PENYELESAIAN PERSOALAN ANALISIS STRUKTUR STATIS TAK TENTU DENGAN METODE PERSAMAAN TIGA MOMEN

DAN METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN SERTA PEMOGRAMANNYA DALAM MATLAB

ABSTRAK

Seorang teknik sipil dituntut memiliki kemampuan dalam menganalisis suatu struktur, salah satunya struktur statis tak tentu yang banyak terdapat saat ini, khususnya struktur jembatan yang merupakan perpaduan dari struktur balok dan portal. Analisis struktur dilakukan untuk mengetahui perilaku struktur tersebut. Perilaku utama yang harus diketahui adalah gaya – gaya momen sebagai akibat dari beban yang diberikan (beban luar). Dengan menggunakan metode Persamaan Tiga Momen, akan didapatkan Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan gaya momen sebagai variabelnya yang kemudian akan diubah kedalam bentuk matriks dan matriks tersebut akan dicarikan solusinya dengan metode Eliminasi Gauss Jordan sehingga akan diketahui besarnya gaya – gaya momen yang bekerja pada struktur tersebut. Seorang engineer, harus bisa melakukan perhitungan tersebut secara manual, namun agar didapatkan hasil yang lebih akurat dan penggunaan waktu yang optimal, perhitungan akan diselesaikan dengan bantuan program MatLab.

Kata Kunci :Analisis Struktur, Persamaan Tiga Momen, Sistem Persamaan Linier, Metode Eliminasi Gauss Jordan, Matlab.

PENDAHULUAN

Dunia teknik sipil tidak akan terlepas dari analisis struktur, baik itu struktur statis

tertentu atau statis tak tentu. Agar didapatkan bangunan atau struktur yang kuat

diperlukan analisis struktur yang tepat saat melakukan perancangan desain struktur.

Analisis struktur dilakukan untuk mengetahui perilaku struktur seperti untuk

mengetahui gaya - gaya dalam struktur yaitu gaya momen, gaya lintang, gaya normal

serta lendutan sebagai akibat dari beban struktur itu sendiri atau akibat dari beban yang

diberikan (beban luar) serta dapat juga sebagai akibat dari keduanya.

Untuk didapatkan hasil analisa yang tepat (mendekati hasil sebenarnya), seorang civil

engineer harus memiliki dasar ilmu teknik sipil yang kuat serta dituntut untuk memiliki

kemampuan matematika yang tinggi sebab dunia teknik sipil tidak terlepas dari

perhitungan. Untuk menganalisis suatu struktur telah disajikan banyak metode –

metode perhitungan, seorang engineer harus dapat memilih metode perhitungan yang

mana yang sesuai dengan kondisi struktur, yang hasilnya mendekati hasil sebenarnya

serta tidak terlalu rumit dalam perhitungannya. Salah satu metode perhitungan analisis

struktur yang paling mudah dipahami dan mudah untuk dilakukan perhitungan serta

akan memberikan hasil yang mendekati hasil sebenarnya adalah Metode Persamaan 3

Momen. Metode ini menganalisis suatu struktur dari rotasinya di tiap titik kumpul

(joint) dimana rotasi di tiap titik terhadap batang yang menjadi percabangannya harus

sama, baik besar maupun nilainya. Untuk mengetahui rotasi di suatu titik maka kita

harus mengetahui besar momen di tiap ujung batang.

METODE PERSAMAAN TIGA MOMEN

Analisis struktur statis tak tentu merupakan suatu kesatuan perhitungan dari keseluruhan

gaya dalam batang dan reaksi perletakan yang ditentukan berdasarkan penerapan dari

persamaan kompabilitas dan persamaan keseimbangan.

Persamaan tiga momen mengekspresikan hubungan antara momen – momen lentur di

tiga tumpuan yang berturutan pada suatu balok kontinu yang ditujukan untuk memikul

beban – beban yang bekerja pada kedua bentangan yang bersebelahan, dengan atau

tanpa penurunan – penurunan tumpuan yang tak sama. Hubungan ini dapat diturunkan

berdasarkan kontinuitas kurva elastis di atas tumpuan – antaranya : yakni, kemiringan

kurva elastis di ujung kanan bentangan sebelah kiri (ѲBA) harus sama dengan

kemiringan kurva elastis di sebelah ujung kiri bentangan sebelah kanan(ѲBC).

