pd linear matriks jordan

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

HOMOGEN DENGAN MENGGUNAKAN

MATRIKS JORDAN

PROPOSAL SKRIPSI

OLEH:

AGUSTINUS DONI PANDIN

NIM 001 054 0109

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS CENDERAWASIH

JAYAPURA

2013

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ........................................................................................................i

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang................................................................................1

1.2 Rumusan Masalah...........................................................................2

1.3 Batasan Masalah.............................................................................2

1.4 Tujuan Penelitian............................................................................2

1.5 Manfaat Penelitian..........................................................................2

1.6 Metode Penelitian...........................................................................3

1.7 Sistematika Penulisan.....................................................................3

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear homogen..........................4

2.2 Matriks.........................................................................................4

2.2.1 Definisi Matriks..................................................................5

2.2.2 Jenis-jenis Matriks..............................................................7

2.2.3 Operasi-operasi Matriks.....................................................7

2.2.4 Determinan.........................................................................11

2.2.5 Invers Suatu Matriks...........................................................12

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen......................................................12

2.4 Diagonalisasi Matriks..................................................................17

2.5 Matriks Jordan.............................................................................20

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................22

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan

fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel

bebas. Apabila dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung

pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Biasa. Namun,

jika tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan

Diferensial Parsial.

Persamaan diferensial biasa order n dikatakan linier bila dapat

dinyatakan dalam bentuk

a0 ( x ) yn+a1 ( x ) y(n−1 )+…+an−1 ( x ) y '+an ( x ) y=F (x)

dengan a0(x) , a1(x ), …, an( x) suatu konstanta dan jika F ( x )=0 maka

persamaan di atas disebut persamaan diferensial linier homogen. Berikut

bentuk umum dari sistem persamaan diferensial linear homogen yaitu

a11 (x ) yn+a12 ( x ) y(n−1)+…+a1 (n−1 )( x ) y '+a1 n ( x ) y=0

a21 ( x ) yn+a22 ( x ) y(n−1)+…+a2(n−1) ( x ) y '+a2 n ( x ) y=0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

am1 ( x ) yn+am2 ( x ) y(n−1)+…+am (n−1) (x ) y '+amn ( x ) y=0

dengan a ij menyatakan konstanta dengan i=1 , 2 ,…, m dan j=1 ,2 , …,

Pada umumnya penyelesaian persamaan diferensial linear homogen

dilakukan dengan diagonalisasi. Diagonalisasi adalah salah satu cara

menyatakan matriks A sehingga P−1 AP=D, dimana D adalah matriks

diagonal. Pada penyelesaian sistem persamaan diferensial linear homogen

dengan cara menyatakan diagonalisasi, terdapat syarat perlu dan syarat

cukup yang harus dipenuhi agar matriks tersebut dapat dinyatakan dalam

bentuk diagonal yaitu terdapat n buah vektor eigen yang bebas linear dari

matriks An× n. Tetapi, tidak semua matriks n × n mempunyai n buah vektor

eigen yang bebas linear.

Didalam penerapannya, ada kalanya suatu matriks dapat di

didiagonalkan. Untuk matriks yang tidak dapat didiagonalkan, selalu dapat

dibuat menjadi similar dengan matriks yang hampir diagonal yang disebut

sebagai matriks Jordan, yaitu matriks segi tiga atas atau bawah yang lebih

khusus lagi.

Oleh karena itu, penulis tertarik untuk menyelesaikan sistem

persamaan diferensial linear homogen yang tidak dapat didiagonalkan

dengan cara merubah matriks yang tidak dapat didiagonalkan tersebut ke

dalam bentuk matriks Jordan.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, permasalahan yang akan dibahas penulis

adalah bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan diferensial

homogen yang tidak dapat didiagonalkan dengan matriks Jordan.

1.3. Batasan Masalah

Untuk membatasi ruang lingkup pembahasan, maka penulis hanya

akan membahas sistem persamaan diferensial linear homogen orde 2.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menjelaskan cara menyelesaikan sistem

persamaan diferensial homogen yang tidak dapat didiagonalkan dengan

matriks Jordan.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penulisan ini adalah :

1. Menambah pemahaman penulis mengenai materi tentang penyelesaian

sistem persamaan diferensial linear homogen yang tidak dapat

didiagonalkan dengan matriks Jordan.

2. Menambah pengetahuan keilmuan bagi mahasiswa mengenai bagaimana

menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear homogen yang tidak

dapat didiagonalkan dengan matriks Jordan.

