Model Linear dan Aljabar Matriks

Pengertian Definisi Matriks adalah

Susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ]

Aljabar Matriks merupakan Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linier seperti persamaan tiga atau empat barang.

1

Bentuk Umum:

Elemen matriks : aij

Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks}

Ukuran matriks :• Jumlah baris : m Jumlah kolom : n• Ordo atau ukuran matriks : m x n• Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann

mn 3 2 m1

2n23 22 21

1n 13 12 11

..a

.. .. .. .. ..

.. a

..

aaa

aaa

aaaa

mm

2

4.1 Matriks dan Vektor

Matriks

3

Vektor sebagai Matriks Khusus

Vektor merupakan Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR KOLOM. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor kolom.

Vektor baris:

a’ = (4, 1, 3, 2)

x’ = (x1, x2, … xn)

Vektor lajur

b = 1 u = u1

2 u2

8 …

un

4.2 Operasi Aljabar Matriks

Penjumlahan dua matriksA + B = (aij + bij)

A – B = (aij – bij)

Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang samaContoh:

6129

111311

291

476

438

765C

BACMaka

291

476Bdan

438

765ADiketahui

2x3

2x32x32x3

2x32x3

4

5

6

Syarat:Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua

Perkalian Vektor

Ketidakbebasan Linear

Suatu himpunan vektor v1, . . . , v2 dikatakan tidak bebas secara linear jika salah satu diantaranya dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear dari vektor sisanya.

Ruang Vektor

Keseluruhan vector-vektor yang dihasilkan oleh berbagai kombinasi linear dari 2 vektor bebas u dan v merupakan ruang vector yang berdimansi dua.

Konsep jarak antara dua titik vector

• Jika u dan v berhimpitan, jaraknya nol (untuk u = v)

• Jika kedua titik berbeda, jarak u ke vdan vke u dinyatakan oleh bilangan nyata positif yang sama.

• Jarak antara u dan v tidak pernah lebih dari jarak u ke w ditambah w ke v.

• Jika sebuah ruang vector memenuhi tiga sifat diatas, maka disebut ruang matriks7

4.3 Operasi Vektor

8

4.4 Hukum Komutatatif, Asosiatif, dan Distributif

9

4.5 Matriks Identitas dan Matriks Nol

Matriks Nol: Matriks di mana semua unsur nilainya nol

Matriks Identitas: Matriks di mana elemen-elemen pada diagonal utamanya

masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemen yang lain adalah nol.

Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol Jika A = matriks berukuran n x n :

I . A = A . I = AA + 0 = 0 + A = AA . 0 = 0 . A = 0

Contoh :

a11 a12 0 0 a11 a12

A + 0 = a21 a22 + 0 0 = a21 a22

4.6 Transpos dan Invers

Transpose AT dari matrik m x n A = [ aik ] adalah matrik n x m

yang diperoleh dari pertukaran baris dan kolom [AT] ik = [aik]

10

Contoh :

A = -4 6 3 0 1 2 , maka AT =

-4 0 6 1 3 2

( A’ )’ = A

( A + B )’ = A’ + B’

( A – B )’ = A’ - B’

( AB )’ = B’ A’

Sifat – sifat Transpos :

11

Invers

Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.

Sifat – Sifat matriks Invers

4.7 Rantai Markov Terbatas

Proses markov digunakan untuk mengukur atau

mengestimasi pergerakan yang terjadi setiap saat. Proses ini

melibatkan penggunaan matriks transisi markov, dimana setiap

nilai dalam matriks transisi adalah probabilitas pergerakan dari

satu keadaan ( lokasi, pekerjaan, dan sebagainya ) ke keadaan

lainnya. Dengan mengulang perkalian vector dengan matriks

transisi, kita dapat mengestimasi perubahan keadaan setiap saat.

12

5.1 Syarat-syarat untuk Nonsigularitas MatriksSyarat Cukup vs Syarat Perlu

• p benar hanya jika pernyataan q benar : p → q (dibaca : “p hanya jika q”)

• p dapat dikatakan benar meskipun q tidak benar : p ← q (dibaca : “p jika q” atau

dapat juga dibaca “Jika q, maka p”)

• q adalah kedua-duanyauntuk terjadinya p: p ↔ q (dibaca: “p jika dan hanya jika q”)

Syarat untuk Nonsingularitas

Jika syarat tersebut, yakni bentuk kuadrat dan bebas secara linear diambil bersama sama, hal itu merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk terjadinya non singular (nonsingular ↔ bentuk kuadrat dan bebas secara linier)

Rank (Peringkat) Matriks

Berikut tiga jenis operasi baris dasar pada sebuah matriks ;

• Pertukaran dari dua baris di dalam matriks

• Perkalian (atau pembagian) dari sebuah baris dengan skalar apa pun k 0

• Penambahan dari ‘k dikali dengan baris manapun” kepada baris yang lain13

5.2 Pengujian Nonsigularitas dengan menggunakan determinanLambang determinan matrik A adalah det(A) atau A

Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

+ a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

Menghitung determinan Orde-n dengan Ekspansi LaplaceNilai determinan |A| dari orde-n dapat dicari dengan ekspansi Laplace

untuk baris atau kolom manapun sebagai berikut : |A| = ij|Cij| [ekspansi dengan baris ke-i]