Konsekuensi dari adanya hubungan tersebut, maka pada tumpuan B akan timbul gaya

momen terhadap bentangan yang mengapitnya (MBA dan MBC), namun pada tumpuan B

itu sendiri jumlah dari gaya – gaya momen yang bekerja harus sama dengan nol jika

pada tumpuan tersebut tidak diberi gaya atau beban luar berupa gaya momen. Jika pada

tumpuan atau titik tersebut diberi gaya luar berupa momen maka jumlah gaya – gaya

momen yang bekerja terhadap bentangan yang mengapitnya harus sama dengan gaya

luar (momen) yang diberikan.

ѲBA ѲBCCBA

Secara matematis kedua hubungan tersebut dapat kita tulis :

ѲBA = ѲBC

∑ MB = 0 → MBA + MBC = 0

Perjanjian Tanda

Searah Jarum Jam (sjj) = (+)

Berlawanan Jarum Jam (bjj) = (–)

Dari perjanjian tanda tersebut, dapat kita tarik bahwa untuk mendapatkan nilai MB=0,

maka salah satu nilai MBA atau MBC harus negative yang artinya keduanya saling

berlawanan arah. Untuk balok kontinu diatas, nilai MBC negative (-) artinya berlawanan

arah jarum jam sedangkan MBA positif (+) artinya searah jarum jam.

Kedua hubungan yang telah disebutkan diatas merupakan persyaratan yang harus

dipenuhi dalam setiap melakukan analisis struktur. Kedua syarat itu disebut juga dengan

:

1. Persamaan kompabilitas

ѲBA = ѲBC

2. Persamaan keseimbangan

∑ MB = 0

Bila struktur tersebut bukanlah balok kontinu seperti gambar diatas maka kedua syarat

tersebut tetap harus dipenuhi, misalnya untuk rigid point (titik kaku) :

Persyaratan yang berlaku :

1. Persamaan kompabilitas

Ѳij = Ѳil = Ѳik

2. Persamaan keseimbangan

∑ Mi = 0

Mij + Mil + Mik = 0

MBCMBA

CBA

Selain kedua persyaratan tersebut harus dipenuhi, terdapat kondisi batas (boundary

condition) yang tidak boleh diabaikan dalam melakukan analisis struktur. Hal – hal

yang dijadikan sebagai kondisi batas tersebut adalah :

1. Lendutan (simpangan), baik arah vertical dan horizontal (∆v , ∆H)

2. Rotasi (perputaran sudut, Ѳ)

Untuk perletakan :

1. Sendi

∆v = 0 ∆H = 0 Ѳ≠ 0

2. Roll

∆v = 0 ∆H ≠ 0 Ѳ≠ 0

3. Jepit

∆v ≠ 0 ∆H ≠ 0 Ѳ= 0

METODE NUMERIK

Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong

praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan

lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan

mudah menggunakan teknologi informasi. Banyak persoalan di bidang teknik maupun

sains yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika yang

terkadang muncul dengan bentuk yang tidak ideal, sehingga sulit untuk diselesaikan

dengan menggunakan metode analitik.

Jika persoalan – persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode

permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil – dalil kalkulus, maka

solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Secara istilah metode numerik

adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga

dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.

Dengan metode numerik, solusi eksak dari persoalan yang dihadapi tidak akan

diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau

menghampiri solusi eksaknya. Ada enam tahapan yang harus dilakukan dalam

menyelesaikan persoalan dengan metode numerik, yaitu :

1. Permodelan

Semua parameter dalam persoalan dimodelkan dalam bentuk persamaan matematik.

Penyederhanaan model, model matematik yang diperoleh pada tahap pertama bisa

saja masih kompleks. Untuk memudahkan dan mempercepat kinerja komputer,

model tersebut disederhanakan lagi dengan membuang parameter yang diabaikan.

2. Formulasi numerik

Setelah model matematika yang disederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah

memformulasikan secara numerik, yaitu :

a. Menentukan metode numerik yang akan digunakan beserta taksiran error-nya.

