

______________________________________

BANDUNG 2018

Suryadi Siregar Aljabar Linier

FMIPA-ITB Page i

Kata Pengantar

Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian

vektor. Skenario proses Gramm-Schmidt bagian ini, diakhiri dengan soal latihan

yang harus dikerjakan secara mandiri maupun berkelompok

Bagian kedua, membahas Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks,

pengertian bebas linier, kebergantungan linier Matrik, operasi matrik diakhiri

dengan soal latihan

Bagian ketiga, memberikan ragam cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linier &

Matriks Untuk mengasah keterampilan mahasiswa disampaikan beberapa soal

pekerjaan rumah

Bagian keempat, Aplikasi Aljabar Linier dengan studi kasus rangkaian listrik.

Programa Linier,. Matrik Markovs dan banyak latihan soal

Mahasiswa yang mengambil matakuliah ini hendaknya tidak mengandalkan buku

ini sebagai satu-satunya sumber. Berselancar di internet, membaca buku dan jurnal

di Perpustakaan merupakan hal mutlak yang harus dilakukan untuk mencapai

sukses.

Akhir kata semoga buku ini memberikan manfaat bagi pengguna, saran dan

komentar untuk kesempurnaan akan kami terima dengan senang hati

Acknowledgments Buku ini disusun dari banyak sumber yang telah menjadi

public domain

Bandung, akhir Januari 2018

Penulis

Suryadi Siregar


FMIPA-ITB Page ii

Daftar Isi Bab 1 Ruang Vektor 1

I. 1 Ruang Vektor Rn 1

I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik 2

I. 3 Operasi pada vektor 3

I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor; 4

I. 5 Jarak antara dua titik 4

I. 6 Perkalian dengan Vektor 5

I. 7 Definisi 6

I. 8 Perkalian silang/vektor (cross product) 7

I. 9 Theorema 7

1.10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt 8

I. 11 Hitung Volume Kotak 12

I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn 13

I. 13 Ruang Bagian (sub-space) 15

I. 14 Soal Latihan 15

17

Bab 2 Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks 17

II. 1 Kombinasi Linier 17

II. 2 Ruang Bagian (sub-space) 19

II. 3 M a t r i k s 20

II. 4 Operasi Matriks 24

II.5 Latihan 34

Bab 3. Sistem Persamaan Linier & Matriks 36

III. 1 Persamaan Linier 36

III. 2 Sistem persamaan linier 37

III. 3 Operasi baris elementer 38

III. 4 Sistem persamaan linier homogen 42

III. 6 Operasi Matriks 44

III. 7 Latihan 54

III. 8 Representasi Matriks dalam Sistem Persamaan Linier 57

III. 9 Latihan 62

III. 10 Minor, Kofaktor dan Determinan 63

III. 11 Notasi dan Sifat-Determinan 66

III. 12 Soal latihan: 67

III. 13 Eliminasi Gauss-Jordan 68

III. 14 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Matrik Inversi 69

III. 15 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Metode Cramer 70

Bab 4 AplikasiAljabarLinier 73


FMIPA-ITB Page iii

IV. 1 Jaringan Listrik (Electrical Networks) 73

IV. 2 Rangkaian listrik 74

IV. 3 Programa Linier (Linear Programming) dan Optimasi 75

IV. 4 Latihan 79

IV. 5 Matrik Stochastic, proses Markov 79

Bab V Nilai dan Vektor Eigen 82

V. 1 Menentukan nilai eigen 82

V. 2 Algoritma mencari nilai dan vector eigen 83

V. 3 Soal Latihan 86

Daftar Pustaka 88


Aljabar Linier 1

Bab 1 Ruang Vektor ______________________________________________________

I. 1 Ruang Vektor Rn

1. Ruang berdimensi satu R1 = R = kumpulan bilangan real

Menyatakan suatu garis bilangan;

-3 -2 -1 0 1 2

2. Ruang berdimensi dua R2 = bidang datar ;

Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan terurut dua

bilangan real dalam sumbu x dan sumbu y;

Gambar 1. 1 Vektor pada suatu bidang mempunyai komponen x dan

y

Bila ditulis sebagai


Aljabar Linier 2

A= (a1,a2) vektor menyatakan sebuah titik

Dapat juga ditulis sebagai

1 2 1 2A a i a j a a

dimana ,i j adalah vektor satuan sepanjang

sumbu x dan sumbu y

vektor A

dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor 1a

dan

2a

Dalam hal ini (1,0)i

dan (0,1)j

adalah vektor satuan, yaitu vektor

yang panjangnya satu, masing2 sepanjang sumbu x, sumbu y dan

saling tegak lurus

I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik

Panjang vektor (norm) A

dapat dihitung dari dalil Phytagoras;

2 2 2 2 2

1 2 1 2A a a A a a

Untuk vektor di R3 = dalam ruang. Prinsipnya sama;

Bila ditulis sebagai ;

A= (a1,a2,a3) vektor menyatakan sebuah titik

Jika ditulis

1 2 3 1 2 3A a i a j a k a a a

dikatakan vektor A

merupakan kombinasi

linier dari vektor 1a

,2a

dan3a

Dalam hal ini (1,0,0)i

, (0,1,0)j

dan (0,0,1)k

adalah vektor

satuan yakni vektor yang panjangnya satu dan saling tegak lurus

satu sama lain.


Aljabar Linier 3

Vektor dengan sifat seperti ini disebut vektor ortonormal

(panjang/norm satu dan saling tegak lurus)

Panjang vektor (norm) A

dapat dihitung dari dalil Phytagoras;

2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3A a a a A a a a

Gambar 1 Vektor dalam ruang mempunyai komponen x,y dan z

I. 3 Operasi pada vektor

Sifat vektor dapat dipindah asal norm dan arahnya tetap, jadi jika

ada dua vektor A

dan B

dan C

= A

+ B

Diagram berikut menyatakan penjumlahan kedua vektor ini C

= A

+

B

adalah sama;


Aljabar Linier 4

Gambar 1. 2 Penjumlahan vektor

I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor;

Jika A

dan B

dua vektor di Rn maka C

= A

+ B

juga merupakan

vektor yang ada di Rn, artinya

Jika A

=(a1,a2,..,an) dan B

=(b1,b2,..,bn) maka

C

= A

+ B

= (a1+b1,a2+ b2,..,an+ bn)

Contoh

Misalkan A

=(1,2,-2) dan B

= (3,4,-5) maka;

1) C

= A

+ B

=(1+3, 2+4, -2-5) = (4,6,-7)

) C

= A

- B

= A

+ (- B

)=(1,2,-2)+ (-3,-4,5)= (-2,-2,3)

3) C 3A 3 1 2 2 3 6 6, , , ,

I. 5 Jarak antara dua titik

Jika A

=(a1,a2) dan B

=(b1,b2) maka jarak A ke B sama saja dengan

menghitung panjang (norm) vektor AB


Aljabar Linier 5

Gambar 1. 3 Jarak antara dua titik A dan B identik dengan panjang

vektor AB dalam hal ini AB B A

Dari gambar kita lihat; B

= A

+ AB

atau

1 2 1 2 1 1 2 2AB B A b b a a b a b a , , ,

Jadi panjang vektor;

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )AB b a b a a b a b BA

I. 6 Perkalian dengan Vektor

1) Perkalian dalam/ titik (inner product/dot product)

Definisi andaikan A

dan B

vektor di R2 atau di R

3 maka

didefinisikan;

A

B

= .A B Cos

sudut yang dibentuk diantara vektor A

dan B

(perhatikan

gambar 1.3)


Aljabar Linier 6

Gambar 1. 4 Segitiga

sembarang

Rumus cosinus 2 2 2 2a b c bcCos 2 2 2 2b a c acCos 2 2 2 2c a b abCos

Rumus sinus

2 2 2

2 .AB A B A B Cos

atau dapat juga ditulis;

2 2 2

2 .B A A B A B Cos

Atau dengan menggabungkan definisi dan pernyataan ini diperoleh;

2 2 21

.2

A B A B Cos A B B A

atau dapat ditulis kembali;

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1( ) ( ) ( ) ( )

2A B a a b b b a b a a b a b

jadi

1 1 2 2A B a b a b

I. 7 Definisi

Untuk ruang dimensi n, Rn perinsipnya sama, jika 1 2( , ,.... )nA a a a

dan

1 2( , ,.... )nB b b b

a b c

Sin Sin Sin


Aljabar Linier 7

maka 1 1 2 2

1

.....

n

n n i iA B a b a b a b a b

I. 8 Perkalian silang/vektor (cross product) Definisi Perkalian vektor atau perkalian silang hanya didefinisikan

untuk R3

Jika A

=(a1,a2,a3) dan B

=(b1,b2,b3) maka A

B

didefinisikan

sebagai;

1 2 3

1 2 3

i j k

A B a a a

b b b

= 2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

a a a a a ai j k

b b b b b b

A

× B

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )i a b a b j a b a b k a b a b

I. 9 Theorema

1) A

× B

= - ( B

× A

) skew symmetry

2) A

× ( B

+C

) = A

× B

+ A

×C

hukum distribusi

3) c( A

× B

) = (c A

)× B

c suatu skalar

4) A

( A

× B

) = 0 ortogonalitas terhadap A

5) B

( A

× B

) = 0 ortogonalitas terhadap B

6) 2 2 2 2 2

2 2( ) sin

A B A B A B A B Identitas Lagrange


Aljabar Linier 8

7) A

× B

= O

A

dan B

bergantungan linier, (yang satu merupakan

kelipatan yang lain) disini O

adalah vektor nol, yaitu vektor

dengan panjang nol

Ilustrasi;

Gambar 1. 5 Perkalian dua vektor menentukan arah

I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan

Proses Gramm-Schmidt Diberikan himpunan vector Y= a,b,c,d ingin dicari himpunan vector

ortonormal 1 2 3 4O= e ,e ,e ,e

Penyelesaian


Aljabar Linier 9

1

1

1

1

2 2 1

2 1 2 1

Jawab I : Buat Vektor Ortonormal e

a e =

a

II : Buat Ruang Vektor W dengan e dan b

W= e ,b

e * W e *=αe +βb , α,β bil ril sembarang

Jika e * e sehingga e *.e =0 α

1 1

1 1 1 1

1 2 1 1

2 1 1

22 1 2

2

e +βb .e =0

αe .e +βb.e =0 α+βb.e =0

α=-βb.e e *= -βb.e e +βb

Ambil β=1 e *=b- b.e e

e * e = ,maka e dan e Ortonormal.

e *

1 2

3 3 1 2

3 1 1 2 1

1

1

3 2 1 2 2

III: Buat Ruang Vektor U= e ,e ,c

e * U e *=αe +βe +γc, α,β,γ sembarang

i e * e αe +βe +γc e =0

α + β(0) + c.e =0

Ambil γ=1 α=-c.e .

ii e * e αe +βe +γc e =0

0 +

2 2

3 1 1 2 2

33

3

β + γc.e =0 β c.e

e *=c- c.e e - c.e e

*

*

ee

e

IV Buat ruang vector 1 2 3V e e e d, , ,


Aljabar Linier 10

4 4 1 2 3

4 1 1 2 3 1

1 1

4 2 1 2 3 2

2 2

4 3 1 2 3 3

e V e e e e d

e e e e e d e 0

0 0 d e 0 ambil 1 d e

e e e e e d e 0

0 0 d e 0 d e

e e e e e d e 0

0 0 d e

* *

*

*

*

3 30 d e

Dengan demikian kita peroleh

4 1 1 2 2 3 3

44

4

e d d e e d e e d e e

ee

e

*

*

*

Sehingga himpunan ortonormal O sudah dapat ditentukan 1 2 3 4O e e e e, , ,

Ilustrasi

1. Diketahui :

1,0,1 , 2,1,0 , 1,1,0A

Carilah himpunan ortonormalnya ?

