1? treometn Paoa

t \., Bidang, Vektor13.1 Kurva Bidang' : Penyaj ian Secara Parametr i13.2 Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Geometr i13.3 Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara Al jabar13 .4 Fungs i Bern i la i Vek to r dan Gerak Sepan jang Kurva13.5 Kelengkungan dan Percepatan13 .6 Soa l -soa l U langan Bab

Seorong wonitu yong cakop dalom berbagoi hol

terkensl sebogoi matenwtilqwsn, ohli bohaw,ahli filwfat, dan suka berjolon

dalom kesdaan tidur.

Howard Eves

Hanya dua wanita muncul dalam daftar namakehormatan kalkulus k i ta. Kurangnya perwaki l -

af dar i wani ta mencerminkan suatu prasangkayang . te lah lama ada di Eropa Barat dan ber-ianjut h ingga ke abad in i . Jarang sekal i wani t ld idorong untuk mengejar keunggulan'akademi.sdan mereka yang melakukan biasanya merasa'kan bahwa kar i r akademis d iha lang i un tukmereka. Untunglah beberapa orang tbtap bertahan meskipun ada halangan-halang-

an te rsebut .Salah seorang yang demikian adalah Maria Gaetana Agnesi . Yang tertua di

antara 21 orang anak, ia di lahirkan dalam keluarga l ta l ia kaya dan terpelaiar dan

mempunyai ayln ,uoi .ng matemat ikawan. Seorang anak yang luar biasa kepandai-

annya, ia menguasai bahasa Lat in, Yunani , Yahudi , dan beberapa bahasa mod.ern

pada usia 9 ta l run. Pada usia 20 tahun, ia memulai karyanya yang terpent ing,

sebuah buku ajar kalkulus. Untuk masanya, kejelasannya sungguh-sungguh me'

ngagumkan dan merupakan buku ajar kalkulus luas yang pertama sejak karya dini

dir i l 'Hopi ta l , Buku i tu memberinya banyak kehormatan, termasuk pengakuan

o leh Ka isar Mar ia Theresa dan Paus Bened ic t X lV .Nama Agnesi menguasai suatu tempat dalam kepustakaan matematika melalui

satu sumbangan keci l Marla p€mbahasannya tentang"kurva yang kemudiandikenal sebagai versiera, yang berasal dari bahasa Latin vertere, membalik. Se-

karang kurva itu dikenal sebagai sihir dari Agnesi, karena versiera dalam bahasa

Ital ia berart i ib l is bet ina. Kurva in i d ibahas dalam Soal 35 Pasal 13.1.Pada per ingatan seratus tahun meninggalnya, Mi lan menghormat i Agnesi

dengan memberi nama sebuah ja lan atas namanya. Sebuah batu pertama di bagianmuka gedung Luogo Pio bertul iskan prasast i " terpeiajar dalam Matemat ika,keagungan l ta l ia dan abadnya. . "

L 2 2 n arKulus uan \Jc() r l lc t r r A l ra l r t ls J l l l ( f / ,

13.1 Kurva Bidang: Penyajian secara Parametri

Kita telah memb erikan definisi umum tentang kurva bidang dalam Pasal 6 .4 yang ada kait-

annya dengan penjabaran rumus panjang busur sebuah kurva. Suatu kurva bidang ditentu-

kan oleh sepasang persamaan parameter

x - . /"(r), ) , : g(I), ' t in I

f dan g adalah kontinu pada selangl, yang pada umumnya sebuah selang tertutup la,b7.Bayangkan /, yang disebut parameter, sebagai ukuran waktu. Apabila nilai f naik dari a

hingga D titik (x,y) bergerak sepanjang kurva pada bidangxy. Titik-titik p = (x(a),y(a))

dan Q = (x(b), y(b)) adalah titik ujung awal dan akhir kurva tersebut. Apabila kedua titik

itu berimpit kurva itu disebut tertutup. Apabila nilai berlainan dari / memberi titik ber'

lainan pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan / = b), dikatakan kurva sederhana(Gambar l).

MENGHILANGKAN PARAMETER Untuk mengenali kembali sebuah kurva yang ditentu-

kao.oleh persamaan parameter, kita sebaiknya menghilangkan (mengeliminasi) pararneter

ini. Hal-hal ini kadang-kadang dapat dicapai dengan mencari / dan salah satu persamaan

parameter dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam persarpaan lain (Contoh l).

Kadang-kadang kita juga dapat menggunakan hubungan yang kita kenal, seperti dalam

Contoh 2.

CONTOH I Hilangkanlah parameter f dari persamaan

- \ : 12 + 2 t . - 2 < r < 3

K emudian tentukan bentuk kurva dan gambarlah graf iknya.

G A M B A R 1

Ueometrl pacla tJldang,. VeKtor L23

Penyelevion Dari persamaan kedua kita peroleh t = y + 3. Jika / ini disubstitusikan ke

dalam persamaan pertama, kita peroleh

. x : ( .1 '+ 3 ) t + 2 ( - r '+ 3 ) : J '2 + 8 - t ' * 15

atau

r * I : ( r ' + 4 ) r

Persamaan ini kita kenal sebagai parabol dengan puncak di (-l , -4) dan terbuka kekanan.

Untuk menggambarkan grafiknya, kita hanya memperlihatkan bagian parabolyang sesuai dengan nilai parameter yang memenuhi -2 < t -< 3. Daftar nilai-nilai dangrafik dapat dilihat pada Gamb ar 2. Anak panah menunjukkan arah naiknya nilai /.

G A M B A R 2

CONTOH 2 Buktikan bahwa

- \ : t / c o s r , l ' : b ' s i t r t , 0 < t < 2 n

adalah persanuan elips ditunjukkan dalam Gambar 3.

Penyelewion Kita cari cos / dan sin /, kemudian mengkuadratkannya dan akhirnya kitajumlahkan.

: c o S 2 l * s i n 2 t : l

- 1

E l i p s GAMBAR 3

ffi

/ ' ' \ l / ' ' \ r(;/ . (;Jr t i ' 2_ - ] -u 2 1 , z

t X v

.1

' 1

n

1

a

1

1

n

5

- 5

- Aa

- t

- 1

0

LZ4 Kalkulus dan Geometri Analit is Jil id 2

Dengan mengambil beberapa nilai /, kita lihat bahwa kita telah memperoleh seluruhelips. Khususnyd, t = 0 dan t = 2n memberikan titik yang sama, yaitu (o, 0).

Apab i lad=b,k i tapero leh l ingkararx2 ty2 =a ' . f f i

Pasangan persamaan parameter yang berlaku mungkin mempunyai grafik sama,seperti yang kita gambarkan berikut ini.

CONTOH 3 Buktikan bahwa tiap pasang persamaan parameter di bawah ini menggambar-kan kurva yang sama, yaitu setengah lingkaran seperti yang dapat dilihat pada Gambar4 di bawah ini.

( r r ) . \ : \ 1=^

( l - ' ) . r : cos I .J ' :

r . lI - t( c ) r : . _ ; . . I '

t + r -

se tengah t i ngkaran GAMBAR 4

Penyelewion'Dalam tiap kasus, kita akan memperoleh

t 2 r ' , , 2 - lI t - l

Tinggal mengambil beberapa nilai /, untuk memastikan bahwa dalam selang / yang di-ketahui akan menghasilkan bagian lingkaran yang saru.

CONTOH 4 Buktikan bahwa tiap pasang persamaan parameter di bawah ini menggambar'kan sebuatr cabang hiperbol.

(a) x : d sec r , ) , : h tan l ,

(b) r : r r cosl l f . J ' : b s intr

A n d a i k a n a > . O d a n b ) 0 .

J ' : / . - l < r < 1

. 7 T f tS I N I . ) - - )

2r: . r . _ l < t < I

r + r '

T t f iI L- ; < f ( ;

! L

I . - { < f < r C

Setengah l i ngkaran

Geometr i pada Bidang, Vektor

Penyeleviun Dalam kasus Pertama,

L Z O

Dalam kazus kedua,

( : ) ' -

( ; ) ' -

( ; ) : Sec2 r - ran2 t : I

( ; ) ' : c o s h 2 t * s i n l . r 2 t

:('+)'- (L#)':'Dengan memeriksa beberapa niiai / menunjukkan bahwa, pada kedua kasus, kita mem'

peroleh satu cabang hiperbo! x2f a2 - y'lb' = I ditunjukkan dalam Gambar 5. ffi

Hiperbo l '

(satu cabang) G A M B A R 5

:a

IrtitIr

FI

ItttF

D

Itt

I

I

StKLolD Sebuah sikloid adalah zuatu kurva yang dilalui oleh sebuah titik P pada tepi

roda, apabila roda ini menggelinding tanpa tergelincir pada sebuah garis (Gambar 6). Per'

samaan Cartesius sikloid sangat rumit ilan oleh karenanya jarang sekali dipakai. Kita meng-

gunakan persamaan parameter yang jauh lebih sederhana dan juga mudah diperoleh, seperti

contoh berikut.

G A M B A R 6

rz6 Kalkulus dan Geometri Analit is Jil id 2

CONTOH 5 Tentukan persamaan parameter sebuah sikloid.

Penyelevion Andaikan roda menggelinding pada sumbu x dengan P berada di titik asal.Nyatakan C pusat roda dan a radiusnya. Ambillah sebagai parameter besarnya / dengansatuan radian dari zudut antara ruas garis CP dan kedudukan vertikal semula yang di-ukur dengan arah yang sesuai dengan putaran jarum jam (Lihat Gambar 6).

Olehkarena lOlVl : orc Pl , l : at ,

x : l O M l : l o l / l - l M l { l - - a t - a s i n r : a ( t - s i n r )

dan

) ' : l M P l : l l / R 1 : l l f C l + l C R l : a - a c o s t : a ( l - c o s r )

Jadi persafiaan parameter sikloid adalah

r : a(r - sin r), ) ' : a( l - cos r )

Sikioid banyak diterapkan, khuzusnya dalam mekanika. Sikloid sering disebut sebagaikurva yang memiliki "laju penurunan yang paling besar." Apabila sebuah partikel ber-gerak di sepanjang kurva dari A ke B yang lebih rendah sebagai akibat gaya berat saj4,sedangkan A dan^B tidak terletak pada satu garis tegak, partikel itu akan sampai di ^B dalamwaktu paling cepat apabila kurva itu berbentuk sebuah sikloid yang dibalik (Gambar 7).Sudah barang tentu, jarak terpendek adalah ruas garis AB, tetapi waktu yang diperlukanyang paling cepat adalah sepanjang sikloid; sebab percepatan ketika partikel dijatuhkantergantung pada curamnya kemiringan* kurva, dan sepanjang sikloid kecepatannya mem-besar jauh lebih cepat daripada jika partikel bergerak di sepanjang garis lurus.

Sifat lain yang menarik adalah sebagai.berikuf: Andaikan Z titik terendah pada sebuahsikloid yang dibalik, dan partikel P bergerak sepanjang sikloid ke L, maka waktu yang di-perlukan P untuk sampai di Z adalah sama, walaupun pemberangkatan P da:i kedudukanPr , Pz, atau P3 (Gambar 8). Jadi kalau ada partikel di P, , P2, danP3 dan berangkat padawaktu yang -sama, maka partikel itu akan sampai di L pada waktu yang sama pula.

