BAB ll

PEMBAHASAN

A. Pengertian Grupoida

Struktur Aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan

satu atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpuna s dilengkapi

dengan satu operasi biner *, maka struktur aljabar tersebut dinyatakan

dengan (S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua operasi biner *

dan o; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,o) atau

(S,o,*). Struktur Aljabar yang paling sederhana adalah grupoida.

Definsi 4..3

Suatu struktur Aljabar dengan suatu operasi biner tertutup disebut

grupoida.

Contoh :

Penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan dinyatakan

dengan + dan x.

A = {1,2,3, …..}

B = {….,-2,-1,0,1,2,….}

C = {x | x bilangan rasional}

D = { x | x bilangan real }

Struktur Aljabar berikut adalah grupoida

a) (A, +) dan (A, x)

b) (B, +) dan (B, x)

c) (Q, +) dan (Q, x)

d) (R, +) dan (R,x)

Sifat-sifat Grupoida

Definisi 4.4

2

1. (G, *) suatu grupoida dengan I∈ G

Elemen i disebut elemen identitas kiri dari G,

Jika ∀a ∈ G memenuhi i * a = a dan (G, *)

Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kiri.

2. (G, *) suatu grupoida dengan I∈ G.

Elemen i disebut elemen identitas kanan dari G

Jika ∀a ∈ G memenuhi a * i = a dan (G, *)

Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kanan.

3. (G, *) suatu grupoida

Jika ∀a,b ∈ G memenuhi a * b = b * a maka (G, *) disebut

grupoida komutatif.

4. (G, *) suatu grupoida dengan I∈ G.

Elemen i disebut elemen identitas dari G

Jika dan hanya jika ∀a ∈ G memenuhi i * a = a * i = a

(G, *) disebut grupoida dengan elemen identitas

Contoh :

a. (A, +) dengan A = { 1, 2, 3, …} adalah grupoida

Sifat-sifatnya adalah :

Tidak mempunyai elemen identitas penjumlahan sebab∀a ∈ A

memenuhi o + a = a + o = a dan o ∉ A.

Komutatif ∀a,b ∈ A memenuhi a + b = b + a.

Asosiatif ∀a,b ∈ A memenuhi (a + b) + c = a + (b + c).

b. (A, +) dengan A = { 1, 2, 3, …} adalah grupoida

Sifat-sifatnya adalah :

Mempunyai elemen identitas perkalian I, sebab∀a ∈ A memenuhi

i . a = a . i = a dan i ∈ A

Komutatif ∀a,b ∈ A memenuhi a . b = b . a.

Asosiatif ∀a,b ∈ A memenuhi (a . b) . c = a . (b . c).

Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan

suatu tabel Cayley.

3

1)Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan

anggotanya sama dengan baris paling atas maka anggota pada

kolom paling kiri merupakan suatu elemen identitas kiri.

2)Jika pada tabel Cayley terdapat suatu kolom yang urutan

anggotanya sama dengan kolom paling kiri maka anggota pada

baris paling atas merupakan suatu elemen identitas kanan.

3)Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutannya sama

dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan

anggotanya sama dengan kolom paling kiri keduanya menuju

elemen yang sama yaitu elemen identitas.

Contoh :

S = { a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel

berikut

* a b c

a a b c

b a b c

c c b a

a * a = a

a * b = b

a * c = c

a elemen identitas kiri dari S

b * a = a

b * b = b

b * c = c

b elemen identitas kanan dari S

jadi (S, *) grupoida tidak komutatif dan mempunyai elemen

identitas kiri a dan b.

4

Contoh :

S = { a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel

berikut:

* a b c

a a a a

b b b b

c c c c

a * a = a

b * a = b

c * a = c

a elemen identitas kanan dari S.

demikian pula untuk b dan c.

jadi (S, *) grupoida tidak komutatif dan mempunyai elemen identitas kanan a, b, dan c.

Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut:

Definisi 4.5

1. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kiri jika untuk setiap a, b, c, ∈ G berlaku implikasi , jika a.b = a.c maka b = c

2. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kanan jika kesamaan b.a = c.a selalu menghasilkan b = c

3. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan atau pencoretan atau penghapusan (cancellation law) jika ∀a, b, c ∈ G dan a≠ 0 dipenuhi a.b = a.c → b =c dan b.a = c.a → b = c

4. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kiri jika ∀a, b, ∈ G persamaman xa = b mempunyai penyelesaian di G

5

5. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kanan jika ∀a, b, ∈ G persamaman a y = b mempunyai penyelesaian di G

Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel Cayley maka :

1. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.

2. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan hanya jika setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.

3. (G, *) memenuhi hukum persamaan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.

4. (G, *) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.

B. Pengertian Semigrup

Grupoida adalah struktur aljabar yang paling sederhana, yaitu himpunan yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang tertutup. Semigrup adalah grupoida yang mempunyai sifat tertentu.

Definisi 4.6

Suatu grupoida (G, *) disebut semigrup jika ∀a,b,c ∈ G memenuhi (a*b) *c = a*(b*c).Jadi semigrup dabel terdiri daiap baris dalam talah grupoida yang mempunyai sifat asosiatif.

Contoh :

B* = B – {0}Q* = Q – {0}R* = R – {0}(B*, x), (Q*, x) dan (R*, x) merupakan semigrup

6

Contoh :

R+¿ ¿ = { x | x bilangan real, x > 0}Q+¿¿ = { x | x bilangan rasional, x > 0} ¿ , x) dan ¿ , x) merupakan semigrup

C.Pengertian Monoida

Monoida adalah semigrup yang mempunyai sifat tertentu. Monoida ada yang komutatif ada pula yang tidak komutatif.

Definisi 4.7

Suatu semigrup (G, *) disebut monoida jika i ∈ G sedemikian sehingga ∀a ∈ G memenuhi i * a = a * i = a.

Dengan perkataan lain monoida adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas.

Contoh :

A = {1,2,3, …..}

B = {….,-2,-1,0,1,2,….}

C = {x | x bilangan rasional}

D = { x | x bilangan real }

(A, +) bukan monoida sebab 0 ∉ A.

(B, +), (Q, +), (R, +) merupakan monoida

(A, x), (B, x), (Q, x), (R, x) adalah monoida.

Sifat-sifat Monoida

Misalkan (M, *) suatu monoida dengan elemen identitas i ∈ M

sedangkan a ∈ M.

7

1. a mempunyai invers kanan dalam M jika ada a−1∈ M sehingga a *

a−1 = i.

2. a mempunyai invers kiri dalam M jika ada a−1∈ M sehingga a−1 * a

= i.

3. a mempunyai invers dalam M jika ada a−1∈ M sehingga a−1 * a = i.

4. jika dalam suatu monoida suatu anggota mempunyai invers kiri

lebih dari satu maka anggota tersebut tidak mempunyai invers

kanan.

5. Jika dalam suatu monoida suatu anggota mempunyai invers

kanan lebih dari satu anggota tersebut tidak mempunyai invers

kiri.

BAB lll

PENUTUP

A. Kesimpulan

Struktur Aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu

atau lebih operasi biner yang tertutup dan dinyatakan dengan (S, *), (S, *,

o), (S, o, *), dan sebagainya. Grupoida adalah struktur aljabar dengan satu

operasi biner yang tertutup. Semigrup adalah grupoida yang memenuhi

sifat asosiatif. Monoida adlah semigrup yang mempunyai elemen identitas. 8

Atau monoida adalah grupoida yang asosiatif dan mempunyai elemen

identitas. Jadi semingrup dan monoida adalah elemen grupoida yang

mempunyai sifat tertentu.

Dengan demikian sifat-sifat yang berlaku pada grupoida berlaku pula pada

semigtup dan monoida. Sifat-sifat tersebut antara lain , hukum

pelenyapan kiri dan kanan, dan hukum persamaan kiri dan kanan.

DAFTAR PUSTAKA

Kusno Kromodihardjo, Dr. Struktur Aljabar, Karunia, Jakarta, Universitas Terbuka, 1988

Soehakso, RMJT., Penganntar Teori Grup, FMIPA UGM Yogyakarta, 1976

Sukirman, Drs. M.P.,Aljabar Abstrak, Karunia Jakarta, Universitas Terbuka, 1982

9

10