Penyelesaian:

Misal = a = (-1,0,1) , b=(-2,1,0), c =(-1.1.0)

a. Untuk 1e

1

2 2 2

1,0,1 11,0,1

21 0 1

ae

a

b. Untuk 2e


Aljabar Linier 11

Buat ruang vektor 1,

B e b

Maka ada

*

2

*

2 1 1

1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1

2 2

1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1 2,1,0 2 1,0,1 1,1, 1

2 2

e B

e b b e e

Maka:

*

22 * 2 2 2

2

1,1, 1 11,1, 1

31 1 1

ee

e

c. Untuk ,

Maka ada * *

3 3 1 1 2 2e e c c e e c e e

*

3

1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1

2 2

1 11,1,0 1,1, 1 1,1, 1

3 3

1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1 1,1,0 1,1, 1 1,1, 1

2 3

1 1 1 1 11,1,0 1 1,0,1 2 1,1, 1 , ,

2 3 6 3 6

e

Maka:

*

33 * 2 2 2

3

1 1 1, ,

16 3 61,2,1

61 1 1

6 3 6

ee

e

Sehingga diperoleh:

1 1 11,0,1 , 1,1, 1 , 1,2,1 ,

2 3 6O


Aljabar Linier 12

I. 11 Hitung Volume Kotak Vektor A dan B membentuk alas sebuah kotak. Vektor C

menyatakan rusuk tegaknya. Ketiga vektor berada di R3. Hitunglah

volume kotak tersebut.

Penyelesaian

Gambar 1. 6 Kotak dibentuk oleh tiga vector A, B dan C. Sudut

disebut inklinasi. Volume kotak V A B C

Volume = Luas alas kali tinggi= Luas jajaran genjang kali tinggi

1V 2Luassegi tiga tinggi 2 A B sin C cos

2

A B sin C cos A B C cos A B C

Ilustrasi

2. Hitung luas alas, inklinasi dan volume kotak yang dibangun

oleh vektor :


Aljabar Linier 13

1,2,3 , 2, 3,1 1,0,2A B dan C dimana

A dan B sebagai alas dan C sebagai rusuk tegak

Penyelesaian:

i. Hitung

2 3 1 3 1 2

1 2 3 11 5 7 11,5, 73 1 2 1 2 3

2 3 1

i j k

A B i j k i j k

ii. Hitung volume kotak

Volume, 11,5, 7 1,0,2 11 0 14 3V A B C

Volume kotak = 3 satuan isi

iii. Hitung inklinasi

cos 3 11,5, 7 1,0,2 cos

33 195 5 cos cos 95,5

31,225

o

A B C A B C

Jadi, sudut inklinasinya adalah 95,5 derajad

I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn

Definisi

Jika vektor S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2

1

. . .n

i i n nS a b a b a b a b

dengan ai suatu konstanta dan ib menyatakan suatu vector. Maka S

dikatakan merupakan kombinasi linier dari ib

Definisi

Jika 1 1 2 2

1

. . .n

i i n nS a b a b a b a b O .

Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bebas linier jika dan hanya

jika 1 2 . . . na a a o


Aljabar Linier 14

Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bergantungan linier jika

ada salah satu ai dalam S yang tidak sama dengan nol

Ilustrasi

1) Periksa apakah 1,2C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

dari dua vector 3, 4A dan 2, 5B

Penyelesaian: cari konstanta ia dari pernyataan :

1 2 1 2 1 2 1 21,2 3, 4 2, 5 3 2 , 4 5C a A a B a a a a a a

Jadi diperoleh persamaan linier;

1 2 1 2

1 2 2 1

13 2 1 1 2

3

14 5 2 4 2

5

a a a a

a a a a

Kita peroleh 1 2

1 10,

23 23a a

Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi. Jadi vector C merupakan

kombinasi linier dari vector A dan vector B


dari dua vector 3,6A dan 1,2B

Penyelesaian: cari ia dari pernyataan :

1 2 1 2 1 2 1 21,3 3,6 1,2 3 ,6 2C a A a B a a a a a a


1 2

1 2

3 1 (2)

6 2 3

0 1

a a

a a

Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi, jadi

vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A dan

vector B.

3) Periksa apakah 4,8C dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linier dari dua vector 3,6A dan 1,2B

Penyelesaian: cari ia dari pernyataan :


Aljabar Linier 15

1 2 1 2 1 2 1 24,8 3,6 1,2 3 ,6 2 C a A a B a a a a a a


1 2

1 2

3 4

6 2 8

a a

a a

Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat

menyatakan

Kita peroleh 2 14 3 a a

Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi.

Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector

B

I. 13 Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector

V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi 1) u M, v M u v M

2) R u M

I. 14 Soal Latihan

1) Hitunglah sudut antara A

dan B

serta panjang C

A

+ B

jika;

A=(1,2) dan B=(-1,4)

2) Panjang vektor A

=(1,-2) dan B

= (3,4) membentuk rusuk

suatu jajaran genjang hitunglah luas jajaran genjang tersebut

3) Sebuah kotak dibangun oleh rusuk-rusuk yang dinyatakan

oleh 3 vektor ; A

, B

dan C

. Jika A

dan B

diambil sebagai alas.

a) Buktikan bahwa isi kotak tersebut adalah

V = ( A

x B

) C

.

b) Selanjutnya apabila diketahui vektor


Aljabar Linier 16

A

=(1,2,0) dan B

=(-2,1,0) dan C

=(1,2,3). Hitunglah volume kotak

jika A

dan B

menyatakan rusuk dari alas kotak tersebut. Hitung

juga kemiringan(inklinasi), , dari kotak itu

4) Diketahui:

1,0,1,1 , 1, 2,1,0 , 1, 1,1,0 , 1,1,1,1A

Carilah himpunan ortonormalnya ?


Aljabar Linier 17

Bab II

Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks

______________________________________________________

II. 1 Kombinasi Linier Definisi

Jika S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2

1

. . .n

i i n nS a b a b a b a b

dengan ai suatu konstanta dan bi masing menyatakan suatu vector.

Maka S disebut merupakan kombinasi linier dari bi

Definisi

Jika 1 1 2 2

1

. . .i i n n

i

S a b a b a b a b O

. (3.1)

Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bebas linier jika dan hanya

jika dalam (3.1) dipenuhi 1 2 . . . na a a o

Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bergantungan linier jika

ada salah satu ai dalam (3.1) yang tidak sama dengan nol

Ilustrasi


dari dua vector 3, 4A dan 2, 5B

Penyelesaian cari ia dari pernyataan :

1 2 1 2 1 2 1 21,2 3, 4 2, 5 3 2 , 4 5C a A a B a a a a a a


Aljabar Linier 18


1 2 1 2

1 2 2 1

13 2 1 1 2

3

14 5 2 4 2

5

a a a a

a a a a

Kita peroleh 1 2

1 10,

23 23a a

Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi jadi vector C merupakan

kombinasi linier dari vector A dan vector B


dari dua vector 3,6A dan 1,2B


1 2 1 2 1 2 1 21,3 1,2 2,4 2 ,2 4 C a A a B a a a a a a


1 2

1 2

2 1 kalikan dengan 2

2 4 3 jumlahkan

0 1

a a

a a

Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi dengan

kata lain vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A

dan vector B

3) Periksa apakah 4,8C dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linier dari dua vector 3,6A dan 1,2B


1 2 1 2 1 2 1 24,8 3,6 1,2 3 ,6 2 C a A a B a a a a a a


1 2

1 2

3 4

6 2 8

a a

a a

Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat

menyatakan a1 sebagai fungsi dari a2 atau sebaliknya;

Kita peroleh 2 14 3 a a

Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi.

Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector

B


Aljabar Linier 19

II. 2 Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector

V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi 1) u M, v M u v M

2) R u M


Aljabar Linier 20

II. 3 M a t r i k s

Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat

digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah

dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks

digunakan untuk menyatakan susunan bilangan-bilangan yang

berbentuk empat persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom.

Bilangan-bilangan dalam matriks tersebut dinamakan entry atau

komponen matriks. Biasanya entry atau komponen-komponen

matriks tersebut dituliskan di antara dua kurung.

Setiap matriks mempunyai ukuran. Ukuran matriks ini ditentukan

oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks

tersebut. Jadi untuk matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom

ukurannya adalah m x n. Untuk menyatakan matriks, biasanya

digunakan huruf besar, sedangkan untuk menyatakan kuantitas-

kuantitas numerik dari komponen (entry) matriks digunakan huruf

kecil. Jadi jika A adalah sebuah matriks, maka aij menyatakan

komponen matriks yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j.

Sebagai contoh, matriks A yang berukuran m x n dituliskan

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

n

n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

Baris ke-1

Kolom ke-1


Aljabar Linier 21

Contoh II.1 :

Macam-macam ukuran matriks

2

1

3

Matrik berukuran 3 x 1

A

A

= 3 2 1

Matriks berukuran 1 x 3

B

B

2

= 3 4

3 1


C

C

=


a b c dD

e f g h

D

11 12 13

21 22 23

31 32 33

41 42 43

Matriks E berukuran 4 x 3

e e e

e e eE

e e e

e e e

2 3 5 1

6 1 4 7

3 8 1 2


F

F

Matriks A yang terdiri dari n baris dan n kolom, dinamakan matriks

bujursangkar atau matriks kuadrat, dan komponen-komponen a11,

a22, . . . , ann dikatakan berada pada diagonal utama.

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

matriks x

n

n

n n nn

a a a

a a a

A

a a a

n n

diagonal utama


Aljabar Linier 22

Contoh II.2

Macam-macam matriks bujursangkar

3 4

5 1

matriks 2 x 2

A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

matriks 3 x 3

b b b

B b b b

b b b

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

matriks 4 x 4

c c c c

c c c cC

c c c c

c c c c

4 2 3 1

2 2 6 5

1 3 2 5 4

1 7 3 1

3 1 5 7 1

matriks 5 x 5

e

D

e

Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut

mempunyai ukuran dan komponen yang berkesesuaian yang sama.