GAMBAR 7 G A M B A R B

Ddlam tahun 1673, ahli astronomi Belanda bernama Christian Huygens menerbitkansebuah tulisan mengenai jam bandul yang ideal. Oleh karena bandulan berayun antara dua"pipi" sikloid, lintasan yang dilaluinya juga zuatu sikloid (Gambar 9). Ini berarti bahwawaktu yang diperlukan untuk satu ayunan tidak tergantung pada amplitudo, sehinggaperiode ayunan tidak berubah walaupun pegas jam mengendor.

* D i s i n i k e m i r i n g a n m e n e r j e m a h k a n p e n g e r t i a n " s l o p e " ; p a r a p e n u l i s l a i n m e n g g u n a k a n " t a n j a k a n " a t a u" le reng. "

ffi

Geometr i pada tstdang, VeKtor

- - - - - - - ?

S i k l o i dGAMBAR 9

KALKULUS FUNGSI YANG DITENTUKAN DALAM BENTUK

kah kita menghitung kemiringan garis singgung sebuah kurva yang

kan dalam bentuk parameter, tanpa melenyapkan parameter ini?

berdasarkan teorema b erikut.

PARA,METER DaPat-

persamaannya ditentu-

Jawabannya adalah Ya,

T e o r e m a A ^ , - . ' .

Andaikan / dan g fungsi-fungsi dari t yang turunannya kontinu dan /(r) * 0 pada

selang a < t { F. Maka persafiiaan pararleter I

: = l ( r ) , 1 ' * g ( r )

' l l

dndefinisikany sebagai fungsi dari x dan

I " cl1' ,i 1'1:,lt;: :'i,lfr

Bukti Oleh karena f'(t) + 0 pada q. { t (p, adalahlmonoton murni, sehingga,f memiliki

balikan ft y.r,g dapat didiferensialkan (lihat Teorema Fungsi Balikan (Teorema 7 '28))'

DefinisikanFoleh F : g. J'-t, sehingga

) ' : g ( t ) : g ( . 1 ' - t ( " ) ) : F ( x ) : F ( / ( r ) )

Dengan Aturan Rantai kita peroleh,

4ir, : F,(/(r)) /'(t)d1'tlx

Nt l 1'

d t

ri.r' ; '( l t

Berhubung dxldt # 0. maka

,!\ :d,r

r/,x: _' l

d t

L Z t

LZ|J f\aKulus Oan Ueometrl Anallt ls Jrrl0 /.

CONTOH 6 Tentukan turunan pertama dan kedua, yaitu dyldx dan d2yf dx2, untuk fungsiyang ditentukan oleh

x : 5 c o s f , J ' : 4 s l n r , 0 < r < 3

Hitunglah turunan itu untuk t = rf 6 (lihat Contoh 2).

Penyelewion Andakan dy ldx = 7', maka \ ^_"

U: , !=Y:4cos , r - -1co t rd x d t d t - 5 s i n r - 5 " " "

d') ' d)' d), ' dx $ csc2 r 4 1l - . : , : - - - - - - : -

- _ C S C "d.r ' r / r dt t l t - 5 s in r l5

Sehingga untuk t = trf 6,kita peroleh

- 4tEd),

clx

d 2 r ' - 4 - 3 2

i? : ^ (8) :

E

Nilai pertama adalah kemiringan garis singgung pada elips x2125 + y2ll6 = I di titik6\812,2).Halini dapat diperiksa dengan menggunakan pendiferensialan implisit. ffi

Kadang-kadang sebuah integral melibatkan dua peubah, seperti x dan y, dalam intelrandan'diferensial dan ada pula kemunfkinan x dan y merupakan fungsi-fungsi dari /. Dalamhal ini, ada baiknya untuk menghitung integral tertentu, dengan menyatakan integran dandiferensial dalam / dan dt dan batas-batas pengintegralan harus pula disesuaikan denganpeubah /.

CONTOH 7 Hitunglah t ' i / r .r1'2 r/r, apabila x =2t - 1 dan y = t2 + 2.

Penye lev ion Berhubungx =2t - l , k i ta pero leh dx =2dt ;un tukx=1, t=1 ;danuntuk

x = 3, kita peroleh t = 2 . Sehingga berturut-turut kita peroleh

l -

( a ) |J t

oan.tb) J,'

^ 3

Iv l

p 3

IJ t

( a )

(b)

) ' r l - r :

xt '2 r/.x

CONTOH 8 Hitunglah luas .4pula panjang I busur ini.

f r r l r 2 62 l : +2 / lL3 l , 3

+ 2)22 d t

p 2

leJ 1

n )t -: l r

J t

- ) fIr 1

.-t- ) \) , l t -

2 t - l ) ( t 2

2

(2 t t - ra + 813 - 4 t2 + 81 - 4 ) r / r : g6 l {

di bawah satu busur suatu sikloid (Gambar l0). Tentukan

L29

ra ru Dusur s l k lo id GAMBAR 10

Penyelevion Dari Contoh 5, persamaan sebuah busur sikloid dapat ditulis sebagai

x : a ( t - s in r ) , J ' : r r ( l - c o s r ) . 0 < r 3 2 n

Sehingga

A - l ' " " r . r1x : l ' " u tL - cos r ) r / [c r ( r - s in r ) ]

J g ' J o

f 2 n

i2 | t t - cos r ) (1 - cos r ) r / rJ o

r 2 n72 | t t - 2 cos r -F cos2 r) r1r

J o

f 2 n

12 | f t - 2 cos r + + * j cos 2r) dtJ o

: a2i+r - z'rin, + f sin 2tf1^ : 3ft(t2

Untuk menghitung L, kita ingat kembali rumus panjang buzur sebuah kurva yangr dibahas dalam Pasal 6.4, yaitu

c a / i r y v , / f VL- I " l ( ; ) +( j l atJ i \ \ ( t t / \ a I /

m soal ini, rumus itu memberikan

L - f '"riZ{r

- coJ;, 1 ,,t1ri,.,) arJ o

^ ) nt - '- 0 | , , /Zt l - cos r ) r1r

J 6

c 2 n f .: . | ^ lo s in2

i , i rJ o Vf 2 , r

: 2t t I s in ; r / rJ o :

I r l t '- I - 4 r i c t l s _ | : 8nL 2lo tr

telal

Dala

" Ji;

\rsulnslrt paqa Blclang, Vektor

Satu busur s i k lo id

I r r \ , r\arKulus ual l ueornerrl Anall l ls Jl lJo z

soAL-soA L 1 3.1

Dalam Soal 1 -12, telah diketahui persamaan parameter sebuah kurva.(a) Gambarlah kurva i tu dengan memberikan beberapa ni lai pada paramerer r sepert i

da lam Contoh 1.(b) Sebutlah mana yang berlaku untuk kurva sederhana atau tertutup.(c) Susunlah persamaan Cartesius kurva dengan menghilangkan parameter ( l ihat Contoh

1 - 4 ) .

l . r - 2 / , . 1 , : i r . r d a l a m R 7 .

2 . t : 4 t - 1 , . 1 . : ) / : 0 < t < 3 t t .

3 . _x : t - 4 . . 1 . : \ i : ( l < t < I , 9 .

4 . , \ : I , , r ' : ] : t t < r l o .t

\ . 5 . r . \ : r r , . i ' : r r : - l < t < 2 l l .\ /6 . , x : t t - l , l , : i - r - 1 : . - 3 < r < 3 1 2 .

Dalam Soal 13-18, tentukan dy ldx dan d2yfdx2

1 3 . . r : 3 r r . . I , : 2 I r . | + 0

1 4 , . r : 6 t 2 . 1 , : I - r : I * o

f l1 1

) r - ' - J r r. r - - r - rt t

I - c r t s l . l ' : 2 +

l / l

. \ - l ' l t . \ ' : l - - ' l :

. : - 1 . , - t . r - 1 . - 1

r - : 3 s i n l . t " : - 5 c t t s l : 0

r : 3 s i n ( ) - l . , l ' : 2 c o s { / + 2 : 0 < 0 < n

r : 4 s i r t a 1 . , 1 ' : 4 c o s * 1 : 0 < t < \ ,

\ : ? cos ( / , . I ' : 2 cos ] ( ) : ( / da lam tR

tanpa menghilangkan paramet er.

- 3 < r < J

t : 3 < i < 4

< t < 2 n

: t + 0

- 3 s i r r t . t + n n

t 5 . r :

. 1 6 . . r :

- l , , l ' " - - 5 scc r * 2 . t f \ 2 ' ! + l ) "\ : . ' 3 t l t n l

l )1 8 . , r - . : , . . r , : . . _ , , " . : I + l . )

l + r - t | + r r )

Dalam Soal I 9-22, tentukan persamaan garis singgung pacla kurva dan t i t ik yang diketahui,tanpa menghilangkan parameter. Gambarlah.

i i l r f . : I r . . l ' : / , - r : t : 2 . 2 1 . , r : r s c c / . l , : l t a n t . r : - T-:._ / (l

2 ( f . . r : J / . . r - l ( / r . / - j 2 2 . r _ _ . , , , . r : 1 , , , : / : ( )

Hitunglah integral yang ada pada Soal 23_24.

' p l

l r r r L r

l 2 l . ) I ( . x - - 4 r ' ) r l r . . , dengan . \ : r * l . r , : r - r + 4 ., * . / J , t

f . -l

.24. | . t , t r i r ' , dengan. \ : scc r , r ' : t i ln t .. ) l

25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = e2t, y = e-t dan sumbu xantara / = 0 sampait = ln 5. Gambarlah grafiknya.

26. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

\ - - ' ' I . I, \ : I t . - l : f _ ;

dan garis 3x - l0 = 0 tanpa menghilangkan parameter. Gambarlah grafiknya.

beometrl pada blchng,.veKtor IJI

27. Modif ikasi lah pembahasan sikloid yang diberikan dalam pasal ini (dan diagram

yang menyer ta inva) apabi la t i t i k P berada pada b ( a satuan dar i pusat l ingkaran-

But ikan bahwa persamaan parameter s ik lo id i tu adalah

\ : ( / f - b s i n t l : ( i - b c t - l s I

Gambarlah grafik sikloid ini (disebut sikloid curtate) untuk a = 8, b = 4.

28. Begitu pula untuk kasus b ) a (roda berf lens, sepert i pada kereta api), dan per-

l ihatkan bahwa persamaan parameter sikloid ini sama dengan kasus b I a- Gambarlahgrafiknya untuk a = 6,b = 8 (disebut sikloid prolate).

