kajian matriks jordan dan aplikasinya · ☼bagaimana mengaplikasikan matriks jordan pada sistem...

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN

APLIKASINYA PADA SISTEM

LINEAR WAKTU DISKRIT

Oleh:

APRILLIANTIWI

NRP. 1207100064

Dosen Pembimbing:

1. Soleha, S.Si, M.Si

2. Dian Winda S., S.Si, M.Si

LATAR BELAKANG

Matriks dan similar jika ada matriks

nonsingular P sehingga P -1AP=B

Multiplisitas

geometri matriks

= n

A dapat

didiagonalkandengan

kata lain ada matriks D

yang similar dengan A

sehingga A=PDP -1

Multiplisitas geometri

matriks ≠ n

Tidak dapat

didiagonalkantetapi

? dapat diperoleh

matriks Jordan yang

similar dengan A,

A=PJP -1

Rumusan masalah dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Bagaimana bentuk matriks Jordan dan sifat matriks

Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai

real?

☼ Bagaimana mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi

dan sifat-sifat apa saja yang berlaku pada vektor-

eigen tergeneralisasi?

☼ Bagaimana mengaplikasikan matriks Jordan pada

sistem linear waktu diskrit?

RUMUSAN MASALAH

Batasan masalah dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Matriks yang digunakan adalah matriks

bernilai real dengan nilai-eigen real.

☼ Sistem linear yang digunakan adalah sistem

linear waktu diskrit.

BATASAN MASALAH

Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Mendapatkan bentuk matriks Jordan dan sifat matriks

Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai

real.

☼ Mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi dan

mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada vektor-

eigen tergeneralisasi.

☼ Mengaplikasikan matriks Jordan pada sistem linear

waktu diskrit.

TUJUAN

Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah:

☼ Memudahkan dalam memperoleh sifat-sifat matriks

setelah diperoleh matriks Jordannya.

☼ Menambah pengetahuan terkait dengan nilai-eigen

dan vektor-eigen (tergeneralisasi).

MANFAAT

NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN,

DAN SIMILARITAS

Definisi 2.1 [2] Jika , maka vektor tak-nol x

pada disebut suatu vektor-eigen dari A jika

Ax = λx (2.1)

untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai-eigen dari A,

dan x disebut suatu vektor-eigen dari A yang bersesuaian

dengan λ .

Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu

matriks , adalah sebagai berikut.

Ax = λx (2.2)

(A- λ I)x = 0

Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika

det(A- λ I) = 0 (2.3)

Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa diperoleh

dengan cara memasukkan nilai λ

ke persamaan (A- λ I)x = 0

NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS

Teorema 2.1 [2] Multiplisitas geometri masing-masing

nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama dengan

multiplisitas aljabarnya.

Jika λi adalah nilai-eigen dari suatu matriks A

maka multiplisitas aljabar λi adalah banyaknya

λi sebagai akar dari persamaan polinomial A.

Sedangkan multiplisitas geometri λi adalah

dimensi ruang-eigen yang bersesuaian dengan

λi [2].

Berikut diberikan teorema yang

menghubungkan besarnya nilai dari

multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri.

Pandang persamaan (2.3). det(A-λI) disebut polinomial

karakteristik dari . Berikut ini diberikan sifat

yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu

matriks A.

Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan pA(t)

adalah polinomial karakteristik dari . Maka

pA(A) = 0


Lema 2.1 [2] Jika adalah matriks segitiga

(segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai-

eigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A.

Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan

dalam pembahasan yaitu:

1. Matriks Diagonal

Suatu matriks D = [dij] dikatakan diagonal jika

dij = 0, j ≠ i.

2. Matriks Segitiga

Suatu matriks T = [tij] dikatakan matriks segitiga

atas jika tij = 0, j < i. Jika tij = 0, j ≤ i, maka T

dikatakan matriks strictly segitiga atas. T dikatakan

matriks segitiga bawah jika tij = 0, j > i.

Kita dapat langsung mengetahui nilai-eigen dari dua

matriks yang disebutkan di atas, seperti yang tertera pada

lema berikut.

3. Matriks Blok Diagonal

Suatu matriks dalam bentuk


Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana

akan diberikan pada lema di bawah ini.

dengan dan ,

dikatakan matriks blok diagonal. Matriks di atas dapat

ditulis sebagai . Persamaan

ini disebut jumlahan langsung dari matriks

Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks.

Definisi 2.2 [4] Sebuah matriks dikatakan similar

dengan matriks jika terdapat sebuah matriks

nonsingular sedemikian hingga

B=S-1AS

Relasi “B similar A” dinotasikan dengan B ~ A.

Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah sebuah relasi

ekivalen pada ; dengan kata lain, relasi similaritas

memenuhi sifat-sifat berikut ini

Refleksif : A ~ A

Simetris : B ~ A maka A ~ B

Transitif : C ~ B dan B ~ A maka C ~ A


Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat

didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar dan

multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada

teorema berikut ini.

Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks

yang similar dengan matriks diagonal seperti yang

didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3 [2] Suatu matriks dikatakan dapat

didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai

invers sedemikian sehingga P-1AP adalah suatu matriks

diagonal.