1.6. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kajian

pustaka yaitu dengan mempelajari beberapa referensi yang memuat materi

yang berkaitan dengan masalah yang akan dibahas.

1.7. Sistematika Penulisan

Penjabaran secara singkat mengenai hal-hal yang akan dibahas pada

masing-masing bab akan mempermudah pembaca dalam memahami

penulisan proposal skripsi ini. Penjabaran tersebut termuat dalam

sistematika sebagai berikut :

BAB I : Bab ini merupakan bagian pendahuluan dari skripsi yang

memuat secara singkat dan jelas mengenai latar belakang,

rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat

penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II : Bab ini memuat teori-teori yang mendasari penulisan skripsi ini,

atau lebih dikenal dengan landasan teori. Adapun teori-teori

yang termuat didalamnya adalah Persamaan diferensial linear

homogen, Matriks Dan Operasi-operasi Matriks, Nilai Eigen dan

Vektor Eigen, Diagonalisasi Matriks, dan Matriks Jordan

BAB III : Bab ini memuat pembahasan mengenai cara menyelesaikan

sistem persamaan diferensial linear homogen yang tidak dapat

didiagonalkan dengan matriks Jordan.

BAB IV : Bab ini merupakan bab penutup yang memuat kesimpulan dan

saran.

Bagian terakhir adalah daftar pustaka yang digunakan dalam penulisan.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Linear Homogen

Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan

fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel

bebas. Apabila dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya

tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Diferensial

Biasa. Namun, jika tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut

Persamaan Diferensial Parsial.

Persamaan diferensial biasa order n dikatakan linier bila dapat

dinyatakan dalam bentuk

a0 ( x ) yn+a1 ( x ) y(n−1 )+…+an−1 ( x ) y '+an ( x ) y=F (x)

dengan a0(x) , a1(x ), …, an( x) suatu konstanta dan jika F ( x )=0 maka

persamaan di atas disebut persamaan diferensial linier homogen. Berikut

bentuk umum dari sistem persamaan diferensial linear homogen yaitu

a11 (x ) yn+a12 ( x ) y(n−1)+…+a1 (n−1 )( x ) y '+a1 n ( x ) y=0

a21 ( x ) yn+a22 ( x ) y(n−1)+…+a2(n−1) ( x ) y '+a2 n ( x ) y=0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

am1 ( x ) yn+am2 ( x ) y(n−1)+…+am (n−1) (x ) y '+amn ( x ) y=0

dengan a ij menyatakan konstanta dengan i=1 , 2 ,…, m dan

j=1 ,2 , …,

2.2 Matriks dan Operasi-operasi Matriks

Untuk lebih memahami tentang matriks dan operasi matriks, berikut

ini diberikan beberapa definisi dan teorema mengenai matriks dan operasi

matriks.

2.2.1 Definisi Matriks

Definisi 2.1 (Anton, 2009)

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk bujursangkar yang diapit

oleh sepasang kurung siku. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut

entri dalam matriks tersebut. Penulisan matriks biasanya menggunakan

huruf besar A, B, C dan seterusnya. Ukuran matriks diberikan oleh jumlah

baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertikal) yang dikandungnya.

Sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m jumlah

baris dan njumlah kolom) adalah Am× n, Bm×n dan seterusnya. Misalnya,

matriks kedua pada Contoh 2.4 tiga baris dan dua kolom, sehingga

ukurannya adalah 3 ×2. Dalam suatu uraian ukuran, angka pertama selalu

menyatakan jumlah baris dan angka kedua menyatakan jumlah kolom.

Contoh 2.2

Beberapa contoh matriks adalah

A2× 1=[13] , B3 ×2=[ 1 23 0

−1 4] , C3× 3=[a b cd e fg h i ]

Entri pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A pada umumnya

dinyatakan dengan simbol a ij. Bentuk umum dari Am× n adalah :

Am× n=[ a11 a12 ⋯ a1 n

a21 a22 ⋯ a2 n

⋮am1

⋮am2

⋯⋯

⋮amn

]Biasanya huruf entri dinyatakan sesuai dengan huruf yang menyatakan suatu

matriks. Jadi, untuk sebuah matriks B pada umumnya digunakan b ij untuk

entrinya pada baris i dan kolom j.


Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang

sama dan entri-entrinya yang berpadanan juga sama. Dalam notasi matriks,

jika A=[aij ] dan B=[b ij ] mempunyai ukuran yang sama, maka A=B jika

dan hanya jika a ij=bij untuk semua i dan j.

Contoh 2.3

Perhatikan matriks-matriks

A=[2 13 x] B=[2 1

3 5] C=[2 1 03 4 0 ]

Jika x=5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x lainnya matriks A dan B

tidak sama, karena tidak semua anggota-anggotanya yang berpadanan sama.

Tidak ada nilai x yang membuat A=C karena A dan C mempunyai ukuran

yang berbeda.

2.2.2 Jenis-jenis Matriks

Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan

pada pembahasan selanjutnya, yaitu

1. Matriks Bujursangkar

Sebuah matriks A berukuran n × n disebut sebagai matriks

bujursangkar berordo n, dan entri-entri a11 , a22 ,…,ann disebut

sebagai diagonal utama dari A.

A=[ a11 a12 … a1 n

a21 a22 … a2 n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an 2 ⋯ ann

] Matriks bujursangkar n x n dikatakan berordo n dan kadang-kadang

disebut matriks bujursangkar- n.

A2× 2=[a11 a12

a21 a22] dengan elemen diagonal a11 dan a22

B3 ×3=[b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33] dengan elemen diagonal b11, b22 dan b33

2. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujursangkar yang elemen-elemen di

bawah atau di atas elemen diagonal bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks bujursangkar dengan entri-entri

yang berada di bawah diagonal utamanya sama dengan 0, yaitu jika

a ij=0 untuk seluruh i> j.

A=[a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33]

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujursangkar dengan entri-

entri yang berada di atas diagonal seluruhnya 0.

B=[b11 0 0b21 b22 0b31 b32 b33

]3. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang elemen bukan

diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa

elemen diagonal harus tak nol.

A=[1 00 3]

4. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya

bernilai 1.

I=[1 0 00 1 00 0 1]

2.2.3 Operasi-operasi Matriks

Adapun operasi-operasi matriks sebagai berikut :

1. Penjumlahan Matriks


Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah

A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-

entri Bdengan entri-entri A yang bersesuaian. Matriks-matriks yang

berukuran tidak sama, tidak dapat ditambahkan.

Dalam notasi matriks, jika A=[aij ] dan B=[b ij ] mempunyai

ukuran yang sama, maka

A+B= [aij+bij ]Jika diketahui

A3× 3=[ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] B3 ×3=[b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33]

Maka

A+B=[a11+b11 a12+b12 a13+b13

a21+b21 a22+b22 a23+b23

a31+b31 a32+b32 a33+b33]

Contoh 2.4

Tinjau matriks-matriks berikut

A=[ 2 1 31 2 4

−3 4 7 ] B=[1 2 42 −1 40 3 5 ]

Maka

A+B=[ 2 1 31 2 4

−3 4 7 ]+[1 2 42 −1 40 3 5 ]=[ 3 3 7

3 1 8−3 7 12]

2. Pengurangan Matriks


Jika A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka selisih

A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-

entri A dengan entri-entri B yang bersesuaian. Matriks-matriks yang

berukuran tidak sama, tidak dapat dikurangkan.

Dalam notasi matriks, jika A=[aij ] dan B=[b ij ] mempunyai ukuran

yang sama, maka

A−B=[aij−bij ]Jika diketahui

A3× 3=[ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] B3 ×3=[b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33]

Maka

A−B=[a11−b11 a12−b12 a13−b13

a21−b21 a22−b22 a23−b23

a31−b31 a32−b32 a33−b33]

3. Perkalian Matriks dengan Matriks


Jika A adalah sebuah matriks m ×r dan B adalah sebuah matriks

r ×n, maka hasil kali AB adalah matriks m ×n yang entri-entrinya

didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan

kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari

matriks B. Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom

bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

Aturan perkalian, misalkan Am× n dan Bn ×k maka

Am× n Bn× k=Cm×k dimana elemen-elemen dari C ij merupakan

penjumlahan dari perkalian elemen-elemen A baris i dengan elemen-

elemen B kolom j.