29. Persamaan parameter l intasan sebuah peluru yang ditembakkan dari tanah datar

dengan laju us kaki t iap detik dan dengan arah'yang membuat sudut a dengan tanah,

di lukiskan oleh persamaan parameter

. \ : ( r : , , cos e ) t , l ' - - l 6 t r + ( r u s i n z ) t

(a) Buktikan bahwa l intasan i tu sebuah parabol.(b) Tentukan waktu yang ditempuh hingga peluru menyentuh tanah lagi.(c) Buktikan bahwa jauhnya tempat peluru jatuh adalah (uzolZZ) sin 2q dari t i t ik awal.(d) Untuk ni lai us yang diketahui, berapakah besarnya CI supaya tempat jatuhnya peluru

itu sejauh mungkin?

30. Tiap ni lai parameter / dalam persamaan siklod,

\ : r1 ( l - su t I ) . l : a ( l - c t t s t )

menegfukan sebuah titik tunggal P(x, y) pada sikloid tersebut dan juga menentukan ke-

. dudukan tunggal dari lingkaran yang menggelinding yang menghasilkan sikloid itu. Andai-

kar r P1(xr , y t ) t i t i k pad i s ik lo id yang menghasi lkan n i la i /1 dar i parameter t Bukt ikan bah-

wa garis singgurig sikloid di P1 melalui t i t ik pal ing t inggi l ingkaran yang menggelinding yang

kedudukannya sesuai dengan nilai /1 ltu. Titik manakah pada lingkaran itu yang dilalalui

garis normal?

31. Andaikan sebuah linekaran dengan jari-jari b menggelinding di dalam lingkaranlain yang tetap yang berjari- jar i a, a 2 b. Lintasan yang ditempuholeh sebuahti t ik Ppada

lingkaran yang menggelinding tersebut disebut hiposikloid. Tentukan persamaan para-

meter.hiposikloid i tu. Petunjuk: Ambil pusat l ingkaran O yang tetap dan yang terbesar

sebagai pusat sistem koordinat Cartesius dan andaikan A(a,0) salah satu kedudukan t i t ik P

yang bergerak. Sebut .B titik yang bergerak yang berimpit dengan titik singgung kedua

lingkaran tadi dan andaikan /, besarnya sudut AOB diukur dengan satuan radian, sebagai

parameter ( l ihat Gambar I 1) .

G A M B A R 1 1

L32 Kalkulus dan Geometri Analit is Jil id 2

32. Dalam Soal 31, apabi la b = a f 4 , bukt ikan lah bahwa persamaan parameter h ipo-

sikloid i tu dapat disederhanakan menjadi

r : ( l c o s S r . , l ' : t l s i t t l t

Kurva ini disebut hiposikloid dengan empat t i t ik bal ik. Gambarlah dan buktikanlah bahwa

persamaan Cartesiusnya adalah x2/3 + y2/3 - a2/3.

33. Lintasan sebuah t i t ik yang terletak pada sebuah l ingkaran dengan jari- jar i b yang

menggelinding tanpa tergei incir pada sebuah l ingkaran tetap di bagian luarnya dan dengan

jari- jar ia dinamakan episikloid. Buktikan bahwa persamaan parameternya adalah

t : ( r r + b ) c o s t -

t : ( r r + b ) s i n r -

, u * bD C O S - , . I

t)

u l l tD S l l l - l

b

(L ihat petun juk Soal 31) .

34. Apabt la b = d , persamaan dar i Soal 33, menjad i

CoS t - t t c t l s 21

s i n r - a s i n l t

Buktikan bahwa hal khusus ini menghasi lkan kardioid r = h(l - cos 0);dalam hal ini

kutub sistem koordinat kutub adalah t i t ik (a, 0) dalam sistem koordinat Cartesius yang

semula sedangkan sumbu kutubnya adalah sumbu x positif . Petuniuk: Tentukan persamaan

Cartesfus epiSikloid dengan jalan menghilangkan r dari persamaan parameter tersebut

di atas. Kemudian buktikan bahwa persamaan yang menghubungkan sistem Cartesius dan

sistem kutub adalah

, \ : l ' cOS { i * a t ' : l ' s i n 0

dan gunakan persamaan ini untuk mengubah persamaan Cartesius menjadi persamaan

k u t u b r = 2 a ( 1 - c o s 0 ) .

35.) Perhatikan sebuah l ingkaran dengan jari- jar i a yang berpusat di (0, a) ditunjukkan

d a l a m G a m b a r l 2 . G a r i s o A m e m o t o n g g a r i s y = h d i , 4 d a n l i n g k a r a n C d i B . A n d a i k a n Ptit ik potong sebuah garis mendatar yang melalui ,B.dengan sebuah garis tegak yang melalui

,4. Apabila sudut g, antara OA dan sumbu x posit i f berubah, P melintasi sebuah kurva yang

dinamakan "sihir dari Agnesi."

- , ' t . _. \ : - ( J

l -

- L l

(a) Tentukan persamaan(b) Tentuka l persamaan

G A M B A R 1 2

kurva tersebut dengan 0 sebagai parameter.

Cartesius kurva tersebut.

Geometri pada Bidang, _Vektor

GAMBAR 1

\\\\\\\\\\\\\

Pangkal

G A M B A R 2

G A M B A R 4

Ujung

Dua cara setara untuk menj umlahkan vektor

133

13.2 vektor pada Bidang: pendekatan secara GeometriBanyak besaran yanq kita jumpai

-dalam ilmu pengetahuan (misalnya panjang, massa,volume' dan muatan listrik)-oapat dinyatakan otetr satu bilangan. Besaran demikian (danbilangan yang menjadi ukurannya) dinamakan slcalar. Ada besaran lain, misalnya kecepat-an' Eaya' torka' dan pergeseran untuk menggambarkannya memerlukan tidak hanya bilang-an' tetapi juga arah' Besaran demikian dinamakan vektor dan vektor digambarkan sebagaianak panah (ruas garis yang berarah). panjang panah adarah besarnya vektor; arah panar,adalah arah dari vektor' vektor oa!1 Qambar 1 panjangnya adalah 2,7 satuan dan ararrhlz-aadalah 30" dari surnbu x yang positif. -

Anak panah mempunyai pangkal dan ujung (Gambar 2). Dua vektor dinamakan samaapabila keduanya.sma uttatnyalrTu poffi'-'l d_.n arahnya juga sama (Gambar 3).Kita akan melukisl<an sebuah vektor d.nguniuiritru.t, misalnya u dan v. oleh karena halini agak sulit dilakukan dalam penulisan , anda dapat menggambarkan dengan i aan i.Besarnya atau panjangnya vektor ., Oituli, sebagai lui.

Vektoryang s:!ma

G A M B A R 3

PERASI TERHADAP vEKTOR Untuk memperoleh jumtah, atau rezul tante duavektordan v' gerakkanlah v tanpa mengubah besarniu oan arahnya hingga pangkalnya berimpitngan ujung u' Maka u * v adalah vektor yang menghubungkan pangkal u dengan ujung v.rra ini (disebut hukum segitiga) digambarkan pada iagian kiri Gambar 4.

\.. /'/"u

\_.,,

134 Kalkulus dan Geometri Analit is Jil id 2

Cara lain melukis u +{ ialah menggerakkan v sehingga pangkalnya berimpit dengan

pangkal u. Maka u + v adalah vektor yang sepangkal dengan u dan yang berimpit dengan

diagonal jajarangenjang yang sisinya adalah u dan v. Cara ini (disebut hukum iaiaran'geniang) digambarkan pada bagian kanan Gambar 4.

Anda dapat membuktikan sendiri bahwa penjumlahan demikian bersifat komutasi dan

asosiasi, yaitu,

u + v : v * u

( u + v ) * w : u + ( 1 ' + w )

Apabila u vektor, maka 3u adalah vektor yang searah dengan u tetapi yang panjangnya

tiga kali panjang u; vektornya _2u dua kali panjangnya u tetapi arahnya berlawanan

(Gambar 5). Pada umumnya, cu adalah kelipatan skalar vektor u, yang panjangnya adalah

lcl kali panjang u, searah dengan u apabila c positif dan berlawanan arah apabila c negatif.

Khususnya, (-l)u (ugu ditulis sebagai -u) sama panjangnya dengan u, tetapi arahnya

berlawanan. Vektor ini disebut vektor negatif u sebab apabila -u dijumlahkan pada u,

hasilnya adalah vektor nol (yaitu sebuah titik); vektor ini, satu-satunya vektor tanpa arah

tertentu, dinamakan vektor nol, yang dilambangkan dengan 0. Vektor ini adalah unsur

sa tuanpen jumlahanya i tuu+0=0+u=,u .Akh i rnya ,pengurangand i ten tukansebaga i

u - v : u * ( - v )

CONTOH I Dalam Gambar 6, nyatakan w dengan u dan v.

Penyelevian Olehkarena u * w = v, maka

1 1 : V - U

CONTOH 2 Dalam Gambar 7, IE : 3,q7. Nyatakan m dalam u dan v-

/

G A M B A R 6 GAMBAR 7

GAMBAR

Geometri pada Bidang, Vektor

Penyelenion

135

+78: u * 3AC+ j (v -u )

+ 3r'

Pada umumnya, jtka IE : tAe dengan 0 < t < l. maka

m : ( 1 _ l ) u , * f v

Bukti yang telah kita peroleh untuk m dapat pula ditulis sebagai

u+ r ( v -u )

Apabila r berubah dari -- hingga +"" kita peroleh semua vektor berujung pada garis yangdiperlihatkan pada Gambar 8. Sifat ini penting untuk mencari persamaan garis dalambahasa vektor.

PENERAPAN Sebuah gaya memiliki besararr dan arah. Apabila dua gaya u dan v bekerjapada sebuah titik, gaya hasilnya di titik tersebut adalah jumlah vektor gaya-gaya tersebut.

CONTOH 3 Sebuah beban 200 newton digantungkan pada dua utas kawat pada Gambar 9.?6ntukan besarnya tegangan dalam tiap-tiap kawat.

Penyelevion Bobot w dan tegangan u dan v adalah gaya yang bersifat sebagai vektor(Gambar 10). Tiap vektor ini dapat dinyatakan sebagai jumlah komponen yang men-datar dan yang tegak dalam kedudukan seimbang, maka (l) besarnya gaya yang ke kiri

G A M B A R B

G A M B A R 9 G A M B A R 1 O

m : U

- u

: l u

ffi

tIff,

t

t

136 Kalkulus dan Geometri Analit is Jil id 2

iama Ornrun besarnya gaya yang ke kanan, dan (2) besarnya gaya yangmengarah keatas sama dengan besarnya gaya yang mengarah ke bawah. Sehingga

l u l c o s 3 3 " : l v l c o s 5 0 '

l u l s i n 3 3 ' + l v l s i n " 5 0 . - l w l : 2 0 0

Dari persamaan ( 1) kita hitung lvl dan menzubstitusikannya dalam (2)., kita peroleh

( 1 )

(2)

lu ls in 33" + l " l t " t r l . ' s in 50" : 2oocos )U

atau

Sehingga,

l u l :200

sin 33" * cc ' rs 33o tan -50' ': 129,52 newton

l u l c o s 3 3 'l v l : ' ' - - t' ' cos 50'

129,52 cos 33'r l6&99 newton

cos 50o

Kecepatan memiliki arah dan besaran; sehingga berperilaku sebagai vektor. Besarnya

kecepatan dinamakan laju.