Teorema 2.3 [5] Misal

i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah

multiplisitas geometri nilai-eigennya n.

ii. Jika multiplisitas geometri dari masing-masing nilai-

eigen A sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka A

dapat didiagonalkan.

iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masing-masing

multiplisitas aljabarnya adalah 1), maka A dapat

didiagonalkan.


Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas

matriks blok diagonal

Teorema 2.4 [4] Misalkan , mempunyai nilai-

eigen dengan multiplisitas , dan

berbeda. Maka A similar terhadap matriks

dengan bentuk

dengan adalah matriks segitiga atas dengan

semua elemen diagonalnya sama dengan

Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari matriks

blok Jordan. Sebuah matriks Jordan yang similar dengan

matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jordan.

Setelah tahu bentuk kanonik Jordan, semua informasi

aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat

diketahui dengan mudah.

BENTUK KANONIK JORDAN

Definisi 2.4 [4] Sebuah blok Jordan Jk(λ) adalah matriks

segitiga atas k×k dengan bentuk

ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal; λ muncul k kali

pada diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan

J1(λ)=[λ]. Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari

blok Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut

dengan mungkin sama dan nilai tidak perlu berbeda.

SIFAT-SIFAT MATRIKS JORDAN

TERHADAP SIMILARITAS

SIFAT-SIFAT MATRIKS JORDAN TERHADAP SIMILARITAS

Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi

Suatu matriks A, dengan jumlah multiplisitas geometri dari

nilai-eigen-nilai-eigen tidak sama dengan n, maka A tidak

similar dengan matriks diagonal karena jumlah vektor-

eigennya tidak sama dengan n. Tetapi matriks tersebut

similar dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan n

vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen

tergeneralisasi. Berikut ini diberikan definisi dari vektor-

eigen tergeneralisasi.

Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen

tergeneralisasi dengan tingkat k dari A yang berpadanan

dengan λ jika dan hanya jika

Dan

Perhatikan jika k = 1, definisi ini menjadi

dan , di mana ini merupakan definisi vektor-

eigen.


Teorema 4.3 [3] Jika merupakan

vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang k maka

adalah bebas linear.


Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari A

dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen

yang berbeda adalah bebas linear.


Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks

memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain

yang semuanya berbeda dari

serta . Maka ada matriks

Jordan

Dan

dengan adalah vektor-eigen

tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan

adalah vektor-eigen yang

bersesuaian dengan nilai-eigen

sedemikian hingga


Lema 4.2 [3] Diberikan ruang null dari , maka

,


,


,

Teorema 4.6 Jika matriks sebarang berukuran maka

terdapat J dan S dimana kolom-kolom S merupakan

vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan

sedemikian hingga

A=SJS-1

Keteramatan,

Lema 4.3.2. [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk

keadaan keteramatan pada persamaan (4.18) adalah

Keteramatan

,

Keterkontrolan,

Lema 4.4.2. [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk

keadaan keterkontrolan adalah

Keterkontrolan

,

KESIMPULAN

Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, dapat diambil

kesimpulan yaitu :

☼ Matriks strictly segitiga atas similar dengan

matriks Jordan J(0).

☼ Sebarang matriks real similar dengan matriks

Jordan J(λ).

☼ Jika x1,x2,…,xk merupakan vektor-eigen tergeneralisasi

dengan panjang k maka x1,x2,…,xk adalah bebas

linear.

☼ Vektor-eigen tergeneralisasi dari A dengan vektor-

eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda

adalah bebas linear.

☼ Untuk sebarang terdapat S yaitu matriks

yang kolom-kolomnya adalah vektor-eigen

(tergeneralisasi) dan matriks Jordan sehingga

☼ Matriks S-1

F S adalah matriks Jordan, sistem

dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika

a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian

dengan nilai-eigen yang sama,

b. Kolom CS yang bersesuaian dengan baris pertama

dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang

elemennya nol semua,

c. Elemen dari masing-masing kolom CS yang

bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak

semuanya nol.

☼ Matriks S-1FS adalah matriks Jordan, syarat untuk

keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan

sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan

terkontrol jika dan hanya jika

a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian

dengan nilai-eigen yang sama,

b. Baris S-1

G yang bersesuaian dengan baris terakhir dari

masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol,

c. Elemen dari masing-masing baris S-1

G yang

bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak

semuanya nol.

KESIMPULAN

SARANSaran yang dapat dikembangkan untuk penelitian

selanjutnya adalah :

1. Matriks yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah

matriks bernilai real dengan nilai-eigen real oleh karena

itu untuk selanjutnya dapat menggunakann matriks

komplek.

2. Untuk selanjutnya dapat digunakan sistem linear yang

waktu kontinu.

DAFTAR PUSTAKA

1. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar AljabarLinear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.

2. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar AljabarLinear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.

3. Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory and Design. CBS College Publishing.

4. Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990. Matrix Analysis. Cambridge University Press.

5. Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company.

6. Ogata, Katsuhiko. 1995. Discrete-Time Control Systems Second Edition. Prentice-Hall International, Inc.

kajian matriks jordan dan aplikasinya · ☼bagaimana mengaplikasikan matriks jordan pada sistem...

Documents