Contoh II.3

Tinjaulah matriks-matriks berikut

4 2 1

1 3 5

3 4 2

A

4 2 1

1 3 5

3 4 2

B

4 2 1

2 1 3

3 4 2

C

4 2 1

1 3 5D

Matriks A = B karena keduanya mempunyai ukuran dan komponen

matriks yang sama. Matriks A C karena tidak semua

komponennya berkesesuaian. Matriks A D karena kedua matriks

tidak mempunyai ukuran yang sama. Demikian juga halnya matriks

B C, B D dan C D.

Suatu matriks bujursangkar yang semua komponen pada diagonal

utamanya terdiri dari bilangan satu dan komponen lainnya terdiri

dari nol dinamakan matriks satuan atau matriks identitas. Matriks

satuan ini biasanya dinyatakan dengan huruf I dan jika ukurannya

disertakan maka dituliskan In untuk matriks n x n seperti contoh di

bawah ini.


Aljabar Linier 23

1 0 0 . . . 0

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

. . . .

. . . .

. . . .

0 0 0 . . . 1

Matriks satuan x

nI

n n

2

1 0

0 1

Matriks satuan 2 x 2

I

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1


I

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1


I

Komponen-komponen suatu matriks dapat terdiri dari nol

semuanya. Matriks semacam ini dinamakan matriks nol dan diberi

simbol O seperti contoh di bawah ini.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Matriks nol berukuran 3 x 4

O

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Matriks nol berukuran 4 x 4

O

Jika komponen-komponen dalam kolom suatu matriks diubah

menjadi baris maka akan diperoleh matriks baru yang dinamakan

transpos A seperti yang didefinisikan di bawah ini.

Definisi : Jika A adalah sembarang matriks m x n, dan apabila

kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom

keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks

yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol At

dan ukurannya berubah menjadi n x m.


Aljabar Linier 24

Contoh II.4 Matriks dan transposnya

3 1 5

6 0 2

4 3 1

A

3 6 4

1 0 3

5 2 1

tA

11 12 13

21 22 23

31 32 33

41 42 43

b b b

b b bB

b b b

b b b

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

t

b b b b

B b b b b

b b b b

2 3

6 5

1 4

C

2 6 1

3 5 4

tC

3 0 5 1

1 4 1 0

5 2 3 6

D

3 1 5

0 4 2

5 1 3

1 0 6

tD

II. 4 Operasi Matriks

Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan

matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam

penjumlahan dan perkalian matriks.

Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama,

misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh

dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian

(komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua

matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang

diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A dengan


Aljabar Linier 25

komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil

penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran

yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya

berlainan tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh II.5

Tinjaulah matriks-matriks berikut,

1 5 3

3 2 6

4 0 5

2 1 2

A

2 1 4

5 2 3

6 3 2

3 1 2

B

2 5 4

3 6 1

1 4 5

C

Matriks A ditambah matriks B adalah,

1 5 3 2 1 4 1 2 5 1 3 4

3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3

4 0 5 6 3 2 4 6 0 3 5 2

2 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 2

A B

1 4 7

8 4 3

2 3 3

1 0 0

Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya

berbeda.

Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan

dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama.

Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya

berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks B adalah,


Aljabar Linier 26

1 5 3 2 1 4 1 ( 2) 5 ( 1) 3 4

3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3

4 0 5 6 3 2 4 (6) 0 ( 3) 5 ( 2)

2 1 2 3 1 2 2 ( 3) 1 1 2 2

A B

3 6 1

2 0 9

10 3 7

5 2 4

Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah

matriks, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh

dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k.

Contoh II.6

Jika matriks A adalah, 9 2 5

7 4 3A

maka,

(3)(9) (3)( 2) (3)(5) 27 6 153

(3)(7) (3)(4) (3)( 3) 21 12 9

1

3 3

A

Aartinya A

dan ( 1)A ( 1)(9) ( 1)( 2) ( 1)(5) 9 2 5

( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) 7 4 3

Teorema II.1

Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai

ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka

1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk

penjumlahan)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk


Aljabar Linier 27

penjumlahan)

3. k(A + B) = kA + k B = (A + B) k

4. k(A B) = kA kB = (A B)k

5. A + O = O + A = A

6. A A = O

7. O A = - A

8. (k + l)A = kA + lA = A(k + l)

9. (k l)A = kA lA = A(k l)

10. (kl)A = k(lA)

Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x

n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponen-

komponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan

komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB,

ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B.

Kalikan komponen-komponen yang berkesesuaian dari baris

dan kolom, kem udian jumlahkan semua hasil kali tersebut.

Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat

diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya

dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah

mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika

ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil

kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di

sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut.


Aljabar Linier 28

A

m x r

B

r x n

= AB

m x n

Gambar II.1

Contoh II.7

Misalkan A adalah matriks 2 x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C

matriks 2 x 3.

Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah

kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4. Hasil

kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran 2 x 3.

Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena

jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris matriks

C (3).

Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah

kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3. Hasil

kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3.

Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil perkalian

dapat dilihat dalam contoh di bawah ini.

Contoh II.8

Diketahui tiga matriks berikut,

2 1 3

3 4 5A

1 3 6 2

5 3 0 1

2 4 1 5

B

3 1

4 5

2 1

C

Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC.

Jawab :

di luar

Ukuran

matriks hasil

perkalian

di dalam


Aljabar Linier 29

Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4,

jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah

matriks 2 x 4 seperti di bawah ini,

-1 3 6 2

2 -1 3 5 3 0 1

-3 4 52 4 1 5

AB

(2)(-1) + (-1)(5) + (3)(2) (2)(3) + (-1)(-3) + (3)(4) (2)(6) ( 1)(0) (3)(1) (2)( 2) ( 1)(1) (3)(5)

( 3)( 1) (4)(5) (5)(2) ( 3)(3) (4)( 3) (5)(4) ( 3)(6) (4)(0) (5)(1) ( 3)( 2) (4)(1) (5)(5)

-1 21 15 10

33 -1 -13 35

Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,

jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah


3 12 1 3

4 53 4 5

2 1

AC

(2)(3) ( 1)(4) (3)( 2) (2)(1) ( 1)( 5) (3)(1)

( 3)(3) ((4)(4) (5)( 2) ( 3)(1) (4)( 5) (5)(1)

4 10

3 18

Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,

jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak

terdefinisi.

Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak berlaku

dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama dengan BA.

Contoh II.9


Aljabar Linier 30

Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA,

CA dan CB.

Jawab :

Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,

jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak

terdefinisi.

Matriks C berukuran 3 x 2 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,

jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah


AC = 3 1

2 1 34 5

3 4 52 1

= (3)(2) (1)( 3) (3)( 1) (1)(4) (3)(3) (1)(5)

(4)(2) ( 5)( 3) (4)( 1) ( 5)(4) (4)(3) ( 5)(5)

( 2)(2) (1)( 3) ( 2)( 1) (1)(4) ( 2)(3) (1)(5)

= 3 1 14

23 24 13

7 6 1

Matriks C berukuran 3 x 2 dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi

matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak

terdefinisi.

Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA

dan AC CA.

Teorema II.2

Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran yang

memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks yang

diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta, maka

a. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif)


Aljabar Linier 31

c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif)

d. A(B C) = AB AC

e. (A B)C = AC BC

f. k(BC) = (kB)C = B(kC)

g. AO = O ; OA = O

Jika A adalah matriks m x n, In adalah matriks satuan berukuran n x

n dan Im adalah matriks satuan m x m maka AIn = A dan ImA = A.

Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam

perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam

hubungan numerik a.1 = 1. a = a

Contoh II.10 Tinjau matriks-matriks berikut,

11 12 13

21 22 23

a a aA

a a a

2

1 0

0 1I

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Jika matriks I2 dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah,

11 12 13 11 12 13

2

21 22 23 21 22 23

1 0

0 1

a a a a a aI A A

a a a a a a

Jika matriks A dikalikan dengan matriks I3 hasilnya adalah,

11 12 13 11 12 13

3

21 22 23 21 22 23

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a a a a aAI A

a a a a a a

Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut,

(i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c

(ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0

Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti

yang diberikan dalam contoh berikut.


Aljabar Linier 32

Contoh II.11

Diketahui matriks-matriks berikut,

0 1

0 2A

1 1

3 4B

2 5

3 4C

3 7

0 0D

Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan

matriks C, diperoleh

0 1 1 1 3 4

0 2 3 4 6 8

AB

0 1 2 5 3 4

0 2 3 4 6 8AC

Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan

tetapi B C.

Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh

0 1 3 7 0 0

0 2 0 0 0 0

AD

Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan

tetapi A O dan juga D O.

Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat

didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut,

Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat

bilangan bulat tak negatif dari matriks A ini didefinisikan

sebagai berikut,

A0 = I A

n = A A A . . . A (n >0)

n buah A


Aljabar Linier 33

Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian

bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di

bawah ini.

Teorema II.3 Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan

bulat, maka

ArA

s = A

r+s dan (A

r) s = A

rs

Contoh II.12

Diketahui matriks A = 2 1

3 4

A3 = A A A =

2 1 2 1 2 1

3 4 3 4 3 4

= 1 6 2 1

18 13 3 4

= 16 25

75 34

A4 = A

3 A

1 =

16 25 2 1

75 34 3 4

= 107 84

252 61

Teorema II.4

Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat

dilakukan, maka

a. (At ) t = A

b. (A + B) t = A

t + B

t

c. (kA) t = k A

t , di mana k adalah skalar sebarang

Contoh II.13.

Diketahui matriks 1 3 6 2

5 3 0 1

2 4 1 5

A

dan 1 5 2 1

3 2 4 3

6 0 1 4

B

n buah matriks A


Aljabar Linier 34

1 5 2

3 3 4

6 0 1

2 1 5

tA

1 3 6

5 2 0

2 4 1

1 3 4

tB

1 3 6 2

( ) 5 3 0 1

2 4 1 5

t tA A

1 3 6 2 1 5 2 1 0 8 8 1

5 3 0 1 3 2 4 3 8 1 4 2

2 4 1 5 6 0 1 4 8 4 2 9

A B

(A + B)t =

0 8 8

8 1 4

8 4 2

1 2 9

t tA B =

1 5 2

3 3 4

6 0 1

2 1 5

+

1 3 6

5 2 0

2 4 1

1 3 4

=

0 8 8

8 1 4

8 4 2

1 2 9

1 3 6 2 2 6 12 4

2 2 5 3 0 1 10 6 0 2

2 4 1 5 4 8 2 10

A

2 10 4 1 5 2

6 6 8 3 3 4(2 ) 2 2

12 0 2 6 0 1

4 2 10 2 1 5

t tA A

II.5 Latihan 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut,

(i) A = 2 4

7 5

(ii) B = 3 6 7

8 5 1

2 9 4

(iii) C =

1 4 9 5

7 5 2 6

9 6 4 10

10 8 3 7


Aljabar Linier 35

2. Tinjaulah matriks-matriks berikut,

A = 3 6 7

8 5 1

3 8

7 2

4 1

B

6 5

5 7

2 4

C

1 9 4

2 8 3

6 7 5

D

7 1 3

1 2 4

5 6 8

E

4 7 9 6

5 0 5 3

1 8 4 2

F

Hitunglah :

(a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B

(e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F

3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor 2.

(a) A B (b) A D (c) B C (d) C B

(e) C E (f) D E (g) D F (h) E F

4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor 2, hitunglah,

(a) At B (b) A D

t (c) (B C)

t (d) (C B)

t

(e) C E (f) (D E)t (g) (ED)

t (h) E

tD


Aljabar Linier 36

Y

X

)3

4,0(

( 2 , 0 )

BAB III. Sistem Persamaan Linier & Matriks

____________________________________________________

III. 1 Persamaan Linier Persamaan linier umumnya ditulis sebagai

1 1 2 2 . . .

, konstanta, variabel peubah bebas

n n n

i i i

a x a x a x b

a b x

Ciri-cirinya

- Semua variabel berpangkat Satu

- Semua suku hanya memiliki satu variabel

Secara geometri Persamaan Linier dengan ;

- 2 variabel menyatakan suatu garis lurus

- 3 variabel menyatakan suatu bidang

Contoh :

1. Dua variabel 2x + 3y = 4

2tan disebut gradien atau koefisien arah

3

y = -3

2x +

3

4

2. Tiga variabel 3x + 4 y + z = 5

Z

Y

X

( 0 , 0 , 5 )

( 0 , , 0 )

( , 0 , 0 )

4

5

3

5


Aljabar Linier 37

Jika bn = 0 , maka persamaan itu dinamakan “ Persamaan Linier

Homogen ” .

Secara geometri artinya

o 2 variabel garis lurus yang melalui (0,0)

o 3 variabel bidang datar yang melalui (0,0,0)

III. 2 Sistem persamaan linier

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier

dalam peubah bebas 1 2, , . . ., nx x x dinamakan sistem persamaan

linier atau sistem linier. Bentuk umum dari sistem persamaan linier

yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tak diketahui

adalah,

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . +

di mana 1 2, , . . ., nx x x adalah bilangan-bilangan tidak diketahui

(variabel), aij (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) adalah koefisien

bilangan yang diketahui nilainya dan bi adalah konstanta. Tanda

subscript pada koefisien aij merupakan alat untuk mempermudah


Aljabar Linier 38

dalam menyatakan letak koefisien tersebut dalam persamaan.

Subscript pertama yaitu i menyatakan persamaan yang ke-i dalam

sistem persamaan linier tersebut, sedangkan subscript kedua yaitu j

menyatakan letak koefisien tersebut pada bilangan yang tidak

diketahui sebagai padanan perkaliannya. Sebagai contoh a23 adalah

koefisien yang berada di persamaan kedua, kolom ke tiga yang

dikalikan dengan x3.

III. 3 Operasi baris elementer

Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linier yaitu,

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . +

Dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian matri

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n n

a a a x b

a a a x b

a a a x b

Pemecahan sistem persamaan linier ini tidak akan berubah jika,

Dua baris dari sistem persamaan linier tersebut saling bertukar

tempat.


Aljabar Linier 39

Suatu baris dari sistem persamaan linier tersebut dikalikan

dengan suatu bilangan tetap 0.

Suatu baris diganti oleh jumlah baris tersebut dengan kali baris

yang lain.

Ketiga operasi ini dinamakan operasi baris elementer (disingkat

OBE) dan masing-masing dinyatakan oleh simbol Oij, Oi() dan

Oij(). Jadi,

Oij berarti baris ke-i dan baris ke-j saling tukar tempat

Oi( ) berarti baris ke-i diganti dengan kali baris ke-i.

Oij( ) berarti baris ke-i diganti oleh baris ke-i yang sudah

ditambah dengan kali baris ke-j.

Dengan menggunakan operasi baris elementer (disebut juga metode

Gauss) ini kita dapat memecahkan sistem persamaan linier seperti

pada contoh berikut,

Contoh I.3

Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut,

x y z

x y z

x y z

2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

J awab :


Aljabar Linier 40

Untuk memecahkan sistem persamaan di atas akan digunakan

operasi baris elementer sebagai berikut,

x y z

x y z

x y z

2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

Langkah

pertama, baris

kedua diganti

oleh baris kedua

yang sudah

ditambah -2 kali

baris pertama,

diperoleh

x y z

y z

x y z

2 9

2 7 17

3 6 5 0

Langkah kedua,

baris ketiga

diganti oleh

baris ketiga yang

sudah ditambah

-3 kali baris

pertama,

diperoleh

7

x y z

y z

y z

2 9

2 17

3 11 27

Langakah ketiga,

baris kedua

diganti oleh baris

kedua yang

sudah dikalikan

dengan 1/2,

diperoleh

2

x y z

y z

y z

2 9

3 11 27

17

2

7

Langkah

keempat, baris

ketiga diganti

oleh baris ketiga

yang sudah

ditambah

dengan -3 kali

baris kedua,

diperoleh


Aljabar Linier 41

2

1

2

x y z

y z

z

2 9

17

2

3

2

7

Langkah kelima,

baris ketiga

diganti oleh

baris ketiga yang

sudah dikalikan

dengan - 1/2,

diperoleh

2

x y z

y z

z

2 9

3

17

2

7

Langkah keenam,

baris kedua

diganti oleh

baris kedua yang

sudah ditambah

2/7 kali baris

ketiga, diperoleh

x y z

y

z

2 9

2

3

Langkah ketujuh.

baris pertama

diganti oleh baris

pertama yang

sudah ditambah

dengan -2 kali

baris ketiga,

diperoleh

x y

y

z

3

2

3

Langkah

kedelapan, baris

pertama diganti

oleh baris

pertama yang

sudah ditambah

dengan -1 kali

baris kedua,

diperoleh

x

y

z

1

2

3

Jadi pemecahannya adalah, x = 1, y = 2 dan

z = 3.


Aljabar Linier 42

III. 4 Sistem persamaan linier homogen

Sistem persamaan linier yang semua suku konstantanya berharga

nol disebut sistem persamaan linier homogen. Bentuk umum dari

sistem persamaan linier homogen adalah,

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

n n

n n

m m mn n

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

. . .

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . +

Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang

konsisten, karena 1 20, 0, . . ., 0nx x x selalu merupakan

pemecahan dari sistem tersebut. Pemecahan seperti itu dinamakan

pemecahan trivial. Jika ada pemecahan lain selain pemecahan

trivial, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan

taktrivial/non trivial.

Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka

terdapat satu pemecahan atau takterhingga banyaknya pemecahan.

Salah satu dari pemecahan tersebut adalah pemecahan trivial,

karena itu dapat dibuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan

linier homogen, salah satu pernyataan berikut benar,

Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.

Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan

tak trivial dan salah satu diantaranya adalah pemecahan trivial.


Aljabar Linier 43

Jika sistem persamaan homogen melibatkan lebih banyak bilangan

tidak diketahui daripada banyaknya persamaan, maka sistem

tersebut dipastikan mempunyai pemecahan taktrivial.

Contoh I.5

Carilah pemecahan sistem persamaan linier di bawah ini

x y z w

x y w

x y z w

2 0

0

4 3 0

Sistem persamaan linier terahir adalah

x z w

y z

0

0 atau

w x z

z y

Untuk x = s dan y = t maka z = t dan w = -s - t. Berapa saja nilai s

dan t diambil akan merupakan pemecahan dari sistem persamaan

linier homogen di atas. Pemecahan trivial dipenuhi untuk s = 0 dan

t = 0.

Catatan

1) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan

1 2 n n n0x 0x . . .0x b ,b 0 maka SPL tersebut dikatakan

inkonsisten, artinya sistim persamaan linier tidak mempunyai

solusi

2) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan

1 2 n n n0x 0x . . .0x b ,b 0 maka persamaan tersebut dapat

dihilangkan dan tidak mempengaruhi hasil


Aljabar Linier 44

Soal Latihan

1. Carilah x,y, dan z dari sistim persamaan linier berikut dengan

metode Gauss

2 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

x y z

x y z

x y z

2. Carilah solusi sistim persamaan linier x,y,z, dan u, berikut dengan

metode Gauss,bila ada

2 9

2 4 3 2 1

3 6 5 0

3 6 5 3 0

x y z u

x y z u

x y z

x y z u

III. 5 Operasi Matriks

Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan

matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam

penjumlahan dan perkalian matriks.

Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran

sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang

diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang

berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama)

dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks

yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A

dengan komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks

baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai

ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang

ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau


Aljabar Linier 45

dikurangkan.

Contoh II.5

Tinjaulah matriks-matriks berikut,

1 5 3

3 2 6

4 0 5

2 1 2

A

2 1 4

5 2 3

6 3 2

3 1 2

B

2 5 4

3 6 1

1 4 5

C

Matriks A ditambah matriks B adalah,

1 5 3 2 1 4 1 2 5 1 3 4

3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3

4 0 5 6 3 2 4 6 0 3 5 2

2 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 2

A B

1 4 7

8 4 3

2 3 3

1 0 0

Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya

berbeda.

Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti

penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus

berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi

karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks

B adalah,

1 5 3 2 1 4 1 ( 2) 5 ( 1) 3 4

3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3

4 0 5 6 3 2 4 (6) 0 ( 3) 5 ( 2)

2 1 2 3 1 2 2 ( 3) 1 1 2 2

A B


Aljabar Linier 46

3 6 1

2 0 9

10 3 7

5 2 4

Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah

matriks, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh

dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k.

Contoh II.6

Jika matriks A adalah, 9 2 5

7 4 3A

maka, (3)(9) (3)( 2) (3)(5) 27 6 15

3 (3)(7) (3)(4) (3)( 3) 21 12 9

A

dan ( 1)A ( 1)(9) ( 1)( 2) ( 1)(5) 9 2 5

( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) 7 4 3

Teorema II.1

Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran

yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka

a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)

b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk

penjumlahan)

c) k(A + B) = kA + k B = (A + B) k

d) k(A B) = kA kB = (A B)k

e) A + O = O + A = A

f) A A = O

g) 1.A = A

h) (k + l)A = kA + lA = A(k + l)


Aljabar Linier 47

i) (k l)A = kA lA = A(k l)

j) (kl)A = k(lA)

Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x

n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponen-

komponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan

komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB,

ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B.