CpNTOH 4 Sebuah sungai lebarnya 0,62 mil. laju air dalam sungai adalah 6 mil tiap jam.

Perahu Karen dapat melaju 20 mil tiap jam dalam air yang tidak mengalir. Dengan arah

manakah perahu harus ditujukan apabila Karen ingin sampai di seberang sungai pada

sebuah titik yang gans hubungnya tegaklurus arah aliran. Berapa waktu diperlukan

untuk menyeberangi?

Penyelevion Kita tentukan terlebih dahulu a pada Gambar I l.

6S l n C : -

20

y. = 17,4(t"

G A M B A R 1 1

Kemudian, kita tentukan iw l, ialah laju perahu yang searah dengan kecepatan w.

ln ' l = 20 cos lJ ,4 ( : ' : l t08 mi l t iap jam

Akhirnya, waktu yang diperlukan untuk menyeberangi sungai adalah

0.62.-._ ^; = 0,0-ll5 jam : 1,9,5 menitl % 0 8

Geometr i pada Bidang, Vektor 137

Dalam Soal I -4 , gambar lah vektor w.

soAL-soAL 13.2

n : u f * r 'l .

2 . u : l u J r

,r'\-..,2

'.y't

A+ .

3 . 1 1 : U 1 t U , - F U . 1

l l : t l l + U 2 + U . t

5 . Gambar di bawah ini adalah jajarangenjang. Nyatakan w dalam u dan v.

6. Dalam segitiga yang besar yang digambarNyatakan m dan n da lam u dan v .

di bawah ini, m adalah garis berat.

'1 .Dalam gambar in i , w = -(u*v) dan lu l = lv l = 1. Tentutcan lwl .

Selesaikan Soal 7, untuk sudut atas 90" dan zudut-sudut samping masing-masing

iIiII

IIi Rt

[ t :stft

1 3 8

E 9. Pada gambar ini besarnya ga1a

arahnya gaya w yang mengimbangi gaya u

Kalkulus dan Geometn Analrtts Jltrd 2

l0 pon. Tentukan besarnYa danu dan v adalahdan v tersebut.

10. A mendorong tonggak dengan arah 30o tenggara (30" sebelah t imur dari arah

selatan) dengan gaya 50 pon. B mendorong tonggak yu.g ,rrn, dengan arah 60" barat daya

(60o sebelah barat rlari arah selatan) dengan gaya 40 pon. Berapakah besarnya dan arahnya

gaya resultan?

I l . Sebuah beban dengan berat 250 newton terietak pada sebuah lantai mir ing yang

bebas hambatan yang membuat sudut 30o dengan bidang yang mendatar. Gaya manakah

yang sejajar dengan lantai miring itu dapat menahan beban yang meluncur ke bawah?

Petuniuk: Anggaplah gaya 250 newton yang ke bawah itu sebagai jumlah dua gaya, yang

satu sejajar lantai dan yang lain tegaklurus lantai.

E 12. Sebuah benda dengan bertt 237,5 pon berada dalam keadaan seimbang oleh dua

utas tal i yang masing-masing membuat sudut sebesar 27,34o dan39,22" dengungaristegak.

Tentukan besarnya gaya yang bekeda pada benda i tu oleh kedua utas tal i tadi.

g 13. Angin bert iup denganlaju 58 mil f iam dan dengan arah 20o barat laut (20o sebelah

barat dari arah utara). Sebuah pesawat udara dengan laiu 425 mil/jam dalam udara tenang,

terba_ng ke arah utara. Tentukan arah dan laju pesawat tersebut dihitung terhadap bumi?

. -la.) Sebuah kapal berlayar ke selatan dengan laju 20 milfiam. Seorang berjalan di atas

dek kilal itu ke arah barat (tegaklurus sisi kapal) dengan laju 3 milfiam. Tentukan besar'

nya dan arahnya kecepatan orang itu terhadap permukaan air?\

.r l5j Seorang penerbang mengemudikan sebuah pesawat dalam angin yang berkecepat-

an 8i-milfiam ke arah selatan. Penerbang itu menemukan bahwa ia terbang ke timur apa-

bi la pesawatnya mengarah 60o t imur laut. Tentukan laju pesawat (dalam udara tenang).

16. Sebuah pesawat udara terbang dengan laju 837 mil i jarq dan harus menuju ke utara

dalam angin yang berkecepatan 31,5 mil f iam dengan arah l l ,5o.tenggara. Arah manakah

dan berapakah besarnya laju pesawat itu?

E 17. Dengan menggunakan vektor, buktikan bahwa ruas garis yang menghubungkan

titk-titik tengah dua sisi sebuah segitiga, sejajar dengan sisi ketiga'

18. Buktikan bahwa titik-titik tengah sebuah segiempat sebarang adalah titik-titik

zudut suatu jajarangenjang.

13.3 Vektor pada Bidang: Pendekatan Secara AUabar

Dari uraian pada pasal terdahulu secara geometri dapat kita simpulkan bahwa sebuah

vektor adalah keluarga anak panah yang panjangnya dan arahnya sama (Gambar l). Se'

karang kita akan membahas vektor dengan cara aljabar.

L r e O I I l g t f l l j a u a D l u a l l E i . v c K t U I l o v

Vek to r u

G A M B A R 1

Nyatakan u denganpasangan terurut (u ' u")

G A M B A R 3

Kita mulai dengan mengambil sebuah sistem koordinat Cartesius pada bidang. Sebagai

wakil dan vektor u, kita pilih sebuah anak panah yang berpangkal di titik asal (Gambar 2).

Anak panah ini ditentukan secara tunggal oleh koordinal u1 dan u2 titik ujungnya; ini

berarti bahwa vektor u ditentukan oleh pasangan terurut (uy u2) (Gambar 3). Jadi kita

anggap (u1, u2) adalah vektor u; pasangan terurut (u1, u2) ini merupakan vektor u secara

aljabar. Kita menggunakan lambang (u1, u2) dan bukan (ur, uz) oleh sebab yangterakhir

ini sudah memiliki dua pengertian, yaitu untuk selang terbuka dan untuk titik pada bidang.Mengapa kita menyajikan artian aljabar ini? Ada dua jawaban. Pertama hubungan

antara sifat geometri dan sifat aljabar vektor, dapat memperkaya dan menjelaskafi konsepvektor itu lebih mendalam. Kedua, pandangan aljabar ini yang paling ntudah dapat diguna-kan dalam ruang yang dimensinya lebih tinggi. Sebab santa membicarakan ganda-n terurut(u 1, ur, . . " ) urr) sama mudahnya.dengan membicarakan gandadua (u y u2) terurut.

OPERASI PADA VEKTOR Bilangan n1 dan u, dinamakan komponenJcomponenvektoru = (a r uz).Dua vektor u = (u1, u2) dan v = (u1, t )2) adalah sama j ika dan hanya j ika

ttr = t)r dan u2 = n2. Untuk rnenjumlahkan u dan v, kita junrlalikan komponen-komponenyang sesuai, yaitu,

\ u 1 , u 2 )

Ambi l l ah se -b u a h w a k i l

G A M B A R 2

u * r , : ( r r r * r . 1 . r r , * r , )

Untuk mengalikan u dengan skalar c, kita kalikan tiap koniponennya dengan c. Jadi,

II u( ' : ( 'u : (c ' t i r , c 'ur)IIIL

l4 tu

Khuzusnya,

r \ q t A s l u J u @ l l v w v l l l w L l l n l l d l l l t J J I l l L I z

- u - ( - r , 1 , - u 2 )

dan

0 : 0 u : ( 0 , 0 )

Gambar 4 menunjukkan bahwa, definisidefinisi di atas setara dengan definisidefinisi

geometri yang telah kita bahas sebelumnya.

Penjumlahan vektor

G A M B A R 4

Dengan menggunakan penampilan aljabar vektor, mudahlah dibuktikan aturan berikut

ini.

'Teorema A

Untuk sebarang velttor u, v, dan w dan sebarang skalar a dan b, berlaku sifat-sifatber ikut .

l . u * v : v + u

2 . ( u * r ' ) + w : u * ( v * w )

3 . u * 0 : 0 * u : u

4 . u * ( - u ) : 0

5. a(bu) : (ab)u : u(nb)

6. a(u t- l') : rltt 1- nv

7. (u + 1l)u : (/u * 6u

8 . l u : u

l u , , u r l

Perkalian skalar

gukti Kita gambarkan pembuktian dengan membuktikan Kaidah ke6, sebagai'berikul.

lul : {'iT te

Misatnya, jika u = (4, -2),maka 1y1 = J4T 11 = 2T.Jika u dikalikan dengan skalar c,maka panjangnya kita kalikan dengan lcl, jadi

l c u l : l c l l u l

Jangan keliru mengartikan pemakaian ganda simbol I l. Simbol lcl, yang disebut nilai

mutla('c, adalah jarak antara titik asal dan c pada garis bilangan (Gambar 5). Sedangkan

lul, yang dinamakan paniang u, adalah jarak antara titik asal dan ujung u pada bidang

(Gambar 6).

a(u*'=1'/!il,*ii/!"'r'r,,- ( a u r , e u r ) + ( a u 1 , a t z ): a ( t t 1 , u z ) * a ( r ' r , D z ): Q u * c t v

PANJANG DAN HASILKALI TITIK Panjang (atau besaran),(u1, u2l ditentukan oleh

ffi

lul sebuah vektor u =

dan l-2u1. Tentukan pula vektor v yang

l -2 i lu l = 2 ' 5 = 10 . Untuk mencar iv ,

ONTOH I Andaikata u = <4, -3). Tentukan lulsearah dengan u tetapi dengan panjang l.

nyelevian lul = V4r+--(-3P = 5 dan l-2ui =

u

lu l

(4 , - 3 )N

I

: -/a - " , \

<4. _3) : \s ,_r . /

Kita telah membahas perkalian dengan skalar, yaitu perkalian vektor u dengan skalar c.

t{asilnya adalah vektor cu. Sekarang kita tentukan perkalian dua vektor u dan v. Perkalian

ini dinamakan hasilkali titik, yang dilambangkan dengan u'v. Kita tentukan perkalian ini

sebagai

U ' V : L l 1 D 1 * L l 2 L ) 2

Perhatikan bahwa hasilkali titik itu adalah skalar.Sifat-sifat hasilkali titik mudah dikembangkan; kita nyatakan sifat-sifat tersebut tanpa

pembuktian.

Teorema B

Jika u, v, dan w vektor dan c d<alar, maka berlaku sifat-sifat.

1 . u ' v = v ' u

2 . u ' ( v + w ) : u ' v * u ' w ;a

3 . c ( u ' v ) : ( c u ) ' v : u ' ( c v )

4 , 0 ' u = 05 . u ' u = l u [ 2

' Untuk memahami arti hasilkalivektcr tidak nol, maka

titik, kita berikan rumus lain. Jika u dan v adalah

u .v : l u l l v l cos0

di sini g adalah sudut antara u dan v. Dengan sudut antara u dan v, kita maksudkan adalahzudut terkecil yang positif antara u dan v, sehingga 0 ( 0 1r..

