Disusun oleh : Yudarwi

TURUNAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

Sebelum membahas turunan fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu

bilangan e yang kemuan disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang

merupakan pendekatan dari bentukn

n

11

untuk n menuju tak hingga yang ditemukan

pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli

Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :

e =n

n

11

= 1 +

1!

1+

2!

1+

3!

1+

4!

1+ ... ................... (1)

Bentuk ini dapat juga diubah menjadi

e = 1/n1 n ............................................................................... (2)

Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu

e = 2,718281828459045235

Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln.

Sehinga ln x = xloge

Selanjutnya akan diuraikan tentang turunan dasar fungsi eksponen, yaitu turunan fungsi

f(x) = xe

Rumus 1

Jika f(x) = xe maka f ’(x) = xe

Bukti

Jika f(x) = xe maka f’(x) =h

ee xhx

f’(x) =h

eee xhx =

h

)1(e.e

hx

........................ (3)

Menurut bentuk (2) didapat 1/xx1 = e

Sehingga ln [ 1/xx1 ] = ln e

ln 1/xx1 = 1

x

x)ln(1= 1 .................................................................... (4)

Disusun oleh : Yudarwi

Misalkan ln(1 + x) = n maka 1 + x = ne maka x = ne – 1

Jika x 0 maka n 0

Dari (4) diperoleh :1e

nn

= 1 ataun

)1(en = 1

Dari (3) diperoleh f ’(x) =h

)1(e.e

hx

= xe . 1 = xe

Jadi Jika f(x) = xe maka f ’(x) = xe

Kemudian akan diuraikan pula turunan dasar fungsi logaritma, yaitu

Rumus 2

Jika f(x) = ln x maka f’(x) =x

1

Bukti :

Jika f(x) = ln x maka f’(x) =h

lnh)ln(x x

f’(x) =hx

hxln

f’(x) =

.xx

hx

hxln

f’(x) =x/h

x

h1ln

x

1

=

x

1. 1 =

x

1

Jadi jika f(x) = ln x maka f’(x) =x

1

Pengembangan dari rumus diatas adalah : jika f(x) = ln g(x) maka f’(x) =g(x)

(x)g'

Dari uraian di atas, dapat diturunkan aturan turunan fungsi eksponen, yaitu :

Jika y = f(x)e maka ln y = ln f(x)e

ln y = f(x) ln e

Sehinggay

'y= f ’(x) atau

y ’ = y . f ’(x)

y ’ = f ’(x) f(x)e

Disusun oleh : Yudarwi

Dengan cara yang sama didapat jika y = f(x)a maka y ’ = f(x)a f ’(x) ln a

Jadi

Rumus 3

1. Jika y = f(x)e maka y ’ = f ’(x) f(x)e

2. jika y = f(x)a maka y ’ = f ’(x). f(x)a ln a

Contoh Soal

01. Tentukanlah turunan dari f(x) = 42xe

02. Tentukanlah turunan dari f(x) = ln (x2 – 7x + 10)

03. Tentukanlah turunan dari f(x) =3

52xe