Kalikan komponen-komponen yang berkesesuaian dari baris

dan kolom tersebut, kemudian jumlahkan semua hasil kali

tersebut.

Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat

diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya

dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah

mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika

ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil

kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di

sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut.

A

m x r

B

r x n

= AB

m x n

Gambar II.1

Contoh II.7

Misalkan A adalah matriks 2 x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C

matriks 3 x 3.

Ukuran matriks

hasil perkalian


Aljabar Linier 48

Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah

kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4.

Hasil kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran 2 x 3.

Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena

jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris

matriks C (3).

Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah

kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3.

Hasil kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3.

Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil

perkalian dapat dilihat dalam contoh di bawah ini.

Contoh II.8

Diketahui tiga matriks berikut,

2 1 3

3 4 5A

1 3 6 2

5 3 0 1

2 4 1 5

B

3 1

4 5

2 1

C

Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC.

Jawab :

Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4,

jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah


-1 3 6 2

2 -1 3 5 3 0 1

-3 4 52 4 1 5

AB

(2)(-1) + (-1)(5) + (3)(2) (2)(3) + (-1)(-3) + (3)(4) (2)(6) ( 1)(0) (3)(1) (2)( 2) ( 1)(1) (3)(5)

( 3)( 1) (4)(5) (5)(2) ( 3)(3) (4)( 3) (5)(4) ( 3)(6) (4)(0) (5)(1) ( 3)( 2) (4)(1) (5)(5)

-1 21 15 10

33 -1 -13 35


Aljabar Linier 49

Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,

jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah


3 12 1 3

4 53 4 5

2 1

AC

(2)(3) ( 1)(4) (3)( 2) (2)(1) ( 1)( 5) (3)(1)

( 3)(3) ((4)(4) (5)( 2) ( 3)(1) (4)( 5) (5)(1)

4 10

3 18

Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2,

jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak

terdefinisi.

Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak

berlaku dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama

dengan BA.

Contoh II.9

Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA,

CA dan CB.

Jawab :

Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,

jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak

terdefinisi.

Matriks C berukuran 3 x 2 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3,

jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah


3 12 1 3

4 5 3 4 5

2 1

CA


Aljabar Linier 50

=

(3)(2) (1)( 3) (3)( 1) (1)(4) (3)(3) (1)(5)

(4)(2) ( 5)( 3) (4)( 1) ( 5)(4) (4)(3) ( 5)(5)

( 2)(2) (1)( 3) ( 2)( 1) (1)(4) ( 2)(3) (1)(5)

=

3 1 14

23 24 13

7 6 1

Matriks C berukuran 3 x 2 dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi

matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak

terdefinisi.

Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA

dan AC CA.

Teorema II.2

Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran

yang memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks

yang diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta,

maka

a. A(BC) = (AB)C (hukum asosiatif untuk perkalian)

b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif)

c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif)

d. A(B C) = AB AC

e. (A B)C = AC BC

f. k(BC) = (kB)C = B(kC)

g. AO = O ; OA = O

Jika A adalah matriks m x n, In adalah matriks satuan berukuran

n x n dan Im adalah matriks satuan m x m maka AIn = A dan ImA =

A. Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam

perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam

hubungan numerik a.1 = 1. a = a.

Contoh II.10

Tinjau matriks-matriks berikut,


Aljabar Linier 51

11 12 13

21 22 23

a a aA

a a a

2

1 0

0 1I

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Jika matriks I2 dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah,

11 12 13 11 12 13

2

21 22 23 21 22 23

1 0

0 1

a a a a a aI A A

a a a a a a

Jika matriks A dikalikan dengan matriks I3 hasilnya adalah,

11 12 13 11 12 13

3

21 22 23 21 22 23

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a a a a aAI A

a a a a a a

Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut,

(i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c

(ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0

Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti

yang diberikan dalam contoh berikut.

Contoh II.11

Diketahui matriks-matriks berikut,

0 1

0 2A

1 1

3 4B

2 5

3 4C

3 7

0 0D

Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan

matriks C, diperoleh 0 1 1 1 3 4

0 2 3 4 6 8

AB

0 1 2 5 3 4

0 2 3 4 6 8

AC

Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan

tetapi B C.


Aljabar Linier 52

Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh

0 1 3 7 0 0

0 2 0 0 0 0

AD

Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan

tetapi A O dan juga D O.

Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat

didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut,

Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat

bilangan bulat tak negatif dari matriks A ini didefinisikan

sebagai berikut,

A0 = I A

n = A A A . . . A

(n >0)

n buah A

Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian

bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di

bawah ini.

Teorema II.3

Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan

bulat, maka

ArA

s = A

r+s dan (A

r) s = A

rs

Contoh II.12

n buah matriks A


Aljabar Linier 53

Diketahui matriks A = 2 1

3 4

A3 = A A A =

2 1 2 1 2 1

3 4 3 4 3 4

= 1 6 2 1

18 13 3 4

= 16 25

75 34

A4 = A

3 A

1 =

16 25 2 1

75 34 3 4

= 107 84

252 61

Teorema II.4

Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat

dilakukan, maka

a. (At ) t = A

b. (A + B) t = A

t + B

t

c. (kA) t = k A

t , di mana k adalah sebarang skalar

Contoh II.13.

Diketahui matriks

1 3 6 2

5 3 0 1

2 4 1 5

A

dan

1 5 2 1

3 2 4 3

6 0 1 4

B

1 5 2

3 3 4

6 0 1

2 1 5

tA

1 3 6

5 2 0

2 4 1

1 3 4

tB

1 3 6 2

( ) 5 3 0 1

2 4 1 5

t tA A

1 3 6 2 1 5 2 1 0 8 8 1

5 3 0 1 3 2 4 3 8 1 4 2

2 4 1 5 6 0 1 4 8 4 2 9

A B

(A + B)T =

0 8 8

8 1 4

8 4 2

1 2 9


Aljabar Linier 54

t tA B =

1 5 2

3 3 4

6 0 1

2 1 5

+

1 3 6

5 2 0

2 4 1

1 3 4

=

0 8 8

8 1 4

8 4 2

1 2 9

1 3 6 2 2 6 12 4

2 2 5 3 0 1 10 6 0 2

2 4 1 5 4 8 2 10

A

2 10 4 1 5 2

6 6 8 3 3 4(2 ) 2 2

12 0 2 6 0 1

4 2 10 2 1 5

t tA A

III. 6 Latihan 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut,

(i) A = 2 4

7 5

(ii) B =

3 6 7

8 5 1

2 9 4

(iii) C =

1 4 9 5

7 5 2 6

9 6 4 10

10 8 3 7


A = 3 6 7

8 5 1

3 8

7 2

4 1

B

6 5

5 7

2 4

C

Jadi (A + B)t =A

t + B

t


Aljabar Linier 55

1 9 4

2 8 3

6 7 5

D

7 1 3

1 2 4

5 6 8

E

4 7 9 6

5 0 5 3

1 8 4 2

F

Hitunglah :

(a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B

(e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F

3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor 2.

(a) A B (b) A D (c) B C (d) C B

(e) C E (f) D E (g) D F (h) E F

4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor 2, hitunglah,

(a) AB (b) BA (c) AD (d) DA

(e) BC (f) BF (g) CD (h) DC

(i) DE (j) ED (k) EF (l) FE

5.Diketahui 8 1

= 3 2 4 7 6

a b b c

d c a d

. Tentukanlah harga a, b, c dan d.

6. Misalkan 0 1

0 2A

. Carilah matriks B berukuran 2 x 2 yang

memenuhi,

(a) AB = 0 (b) BA = 0

7. Diketahui matriks-matriks berikut,

A = 1 4 2

1 4 2

B =

1 2

1 3

5 2

C =

2 2

1 1

1 3

Hitunglah,

(a) B +C (b) AB (c) BA (d) AC (e) CA (f) A(2B 3C)



Aljabar Linier 56

3 0

1 2

1 1

A

B = 4 1

0 2

1 4 2

3 1 5C

1 5 2

1 0 1

3 2 4

D

6 1 3

1 1 2

4 1 3

E

Hitunglah,

(a) AB (b) D + E (c) D E (d) DE (e) ED (f) 7B

9. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal nomor 8,

hitunglah operasi-operasi di bawah ini.

(a) 3C D (b) (3E)D (c) (AB)C (d) A(BC) (e) (4B)C

+ 2B (f) D + E2

10. Hitunglah AB BA di mana,

2 0 0

1 1 2

1 2 1

A

3 1 2

3 2 4

3 5 11

B

11. Carilah harga a, b, c dan d yang memenuhi persamaan matriks

berikut,

(i) 0 0 1 0 1

1 0 0 0 9

0 1 0 0 6

0 0 0 1 5

a

b

c

d

(ii)

1 0 2 0

0 0 1 1 1 0 6 6

1 4 9 2 0 1 0 0 1 9 8 4

0 0 1 0

a b c d

12. Diketahui matriks,

1 2

3 4

5 6

A

dan

3 2

1 5

4 3

B

. Carilah matriks

p q

C r s

t u


Aljabar Linier 57

sehingga A + B C = O

13. Diketahui matriks-matriks berikut, 2 3 5

1 4 5

1 3 4

A

1 3 5

1 3 5

1 3 5

B

2 2 4

1 3 4

1 2 3

C

a. Tunjukkanlah bahwa AB = OA = O, AC = A, CA = C

b. Gunakanlah hasil pada bagian a untuk memperlihatkan bahwa

ACB = CBA dan A2 B

2 = (A B)(A + B)

14. Diketahui matriks-matriks berikut,

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A

3 4

2 5

1 6

B

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Buktikanlah bahwa,

(a) (At )

t = A (b) (5A)

t = 5A

t (c) (AB)

t = B

t A

t (d) (AI)

t = A

t

15. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal 14, hitunglah,

(a) At B (b) B

t A (c) (AI)B (d) A(IB)

III. 7 Representasi Matriks dalam Sistem

Persamaan Linier

Pada waktu membahas mengenai sistem persamaan linier, telah

diperkenalkan bentuk umum sistem persamaan linier, yaitu


Aljabar Linier 58

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .

. . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . +

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Apabila kita buat sebuah matriks yang komponen-komponennya

terdiri dari koefisien-koefisien sistem persamaan linier di atas maka

akan diperoleh matriks berikut,

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . . .

. . .

. . .

. . .

. . .

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Matriks ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan linier.

Jika konstanta bi (i = 1, 2, . . . , m) disertakan dalam

matriks ini, maka matriksnya menjadi,

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

. . .

. . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . .

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

atau

tanpa

garis

pemisa

h

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

. . .

. . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . .

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

Matriks yang menyertakan konstanta bi ini disebut matriks yang

diperbesar.

Contoh II.14


Aljabar Linier 59

Diketahui sistem persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan

linier dan tiga bilangan yang tidak diketahui berikut,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

x x x

x x x

x x x

Pertanyaannya hitunglah x1,x2 dan x3 dengan metode Eliminasi

Gauss

Matrik koefisien dari sistem persamaan linier ini adalah,

1 1 2

2 4 3

3 6 5

Sedangkan matriks yang diperbesarnya adalah,

1 1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

atau

1 1 2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

Perkalian matriks mempunyai penerapan yang penting dalam

sistem persamaan linier. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari m

persamaan linier dan n bilangan tidak diketahui.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .

. . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . +

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika komponen-

komponen yang berkesesuaiannya sama, maka sistem persamaan

linier di atas dapat dituliskan dalam persamaan matriks tunggal

berikut,


Aljabar Linier 60

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .

. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . +

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Matriks di ruas kiri adalah matriks m x 1 dan matriks di ruas kanan

juga matriks m x 1. Matriks di ruas kiri dapat dituliskan sebagai

hasil kali yang memberikan,

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1

. . .

. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

n

n

m mn mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

A X

B

Jika matriks dengan komponen-komponennya aij diberi nama

matriks A (matriks m x n), matriks yang komponen-komponennya

xi (matriks n x 1) diberi nama matriks X dan matriks dengan

komponen-komponennya bi (matriks m x 1) diberi nama matiks B,

maka perkalian matriks di atas dapat dituliskan menjadi,

AX = B

Dengan demikian sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam

bentuk perkalian matriks. Untuk sistem persamaan linier homogen,

bentuk perkalian matriksnya adalah AX = O, di mana O adalah

matrik nol berukuran m x 1.

Contoh II.15

Tinjaulah sistem persamaan linier berikut,


Aljabar Linier 61

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

3 2 15

5 3 2 0

3 3 11

11 7 30

x x x

x x x

x x x

x x

Matriks ini dapat dituliskan sebagai perkalian matriks AX = B, di

mana

3 2 1

5 3 2

3 1 3

11 7 0

A

1

2

3

x

X x

x

15

0

11

30

B

Matriks A berukuran 4 x 3 dan matriks X berukuran 3 x 1, jadi

menurut peraturan perkalian matriks, matriks A dapat dikalikan

dengan matriks X dan hasilnya yaitu matriks B berukuran 4 x 1.

Dari matriks B di atas, dapat kita lihat bahwa matriks B betul

berukuran 4 x 1. Jika kita coba kalikan lagi matriks A dengan

matriks X maka akan diperoleh,

1 2 3

1

1 2 3

2

1 2 3

3

1 2

3 2 3 2 1

5 3 25 3 2

3 33 1 3

11 7 11 7 0

x x xx

x x xAX x

x x xx

x x

Karena AX=B maka

diperoleh;

15

0

11

30

B

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

3 2 15

5 3 2 0

3 3 11

11 7 30

x x x

x x xAX B

x x x

x x

ata

u

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

3 2 15

5 3 2 0

3 3 11

11 7 30

x x x

x x x

x x x

x x


Aljabar Linier 62

III. 8 Latihan Buatlah sistem-sistem persamaan linier pada soal nomor 1 sampai

dengan 7 menjadi bentuk perkalian matriks.

1. 2 3 4 0

1

4 5 6 1

x y z

x y z

x y z

2. 3 5

2 4 11

3

x y z

x y z

y z

1 3

1 2

1 2 3

2 3

3 13.

5 3 2

7 4 5 3

2 6 4

x x

x x

x x x

x x

4. 2 5 4 1

3 3 3

2 5 3 2

4 6 5 5

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

1 2 3

1 2 3 4

1 3 4

3 4

5 7 6 65.

3 2 5

2 4 3 1

2 4 3

x x x

x x x x

x x x

x x

6. 4 2 0

3 5 3 0

7 6 0

8 2 5 0

x y w

x y z w

x y z

x z w

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

7 5 2 17.

3 7 7

6 5 3 4

2 4 6 1

4 3 8 2

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Tentukanlah bentuk sistem persamaan linier dari perkalian matriks

dalam soal nomor 8 sampai dengan 13.

1

2

3

8. 2 3 5 1

1 8 1 2

0 4 2 4

x

x

x

9. 0 6 4 5

2 0 3 0

5 3 1 3

x

y

z

1

2

3

10. 9 4 6 3

4 5 0 4

2 7 3 1

3 1 8 0

x

x

x

11. 0 3 1 7 4

0 8 0 5 6

5 3 2 0 2

2 6 4 8 8

x

y

z

w


Aljabar Linier 63

12. 2 7 0 1 0

1 4 2 3 0

6 2 3 1 0

8 0 5 6 0

x

y

z

w

1

2

3

4

13. 1 4 2 1 0

5 2 0 3 0

3 6 4 1 0

8 4 6 2 0

4 0 1 7 0

x

x

x

x

III. 9 Minor, Kofaktor dan Determinan

Tinjau matriks bujur sangkar (jumlah baris sama dengan jumlah

kolom/variable)

11 12 1

21 22 2

1 2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

n

n

n n nn

a a a

a a a

A

a a a

Definisi : Matriks yang diperoleh dengan membuang baris ke-i

kolom j disebut minor ke ij diberi symbol, ijM

Contoh

22 23 2 21 23 2

32 33 3 31 33 3

11 12

2 3 1 3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .,

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

n n

n n

n n nn n n nn

a a a a a a

a a a a a a

M M

a a a a a a


Aljabar Linier 64

Definisi : Kofaktor, ijA adalah determinan

ijM dikalikan dengan -1

jika i+j ganjil atau dikalikan dengan 1 jika i+j genap. Jadi dapat

ditulis dengan rumus;

1 det 1i j i j

ij ij ijA M M

Definisi : Determinan matrik 1, dan 1,ijA a i n j n dapat dihitung

dengan berbagai cara;

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

....... baris ke-1 sebagai referensi

....... baris ke-2 sebagai referensidet

. . . . . .

....... baris ke-n sebagai referensi

n n

n n

n n n n nn nn

a A a A a A

a A a A a AA

a A a A a A

Apabila determinan suatu matrik tidak sama dengan nol. Matrik

disebut matrik non-singular

Definisi : Jika determinan matrik bujur sangkar

1, dan 1,ijA a i n j n tidak sama dengan nol, maka matrik tersebut

disebut non-singular dan mempunyai inversi (symbol 1A ). Matrik

inversi 1A

didefinisikan sebagai;

11 12 1

21 22 21

1 2

. .

. .1, 1,

. . . . .det

. .

disebut Ajoint matrik disebut juga matrik ajoint

t

nt

ijn

n n nn

t

ij

A A A

AA A AA i j n

A A

A A A

A A

Contoh; carilah inversi matrik berikut


Aljabar Linier 65

1 2 3

0 2 1

3 2 1

A

Hitung dulu determinan 1 2 3

det det 0 2 1 12, jadi matrik non-singular dan mempunyai inversi

3 2 1

A

Hitung kofaktornya

11 11 12 12 13 13

1

2 1 0 1 0 20, 3, 6

2 1 3 1 3 2

i j

ij ijA M

A M A M A M

21 21 22 22 23 23

2 3 1 3 1 24, 8, 4

2 1 3 1 3 2A M A M A M

31 31 32 32 33 33

2 3 1 3 1 24, 1, 2

2 1 0 1 0 2A M A M A M

Jadi; 1

1 10

3 30 3 6 0 4 41 1 1 2 1

4 8 4 3 8 112 12 4 3 12

4 1 2 6 4 21 1 1

2 3 6

tt

ijAA

A

Perhatikan

1

1 10

3 31 2 3 1 0 01 2 1

0 2 1 0 1 04 3 12

3 2 1 0 0 11 1 1

2 3 6

AA I

Theorema: untuk semua matrik bujur sangkar berlaku AA-1

=I


Aljabar Linier 66

III. 10 Notasi dan Sifat-Determinan

Jika ditulis 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33, , , , , dan , ,A a a a A a a a A a a a

Definisikan;

11 12 13

1 2 3 1 2 3 11 12 13 31 32 33 21 22 23

21 22 23 31 32 33

det , , , ,

i j k a a a

A d A A A A A A a a a a a a a a a

a a a a a a

(scalar triple product)

Sifat-sifat

1. Homogenitas tiap baris

Contoh (dalam baris pertama) 1 2 3 1 2 3, , , , skalard tA A A td A A A t

2. Penjumlahan tiap baris

Contoh (dalam baris kedua) 1 2 3 1 2 3 1 3, , , , , , vektord A A C A d A A A d A C A C

3. Perkalian scalar triple product adalah nol jika ada 2 baris yang

sama

Contoh: 1 1 3 1 2 1 1 3 3, , , , , , 0d A A A d A A A d A A A

4. Normalisasi , , 1 dengan = 1,0,0 , = 0,1,0 , = 0,0,1d i j k i j k

Theorema : jika i 1 2= , , . . ,i i inA a a a

Maka determinan 1 2, , . . , nd A A A memenuhi axioma berikut;

Axioma 1 : Homogenitas dalam tiap baris jika Ak adalah baris ke k

dikalikan dengan scalar t, maka 1 2 1 2, , . ., , . . , , . . , , . . skalark n k nd A A tA A td A A A A t

Axioma 2: penjumlahan tiap baris 1 2 1 2 1 2, , . ., , . . , , . , , . . , , . , , . . vektork n k n nd A A A C A d A A A A d A A C A C

Axioma 3: determinan akan hilang (bernilai nol) jika ada 2 baris

yang sama:


Aljabar Linier 67

1 2, , . . , 0 , sembarang n i jd A A A A A i j

Axioma 4: determinan matrik identitas adalah satu 1 2 k, , . . , 1 dengan adalah vektor satuannd I I I I

Theorema:

untuk setiap matrik bujur sangkar A dan B berlaku det(AB) =(det

A )(det B)

Theorema:

Jika matrik A nonsingular (det A≠0)

berlaku 1 1det

detA

A

Theorema:

Untuk setiap matrik kuadrat (matrik bujur sangkar) A dan B berlaku

det det detA O

A BO B

hal yg sama untuk det det det det

A O O

O B O A B C

O O C

III. 11 Soal latihan:

1. Misal

1 0 0 0

0 1 0 0,

0 0 1 0

0 0 0 1

a b c d

e f g hA B

a b c d

e f g h

Buktikan bahwa det det dan det B=detc d a b

Ag h e f


Aljabar Linier 68

2. Misal

0 0

0 0

a b

c dA

e f g h

x y z w

buktikan bahwa

det deta b g h

Ac d z w

3. Hitunglah semua kofaktor dan determinan dari matriks

berikut

a.