Untuk menururkan rumus tersebut, kita gunakan Hukum Kosinus pada segitiga dalam

Gambar 7.

l u - v l t : l u l ' + l r l ' - - 2 l u l l r l cos0

Dengan kata lain, dari sifat-sifat hasilkali titik pada Teorema B, kita peroleh pula

l u - v l ' : ( u - v ) . ( u - v ) - u . ( u - v ) - v . ( u - r , )- u . u - u . v - v . u * v . v: l u l 2 + l v l 2 _ 2 u . v

GAMBAR 7

Hasil ini diperoleh dengan menyamakan kedua rumus ini untuk lu - v 12.

Hasil yang sangat penting dari rumus yang baru saja diperoleh adalah teorema berikut.

Teorema C

(Kr it eria Ketegaklurusan).j i k a u . v = 0 .

Dua vektor u dan v tegaklurus (ortogonal) jika dan hanya

Bukti Dua vektor yang bukan vektor nol saling tegaklurus jika dan hanya jika sudut 0

di antaranya adalah nl2; jadi, jika dan hanya jika cos g = 0. Tetapi cos 0 = 0 jika dan

hanya jika u . v = 0. Hasil ini berlaku pula untuk vektor nol, dengan pengertian bahwa

suatu vektor nol tegaklurus pada tiap vektor.

CONTOH 2 Tentukan D sehingga u = (8, 6) dan v = (3, b) tegaklurus.

Penyelevion

u ' v : ( 8 ) ( 3 ) + ( 6 ) ( b ) : 2 4 + 6 b : 0

Jadi , b = -4.

CONTOH 3 Tentukan sudut antara u = (8, 6) dan v = (5, 12) (Gambar 8).

Penveleyisn

ffi

ffi

cos o: ##: e?rt#q2 -- H:0,862

Jadi ,

o : coS- t{Osoz; x 0,532 (atau 30,5o)

GAMBAR 8

VEKTOR BASIS Andaikan i = (1,0) dan j = (0, 1) danperhatikan bahwa vektor'vektor ini

tegaklurus dan bahwa panjangnya sama dengan satu. Vektor i dan j ini dinamakan vektor

basis, sebab setiap vektor u = (r,r r, ttz) dapat dinyatakan secara tunggal dengan i dan j.

Yaitu.

u : ( r r t . L t r ) : L t r ( , l , 0 ) + t r r ( O , 1 ) : u r i + u r i

L44

Arti geometri hubungan tersebut dapat dilihat pada Gambar 9.

coNToH 4 Apabila u anak panah dari\2, -l) ke QG3,7), tuiislah u sebagai ui+ u2J.

, u r t

GAMBAR G A M B A R 1 O

penyelesoion Kita geser anak panah itu, sehingga pangkalnya berimpit dengan titik asal

(Gambar 10). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi komponen titik pangkal dari

t it ik ujung. Sehingga vektor aljabar kita menjadi(- 3 -2,7 -(-1)) = (-5,8). Sehingga

u - - 5 i + 8 j

CONTOH 5 Tentukan besarnya sudut ABC, dengan(6, -4), ditunjukkan dalam Gambar 11.

Penyelevian

ffi

A = (4 , 3) , B = (1 , -1) , Can C =

u

Y

l u l

l v l

u ' v

:BA : (4 - l ) i + (3+

: Bd : ( 6 - t ) i + ( - 4

: ,T+4? :5

: . r 5 t+ ( - 3 f - . , 34

: (3 ) (5 ) + (4 ) ( -3 ) : 3

lX : 3 i

+ l ) i :

+4 j :

) r - J J

u ' v 3 . ^ ^ ^c o s 0 : *

l u l l r l 5 \ 3 4

0 x 1,468 (atau 84,09o)

G A M B A R 1 1

, 8 )

\ o ( - 3 , 7 )

u = \ u 1 , u 2 )

Andaikan 0 sudut antara u dan v. Skalar lul cos 0 dinamakan proyeksi skalar u pada v,yang penjelasannya ada pada Gambar 12.Ia dapat positif, nol atau negatif tergantungapakah 0 lancip, siku-siku atau tumpul.

Kerja yang dilakukan oleh gaya konstan F yang menggerakkan sebuah benda dariP hingga Q adalah besarnya gaya dalam arah gerak dikalikan dengan jarak yang ditempuh.Jadi apabila D adalah vektor dariP hingga Q, besarnya kerja adalah

(Proyeksi skalar F pada D) Int = lFlcos 0 lDl

atau

Kerja : Fl D

\-v--=/

l u l c o s ,

- G A M B A R 1 2

K e r j a = F ' D

G A M B A R 1 3

CONTOH 6 Sebuah gaya F = 80i + 50j dengan satuan pon memindahkan benda dari (1, 0)hingga (7 ,l). Jarak didkur dengan kaki. Berapakah besarnya kerja?

Penyelevtun Andaikan D vektor dari (1, C) ke (7, 1) maka D = 6i + j. Jadi

Ker ja = F, D = (80)(6) + (50)(1) = 530 pon-kaki ,,m

soA L-soAL 1 3.3

l . Andaikan a

(a) 2a - , lb

( c ) a ' ( b + c )( c ) l a l c ' a

= -3 i + 4 j , b = 2 i - 3 j , dan c = -5 j . H i tung lah

( b ) a ' b( d ) ( - 2 a + 3 b ) . 5 c( f ) b . b _ l b l

1 i Anda i kan a = (4 , - l ) , b = (1 , - l ) , dan c = (0 , 6 ) . H i t ung lah

(rt I 4a +- 3b( c ) ( a + b ) ' c( c ) l b l b ' a

( b ) b ' c. ( d ) l c ' ( l a + . 1 b )

( t ) l c l r - c . c

D = 6 i + j

( a ) a : ( 2 , - 3 ) , b : ( - 1 , 4 )( b ) a : ( - 5 , - 2 > , b : ( 6 , 0 )

4. Hitunglah sudut antara a

( a ) a : 1 2 i . b : - 7 i( b ) a : 4 i + 3 j . b : 1 2 i + 9 j

A(2 , _ 1 ) . B( - 3 , 4 )A(r i '2, -e) , B(0, 0)

3. Hitunglah kosinus sudut antara a dan b dan gambarlah.

( c ) a : ( - 3 , - l ) . b : ( - 2 . - 4 >( d ) a : ( 4 , - 5 ) , b : ( - 8 , l 0 )

dan b, dan gambarlah.

( c ) a : - i + 3 j ,

( d ) a : v ' 3 i + j ,

b : 3 i - 9 j. ; .

[ : - . - r l * v - 1 J

( a )

(c )

5. Tul islah vekt->

yang digambarkan oleh AB dalam bentuk t= ctr i + a2i.

( b ) , 4 ( 0 , 5 ) , B ( - 6 , 0 )(d ) l ( -J , 2 ) , B( - 4 , l )

7. Apabila u + v tegaklurus pada u - v apakah yangbesar relat i f dari u dan v?

tul islah vektor tersebut dalam

t 1 \r L /

dapat anda katakan tentang

8 . B u k t i k a n b a h w a ( u + r ' ; ' ( 3 u - r ' ) : J i u l t - l v i r + 2 u ' r ' .

Dalam Soal 9-12, beri lah bukti si fat yang tertul is di bawah ini. Gunakan u = (ue u2),v = (u l , u2) , danw = ( w1, w2)

' \' . . 6.,)Tentukan sebuah vektor satuan u dengan arah a dan

bentuJiu =t t r i+uzy

( a ) a : ( - 3 , 4 ) ( b ) a : ( 1 , - 7 )

( c ) a : ( 0 . - 2 ) ( d ) a : ( - 5 . -

9. (rr * b)u .- ou + bu I l . c '(u ' r ' )

1 0 . - u ' ( v * r v ) : u ' v + u . r + 1 2 . J i k a u

I 3. Tentukan sebuah vektor yang searah dengan 3ipanj ang vektor t ersebut.

14. Tentukan sebuah vektor yang berlawanan arah

: ( t ' u ) ' r

* . " = u , n t a k a v = 0 .

-_ 4j dan yang panjangnya tiga kali

dengan 5i + i2j dan yang panjang-

nya satu.

I 5 . Bukt ikan bahwa vektor (6 , 3) dan ( - I , 2) iegak lurus.

16. Bukt ikan bahwa vektor ( -5 , \6) dan (J21, 15) tegak lurus.

17. Tentukan c agar vektor (c, 3) tegaklurus pada vektor k, -4).

18. Untuk ni lai c yan1 manakah, 2ci - 4j tegirklurus pada 3i + cj.

" 19. Diketahui vektor a = 3i - 2j dan vektor b = - i + 4i, dua vektor yang t idak segaris(yaitu sudut 0 antara a danb memenuhi 0 < 0(-n). Diketahui pula vektor r = 7i - 8j.Tentukan skalar k danru sehingga r = ka + mb.

20 . D i ke tahu i a = -4 i + 3 j danb = 3 i - j ( duavek to ryang t i daksega r i s ) .Adavek to rketiga r = 6i - 7 j . Tentukan skalar k dan n sehingga r = ka + mb.

21. Andaikan a = ar i+ oz j dan b = b i+ bz j yangt idak segar is . Andaikanvektor r=r . : ,+ rz i vektor sebarang pada b idang a dan b. Tentukan ska lar k dan ln seh inggar=ka*m b .

22- Ruktlkan bahwa vektor n = ai + bj tegaklurus pada garis ax t by = c. Petuniuk:

Anda i kan P r ( r r , ) , t ) dan P2 (xz , yz ) dua t i t i k pada ga r i s i t u . Buk t i kan bahwa n 'P1Pc = O

23. Tentukan besarnya ker ja yang d i lakukan o leh gaya F = 3 i + 10 j pon untuk me-mudahkan benda se jauh 10 kak i dengan arah vektor j .

I . r f

24. Tentukan kerja yang dilakukan oleh gaya sebesar 100 dyne dengan arah 70o ketenggara untuk memindahkan benda sejauh 50 sentimeter ke t imur.

-25. Tentukan keda yang dilakukan oleh gaya sebesar F = 3i + 4j pon untuk me-mindahkan benda dar i (1 ,0) ke (6 , 8) ;satuan jarak adalah kak i .

26. Tentukan kerja yang di lakukan oleh gaya F = -5i + 8j newton untuk'memindah-kan sebuah benda sejauh 12 meter ke arah utara.

27. Buktikan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz:

l u . v l < l u l l v l

28. Buktikan Ketaksamaan Segitiga (lihat gambar):

Petunjuk:

l u + v l < l u l + l v l

l u + v l t : ( u + y ) ' ( u + v ) : u ' u * 2 u ' v J - v ' v

: l u l t * 2 u . v + l v l 2

Gunakan hasi l Soal 27.