Misalkan A2× 3=[ a b cd e f ] , A3× 2=[ k n

l om p]

Maka A2× 3 B3×2=C2 ×2=[ak+bl+cm an+bo+cpdk+el+ fm dn+eo+ fp ]

4. Perkalian Matriks dengan Skalar

Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap

elemen pada A dikalikan dengan k. Bentuk umum

k ∙ A=k ∙ [ a11 a12 ⋯ a1n

a21 a22 ⋯ a2 n

⋮am1

⋮am2

⋯⋯

⋮amn

]¿ [ ka11 k a12 ⋯ k a1 n

k a21 k a22 ⋯ ka2n

⋮kam1

⋮kam2

⋯⋯

⋮kamn

]Contoh 2.5

Misalkan k=3 dikalikan dengan matriks A=[ a b cd e f ] maka

diperoleh 3[ a b cd e f ]=[3 a 3 b 3 c

3 d 3 e 3 f ]5. Transpose Matriks

Transpose matriks A (dinotasikan ) ATdidefinisikan sebagai matriks

yang baris-barisnya merupakan kolom dari A.

A=[ a b cd e f ] maka bentuk A

T=[a db ec f ]

Teorema 2.1 (Anton, 2009)

Jika ukuran matriks-matriks di bawah ini adalah sedemikian

sehingga operasi yang dinyatakan dapat dilakukan, maka :

a) ¿¿

b) ( A+B)T=AT+BT dan ( A−B)T=AT−BT

c) (kA )T=kAT

d) ( AB)T=BT ∙ AT

Teorema berikut menunjukkan sifat-sifat utama dari operasi

matriks.

Teorema 2.2 (Anton, 2009)

Dengan menganggap bahwa ukuran matriks-matriks di bawah ini

adalah

sama sedemikian sehingga operasi yang ditunjukkan dapat

dilakukan, maka aturan-aturan aritmetika berikut ini adalah valid.

a) A+B=B+ A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)

b) A+( B+C )=( A+B )+C (Hukum asosiatif untuk

penjumlahan)

c) A ( BC )=( AB ) C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

d) A ( B+C )=AB+ AC (Hukum distributif kiri)

e) ( B+C ) A=BA+CA (Hukum distributif kanan)

f) A ( B−C )=AB−AC

g) ( B−C ) A=BA−CA

h) a ( B+C )=aB+aC

i) a ( B−C )=aB−aC

j) (a+b ) C=aC+bC

k) (a−b )C=aC−bC

l) a (bC )= (ab ) C

m) a ( BC )=(aB ) C=B (aC)

dengan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama,

sedangkan a, b, dan c adalah suatu skalar.

2.2.4 Determinan


Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan

dinyatakan dengan det , dan didefinisikan det ( A) sebagai jumlah semua

hasil kali entri bertanda dari A.

Notasi |A| adalah notasi alternatif untuk det ( A).

Akan ditunjukkan rumus untuk menghitung determinan dengan ordo

2 ×2 dan n × n.

a. Determinan matriks 2 ×2

Misalkan matriks A=[a11 a12

a21 a22]

maka, det( A )=|a11 a12

a21 a22|=a11 a22−a12a21

b. Determinan matriks n × n

Untuk menghitung determinan matriks bujursangkar dengan n ≥ 2 dapat

digunakan metode ekspansi kofaktor atau reduksi baris. Namun, dalam

pembahasan ini hanya akan digunakan metode ekspansi kofaktor.


Jika A adalah matriks bujursangkar, maka minor entri a ij dinyatakan oleh

M ij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih tersisa

setelah baris ke-i dan kolom ke- jdihilangkan dari A. Bilangan (−1 )i+ j ( M ij)

dinyatakan oleh C ij dan disebut kofaktor entri a ij.

Dari Definisi 2.7 dapat dihitung determinan dari matriks A yaitu

dengan mengalikan entri-entri dalam baris atau kolom A dengan kofaktor-

kofaktornya yang bersesuaian dan menjumlahkan hasil-hasil yang diperoleh.

Metode ini disebut ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom dari A.

Teorema 2.3 (Anton, 2009) Determinan suatu matriks Anxn dapat dihitung

dengan mengalikan entri-entri pada sebarang baris (atau kolom) dengan

kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan: yaitu, untuk

setiap 1 ≤i ≤ n dan 1 ≤ j≤ n,

det( A )=a1 j C1 j+a2 jC2 j+…+anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j)

atau

det( A )=ai 1C i 1+ai 2 Ci 2+…+a¿C¿

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)

Contoh 2.6

Tentukan determinan dari matriks berikut menggunakan ekspansi kofaktor

sepanjang kolom pertama.

