Proses Stokastik

Proses StokastikSemester Ganjil 2013/2014Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScProses StokastikSuatu keluarga dari peubah acak {X(t) | t T} T adalah indeks dari himpunan, yang bisa diskrit maupun kontinyuT = {1, 2, 3, } untuk t diskret dan T = {0,} untuk t kontinyuContoh: Waktu: menit, jam, hari, mingguJarak dari suatu titik 0 (origin)Nilai-nilai yang mungkin untuk X(t) disebut states. Diskrit atau kontinyuState space (I): himpunan seluruh kemungkinan stateContoh:X(t): jumlah kelahiran di suatu tempat pada hari T = {1,2, ... 365} (dalam satu tahun) X(t): jumlah kerusakan pada jalan tol dalam interval (0,t], t adalah jarak dari pintu tol dalam km.Data deret waktu2If x and y are mutually independent, then, p(y|x) = p(y).Beberapa Proses Stokastik yang akan dipelajariDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScRantai MarkovProses PoissonRantai Markov dalam waktu kontinyuProses kelahiranProses kematianProses kelahiran dan kematianProses PembaharuanSistem Antrian

Review PeluangDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScDari percobaan dengan hasil yang tidak diketahui:Ruang Sampel: Himpunan seluruh kejadian yang munginKejadian: Himpunan bagian dari ruang sampel.Peluang biasanya dinyatakan dalam pasangan berikut (W ,, Pr) di mana W adalah ruang sampel adalah seluruh kejadian yang mungkin di dalam ruang sampel dan Pr adalah peluang untuk setiap kejadian di dalam . Untuk kejadian A dan B berlaku berikut ini:Pr() = 1Pr(A) 0Pr(AC) = 1 Pr(A)Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B), if A B = .

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScJika A dan B adalah kejadian di dalam dengan Pr(B) 0, peluang A dengan syarat B adalah:

Peubah AcakDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScFungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel (hasil percobaan) menjadi bilangan realPeubah acak adalah angka yang belum diketahui nilainya sebelum percobaan dilakukanDiskrit vs. KontinyuFungsi sebaran KumulatifFungsi kepekatan peluang (kontinyu)Fungsi massa (frekuensi) peluang (diskrit)Fungsi peluang gabunganPeluang bersyaratFungsi dari peubah acakFungsi pembangkit momenFungsi transformsiFungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan Peluang dan Fungsi Frekuensi PeluangDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScFungsi sebaran kumulatif peubah acak X : FX(x) = F(x) = Pr(Xx).Fungsi p(xi) = pX(xi) = ai untuk i = 1, 2, fungsi massa peluang untuk peubah acak X. Fungsi sebaran kumulatif:

Jika f(x) sebagai fungsi kepekatan peluang untuk peubah acak X: Fungsi sebaran kumulatifFungsi sebaran Kumulatif, Fungsi Kepekatan Peluang dan Fungsi Frekuensi PeluangDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScPeluang kejadian di antara dua nilai dapat dinyatakan dalam bentuk sebaran kumulatif:

Bentuk tersebut dimanfaatkan untuk memperoleh bentuk berikut ini:

Momen dan Nilai HarapanDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScMomen ke-m dari X peubah acak diskrit:

Momen ke-m dari X peubah acak kontinyu:

Momen ke-1 dari peubah acak X:Nilai harapan X atau mean Momen pusat ke-m dari peubah acak X:

Momen dan nilai harapanDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScMomen central ke-1: nolMomen central ke-2: ragam dari X

Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak diskrit:

Nilai harapan dari suatu fungsi untuk peubah acak kontinyu:

Fungsi Peluang Gabungan Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScJika dalam suatu percobaan terdapat dua peubah acak yang diamati.Fungsi sebaran bersama bagi X dan Y: FXY(x,y) = P(X x, Y y)

Fungsi kepekatan marjinal:

Fungsi Peluang Gabungan Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScKebebasan dua peubah: fXY(x,y) = fX(x) fY(y)Nilai harapan: E[X+Y] = E[X] + E[Y]Cov(X,Y): XY = E[(X - X) (Y - Y)] = E[XY] - XY.X dan Y dikatakan tidak berkorelasi bila memiliki kovarian nol. Koefisien korelasi =XY/XY di mana -1 1.

Sebaran Peluang BersyaratDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScFungsi peluang jika salah satu peubah menjadi syarat:

Dapat digunakan untuk menghitung peluang bersyarat:

Dengan hukum peluang total:

Jumlah dan Konvolusi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScJika X dan Y adalah peubah acak yang bebas dengan fungsi sebaran masing masing FX dan FY maka fungsi sebaran penjumlahan Z = X + Y adalah konvolusi dari FX dan FYDiperoleh dengan memanfaatkan sifat peluang bersyarat:

Jumlah dan Konvolusi Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScDengan memanfaatkan hukum peluang total:

Jumlah dan KonvolusiDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScApabila X dan Y saling bebas, maka peluang bersyarat akan sama dengan peluang tanpa syarat.

Dengan definisi sebaran peluang kumulatif:

Jumlah dan KonvolusiDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScDengan hubungan antara fungsi sebaran kumulatif dan fungsi kepekatan peluang:

Untuk memperoleh kepekatan peluang, turunan pertama dari sebaran kumulatif:

Jumlah dan KonvolusiDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScUntuk X dan Y yang non negatif, batas integrasi berubah:

Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah LainDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScJika X peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang fX dan Y adalah peubah acak yang merupakan fungsi dari X

g(X) fungsi naik dan dapat diturunkan (differentiable)

Maka fungsi sebaran kumulatif bagi Y:

Peubah sebagai Fungsi Dari Peubah LainDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScUntuk menentukan fungsi kepekatan peluang:Dari Kalkulus berlaku:

Sehingga: