KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN
APLIKASINYA PADA SISTEM
LINEAR WAKTU DISKRIT
Oleh:
APRILLIANTIWI
NRP. 1207100064
Dosen Pembimbing:
1. Soleha, S.Si, M.Si
2. Dian Winda S., S.Si, M.Si
LATAR BELAKANG
Matriks dan similar jika ada matriks
nonsingular P sehingga P -1AP=B
Multiplisitas
geometri matriks
= n
A dapat
didiagonalkandengan
kata lain ada matriks D
yang similar dengan A
sehingga A=PDP -1
Multiplisitas geometri
matriks ≠ n
Tidak dapat
didiagonalkantetapi
? dapat diperoleh
matriks Jordan yang
similar dengan A,
A=PJP -1
Rumusan masalah dari Tugas Akhir ini adalah:
☼ Bagaimana bentuk matriks Jordan dan sifat matriks
Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai
real?
☼ Bagaimana mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi
dan sifat-sifat apa saja yang berlaku pada vektor-
eigen tergeneralisasi?
☼ Bagaimana mengaplikasikan matriks Jordan pada
sistem linear waktu diskrit?
RUMUSAN MASALAH
Batasan masalah dari Tugas Akhir ini adalah:
☼ Matriks yang digunakan adalah matriks
bernilai real dengan nilai-eigen real.
☼ Sistem linear yang digunakan adalah sistem
linear waktu diskrit.
BATASAN MASALAH
Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah:
☼ Mendapatkan bentuk matriks Jordan dan sifat matriks
Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai
real.
☼ Mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi dan
mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada vektor-
eigen tergeneralisasi.
☼ Mengaplikasikan matriks Jordan pada sistem linear
waktu diskrit.
TUJUAN
Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah:
☼ Memudahkan dalam memperoleh sifat-sifat matriks
setelah diperoleh matriks Jordannya.
☼ Menambah pengetahuan terkait dengan nilai-eigen
dan vektor-eigen (tergeneralisasi).
MANFAAT
NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN,
DAN SIMILARITAS
Definisi 2.1 [2] Jika , maka vektor tak-nol x
pada disebut suatu vektor-eigen dari A jika
Ax = λx (2.1)
untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai-eigen dari A,
dan x disebut suatu vektor-eigen dari A yang bersesuaian
dengan λ .
Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu
matriks , adalah sebagai berikut.
Ax = λx (2.2)
(A- λ I)x = 0
Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika
det(A- λ I) = 0 (2.3)
Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa diperoleh
dengan cara memasukkan nilai λ
ke persamaan (A- λ I)x = 0
NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS
Teorema 2.1 [2] Multiplisitas geometri masing-masing
nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama dengan
multiplisitas aljabarnya.
Jika λi adalah nilai-eigen dari suatu matriks A
maka multiplisitas aljabar λi adalah banyaknya
λi sebagai akar dari persamaan polinomial A.
Sedangkan multiplisitas geometri λi adalah
dimensi ruang-eigen yang bersesuaian dengan
λi [2].
Berikut diberikan teorema yang
menghubungkan besarnya nilai dari
multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri.
Pandang persamaan (2.3). det(A-λI) disebut polinomial
karakteristik dari . Berikut ini diberikan sifat
yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu
matriks A.
Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan pA(t)
adalah polinomial karakteristik dari . Maka
pA(A) = 0
NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS
Lema 2.1 [2] Jika adalah matriks segitiga
(segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai-
eigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A.
Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan
dalam pembahasan yaitu:
1. Matriks Diagonal
Suatu matriks D = [dij] dikatakan diagonal jika
dij = 0, j ≠ i.
2. Matriks Segitiga
Suatu matriks T = [tij] dikatakan matriks segitiga
atas jika tij = 0, j < i. Jika tij = 0, j ≤ i, maka T
dikatakan matriks strictly segitiga atas. T dikatakan
matriks segitiga bawah jika tij = 0, j > i.
Kita dapat langsung mengetahui nilai-eigen dari dua
matriks yang disebutkan di atas, seperti yang tertera pada
lema berikut.
3. Matriks Blok Diagonal
Suatu matriks dalam bentuk
NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS
Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana
akan diberikan pada lema di bawah ini.
dengan dan ,
dikatakan matriks blok diagonal. Matriks di atas dapat
ditulis sebagai . Persamaan
ini disebut jumlahan langsung dari matriks
Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks.
Definisi 2.2 [4] Sebuah matriks dikatakan similar
dengan matriks jika terdapat sebuah matriks
nonsingular sedemikian hingga
B=S-1AS
Relasi “B similar A” dinotasikan dengan B ~ A.
Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah sebuah relasi
ekivalen pada ; dengan kata lain, relasi similaritas
memenuhi sifat-sifat berikut ini
Refleksif : A ~ A
Simetris : B ~ A maka A ~ B
Transitif : C ~ B dan B ~ A maka C ~ A
NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS
Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat
didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar dan
multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada
teorema berikut ini.
Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks
yang similar dengan matriks diagonal seperti yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.3 [2] Suatu matriks dikatakan dapat
didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai
invers sedemikian sehingga P-1AP adalah suatu matriks
diagonal.
Teorema 2.3 [5] Misal
i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah
multiplisitas geometri nilai-eigennya n.
ii. Jika multiplisitas geometri dari masing-masing nilai-
eigen A sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka A
dapat didiagonalkan.
iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masing-masing
multiplisitas aljabarnya adalah 1), maka A dapat
didiagonalkan.
NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS
Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas
matriks blok diagonal
Teorema 2.4 [4] Misalkan , mempunyai nilai-
eigen dengan multiplisitas , dan
berbeda. Maka A similar terhadap matriks
dengan bentuk
dengan adalah matriks segitiga atas dengan
semua elemen diagonalnya sama dengan
Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari matriks
blok Jordan. Sebuah matriks Jordan yang similar dengan
matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jordan.
Setelah tahu bentuk kanonik Jordan, semua informasi
aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat
diketahui dengan mudah.
BENTUK KANONIK JORDAN
Definisi 2.4 [4] Sebuah blok Jordan Jk(λ) adalah matriks
segitiga atas k×k dengan bentuk
ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal; λ muncul k kali
pada diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan
J1(λ)=[λ]. Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari
blok Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
dengan mungkin sama dan nilai tidak perlu berbeda.
Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi
Suatu matriks A, dengan jumlah multiplisitas geometri dari
nilai-eigen-nilai-eigen tidak sama dengan n, maka A tidak
similar dengan matriks diagonal karena jumlah vektor-
eigennya tidak sama dengan n. Tetapi matriks tersebut
similar dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan n
vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen
tergeneralisasi. Berikut ini diberikan definisi dari vektor-
eigen tergeneralisasi.
Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen
tergeneralisasi dengan tingkat k dari A yang berpadanan
dengan λ jika dan hanya jika
Dan
Perhatikan jika k = 1, definisi ini menjadi
dan , di mana ini merupakan definisi vektor-
eigen.
Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi
Teorema 4.3 [3] Jika merupakan
vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang k maka
adalah bebas linear.
Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi
Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari A
dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen
yang berbeda adalah bebas linear.
Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi
Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks
memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain
yang semuanya berbeda dari
serta . Maka ada matriks
Jordan
Dan
dengan adalah vektor-eigen
tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan
adalah vektor-eigen yang
bersesuaian dengan nilai-eigen
sedemikian hingga
Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi
Lema 4.2 [3] Diberikan ruang null dari , maka
,
Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi
,
Teorema 4.6 Jika matriks sebarang berukuran maka
terdapat J dan S dimana kolom-kolom S merupakan
vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan
sedemikian hingga
A=SJS-1
Keteramatan,
Lema 4.3.2. [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk
keadaan keteramatan pada persamaan (4.18) adalah
KESIMPULAN
Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, dapat diambil
kesimpulan yaitu :
☼ Matriks strictly segitiga atas similar dengan
matriks Jordan J(0).
☼ Sebarang matriks real similar dengan matriks
Jordan J(λ).
☼ Jika x1,x2,…,xk merupakan vektor-eigen tergeneralisasi
dengan panjang k maka x1,x2,…,xk adalah bebas
linear.
☼ Vektor-eigen tergeneralisasi dari A dengan vektor-
eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda
adalah bebas linear.
☼ Untuk sebarang terdapat S yaitu matriks
yang kolom-kolomnya adalah vektor-eigen
(tergeneralisasi) dan matriks Jordan sehingga
☼ Matriks S-1
F S adalah matriks Jordan, sistem
dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian
dengan nilai-eigen yang sama,
b. Kolom CS yang bersesuaian dengan baris pertama
dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang
elemennya nol semua,
c. Elemen dari masing-masing kolom CS yang
bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak
semuanya nol.
☼ Matriks S-1FS adalah matriks Jordan, syarat untuk
keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan
sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan
terkontrol jika dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian
dengan nilai-eigen yang sama,
b. Baris S-1
G yang bersesuaian dengan baris terakhir dari
masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol,
c. Elemen dari masing-masing baris S-1
G yang
bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak
semuanya nol.
KESIMPULAN
SARANSaran yang dapat dikembangkan untuk penelitian
selanjutnya adalah :
1. Matriks yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah
matriks bernilai real dengan nilai-eigen real oleh karena
itu untuk selanjutnya dapat menggunakann matriks
komplek.
2. Untuk selanjutnya dapat digunakan sistem linear yang
waktu kontinu.
DAFTAR PUSTAKA
1. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar AljabarLinear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.
2. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar AljabarLinear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.
3. Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory and Design. CBS College Publishing.
4. Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990. Matrix Analysis. Cambridge University Press.
5. Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company.
6. Ogata, Katsuhiko. 1995. Discrete-Time Control Systems Second Edition. Prentice-Hall International, Inc.