= ij|Cij| [ekspansi dengan kolom ke-j] 14

Matriks Berordo 3 x 3

1. det(AB)=det(A)det(B)

2. det(A’)=det(A)

3. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)

4. det(A-1)=1/det(A)

5. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0

6. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling

berkelipatan, maka det(A)=0

7. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:

a) Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan

konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)

b) Jika A’ diperoleh dari A dengan menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)

c) Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris

dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A) 15

5.3 Sifat – Sifat Dasar Determinan

Kriteria Determinan untuk Nonsingularitas

Jika diketahui sistem persamaan linear Ax d, dimana A adalah matriks koofisien n x n,

|A| ≠ 0 ↔ ada kebebasan baris (kolom) dalam matriks A

↔ A nonsingular

↔ ada A-1

↔ ada satu jawaban tunggal x* = A-1 d

Rank Dari suatu Matriks Didefinisikan Kembali

Rank dari matriks manapun adalah bilangan tunggal. Rank paling tinggi

adalah m atau n, yang mana yang terkecil, karena suatu determinan hanya ditentukan

untuk matriks kudarat, dan dari matriks berdimensi. Dalam simbol hal ini dapat ditulis

sebagai berikut :

r(A) min {m, n} (dibaca : “Rank A lebih kecil atau sama dengan minimum dari

himpunan dua bilangan m dan n”)16

17

5.4 Mencari Matriks Invers

1. Ekspansi/Perluasan determinan dengan Kofaktor yang Berbeda

ij|Ci’j|= 0 (i ) [ekspansi dengan baris ke-I dan kofaktor dengan baris ke-i’]

ij|Cij’|= 0 (j j’) [ekspansi dengan kolom ke-j dan kofaktor dengan kolom ke-j’]

2. Pembalikan Matriks

Cara untuk membalik matriks A/mencari A-1:

• Cari |A|, syarat : |A| 0

• Hitung kofaktor semua elemen A dan susun sebegai matriks C = [|Cij|]

• Gunakan tranpos C untuk menemukan adjoint A

• Bagi adjoint A dengan determinan |A|

Kesimpulan : A-1 = adj A

Derivasi aturan Cramer

Menurut Rumus Invers : x* = A-1d = (adj A)d

Menurut Aturan Cramer : x*j =

5.6 Penerapan Pada Model Pasar dan Pendapatan Nasional

Model Pasar

P1* = = c2ɤ0 – c0 ɤ2 P2* = = c0ɤ1 – c1

ɤ0

c1ɤ2 – c2ɤ1 c1ɤ2 – c2ɤ1

Model Pendapatan Nasional

Y* = 1 I0 + G0 + a

C* 1 – b b(I0 + G0) + a18

5.5 Aturan Cramer

Matriks Leontief adalah sebagai berikut : I – A =

1. Susunan Model Input-Output output

Input I II III … N

2.Model terbuka

Agar permintaan akhir dan input ada, kita harus memasukkan dalam model

suatu sector terbuka diluar jaringan n industry. Secara simbolis fakta ini dapat dinyatakan

dengan : ij < 1 (j = 1, 2 , …, n)

3. Pengertian Ekonomi dari Kondisi Hawkins-Simon

Kondisi Hawkins-Simon, |B2| > 0, mensyaratkan bahwa : (1 – a11) > 0 atau a11 < 1

Bagian lain dari kondisi |B2|> 0 mensyaratkan bahwa : (1 – a11)(1 – a22) – a12a21 > 0 atau

secara ekuivalen a11 + a12a21 + (1 – a11)a22 < 1

19

5.7 Model Input-Output Leontief

4. Model tertutup

Dalam model tertutup, tidak ada lagi input primer, jadi jumlah setiap

kolom dalam matriks koofisien input A sekarang harus benar-enar sama dengan 1;

yaitu a0j + aij + a2j + a3j = 1, atau : A0j = 1 – a1j – a2j – a3j

Tipe analisis statis gagal memperhitungkan dua permasalahan penting.

Pertama karena proses penyesuaian memerlukan waktu lama untuk penyelesaiannya

maka keadaan ekuilibrium seperti yang telah ditentukan dalam kerangka analisis statis

tertentu dapat hilang relevansinya, bahkan sebelum keadaan ekuilbrium tercapai, bila

kekuatan eksogen dalam model waktu itu mengalami perubahan. Kedua, meskipun

proses penyesuaian memperkenankan menempuh jalannya sendiri, keadaan

ekuilibrium yang digambarkan dalam analisis statis mungkin seluruhnya tak dapat

dicapai. Sehingga menyebabkan kasus yang disebut ekuilibirum tak stabil. Masing-

masing secara jelas mengisi perbedsaam yang nyata dalam analisis statis sehingga

penting sekali untuk menyelidiki ke dalam daerah analisis tersebut.20

5.8 Keterbatasan Analisis Statis