1 1 2 1 2 1

A= 2 4 3 , 0 1 3

3 6 5 3 1 0

B

b.

2 1 0 0 0 1 0 0

2 0 5 1 2 4 5 1,

0 1 9 1 0 1 0 1

4 3 2 1 0 3 2 1

C D

c.

0 1 0 3 0

1 2 0 0 0

2 3 1 0 1

1 0 0 0 1

1 2 0 0 1

A

III. 12 Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam contoh I.3 pada bab I, telah diberikan pemecahan sistem

persamaan linier dengan menggunakan operasi baris elementer

(OBE). Operasi baris elementer ini dapat dilakukan langsung pada

matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linier. Sebagai

contoh kita ulangi lagi contoh I.3 tetapi sekarang OBE dilakukan

langsung pada matriks yang diperbesarnya.

Contoh II.16 (Soal sama dengan contoh I.3)

Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut,


Aljabar Linier 69

2 9

2 4 3 1

3 6 5 0

x y z

x y z

x y z

Jawab :

Matriks yang diperbesar dari system persaman linier di atas adalah,

12

2 23

13

1 1 2 91 1 2 9 1 1 2 9

2 1 7 172 4 3 1 0 2 7 17 0 1 3

3 2 2 23 6 5 0 0 3 11 27

0 3 11 27

OO O

O

32

3

31

21

1 1 2 9 1 1 2 97

7 17 7 1720 1 2 0 1

2 2 2 22

1 3 0 0 1 30 0

2 2

1 1 0 3 1 0 0 1

0 1 0 2 1 0 1 0 2 , , 1,2,3

0 0 1 3 0 0 1 3

OO

O

O x y z

Eliminasi Gauss-Jordan dari matriks ini memberikan, , , 1,2,3x y z

III. 13 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan

Matrik Inversi Tinjau persamaan linier

1 1 1 1AX Y A AX A Y IX A Y X A Y

Dalam hal ini A menyatakan suatu matrik bujur sangkar sedangkan

X dan Y menyatakan matrik kolom, artinya X dapat dicari bila A-1

Y

bisa dihitung

Ilustrasi

Diketahui sistim persaman linier AX = Y dengan


Aljabar Linier 70

1 2 3 1

0 2 1 , dan 0

3 2 1 3

A Y

Pertanyaannya carilah X

Penyelesaian: Cari dulu matrik inversi dari matrik A dari soal

sebelumnya sudah dihitung inversi matrik A-1

adalah;

1

1 10

3 3

1 2 1

4 3 12

1 1 1

2 3 6

t

ijAA

A

Jadi matrik kolom X dapat dihitung;

1

1 10

3 3 111 2 1 10

24 3 123 01 1 1

2 3 6

X A Y

Jadi solusinya adalah 1, , 1, ,02

x y z

III. 14 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan

Metode Cramer

Tinjau sistim persamaan linier nn

Dalam bentuk matrik;

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

. . .

. . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . +

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b


Aljabar Linier 71

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

. . .

. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

n

n

n n nn n n

a a a x b

a a a x b

a a a x b

Definisikan;

11 12 1 11 12 1 1

21 22 2 21 22 2 2

1 2 1 2

1 2

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . ., , kolom ke-k di isi oleh vektor

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . .

, , , ,

n n

n n

k

n n nn n n n nn

n

a a a a a b a

a a a a a b a

D D

a a a a a b a

B b b b

Maka X dapat dicari dari hubungan;

1 21 2, , . . . , ,n

n

DD Dx x x

D D D

Ilustrasi; Cari x,y dan z dari sistim persamaan linier berikut 3 1

2 0

2 1

x y z

x y z

x z

Penyelesaian: Indeks 1,2 dan 3 dalam rumus secara berurutan kita

nyatakan sebagai parameter x,y dan z. Selanjutnya SPL ditulis

dalam bentuk;

3 1 1 1

1 2 1 0

1 0 2 1

x

y

z


Aljabar Linier 72

Hitung; 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1

1 2 1 13, 0 2 1 3, 1 0 1 1, 1 2 0 5

1 0 2 1 0 2 1 1 2 1 0 1

x y zD D D D

Jadi 3 1 5

, ,13 13 13

yx zDD D

x y zD D D

Dapat ditulis

1

, , 3,1,513

x y z


Aljabar Linier 73

Bab 4

AplikasiAljabarLinier ________________________________________________________________

Aljabar linier banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari

misalnya dalam sistim:

1. Jaringan Listrik (Electrical Networks).

2. Jaringan Jalan Antar Kota (Nets of Roads Connecting City).

3. Proses Produksi (Production Processes).

IV. 1 Jaringan Listrik (Electrical Networks) Definisi:Node (titik simpul)= adalah pertemuan 2 cabang atau lebih

(1,2,dan 3).Reference Node = Node dimana tegangan listrik

menjadi nol, akibat di bumikan (Grounded).

Network dinyatakan dalam,

Matrik A = [ajk], dengan.

ajk = +1 Jika cabang k meninggalkan node j

-1 Jika cabang k memasuki node j

0 Jika cabang k tidak menyinggung

node j

A disebut nodal inciden matrix

Cabang 1 2 3 4 5 6

Node 1 1 -1 1 0 0 0

Node 2 0 1 0 1 1 0

Node 3 0 0 -1 0 -1 -1

Soal 1: Tuliskan Nodal Incidence Matrix untuk rangkaian dibawah

ini.

1 3 2

Reference

Node


Aljabar Linier 74

Gb. 2 Electrical

network

Gb. 3 Electrical

network

Gb. 4 One way

street

Soal 2

Gambarkan jaringan listrik yang mempunyai nodal incidence

matrix seperti berikut; 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 11 1 0 0 0

) ) 1 1 0 0 ) 1 00 0 1 0 0

0 1 1 0 1 10 0 0 1 0

a b c

IV. 2 Rangkaian listrik

Review Hukum Kirchhoff.

a) Current Law (KCL): untuk tiap NODE (titik simpul) pada tiap

rangkaian listrik berlaku; jumlah arus masuk = jumlah arus keluar.

b) Voltage Law (KVL): untuk tiap loop tertutup. Jumlah total

voltage yang hilang = voltage yang dihasilkan oleh gaya

elektromagnetik.

Contoh: rangkaian listrik

Ingat Ohm V IR

P

Q

10Ω

15Ω

10Ω

I2

I1 I3

90V 80V

20Ω


Aljabar Linier 75

Pertanyaannya : Carilah I1, I2 dan I3

Penyelesaian: Gunakan hukum Kirchoff

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2

Node P : I I +I =0

Node Q :I -I +I =0

Loop kanan:10I +25I =90

Loop kiri :20I +10I =80

1 2 3

2 3

1 2

1

2

3

0

10 25 90

20 10 80

1 1 1 0

0 10 25 90

20 10 0 80

I I I

I I

I I

I

I

I

Jadi dapat dihitung, I1=2, I2=4 dan I3=2

Jadi jumlah arus yang mengalir pada cabang yang bersangkutan

adalah I1=2 Ampere, I2=4 Ampere dan I3=2 Amper

IV. 3 Programa Linier (Linear Programming)

dan Optimasi

Definisi

Optimasi adalah upaya, mencari solusi yang optimal misalnya,

memaksimalkan (maksimasi) keuntungan atau meminimalkan

(minimasi) kerugian. Asumsi, keadaan dapat dinyatakan dalam

fungsi linier terdiri dari fungsi tujuan (objective) dan fungsi

pembatas (constraint)

Definisi sifat dari fungsi tujuan dan fungsi pembatas

Fungsi tujuan(objektif), meminimumkan (minimasi) atau

memaksimalkan (maksimasi)

Fungsi pembatas (constraint), selalu lebih besar atau sama dengan

nol.

Cara penyelesaian


Aljabar Linier 76

1. Gambarkan koordinat x-y. Dalam hal ini x dan y

menunjukkan variable bebas dan variable terikat dari fungsi

linier. Fungsi tujuan maupun fungsi pembatas.

2. Tentukan fungsi tujuan

3. Identifikasi batasan dalam sistim pertaksamaan

4. Gambarkan garis pembatas dalam sistim koordinat

5. Cari titik yang paling “menguntungkan” sesuai dengan fungsi

tujuan

Contoh 1:

Untuk membuat kontainer K dan L diperlukan dua mesin M1 dan

M2. Untuk membuat kontainer K, M1 memerlukan waktu 2 menit,

M2 memerlukan 4 menit. Untuk membuat L, M1 membutuhkan 8

menit, M2 memerlukan 4 menit. Keuntungan bersih untuk kontainer

K, 29 $-US dan kontainer L, 45 $-US. Tentukan rencana produksi

(jumlah K dan L yang harus dibuat) untuk satu jam kerja agar

keuntungan menjadi maksimal.

Penyelesaian :

`

Misal:

1x = produksi kontainer K/jam

2x = produksi kontainer L/jam

keuntungan /jam : 1 2 1 2, 29 45f x x x x

M1,2’

2’

M2 ,4’

4’

M1, 8’

8’

M2 ,4’

4’

K

L


Aljabar Linier 77

batasan

1 2 12 8 60 dihasilkanx x M

1 2 24 4 60 dihasilkanx x M

1 20 dan 0x x

Mencari titik pemecahan

1 2

1 2

2 8 60

4 4 60

x x

x x

Dari pernyataan ini

diperoleh; 1 210, 5x x

Untuk titik A = (0,2

15 )

1 2 1 2

15, 29 45 29 0 45 337,35

2f x x x x

Untuk B = (10,5) 1 2 1 2, 29 45 29 10 45 5 515f x x x x

Untuk C = (15,0) 1 2 1 2, 29 45 29 15 45 0 435f x x x x

Jadi keuntungan Maksimum, bila x1 = 10 dan x2 = 5

1

2

22, dengan perkataan lain

1

x

x produksi kontainer K sebanyak 2

kali kontainer L akan menjadi maksimum.

Contoh 2:

Suatu pabrik baja memperkirakan keuntungan dari produksi sekrup

panjang Rp 30/biji dan sekrup pendek Rp 15/biji. Kapasistas penuh

seluruh mesin perhari 40.000 skrup panjang atau 60.000 sekrup

pendek. Karena ada perbedaan cara pengolahannya, setiap jam

dihasilkan 5000 sekrup panjang atau 7500 sekrup pendek. Tetapi

bahan kimia khusus untuk produksi sekrup panjang hanya tersedia

untuk mengolah 30.000 sekrup panjang. Bagian pengepakkan hanya

mampu mengepak 50.000 sekrup perhari.Berapa sekrup dari

masing-masing ukuran harus dibuat agar tercapai keuntungan

maksimum? Catatan waktu kerja yang diizinkan adalah 8 jam

perhari.