Pemilihan metode didasari pada :

- Apakah metode tersebut teliti?

- Apakah metode tersebut mudah diprogramkan dan waktu eksekusinya cepat?

3. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih

4. PemrogramanAlgoritma yang telah disusun diterjemahkan dalam program komputer, dengan

terlebih dahulu membuat flowchart-nya kemudian dituliskan dalam bentuk program.

(dengan menggunakan salah satu software yang dapat mendukung untuk

mempermudah pembuatannya, misalnya MatLab, sebagai catatan penulis juga akan

menggunakan software ini).

5. Operasional

Program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum menggunakan data

sebenarnya.

6. Evaluasi

Bila program sudah selesai dijalankan dengan menggunakan data sesungguhnya,

hasil yang diperoleh diinterpretasikan. Interpretasi meliputi analisis hasil

perhitungan dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil – hasil empirik

untuk menentukan kualitas solusi numerik.

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial,

trigonometri (seperti sin, cos, dll), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau

dirinya sendiri.

Bentuk umum Persamaan Linier :

a1x1 + a2x2 + … + a,nxn = b

Keterangan :

a1, a2, …, an disebut koefisien

x1, x2, …, xn disebut variabel

b disebut suku konstan

Sistem Persamaan linier adalah sehimpunan persamaan linier yang menjadi satu

kesatuan.

Bentuk umum Sistem Persamaan Linier :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Sistem Persamaan Linier dapat dinyatakan sebagai matriks :

[ a11 a12…a1 n

a21 a22…a2 n

…………am1 am2 …amn

] [ x1

x2

…xn

]=[b1

b2

…bn

]atau AX = B, dimana : A = matriks koefisien

X = matriks peubah B = matriks konstanta

METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN

Metode eliminasi Gauss Jordan akan memecahkan solusi pada sistem persamaan linear.

Persamaan tersebut harus bersifat vektor baris dan kolom (matrik) yang berordo n x n,

dan harus ≥ 2. Motede tersebut dinamai Eliminasi Gauss Jordan untuk menghormati

Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih

sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss

sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan

sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matrik.

Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi

dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka

langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:

x1 = d1, x2 = d2, x3 = d3, ..., xn = dn

Pendapat lain menjelaskan bahwa Eliminasi Gauss Jordan mirip sekali dengan metode

Eliminasi Gauss, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh

lebih besar, karena matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan

matriks identitas (I).

Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti Metode

Eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya saja

perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari

setiap baris.

[1 00 …0 d1

0 10 …0 d2

0 01 …0 d3

………………0 00 …1 dn

][a11 a12 a13… a1nb1

a21a22 a23 …a2n b2

a31 a32 a33… a3nb3

………………an 1 an 2 an3 …ann bn

]

Konsep utama yang dikerjakan dalam metode eliminasi gauss jordan sangat sederhana,

yaitu :

1. Menentukan matrik augmen, yaitu matriks yang berukuran n x (n+1)

2. Proses pivoting, matriks diagonal = 1

3. Matrik identitas [I] (matrik eselon tereduksi)

4. Mendapatkan solusi

Konsep sederhana Metode Eliminasi Gauss Jordan dengan ordo n x n adalah sebagai

berikut:

Algoritma Eliminasi Gauss Jordan

Algoritma Metode Eliminasi Gauss Jordan adalah sebagai berikut:

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya.

2. Buat matrik augmen [A|B] namakan dengan AB.

3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n,

Perhatikan apakah nilai ai,i = 0 :

Bila ya:

Pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k, i ≠0, bila tidak ada berarti

perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa

penyelesaian

Bila tidak: lanjutkan.

......E3

......E2

......E1[a11 a12a13

a21 a22 a23

a31 a32a33]*{x1

x2

x3} = {d1

d2

d3}

{x1

x2

x3}=[a11 a12a13d1

a21 a22 a23d2

a31 a32a33d3]

Matrik augmen

Matrik identitas [I]

{x1

x2

x3}=[1 00 d1

0 10 d2

0 01 d3] x1 = d1, x2 = d2, x3 = d3

Solusi

Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k

dimana k = 1 s/d n+1, hitung a i ,k=a i ,k

ai ,i.

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n, lakukan operasi baris elementer:

Hitung c = aj,i

Hitung aj,k = aj,k – c.ai,k

5. Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) =

ai,n+1.

Flowchart

Adapun diagram flowchart metode eliminasi gauss Jordan yaitu :

HASIL DAN PEMBAHASAN

Kasus

Terdapat suatu struktur yang terdiri dari balok kontinu yang ditopang oleh 5 buah

kolom. Model struktur ini banyak digunakan sebagai permodelan sederhana dari

jembatan. Bila pada struktur ini diberi beban berupa beban merata sebesar q, dengan

tinggi kolom setinggi T dan panjang tiap bentang yang sama satu sama lain sepanjang

L, berapakah besar dan arah dari gaya – gaya momen di tiap titik (joint) dari struktur

tersebut? Dari data yang ada beban merata q=10 kN/m, panjang bentang=6m, tinggi

jembatan=4m.

1. Permodelan

Analisis Kasus

Estimasi Arah Momen

1. Persamaan Kompabilitas

Titik B

ѲBA = ѲBC = ѲBH

Titik C

ѲCB = ѲCD = ѲCI

Titik D

ѲDC = ѲDE = ѲDJ

Titik E

ѲED = ѲEF = ѲEK

Titik F

ѲFE = ѲFG = ѲFM

2. Persamaan Keseimbangan

∑MB = 0

M1 + M2 + M3 = 0 (SPL 1)

∑MC = 0

M4 + M5 + M6 = 0 (SPL 2)

∑MD = 0

M7 + M8 + M9 = 0 (SPL 3)

∑ME = 0

M10 + M11 + M12 = 0 (SPL 4)

∑MF = 0

M13 + M14 + M15 = 0 (SPL 5)

Terdapat 15 gaya momen yang belum diketahui nilainya. Berarti ada 15 SPL.

Titik BθBA=θBA(M 1)sjj+θBA (BL ) bjj

θBA=M 1 L

3 EI− q L3

24 EI

θBH=θBE( M 3 ) sjj

θBH=M 3 T

3 EIθBC=θBC(M 2) sjj+θBC( BL ) sjj+θBC( M 4)bjj

θBC=M 2 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 4 L

6 EI

θBA=θBC

M1 L

3 EI− q L3

24 EI=

M 2 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 4 L

6 EI(× EI )

M1 L

3−

M 2 L

3+

M 4 L

6=q L3

12(SPL6)

θBA=θBH

M1 L

3 EI− q L3

24 EI=

M3 T

3 EI(× EI )

M1 L

3−

M 3 T

3=q L3

24(SPL 7)

Titik CθCB=θCB(M 2)bjj+θCB( BL ) bjj+θCB( M 4)sjj

θCB=−M 2 L

6 EI− q L3

24 EI+

M 4 L

3 EI

θCI=θCI( M 6)sjj=M 6 T

3 EI

θCD=θCD(M 5) sjj+θCD (BL ) sjj+θBC(M 7)bjj

θCD=M 5 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 7 L

6 EI

θCB=θCI

−M 2 L

6 EI− q L3

24 EI+

M 4 L

3 EI=

M 6T

3EI(× EI )

−M 2 L

6+

M 4 L

3−

M 6 T

3=q L3

24(SPL8)

θCD=θCI

M5 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 7 L

6 EI=

M 6 T

3 EI(× EI )

M5 L

3−

M 6 T

3−

M 7 L

6=−q L3

24(SPL9)

Titik DθDC=θDC(M 5)bjj+θDC ( BL )bjj+θDC(M 7 )sjj

θDC=−M 5 L

6 EI− q L3

24 EI+

M7 L

3 EI

θDJ=θDJ(M 9)sjj=M 9T

3 EI

θDE=θDE(M 8) sjj+θDE( BL )sjj+θDE( M 10)bjj

θDE=M 8 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 10 L

6 EI

θDC=θDJ

−M 5 L

6 EI− q L3

24 EI+

M 7 L

3 EI=

M 9 T

3 EI(× EI )

−M 5 L

6+

M 7 L

3−

M 9 T

3=q L3

24(SPL 10)