13.4 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

Kita ingat kembali pengertian sebuah fungsi /, yaitu sebuah kaidah yang memadankansetiap anggota f dari sebuah himpunan (daerah asal) dengan nilai tunggal /(r) anggotahimpunan lain (Gambar 1). Himpunan nilai-nilai demikian disebut daerah nilai fungsi /.Hingga sekarang fungsifungsi yang diperoleh masih berupa fungsi bernilai- rill (bernilai-

skalar) peubah riil;dengan kata lain, baik daerah asal maupun daerah nilai masih berupahimpunan bilangan-bilangan riil. Salah satu contoh ialah f(t) = 12; fungsi ini memadankantiap bilangan riil f dengan bilangan rrll t2 ,

" Kita akan menyajikan sekarang perluasan daerah nilai (Gambar 2) dalam arti bahwanilai tungsi kita dapat bernilai vektor. Suatu fungsi F bernilai vektor dengan peubah ri i l rmemadankan tiap bilangan riil / dengan satu vekr.rr F(r). Jadi,

F(r) : f ( t ) i + s(t) j : ( l ' ( t ) ,s( t )>

dengan f dan g fungsifungsi bernilai bilangan riil. Misalnya

F ( r ) : t 2 i + , t j : ( t ' . n ' )

Perhatikan penggunaan huruf tebal untuk vektor; ini membedakan dengan mudah vektorfungsi dan skalar fungsi.It

14E

Daerahasal

GAMBAR 2

KALKULUS FUNGST VEKTOR Konsep paling mendasar dalam kalkulus adalah limit.

Secara intuisilT Utrl = L berarti bahwa vek;tor F(r) menuju ke vektor L apabila / menuju c

atau vektor F(r) - L menuju vektor 0 apabila t '+ c (Gambar 3). Definisi ei, 6 limit sesuai

dengan hal yang sama untuk fungsi bernilai ri i l dalam Pasal 2.5.

G A M B A R 3

Daerahasa I

C A M B A R 1

Daerahn i l a i

Daerahn i l a i

r ; ) 0 a d a ' b i l a n g a n d ) 0

- c l ( 6; yai tu

Def inisi

Mengartftan bahwa l*

Uttl = L berarti bahwa untuk tiap

sedemikian sehingga lF(t) - Ll ( e asal sqia dipenuhi 0 ( ir

0 < l t - c l < d + l F ( r ) - L l < e

Perhatikan bahwa sekarang lF(f) -- Ll menggambarkan panjang vektor F(/) - L'

Apabila kita menyatakan F(r) dengan komponennya /(r) dan g(r), kita memperoleh

suatu teorema penting. Buktinya kita berikan dalam Lembaran Tambahan Pasal A-1,

Teorema D.

Teorema A

Andail<an F(r) = f(t)i + g(/I. Maka F memiliki limit di c jika danhanya jika/dan I

memiliki limit di c. Dalam hal ini berlakulah

1T't'i :

[i'l rt'r]' . [l'l otrr]l

I

6 t t v ^ L v r

149

Semua sifat-sifat limit berlaku untuk fungsi vektor. Juga kekontinuitas memiliki artiyang serupa; yaitu F kontinu di c apabil.lfl F(r) = F(c). Dari Teorema A di atas, jelaslah

bahwa F kontinu di c jika dan hanya jika f dan g kontinu di c. Akhirnya, turunan F'(r)didefinisikan seperti untuk fungsi bernilai skalar- riil sebagai berikut

F'(r) : 11-f t - 0

F ( r + f t ) - F ( r )

Pertama ini dapat juga ditulis dalam komponen-komponennya.

F'(r) : 11p-1h - O

h-o I t

: l ,Q) i + g, ( t ) j

Secara singkat, apabila F(r) : f (t)i

t-&!Lrat2!l - t/(r)i +s1rxlh

i + l i mf t - 0

s ( t + h ) - g ( t )

+ g(r[, maka

F'(r) : .f '(r)i + s,(t)j * (_f ,(t), g,(t))

IONTOH I Jika F(t) = (t2p"(o).

'enyelevion F'1r; = (2t +dan

+ r)i + eJ, tentukan F'(r), F"(r), dan zudut 0 antaraF'(O) dan

l)i + etj dan F"(r) = 2i + eti. Jadi,F'(O) = i +j, F"(0) = 2i+ 1,

^^^ , t F ' , (0) . F, , (0)C O S ( / :

I F ' , ( O ) | | F " ( 0 ) |

0 = Q32lS (kira-kira

( l ) ( 2 ) + ( l ) ( l )

" / l ' + l ' . /2 ' + 12

l g,43o)

aJ

ATw

Di bawah ini diberikan kaidah-kaidah pendiferensialan.

Teorema B

(Rumus Pendiferensialan). Andaikan F dan G fungsi vektorh zuatu fungsi bernilai skalar riil yang terdiferensialkan dan c

l . D , [F ( r ) + G( r ) ] _ F , ( / ) * G , ( r ) ;2 . D, [ r 'F( r ) ] * r .F ' ( r ) ;3 . D,Lh( t )F( / ) .1 - h( r \F ' ( t ) * / r , ( r )F(r ) ;4 . D , [ F ( r ) ' G ( r ) ] _ - F ( r ) . G ( r ) + G ( r ) . F , ( r ) ;5. D,lF(h(r)) l : F'(/ t(0)h'(t) (Aturan Rantai).

yang terd iferensialkan,sebuah skalar. Maka:

L52 .

Penyelevrfun Vektor posisi pada saat r adalah

r ( r ) : r c o S ( r ) / i

Sehingga

\ a lKu lus L l , i r , l l \ t g \ J r r r vL l l n l r 4uL r r r uv '

v(r)

a ( I )

* r sin r,;rj

: - t 'e) sin cori * ra cos corj

. i .: - f (r)" cos rr;Tl - ra)' sin olrj

Perhatikan bahwa

a ( l ) : - u z r ( t )

Jadi apabila a kita bayangkan berpangkal di P, a mengarah

pada v (Gambar 6).

ke titik asal dan tegaklurus

CONTOH 4 Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak

3 cos f dan y = 2 sin /, dengan / menggambarkan waktu'

ffi

pada bidang adalah x =

(a) Gambarlah grafik lintasan P.(b) Tentukan rumus untuk kecepatan v(r),[aju lv(r)1, dan percepatan a(r)'

i.) Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat manakah nilai itu di

capai.(d) guktikan bahwa vektor percepatan yang .berpangkal di P selalu menuju ke titik

asal.

G A M B A R 6 G A M B A R 7

Penyelevfun

(a) Oleh kare na x2 19 + y2 f 4 = 1, l intasannya adalah

Gambar 7.(b) Vektor posisi adalah

sebuzrh elips yang ada Pada

r ( t ) : 3 c o s t i + 2 s i n l j III.i

.rI

r-

/ 1/

t l

\

1 2/

./-/

X

r ( t ) : 3 c o s f i + 2 s i n t j

('sorne[n pa(ra blcang,. veKtor

sehingga berturut-turut kita memperoleh

v ( r ) : - 3 s i n f i + 2 c o s r j

153

lv ( r ) l :

a(r) :

. a r ^:---. --_-'--

, / 9 s r n " t + 4 c o s , t : J 5 s i n 2 t + 4

-3 cos t i - 2 s in r j

: (1 r 'o cos 0) i * ( ruo s in 0 - l6 /2 ) j + K

(c) Oleh karena laju ditentukan oleh \61i", / + 4 nilai maksimumnya adalah 3 padasaat sin t = tl, yaitu, apabila t = nf2 atau 3n12. Untuk nilai r ini, kita peroleh titik(0' !2) pada elips. Begitu pula laju minimum, yaitu 2,dicapaipada saat sin / = 0,yang memberikan titik_titik (r3, 0).

(d) Perhatikan bahwa a(r) = -r(r). Jadi, apabila pangkal a(r) kita ambil di p, vektor iniakan menqar_ah ke dan ujungnya akan tepat ada di titik asal. Maka la(r)l palingbesar ada df (11, 0) dan paling kecil di (0, t2). ff i

CONTOH 5 Sebuah peluru ditembakkan dari titik asal dengan arah zudut 0, yaitu zudutantara arah tersebut dan zumbu x positif. I-aju awal adalah ue kaki tiap detik (Gambar8)' Abaikan gesekan dengan udara. Tentukan rumus untuk kecepatan v(r) dan posisir(r). Buktikan bahwa lintasan peluru adalah sebuah parabol.

GAMBAR 8

.Penyelevian Percepatan yang diakibatkan oleh gaya berat adalah a(r) = -32j kaki tiap

detik. Syarat awal adalah r(0) = 0 dan v(0) = us cos 0i+ uo sin gj. Dimulai dengana(r) = -32j, kita integralkan dua kali.

v ( r ) - 3 2 r l t i : - 3 2 t j + C

Syarat v(o; = us coS gi + po sin 0j, dampak memberikan konstanta C, yaitu c -uq coS 0i + po sin 0j. Jadi,

v(r) : (uo cos 0)i + (uo sin 0 - 32t)j

:Jut"u':I

dan

r ( r ) :^'ro

o'

Syarat (0) = 0 menghasilkan K = 0, sehingga

r(r) : (ruo cos 0)i + (ruo sin 0 - l6rr) i

154 . aKutus oan beomerrl Anarrrls rl l lu z

Untuk menemukan persamaan lintasan, kita mengeliminasi f dari persamaan

1

Apabila nilai /an kedua. Kita

x : (uo cos 0)t, -), : (f o sin g)r - l6t2

yang dihasilkan oleh persamaan pertama disubstitusikan ke dalam persama-

peroleh

/ 4 \ , ,' r , : ( t a n g ) x - ( - . ^ 1 . - '\ ' - - - - - / " \ r . o COS U /

persamaan tersebut adalah persamaan parabol. n

soAL-soAL 13.4

Dalam Soal 1-8, hitunglah limitlimit ini tidak ada.

l . l i m [ 3 r i - t ' j ]r - I

yang bersangkutan apabila ada atau sebutkanlah bahwa

7. l im[(r - 2) ' i + 4t j ft - 2

I t - 2 . 1 2 + I - 6 . - l3 . l i m l , . i + ^ j l

, - z U ' - + r - l I

l r t - 9 . r : + r - 6 . - l- t . l i r n l - - - i o * j l

- - . . 1 t + - t I ' - 9 " J I

f s i n r . r . l :) . l l n l l - r + ; J l

, * o L t e ' . - l

[ s i n r . t ) + 1 . - lb . l i m l - i + ; ; r - ; , I I, . , 1 r 2 r - J r J

/ , \7.

, lp<,n1r ' ) . r rn r ) 8.

, ' ] : l \ . " , i ; j /

9. Apabila dalam definisi fungsi fektor tidak diberikan daerah asalnya, kita anggap

adalah himpunan semua skalar riil yang memberikan vektor-vektor riil, yaitu vektor yang

komponennya riil. Tentukan daerah asal fungsi vektor berikut

I

( a ) r ( r ) : - - - " i * . , 4 + r jI - L

(b) r ( r ) : f r l i - . l ' i - i ; I r l ada lah "b i langan bu la t pa l ing besar" yangkurang atau sama

dengan /.

10. Sebutlah daerah asal fungsi vektor berikut.

( a ) r ( r ) : h r ( t 2 + l ) i + ( t a n - 1 r ) j( b ) r ( r ) : l n ( 2 t ' ) i * ' ( O - I ) t : '

I I " Untuk nilai / manakah fungsi dalam Soal 9 kontinu?