Aljabar Linier 78

Penyelesaian

Misal jumlah sekrup yang harus dibuat, x sekrup panjang dan y

sekrup pendek.

Fungsi tujuan : memaksimalkan keuntungan. Jadi dapat dinyatakan

sebagai fungsi linier 30 15z x y

Fungsi pembatas: (1) 0 40.000, 0 60.000

(2) 85000 7500

(3) 30.000

(4) 50.000

x y

x y

x

x y

Dari persamaan (1) dan (3) yang berlaku adalah ; 30.000x

Normalisasi x dan y dinyatakan dalam ribuan maka; (1) 30.000 30, 60.000 60

(2) 8 8 kalikan 15 3 2 1205000 7500 5 7,5

(3) 50.000 50

x x y y

x y x yx y

x y x y

Selanjutnya dibuat grafik berdasarkan syarat tersebut dan cari titik

potong kedua grafik titik B

50 50

3 2 120 3 2 50 120

20 30

x y y x

x y x x

x y

Titik potongnya B, adalah x

= 20 dan

y = 30

Titik solusi adalah A=(0,50), B=(20,30), C=(30,15) dan D=(30,0)

Maksimumkan 30 15z x y untuk semua titik.

0,50 30(0) 15(50) 750

20,30 30(20) 15(30) 1050

30,15 30(30) 15(15) 1125

30,0 30(30) 15(0) 900

A z

B z

C z

D z


Aljabar Linier 79

Jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 1.125.000 akan didapat

bila diproduksi x (jumlah sekrup panjang) 30 ribu dan y (jumlah

sekrup pendek)15 ribu

IV. 4 Latihan Soal-soal berikut diambil dari Kreyzig, Advance Mathematics For

Engineurs.

1. Gunakan hukum Kirchhoff untuk menentukan arus

1 2 31 , 3 , 4 ,I A I A I A

2. Aplikasi analogi sirkuit listrik. Kasus Traffic Flow. Tentukan

jumlah kendaraan setiap jam (one-way streets).

Hitung X1, X2, X3 dan X4 dan nyatakan arahnya. Misal dari A ke B

atau dari B ke A

IV. 5 Matrik Stochastic, proses Markov Pemerintah daerah sebuah kota mempunyai lahan seluas 50 km

kuadrat. Alokasi penggunaannya di atur sebagai berikut (kondisi

tahun 2015).

I. Untuk perumahan (p) = 30%

I1

I3 I2

4V

0,5Ω 1Ω

2Ω

8V

1Ω P Q

400 800

800 600

1000 600

1000 1200

A B

C D

X1 X2

X3

X4


Aljabar Linier 80

II. Untuk komersial (k) = 20%

III. Untuk industry (I) = 50%

Tentukan alokasi lahan pada tahun 2020 dan 2025 jika di andaikan

transisi probabilitas (peluang beralihan). Untuk setiap 5 tahun di

berikan oleh matrik

jkA a

ke I II III

I 0,8 0,1 0,1

Dari II 0,1 0,7 0,2

III 0,0 0,1 0,9

Penyelesaian dari matrik A dan keadaan pada tahun 2015 dapat

dihitung alokasi lahan perlima tahun kemudian

Alokasi lahan pada tahun 2020

I. Untuk perumahan= 0,830+0,120+050=26 %

II. Untuk komersial = 0,130+0,720+0,150=22 %

III. Untuk industry = 0,130+0,220+0,950=52 %

Alokasi lahan pada tahun 2025

I. Untuk perumahan= 0,826+0,122+052=23 %

II. Untuk komersial = 0,126+0,722+0,152=23,2 %

III. Untuk industry = 0,126+0,222+0,952=53,8 %

Persoalan mejadi sederhana jika dimisalkan kondisi tahun 2015 30% 0,3

20% 0,2

50% 0,5

X

Misalkan Y, dan Z matrik kolom untuk masing-masing kondisi 2020

dan 2025 0,8 0,1 0,1

0,1 0,7 0,2

0,0 0,1 0,9

A

jadi


Aljabar Linier 81

0,8 0,1 0,1 0,26

0,3 0,2 0,5 0,1 0,7 0,2 0,22

0,0 0,1 0,9 0,52

0,8 0,1 0,1 0,23

0,26 0,22 0,52 0,1 0,7 0,2 0,232

0,0 0,1 0,9 0,538

t

t

Y X A

Z Y A

Atau untuk Z dapat juga dihitung dari pernyataan;

t

t t tZ Y A X A A A XA akan memberikan hasil yang sama

Jadi lahan yang akan terpakai pada tahun 2025 adalah;

1. Perumahan = 0,2350 = 11,5 km2

2. Komersial = 0,23250 = 11,6 km2

3. Industri = 0,53850 = 26,9 km2

Total =50 km2


Aljabar Linier 82

Bab V Nilai dan Vektor Eigen ____________________________________________________

Misalkan ada matrik matrikjkA a n n dari sistim persamaan linier

dengan suatu vektor dan suatu bilangan asliAX X X

Definisi

1. Nilai dimana mempunyai solusi AX X X O disebut nilai

eigen atau nilai karakteristik, sedangkan vector X disebut

vector eigen

2. Kumpulan nilai eigen disebut spectrum matrik A Nilai absolut

terbesar nilai eigen matrik A disebut radius spectral A

3. Kumpulan vector eigen yang berkaitan dengan nilai eigen A

dan vector nol O membentuk ruang vector yang disebut ruang

eigen (eigen space)

4. Persoalan (strategi) untuk menentukan nilai eigen dan vector

eigen disebut problem nilai eigen (eigen value problem).

Problem ini muncul dalam fisika dan aplikasinya

V. 1 Menentukan nilai eigen

Misalkan ada matrik n n mempunyai paling sedikit satu dan

paling banyak n nilai eigen yang berbeda dari sistim persamaan

linier berikut AX X

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

. . .

. . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . .

n

n

n n nn n n

a a a x x

a a a x x

a a a x x

Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai;


Aljabar Linier 83

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

( ) . . . 0

( ) . . . 0

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . ( ) 0

n

n

n n nn n

a a a x

a a a x

a a a x

(1)

Dalam bentuk lain dapat ditulis sebagai; A I X O

Sistim persamaan linier dikatakan mempunyai solusi trivial bila; det 0D A I

Atau

12 111

21 222

1 2

. . .

. . .

. . . . . .det 0

. . . . . .

. . . . . .

. . .

n

n

n n nn

a aa

a aa

A I

a a a

(2)

D () disebut determinan karakteristik atau persamaan karakteristik

A. Bila D () ditulis dalam bentuk polinom maka dia disebut

polinom karakteristik

Theorema

Nilai eigen matrik bujur sangkar A adalah sama dengan akar

persamaan D()=0

V. 2 Algoritma mencari nilai dan vector eigen

1. Cari nilai eigen dari persamaan D ()=0 dari persamaan (2)

2. Tentukan 1 2, , , dari persamaan (1),nX x x x X O

Ilustrasi-1


Aljabar Linier 84

Carilah nilai dan vector eigen dari matrik

0 1

0 0A

Penyelesaian

2

1 2

det 0

10 0

0

D A I

Vektor eigen dicari dari hubungan;

1

1 2 2

2

0 1 00 0 0 0

0 0 0

xA I X x x x

x

Jadi vector eigennya adalah;

1 2 1 1 1, ,0 1,0 , 0X x x x x x

Ilustrasi-2

Carilah nilai dan vector eigen dari matrik

0 1

1 0A

Penyelesaian

2

12 1 2

det 0

11 0 dimana dan dengan 1

1

D A I

i i i i


1

2 1

2

1 0

1 0

xix ix

xi


1 2 1 1 1 1, , 1, , 0X x x x ix x i x Ilustrasi-3

Carilah nilai dan vector eigen dari matrik 1

a bA

a

Penyelesaian

2

12 1 2

det 0

0 dimana dan 1

D A I

a ba b a bi a bi a bi

a



Aljabar Linier 85

1 1

2 2

2 1 2 1 2 1

0 0

0 1 01

0

a a bi b x xbi b

x xbia a bi

bx ibx bx ibx x ix


1 2 1 1 1 1, , 1, , 0X x x x ix x i x

Ilustrasi-4

Tentukan nilai dan vector eigen dari matrik 2 2 3

2 1 6

1 2 0

A

Penyelesaian

det 0

2 2 32 61 6 2 1

2 1 6 2 2 3 012 1 2

1 2

D A I

atau

3 2

3 2

21 45 0

Dengan cara trialand error: =-3 3 3 21 3 45 0

Dua akar yang lain dapat dicari dari pernyataan

1 2 3 2 3

3 22

2 3

3

21 45atau 2 15 3 5

3

D

Jadi kita peroleh;

1 2 33 dan 5


1

2

3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 3 0

2 1 6 0 ,

1 2 0

2 2 3 0

2 1 6 0

2 0

x

x X O

x

x x x

x x x

x x x

Untuk =-3


Aljabar Linier 86

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 3 2

2 3 0

2 4 6 0

2 3 0

ketiga persamaan ini identik oleh sebab itu kita hanya bisa menyatakan 3 2

x x x

x x x

x x x

x x x

Jadi vector eigennya dapat ditulis sebagai; 1 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2

3 2

, , 3 2 , , 3 ,0, 2 , ,0 3,0,1 2,1,0

atau tidak boleh nol

X x x x x x x x x x x x x x

x x

Untuk =5

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 1 3

7 2 3 0 ( )

2 4 6 0 ( )

2 5 0 ( )

pernyataan (c) 2 tambahkan ke (b) diperoleh 2

x x x a

x x x b

x x x c

x x x x

Jadi kita peroleh

1 2 3 3 3 3 3, , , 2 , 1, 2,1X x x x x x x x

V. 3 Soal Latihan 1. Tentukan nilai dan vector eigen dari persamaan berikut;

1 1 1 cos sin

) ) )1 1 1 sin cos

aa b c

b

2. Dalam mekanika kuantum tentang spin electron dikenal “Pauli

Spin Matrices”

1 2 3

0 1 0 1 1, ,

1 0 0 0 1

iP P P

i

a. Buktikan ketiga matrik ini mempunyai nilai eigen 1 dan -1

b. Tentukan semua matrik 22 dengan entri bilangan kompleks

yang mempunyai nilai eigen 1 dan -1. jawab

, dan sembarang, 1a b

b c a bcc a


Aljabar Linier 87

3. Tentukan a,b,c,d,e,f bila

1,1,1 , 1,0, 1 dan 1, 1,0 adalah vektor eigen dari matrik

1 1 1

A= a b c

d e f

(Jawab a=b=c=d=e=f=1)


Aljabar Linier 88

Daftar Pustaka Halliday,…

Anton,….

catatan kuliah aljabar linier -...

Documents