θDE=θDJ

M 8 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 10 L

6 EI=

M 9 T

3 EI(× EI )

M 8 L

3−

M 9T

3−

M 10 L

6=−q L3

24(SPL 11)

Titik EθED=θED(M 8)bjj+θED(BL ) bjj+θED(M 10) sjj

θED=−M 8 L

6 EI− q L3

24 EI+

M 10 L

3 EI

θEK=θEK(M 12)sjj=M 12T

3 EI

θEF=θEF( M11) sjj+θEF( BL )sjj+θEF(M 13)bjj

θEF=M 11 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 13 L

6 EI

θED=θEK

−M 8 L

6 EI− q L3

24 EI+

M10 L

3 EI=

M 12T

3 EI(× EI )

−M 8 L

6+

M 10 L

3−

M 12T

3=q L3

24(SPL12)

θEF=θEK

M11 L

3 EI+ q L3

24 EI−

M 13 L

6 EI=

M 12T

3 EI(× EI )

M11 L

3−

M 12T

3−

M 13 L

6=−q L3

24(SPL13)

Titik FθFE=θFE(M 11)bjj+θFE(BL ) bjj+θFE(M 13)sjj

θFE=−M 11 L

6 EI− q L3

24 EI+

M 13 L

3 EI

θFM=θFM(M 15) sjj=M 15T

3 EI

θFG=θFG(M 14)sjj+θFG( BL ) sjj

θFG=M 14 L

3 EI+ q L3

24 EI

θFE=θFM

−M 11 L

6 EI− q L3

24 EI+

M 13 L

3 EI=

M 15T

3 EI(× EI )

−M 11 L

6+

M 13 L

3−

M 15T

3=q L3

24(SPL14)

θFG=θFM

M14 L

3 EI+ q L3

24 EI=

M 15 L

3 EI(× EI )

M14 L

3−

M 15 L

3=−q L3

24(SPL15)

Jadi, 15 Sistem Persamaan Liniernya yaitu :1. M1 + M2 + M3 = 02. M4 + M5 + M6 = 03. M7 + M8 + M9 = 04. M10 + M11 + M12 = 05. M13 + M14 + M15 = 0

6.M1 L

3−

M 2 L

3+

M 4 L

6=q L3

12

7.M1 L

3−

M 3 T

3=q L3

24

8.−M 2 L

6+

M 4 L

3−

M 6 T

3=q L3

24

9.M5 L

3−

M 6 T

3−

M 7 L

6=−q L3

24

10.−M 5 L

6+

M 7 L

3−

M 9 T

3=q L3

24

11.M 8 L

3−

M 9T

3−

M 10 L

6=−q L3

24

12. –M 8 L

6+

M10 L

3−

M 12T

3=q L3

24

13.M11 L

3−

M 12T

3−

M 13 L

6=−q L3

24

14.−M 11 L

6+

M 13 L

3−

M 15T

3=q L3

24

15.M14 L

3−

M 15 T

3=−q L3

24

1. Penyerdehanaan ModelDisederhanakan dalam bentuk matrik :

[ A ] [ M ]= [ B ]

2. Formulasi Numerik

Setelah kita mendapatkan matriknya, langkah selanjutnya adalah mencari solusi dari

matriks tersebut dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss Jordan. Dengan

menggunakan Metode Eliminasi Gauss Jordan, kita harus membuat matrik tersebut

menjadi matrik identitas [I]. Agar memudahkan dalam membuat matrik identitas maka

baris – baris dari matriks tersebut di-arrange agar diagonal dari matriks tersebut

memiliki nilai karena pada matriks diatas, diagonalnya yang berwarna merah terdiri dari

banyak angka 0 sehingga menyulitkan dalam melakukan perhitungan. Maka matriknya

kita arrange ulang menjadi :