12. Untuk ni lai f manakah fungsi dalam Soal 10 kontinu?

ueometrl paoa Itrcang, veKtor

,j l. .fentukan Dsr(t) dan D!{t) fungsi berikut.'-.</t

' (a ) r ( r ) : (2 r * 3 )2 i - c2 ' j(b) r ( r ) : cos 2r i - s in3 r j

,{ 4) Tentukan r'1r; dan r,,(r) fungsf berikut.\_-/( a ) r ( r ) - ( c ' * r , - ' ) i - , , " j(b ) r ( r ) : tA I l r i - 2 rs 3 j

15 . J ika r ( t ) : e2 ' i + l r r ( r r ) j . ten tukan D, [ r ( r ) . r ' ( r ) ] .

16. J ika r( t ) : s in 3r i - cos 2r j . tentukan D,[r ' ( r ) . r , ' ( r ) ] .

17. J ika r(r ; : r r*-- l i + ln(2r2) j dan l t ( t ) : e-3 ' . tentukan D,[ l r ( r ) r ( r ) ] .

18 . J ika r ( r ) : s in 2 r i * cosh r jdanh( r ) : ln (3 r - 2 ) , ten tukanD, [ / r ( r ) r ( r ) ]

Dalam Soal 19 dan 20, F(r) = f(g(r)). Tentukan F'(r) pada suku-suku dari r.

' 1 9 . f ( i l ) : c o s r r i + c . ' , j d a n g ( r ) : 3 r 2 ' - 4 .

2l l . f ( r r ) : u2i + s in2 rr j dan g(r) : tan r .

Hitunglah integral dalam Soal 2 | dan 22.p l

z t . | 1e , i + e - , j ) d tJ 0

^ l

. . 22 . J_ , t ( l

+ r )3 ' i + ( l - r ) . ' r i l a t

Dalam Soal 23-30', pcsisi sebuah partikel pada saat / ditentukan oleh r(r). Tentukankecepatan dan percepatan v(r) dan a(r) dan laju pada saat f =f1. Gambarlahbagiangrafikr(r) yang memuat posisi P partikel tersebut pada saat t = tr. Gambarlah v(r1) dan a(r1)dengan pangkal di P.

23. r(r ) : e- t i * e ' j ; r r : I

24. , r ( t ) : (3t2 - t ) i + r j ; r ,

25. r ( t ) : 2 cos r i - 3 s in2 r j ;

26, r ( r ) : tan r i * s in r j ; r r

27. r ( r ) : 3r2i + t3 j . . t t : 2

28. r(r) : a s in t i + b cos l j ;

r b b

, i

iii

_ l- 2

nt l - -

n

6

29.

30.

r(r) : cos r i - 2 tan r j :

r ( t ) : e ' '2 i + c - ' j ; r , :

7la l - -

T

TL_ - ;4

Dalam Soal 3I-34, gunakanlah yang diketahui untuk menentukan vektor kecepatan v(r)dan vektor posisi r(l) (lihat Contoh 5).

KalKulus dan ueometn Analitrs Jrnd'z

3 1 . a ( t ) - - 3 2 j , v ( 0 ) : 0 . r ( 0 ) : 6

32. a(r) : t j . v(0) : i * 2j, r(0) : $

3 3 . a ( r ) : i + e ' j , v ( 0 ) : 2 i * j , r ( Q ) : i + j

34 . a ( t ) : *cos r i + s in r j . v (0 ) : i , r (0 ) : i + 3 j

35. Sebuah titik bergerak sepanjang lingkaran x2 + y2 = 25 dengan laju sudut tetap6 radian t iap detik dan berawal di (5, 0). Tentukan r(r), v(r), lv(r) l Can a(r) ( l ihat Contoh 3).

36. Sebuah t i t ik bergerak sedemikian rupa sehingga lajunya tetap, yaitu v(r) . v(r) = c,(c konstanta). Buktikan bahwa vektor kecepatan dan v6ktor percepatan selalu tegaklurussatu sama lain.

37. Dalam Contoh 5, andaikan 0 = 30" dan vs = 96 kaki t iap detik. Tentukan saatpelurr; jatuh; tentukan juga laju dan jarak jatuhnya peluru dari titik asal.

38. Sebuah t i t ik bergerak pada bidang dengan percepatan tetap ^ = aj.Buktikanbahwa lintasannya adalah parabol atau sebuah garislurus.

39. Sebuah titik bergerak pada sebuah hiperbol x2 - y2 = I dengan vektor posisi

dengan , sebuah konstanta r*::; ;;T;:Iri, dengan c sebuah konstanta yangpositif .

40. Sebuah titik bergerak pada elips x2 b2 + y'lb' = I dengan vektor posisi

r(t) : ri cos turi * b sin rr-rrj

dengan r'r konstanta. Buktikan bahwa a(t) = cr(t), dengan c konstanta yang negatif (lihatContoh 4) .

41. Daiam sebuah permainan kasti, sebuah bola dipukul dan meninggalkan pemukuldengan sudut 45o dengan arah mendatar. Bola tersebut jatuh di tanah sejauh 300 kaki daritempat pemukul bola. Berapakah kecepatan awal bola tersebut? (Lihat Contoh 5).

13.5 Kelengkungan dan percepatan

Kita hendak memperkenalkan bilangan yang disebut kelengkungan. Kelengkungan inimengukur seberapa tajam sebuah kurva melengkung. Kelengkungan sebuah garis seharusnyanol' sebuah kurva yang berbelok tajam harus memiliki kelengkungan yang agak besar(Gambar 1). Untuk memberikan ketentuan tentang kelengkungan, kita mengingat kembalipemikiran lama dan memperkenalkan beberapa pemikiran baru.

Andaikan untuk ? <t !b, r1t) =/(t)i + g(r)j adalah vektor posisi t it ikp =qt)pada

bidang. Andaikan r'(r) ada dan kontinu dan t\t1 + 0 pada selang [a,b].Maka(lih;i iasal6'4) apabila / nilainya naik, P bergerak sepanjang sebuah kurva yang nwlus (Gambar 2),panjang lintasan s = h(t) dari,(a) ke (r) ditentukan oleh

.s : lr(r) i l l ' ' (u)1, + lg,(u) l tOr: f"If v

9 Alr '(u)l du

Geometri pada Bidang, Yektor

Kelengkung-a n n o l

Ke lengkung-an kec i l

GAMBAR 1

I-aju titik yang bergerak itu adalah

l a7

GAMBAR 2

ds; : l r ' ( r ) l : l v ( r ) l

Oleh karena r'(r) + O, maka l(f)l > 0. Dengan demikian s naik apabila f naik. Dengan

menggunakan Teorema Fungsi Balikan (Teorema 7 .28),s = ft(t) memiliki balikan r = &-t(s)

dand t 1 1

ds dsldt lv(r) |

Andaikan T(f), yang disebut vektor singgung satuan di ̂ P(t), didefinisikan sebagai

r ' ( r ) Y( r )r(r): ff i : notApabila P(i) bergerak sepanjang kurva, vektor satuan T(r) mengubah arahnya (Gambar 3)'

.perbandingan perubahan T terhadap parrjang busur s, yaitu dTlds dinamakan vektorkeleng-

kungan or P. Akhirnya, kita mendefinisikan kelengkungan r (kappa) di P ditentukan se'

Uagai besaran dTlds. Jadi x = 1dl ldsl. Dengan menggunakan Aturan Rantai kita peroleh

dT dT dt T ' ( t )

r /s dt t ls lv(r) I

GAMBAR 3Vektor s inggung

satuan T(t )

r06

Jadi,

Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2

K _,lT I lT'(r)l- _ | :d r l l v ( t ) l

BEBERAPA CONTOH PENTING Untuk meyakinkan anda bahwa ketentuan kita menge-nai kelengkungan masuk akal, kita berikan beberapa contoh.

CONTOH I Buktikan bahwa kelengkungan garis lurus adalah nol.

Penyelevian Hal ini adalah akibat dari sifat bahwa T adalah vektor yang tetap. Untu\menggunakan metode vektor, kita akan membuktikan sifat terrybut secara3rljabar.Andaikan P dan Q dua titik tetap pada garis dan andaikan a = OP danb = N. Makabentuk vektor untuk persamaan garis dapat ditulis sebagai (Gambar 4)

r : r ( r ) : a * t b

GAMBAR 4

v ( r ) : r ' ( r ) : 5

f i / \ bl t n - _

tb l

lr '(r) |I v(r) |

CONTOH 2 Buktikan bahwa kelengkungan lingkaran di tiap titiknya adalah K = lfa,apa-btla a radius lingkaran itu (Gambar 5).

Penyelevian Ambil lingkaran dengan pusat di titik asal sistem koordinat Cartesius. Makapersamaan vektor lingkaran itu adalah

r(r) : a cos ti * a sin rj

fr:o

Geometn pada tsldang, veKtor

GAMBAR 5

Sehingga,

v(r) : r ' ( r ) : -c s in t i + a cos t j

v ( t ) Y( t )T ( t ) : : " : - S l n t i + c o s t j

l v ( t ) l a

l T ' ( r ) l l - cos r i - s i n r j l 1- - : -- n -

l v ( r ) l o a

Oleh karena k adalah kebalik.n ,.dirrr, makin besar lingkaran makin kecil kelengkung't

annya.

C-ontoh lingkaran di atas menimbulkan pemikiran baru. Andaikan P sebuah titik pada

sebu-ah kurva.dengan x * O. Perhatikan lingkaran yang menyinggung kurva di P dan yang

kelengkungannya salna, yaitu x pusalnya akan terletak pada bagian cekung kurva' Lingkar'

an ini dinamakan littgk"tan'tc"tengi<ungan (atau lingkaran askulasi). Radiusnya adalah

R = I lx yang dinamakan radius kelengkungan. Pusatnya dinamakan pusat kelengkungan'

Konsep-konsep ini diperlihatkan pada Gambar 6.

Kurva GAMBAR 6

CONTOH 3 Tentukan kelengkungan dan radius kelengkungan hiposikloid

r : 8 c o s 3 r i + 8 s i n 3 r j

di titik P dengan t = nl l2 . Gambarlah lingkaran kelengkungan di P

Lingkaran kelengk u nga n

Kurna

Pusat ke-lengkungan

t6u

Penyelevion Untuk0< t1 r12 ,

v(r) : 1'11;

I v(r) |

T(r)

T'(r)

l r ' ( t ) |h ' ( / ) : -

I v( r ) |

KalKulus dan Geometrt Analttis Jil ld 2

+ 24 sin2 r cos r j

I

2 4 r * r . " t r

Gambar 7. Perhatikan bahwa

sudut yang diukur berlawanancos @i + sin dj, sehingga

- 24 cos2 r sin ri

24 sin t cos t

- cos r i + sin r j

sin r i * cos r j

ls in t i * cos r j I24 sin r cos I

I

I

n ti" 2t

1n1

6

I

Grafik hiposikloid yang diminta diperlihatkan pada

koordinat P kira-kir a (7 ,21 , 0,14).