A=[3 2 41 −2 32 3 2]

Penyelesaian :

det( A )=a11 C11+a21C21+a31 C31

¿a11(−1 )1+1(M 11¿+a21 (−1 )2+1 ( M 21 )+a31(M 31)

¿3|−2 33 2|−1|2 4

3 2|+2| 2 4−2 3|

¿3 (−4−9 )−( 4−12 )+2(6+8)

¿−23

2.2.5 Matriks Invers

Definisi 2.8

Jika A , B matriks bujur sangkar dan berlaku AB=BA=I (I matriks

identitas), maka dikatakan bahwa Adapat dibalik dan B adalah matriks

invers dari A (notasi A−1).

Contoh 2.7

Diketahui : A=[ 2 −5−1 3 ], B=[3 5

1 2], → AB=BA=[1 00 1]

Maka : B=A−1dan A=B−1

Sifat yang berlaku :

- ¿

- (AB−1¿¿−1=B−1 A−1

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen


Jika A adalah suatu matriks persegi, maka vektor tak nol x pada Rn disebut

suatu vektor eigen dari A jika Ax adalah suatu kelipatan skalar dari x, yaitu

A x=λx

untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai eigen dari A dan x disebut suatu

vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ.

Untuk mencari nilai eigen dari suatu matriks persegi A maka Ax=λx

dituliskan kembali sebagai

Ax=λIx

atau ekuivalen dengan,

(λ I – A)x=0 (*)

Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada solusi tak nol dari Persamaan

(*), yaitu jika dan hanya jika

det (λI – A)=0

yang dinamakan persamaan karakteristik A. Skalar yang memenuhi

persamaan di atas adalah nilai eigen dari A. Jika λ adalah suatu parameter,

maka det (λI – A) adalah suatu polinomial Ayang dinamakan polinomial

karakteristik dari A.

Contoh 2.8 :

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

A=[3 0 50 2 01 0 5]

Penyelesaian :

i) Menghitung nilai eigen dari matriks A .

Polinomial karakteristik A adalah

det( λI−A )=0

⇒det(λ [1 0 00 1 00 0 1 ]−[3 0 5

0 2 01 0 5])=0

⇒ det([ λ 0 00 λ 00 0 λ]−[3 0 5

0 2 01 0 5 ])=0

⇒det [ λ−3 0 −50 λ−2 0

−1 0 λ−5 ]=0

⇒ ( λ−3 ) ( λ−2 ) ( λ−5 )−(−5 ) ( λ−2 ) (−1 )=0

⇒ λ3−10 λ2+26 λ−20=0

⇒ ( λ−2 ) ( λ2−8 λ+10 )=0

Maka diperoleh nilai eigen dari A adalah λ1=2 , λ2=4+√6dan

λ3=4−√6 .

ii) Menghitung vektor eigen dari matriks A .

Untuk mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1, λ2 dan λ3 dapat

diperoleh melalui proses berikut.

Untuk λ1=2, selanjutnya disubstitusikan ke dalam persamaan

[ λ−3 0 −50 λ−2 0

−1 0 λ−5 ][ x1

x2

x3]=[000 ]

diperoleh,

[−1 0 −50 0 0

−1 0 −3] [x1

x2

x3]=[000] (1.1)

dengan memecahkan sistem Persamaan (1.1)

x1+5 x3=0

2 x3=0

Dari kedua persamaan di atas diperoleh,

x3=0 dan x1=0

Misalkan x2=t , dimana t adalah variabel bebas, x1=0 dan x3=0

Jadi, vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1=2 adalah vektor

tak nol yang berbentuk

x=[0t0]=t [010] (1.2)

Untuk λ2=4+√6 selanjutnya disubstitusikan ke dalam Persamaan

[ λ−3 0 −50 λ−2 0

−1 0 λ−5 ][ x1

x2

x3]=[000 ]

diperoleh,

[1+√6 0 −50 2+√6 0

−1 0 −1+√6] [x1

x2

x3]=[000] (1.3)


x1+(1−√6) x3=0

(2+√6)x2=0


x1=¿

x2=0

Misalkan x3=t⟹ x1=¿, dimana t adalah variabel bebas dan

x2=0.