[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0L3

−L3

0L6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

L3

0−T

30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0L3

−T3

L6

0 0 0 0 0 0 0 0

0−L6

0L3

0−T

30 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0−L6

0L3

0−T

30 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0L3

−T3

L6

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0−L

60

L3

0−T3

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0L3

−T3

L6

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−L

60

L3

0−T

30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0L3

−T3

][ M 1

M 2

M 3

M 4

M 5

M 6

M 7

M 8

M 9

M 10

M 11

M 12

M 13

M 14

M 15

]=[0

qL3

12qL

3

240

−qL3

24qL3

24qL3

24−qL3

240

qL3

24−qL3

240

qL3

240

−qL3

24

][

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1L3

−L3

0L6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

L3

0−T

30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0−L6

0L3

0−T

30 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0L3

−T3

L6

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0−L6

0L3

0−T

30 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0L3

−T3

L6

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0−L

60

L3

0−T3

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0L3

−T3

L6

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−L

60

L3

0−T

3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0L3

−T3

][ M 1

M 2

M 3

M 4

M 5

M 6

M 7

M 8

M 9

M 10

M 11

M 12

M 13

M 14

M 15

]=[00000

qL3

12qL3

24qL3

24−qL3

24qL3

24−qL3

24qL3

24−qL3

24qL3

24−qL3

24

]

Dengan memasukan data panjang bentang, tinggi jembatan, dan beban merata jembatan.

Maka persamaan matrik menjadi seperti berikut :

Kemudian dilakukan proses matrik Eselon-baris tereduksi, dengan pivot adalah nilai

yang berada pada matrik diagonal. Selanjutnya dilakukan operasi baris elementer

sehingga matrik sebenarnya menjadi matrik diagonal. Dan ditemukan suatu solusi

persamaan tiga momen. Dengan hasil akhir sebagai berikut :

[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 −2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 −1.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 −1.3 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 −1 0 2 0 −1.3 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 2 0 −1.3 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 2 −1.3 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −1 0 2 0 −1.3 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −1.3 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 2 0 −1.30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 −1.3

] [M 1

M 2

M 3

M 4

M 5

M 6

M 7

M 8

M 9

M 10

M 11

M 12

M 13

M 14

M 15

]=[0

180900

−909090

−900

90−90

0900

−90

][1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

][M1

M2

M3

M 4

M5

M 6

M 7

M 8

M 9

M 10

M 11

M 12

M 13

M 14

M 15

]=[−441.3459

45.8649395.4811254.4216

−142.9309−111.4907

42.792455.7570

136.5183109.4896

−137.41384.6274

−100.9975211.9499−156.250

]

SCRIPT PROGRAM MATLAB

1. Pemodelan input data Persamaan Tiga Momen berbentuk matrik dengan ordo 15 x

15 yang diprogramkan dalam software matlab.

clc;clear;disp('Aplikasi SPL dalam Teknik Sipil (ASSTTT-Portal)');disp(' ');disp('Program ini khusus untuk bentuk portal yg ada dalam paper'); L = input ('panjang bentang = ');T = input ('tinggi jembatan = ');q = input ('beban merata = '); Rki=L/3;Rka=L/6;Rv=T/3;Rbl=q*(L^3)/24; for j=1:3 A(1,j)=1;endfor j=4:6 A(4,j)=1;endfor j=7:9 A(9,j)=1;endfor j=10:12 A(12,j)=1;endfor j=13:15 A(14,j)=1;end for i=2 A(i,1)=Rki; A(i,2)=-Rki;

A(i,3)=0; A(i,4)=Rka;end for i=3 A(i,1)=Rki; A(i,2)=0; A(i,3)=-Rv;end for i=6 A(i,1)=0; A(i,2)=-Rka; A(i,3)=0; A(i,4)=Rki; A(i,5)=0; A(i,6)=-Rv;end for i=5 A(i,5)=Rki; A(i,6)=-Rv; A(i,7)=-Rka;end for i=7 A(i,4)=0; A(i,5)=-Rka; A(i,6)=0; A(i,7)=Rki; A(i,8)=0; A(i,9)=-Rv;end for i=8 A(i,8)=Rki; A(i,9)=-Rv; A(i,10)=-Rka;end for i=10 A(i,7)=0;