Jadi, vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ2=4+√6 adalah

vektor tak nol yang berbentuk

x=[(−1+√6)t0t ]=t [−1+√6

01 ] (1.4)

Untuk λ3=4−√6 selanjutnya disubstitusikan ke dalam Persamaan

[ λ−3 0 −50 λ−2 0

−1 0 λ−5 ][ x1

x2

x3]=[000 ]

diperoleh,

[1−√6 0 −50 2−√6 0

−1 0 −1−√6] [x1

x2

x3]=[000] (1.5)


x1+¿

(2−√6) x2=0


x1=(−1−√6)x3

x2=0

Misalkan x3=t⟹ x1=(−1−√6)t , dimana t adalah variabel bebas dan

x2=0.

Jadi, vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ3=4−√6 adalah

vektor tak nol yang berbentuk

x=[(−1−√6) t0t ]=t [−1−√6

01 ] (1.6)

Dari Persamaan (1.2), Persamaan (1.4) dan Persamaan (1.6) diperoleh

vektor eigen

v1=[010] , v2=[−1+√601 ] , dan v3=[−1−√6

01 ]

2.4 Diagonalisasi Matriks


Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi

(diagonalizable) jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik

sedemikian rupa sehingga P−1 AP adalah sebuah matriks diagonal; matriks

P dikatakan mendiagonalisasi A.

Tidak semua matriks bujursangkar dapat didiagonalisasi tergantung dari

jumlah basis ruang eigen yang dimilki. Jka matriks bujur sangkar berukuran

n dan basis ruang eigen yang bebas berjumlah n juga, maka matriks tersebut

dapat didiagonalisasi, jika jumlahnya kurang dari n maka tidak dapat

didiagonalisasi.

Berikut adalah tahapan untuk mendiagonalkan matriks yang berukuran × n :

Tahap 1 : carilah n vector eigen yang bebas linear dari matriks A yang

berukuran n × n.

Tahap 2 : bentukalah matriks P yang mempunyai p1 , p2 , …, pn sebagai

vektor – vektor kolomnya.

Tahap 3 : matriks D=P1 A P adalah matriks diagonal dengan λ1 , λ2 ,…, λn

sebagai unsure-unsur diagonal yang berurutannya dan λ i adalah nilai-nilai

eigen yang bersesuaian dengan pi untuk I=1 , 2, 3 , …,n

Contoh 2.9 :

Diketahui B=[2 1 −10 1 10 2 0 ]

Apakah B dapat didiagonalisasi ? jika dapat tentukan matriks yang

mendiagonalisasi B beserta matriks diagonalnya !

Penyelesaian :

Persamaan karakteristik : det (λI−B)=0

Det=[ λ−2 −1 10 λ−1 −10 −2 λ ]=( λ−2 ) ( λ2−λ−2 )=( λ−2 ) ( λ+1 ) ( λ−2 )=0

Jadi nilai eigen : -1, 2

Karena hanya ada dua nilai eigen, maka belum bias ditentukan apakah B

dapat didiagonalisasi ataukah tidak. Untuk itu akan dicari banyaknya baris

ruang eigen

Untuk λ=2, subtitusi nilai λ=2 ke persamaan det (λI−B)x=0

[0 −1 10 1 −10 −2 2 ] x=0

[2 −1 10 1 −10 −2 2 ] [0 1 −1

0 0 00 0 0 ]

Ruang eigen : x=[stt ]=[100]s+[011] tJadi untuk λ=2 terdapat dua basis ruang eigen : [100] dan [011]Untuk λ=1, subtitusi nilai λ=−1 ke persamaan det ( λI−B ) x=0

[3 −1 10 −2 −10 −2 −1] x=0

[3 −1 10 −2 −10 −2 −1] [3 1 −1

0 2 10 0 0 ] [3 0

32

0 2 10 0 0

] Ruang eigen : x=[−t

−t2t ]=[−1

−12 ] t

Jadi untuk λ=−1 terdapat satu basis ruang eigen : [−1−12 ]

Jadi B dapat didiagonalisasi dengan matriks yang mendiagonalisasi

P = [1 0 −10 1 −10 1 2 ] dengan matriks diagonal D = [2 0 0

0 2 00 0 −2]

Contoh 2.10

Diketahui C=[1 0 −20 1 00 1 2 ]

Penyelesaian :

Persamaan karakteristik : det (λI−C )=0

Det=[ λ−1 0 20 λ−1 00 −1 λ−2]=( λ−1 )2 ( λ−2 )=¿0

Jadi nilai eigen : 1, 2

Karena hanya ada dua nilai eigen maka belum bias ditentukan apakah C

dapat didiagonalisasi ataukah tidak. Untuk itu diperiksa banyaknya basis

ruang eigen.

Untuk λ=1, subtitus nilai λ=2 ke persamaan det (λI−C )x=0

[0 0 20 0 00 −1 −1] x=0

[0 0 20 0 00 −1 −1] [0 1 0

0 0 10 0 0]

Ruang eigen : x=[ s00]

Jadi untuk λ=1, ada satu basis ruang eigen yaitu : [100] Untuk λ=2, subtitusi nilai λ=2 ke persamaan det (λI−C )x=0

[1 0 20 1 00 −1 0] x=0

[1 0 20 1 00 −1 0] [1 0 2

0 1 00 0 0]

Ruang eigen : x=[−2 s0s ]

Jadi untuk λ=1, ada satu basis ruang eigen yaitu : [−201 ]

Karena hanya dua basis ruang eigen yang bebas linear, maka C tidak dapat

didiagonalisasi

2.5 Matriks Jordan

Didalam penerapannya, ada kalanya suatu matriks dapat di

didiagonalkan. Untuk matriks yang tidak dapat didiagonalkan, selalu dapat

dibuat menjadi similar dengan matriks yang hampir diagonal yang disebut

sebagai bentuk matriks Jordan.

Misalkan diketahui 2 ×2 dengan dua nilai eigen yang sama. Jika

matriks tersebut mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, maka

matriks tersebut similar dengan matriks diagonal. Tetapi dalam hal matriks

hanya mempunyai sebuah nilai eigen, maka matriks tersebut similar dengan

Bentuk matriks Jordan [ λ 10 λ] matriks tersebut hanya mempunyai satu nilai

eigen sebab jika mempunyai dua nilai eigen maka matriks tersebut dapat

didiagonalkan.

Ada dua kasus Bentuk Jordan matriks berordo 2 ×2, yaitu matriks yang

mempunyai dua nilai eigen (berbeda) atau hanya satu nilai eigen. Untuk satu

nilai eigen, ada dua kasus yaitu tergantung dari banyaknya vektor eigen

yang bebas linear. Matriks berikut merupakan contoh matriks satu nilai

eigen yang masing-msing mempunyai satu dan dua vektor eigen yang bebas

linear.

[ λ 1 00 λ 10 0 λ] [

λ 1 00 λ 00 0 λ ]

Sedangkan untuk dua nilai eigen, mempunyai Bentuk matriks Jordan

sebagai berikut [ λ 1 00 λ 10 0 λ]

Matriks di atas mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, atau

satu vektor eigen yang bebas linear yang berkaitan dengan nilai eigen ganda.

Jadi jika matriks 3 ×3 mempunyai tiga vektor eigen yang bebas linear,

matriks tersebut dapat didiagonalkan

Definisi 2.11

Matriks A berordo n × n mempunyai vektor eigen v1, v2 ,…, vs bebas linear,

matriks tersebut similar dengan matriks diagonal dalam Bentuk matriks

Jordan.

[J 1 0 … 00 J 2 … 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ J s

]Dimana setiap sub matriks J1 adalah blok dengan bentuk

J1=[λi 0 0 … 00 λ i 0 … 00 0 λ i … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ λ i

]Dengan λ1 adalah nilai eigen dari Adan bersuaian dengan vektor eigen v1

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard dan Chris Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi

(Edisi ke delapan). Terjemahan oleh Refina Indriasari dan Irzam Harmen.

Jakarta : Erlangga.

Anton, Howard.2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (jilid 1). Tangerang : Binarupa

Aksara

Gazali, Wikaria.2005. Matriks dan Transformasi Linear. Yogyakarta : Graha Ilmu

Rahmah, Sri. 2007. Penerapan Diagonalisasi Matriks dalam Menyelesaikan

Sistem Persamaan Diferensial Linear Homeogen Orde-n. [online]. Tersedia:

http://lib.uin-malang.ac.id, diakses tanggal 4 mei 2013, pukul 19:00

Tiwi, Aprilianti. Kajian Matriks Jordan dan Aplikasinya pada Sistem Linear

Waktu Diskrit. [online]. Tersedia : http://digilib.its.ac.id/public/ITS-

Undergraduate-17403-Presentation-1146522.pdf , diakses 3 Mei 2013, pukul

20:00 WIT

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-17403-Presentation-1146522.pdf

http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-17403-Presentation-1146522.pdf

http://lib.uin-malang.ac.id/

pd linear matriks jordan

Documents