A(i,8)=-Rka; A(i,9)=0; A(i,10)=Rki; A(i,11)=0; A(i,12)=-Rv;end for i=11 A(i,11)=Rki; A(i,12)=-Rv; A(i,13)=-Rka;end for i=13 A(i,10)=0; A(i,11)=-Rka; A(i,12)=0; A(i,13)=Rki; A(i,14)=0; A(i,15)=-Rv;end for i=15 A(i,14)=Rki; A(i,15)=-Rv;endA(i,j)=A(i,j) B(2,1)=2*Rbl;B(3,1)=Rbl;B(6,1)=Rbl;B(5,1)=-Rbl;B(7,1)=Rbl;B(8,1)=-Rbl;B(10,1)=Rbl;B(11,1)=-Rbl;B(13,1)=Rbl;B(15,1)=-Rbl disp ('Arah momen positif = sjj')

2. Hasil input persamaan tiga momen sudah dalam bentuk matrik. Kemudian

dilanjutkan dengan mencari solusi persamaan linier dengan memasukan fungsi

Metode Eliminasi Gauss Jordan yang diprogramkan pada software matlab.

function x=EliminasiGaussJordan(A,B) [m,n] = size(A);if m~=n, error('A matriks yang dibutuhkan tidak persegi'); endnB = n+1; AB = [A B]; % sistem Augmentfprintf('\n Memulai matriks sebelum di Eliminasi dengan MATRIKS AUGMENT;\n'); disp(AB); % --- Proses pivot ---for i =1:n pivot = AB(i,i); for j= 1:n AB(i,j) = AB(i,j)/pivot; end% --- Proses eliminasi --- for k=1:n faktor = - AB(k,i);% --- Operasi baris elementer --- if(k~=i), AB(k,i:nB) = AB(k,i:nB) - (AB(k,i))*AB(i,i:nB); end fprintf('Faktor eliminasi adalah %g\n',faktor); disp(AB); end fprintf('\n setelah eliminasi pada kolom %d dengan pivot = %f \n\n',i,pivot); disp(AB); pause;end

ANALISIS

Dari data yang telah ditemukan dari bantuan Metode Eliminasi Gauss jordan, maka nilai

momen yang telah ditemukan dari persamaan tiga momen nilai masing-masing momen

yaitu, M1 = - 441.3459 kNm, M2 = 45.8649 kNm, M3 = 395.4811 kNm, M4 = 254.4216

kNm, M5 = -142.9309 kNm, M6 = -111.4907 kNm, M7 = 42. 7924 kNm, M8 = 55.7570

kNm, M9 = 136.5183 kNm, M10 = 109.489 kNm, M11 = -137.4138 kNm, M12 = 4.6274

kNm, M13 = -100.9975 kNm, M14 = 211.9499 kNm, M15= -156.250 kNm. Kemudian

akan ditemukan gaya lintang dan gaya normal. Selanjutnya data analisis perhitungan

struktur tersebut dapat digunakan untuk pemodelan serta rancangan bahan yang akan

dibuat.

SIMPULAN DAN SARAN

Perhitungan momen pada analisis struktur dengan metode persamaan tiga

momen yang akan menghasilkan sistem persamaan linier, mampu diselesaikan

dengan bantuan metode eliminasi gauss jordan.

Metode eliminasi gauss jordan dipilih karena proses perhitungannya lebih

sederhana dan teliti.

Dengan memprogramkan metode eliminasi gauss jordan ke dalam matlab dapat

memberikan keuntungan diantaranya efisiensi tenaga, waktu dan tingkat error

yang tidak jauh berbeda dengan perhitungan secara manual.

Metode eliminasi gauss jordan tidak bisa menyelesaiakan persamaan matrik

yang bukan persegi.

Untuk menemukan solusi persamaan linier dengan matrik yang berdimensi

besar, sebaiknya menggunakan komputer yang memilki kapsitas bandwith yang

memadai.

DAFTAR PUSTAKA

[1].Wang C.K., 1993, Analisa Struktur Lanjutan Jilid I, Erlangga, Jakarta[2].Sartono A.A., 2006, Penggunaan Metode Numerik dan Matlab dalam Fisika, FMIPA UI[3].Catatan Mata Kuliah Analisis Struktur Statis Tak Tentu

[4] http://lecturer.eepis-its.edu.

[5] http://www.chemeng.ui.ac.id

[6] http://stommel.tamu

[7] http://id.wikipedia.org