GAMBAR 7

RUMUS LAIN UNTUK KE LENGKUNGAN Anda ikan @arah putaran jarum jam antara i ke t (Gambar 8). Maka, T =

16

,'(;) :

^(#) :

'fr : - sin tDi + cos @j

Lingkara n kelengk u ngan

Hiposik lo id

ueometrl paca l ' loang, vektor

Sekarang dTld| adalah vektor satuan (vektor dengan panjanglanjutnya,

1 ) d a n T .

161

dTldp = 0. Se'

ldrK : . 1 ,

I rlsldr do: la6'E

l , tTldo

sehingga

I d4,K : 1 .

I r/s

Rumus untuk x ini sesuai dengan pengertian kelengkungan yang alami yaitu bahwa r ter-

sebut mengukur perbandingan perubahan zudut @ terhadap busur s. Hubungan tersebut

dapat digunakan untuk membuktikan teorerna di bawah ini.

Bukti Lihatlah Gambar 8

d4)r/s

. , dy dyldt y'I a n O - - .' dx dxldt x'

Diferensialkan ruas kiri dan ruas kanan terhadap f , maka

, , dQ v '1r ' - 1" x"s e c - 9

d t : * - - ; T -

GAMBAR 8

Teoryma A

Andaikan x = f(t)dany = g(t) adalah persamaan parameter kurva yangmulus. Maka

I x' )/' - y'x" IL . - ' J r l

[* ' ' + ,"21312

Khususnya, untuk kurva dengan persamaany = g(x), berlaku

I 1," Ir c : f f iLr

-r "y J.

Lrl.Z .

atKUlUS Can \teometn Anautls JIUO 2

Sehingga

#:#+:ffi,x'1/' - 7/ Y" x'1/' - Y'x"

: , ' l ; , o ; , x

: - z , - . ' z

x ' ' ( l * ) " ' l x ' ) r - + ) '

Jadi

K _, tO | | a6 ar I l , tO d' I ldf ldt ld, I

: Ianl

: la

* al : G'2 + )r2fw

Apabila hasil dqldt dizubstitusikan ke dalam rumus untuk x, kita peroleh rumus yang per-tama yang hendak kita buktikan, yaitu

lx' j'' - Y'x" lK:G\jryn

Untuk memperoleh rumus kedua, anggaplah persamaan y = g(x) sebagai hasil elirninasi

f daripersamaanx = t,! =g(f), sehinggax'= I danr" = 0. Makadiperoleh rumuskedua.,

CONTOH 4 Tentukan kelengkungan elips

x : 3 c o s I , . ) , : 2 s i n r

Pada titik dengan f = 0 dan t = 1Tl2,,yaitu masirg:masiflg (3,0) dan(0,2). Gambarlah

elips itu dan lingkaran kelengkungan di titik tersebut.

Penyelevian Dari persamaan

. x ' : - 3 s i n t y ' : 2 c o s r

y " : - 3 c o s t y - " : - ' 2 s i n r

Kita peroleh,

' x '1 " ' - J " - \ " 6s in2 t + 6cos2 r, r : r - r 1 r l : . ; -

L X r + J l 2 l 3 t 2 - t 9 s i n 2 r

* 4 c o s 2 t ) 3 t z

6: [5 s in2 r r - 4 ]3r

Sehingga

6 3r ( o ) :

4 ' . , : 4

/ n \ 6 2. \ t / :

s 3 t 2 : tl

IIA

.*2

Geometri pada Bidang, Vektor163

Andaikan P=4t) sebuahdinamakan vektor normal

(0,2l

( , 1.n

\

/ -\z)x

GAMBAR 9

KOMPONEN NORMAL DAN TANGENSIAL PERCEPATANtitik pada sebuah kurva yang mulus. Andaikan N = N(t) yangsatuan diP. Kita definisikan N sebagai berikut

Perhatikan bahwa rc(O) melebrhi x@12), yung cocok dengan kenyataan. pada Gambar 9dapat dilihat lingkaran kelengkungan di (3, 0) yang beiadius f aan di (0, 2) denganr ad ius f .

- 3 - - - -

r e

sefuingga

Oleh karena T - eoS di + sin @j, dan seterusnya

dT lds l dTldTldsl rc.r/s

#t*: (-sin / i * cos oi l ! ,*

N -

dTds

tadi T' N = 0' Dengan demikian, N adalah vektor satuan yang tegaklurus pada T dannenga/ah ke bagian cekung kurva tersebut (lihat soal 2g).

Kita ingin menyatakan vektor percepatan a dalam T dan N; yaitu kita ingin meng-traikan a menjadi komponen singgung dan komponen normal kurva. oleh karena vektorlecepatan v memenuhi

v: l r t f= f f

rb4

maka

KalKulus dan Ueometrt Analrtrs Jrlid 2

tlv d2 s. r - ' - - : a

d t t l t '

d2.s: ; ; T *t l t -

r/s ,17T * . .

d t t l l

rls dT r/s

, t tEn

Sehingga,

hubungan terakhir ini dapat pula dil ihat pada Gambar 10.Mari kita tafsirkan hasil ini untuk pengendara mobil yarLgmenginjak pedal gas sewaktu

mobil itu meluncur pada sebuah jalan lurus dan kemudian melewati belokan menurutHukum Newton, gaya adalah massa kali percepatan. Jadi gaya yang bekerja pada mobildengan massa m adalah

F : t l ' a : r r ( ] t + , , , u ( { \ t nd t ' \ d t I

Si pengendara dengan massa ms juga mengalami pengaruh gaya. Pada jalan yang lurus de-ngan K = 0, ia merasakan brsaran tolakan.tempat duduk sebesar msdzsfdtt,yungdiakibat-kan oleh terinjaknya pedal gas. Pada waktu melewati belokan, ia merasakan tolakan gayasearah dengan lengkungan kecekungan sebesar msx(dsldt)2. Perhatikan bahwa tolakan inisebanding dengan kelengkungan kurva dan dengan kuadrat laju. Makin tajam kurva danmakin cepat mobil itu melaju makin kuat pula gaya tolakan itu.

CONTOH.5 Sebuah partikel bergerak sedemikian hingga r(t) = t2i+ *tt j,f > 0. Nyatakana(f) dalam T dan N, dan hitunglah a(/) 'untuk t = 2.

G A . M B A R 1 O

. (,f)'"*u: * ror -

L'eometn pada Bidang, Vektor

PenT,elevion

Sehingga,

dan

a(2) :

v(r) : 2t i + t2 j

ds

; : lv(r) l : 1 i / . , I : yrQ a 1z

IttS

d2s 4 + 2 t2

( f i ' . 4 + _ t 2

. -/.irf I.\ '1"' - J,'.\ ', 1 /,i.r\ tK l - l -^\Al - 1tz;;-1r.2 \;/

: I x')"' - )'' x" Idsldr

2 t2l (2t ) (2t ) - ( t , ) (2) l

rr/4 + 12 r l4 + 12

2r- ^

1'4 + t '

r/2 sa ( l ) : - r T +

( l l -

4 + 2 t 2

,/4 + t2

/ r / s \ :

"(,al *

r+-4xl+ + t2

4

' . 'e * : 3r l r +

" :x

1 2

ar't 8T+

w

Kita telah menyatakan a dalam bentuk

a : e r T + a n N

di mana komponen tangensial dan komponen normalnya adalah

n, : '# dan 4N : , . ( ; - ) '\ /

Untuk menghitunB a.nr, tampaknya kita harus menghitung K. Ini dapat kita hindari denganrnengingat bahwa T dan N tegaklurus, sehingga

l a l ' : u l .+a f i

Kita gambarkan.

166 . KalKulus clan Geometrr Analitis Jitid 2

CONTOH 6 Tanpa menghitutrB K, tentukan a7 dan ap untuk gerak yang ditentukan oleh

r = tzi + +t3j, dengan t > 0.

Penyelesian Gerak di atas sama dengan gerak pada Contoh 5, oleh karena itu cara per-

hitungan o7 srrrr? dengan cara yang digunakan dalam contoh tersebut.

2ti ) tr-J

a : 2 i + 2 t i

c/s

; : l v l : t i 4 + t 2

d2snt t T -

: - 2u t

4 + 2 t 2

Q11

SOAL.SOAL

Dalam Soalt i t i k f : 11 .

l . r ( r ) : 4 t z i + 4 r i t r : I

: . , i ( r ) : j t2 i + i r ' j r 11 : I

. 3 . r ( t ) : 4 c o s r i + 3 s i n r j , , , : I

{ r = r ( r ) : e ' s i n t i + e ' c o s t j : t r : 1L

Dalam Soal 5-14, gambarlah kurva untuk titik yang diketahui. Tentukan kelengkungandan radius kelengkungan. Akhirnya, gambarlah lingkaran kelengkungan di titik tersebut.Petunjuk: Untuk kelengkungan gunakanlah rumus kedua dalam Teorema A.

5 . ) ' - x 2 , 1 1 , l ;

6 . ) ' : x (x - 2)2 , (2 ,0)

7 , j ' ' : x * 4 , ( - 3 , - l )

8 . ] ' : ln .x , (1 . 0)

9. - l ' : e' - x, (0, l)

10. r ' : cos 2.r, (*n, i)

I l . r ' : cosh j.x, (0, l)

| 2. r ' : ln sin r, (in, - 1n.,,?;

/n i i13 . 1 ' : s i n . t . { ;

\ - - }

\ 4 z /

l { . r ' : t a n . \ , f , t )\ 4 /

l+ + t2

Dengan demikian, maka

al, : 1a12-a? :4 + t 2 -(4 + 2t2)2 4t'

4+ - f : 44

r_-.---.-=

"/4 + r '

13.5 r

l-4,.tentukan vektor sin$gung satuan T(r) dan kelengkungan x(r) di sebuah

Geometri pada Bidang, Vektor 167

Dalam Soal I 5- 18, tentukan titik pada kurva yang kelengkungannya paling besar.

' 1 5 . - r ' : l n x

16. ) ' : c '

1 7 . 1 ' : s i n x ; - r - < l ( z

I tl. t' : cosh ,r

Dalam Soal l9-22, tentukan komponen tangensial dan komponen normal (a7 dana1,r)vektor percepatan di r. Kemudian hitunglah untuk t = t r. Lihat Contoh 5 atau Contoh 6.

1 9 . r ( r ) : t 2 i + t j ; t , : I

! ! . r t r l - (2 t + l ) i + ( r ' - 2 ) i , t ,

2 1 . r ( r ) : d c o S t i + u s i n t j ; r , :

2 _ 2 . , r ( t ) : 4 c o s s t i + 4 s i n 3 r j : r , : i

23. Dengan menggunakan definisi dari vektor N, yaitu

* dT ldsr\ : rdrl,/t

buktikanlah untuk parameter sebarang r bahwa

dTldt\ - - - - -

ldr ldr I

24. Gunakan rumus Soal 23 untuk menentukan N pada elips:

r(t) : rr cos rori + b sin arrj

25. Gambarlah lintasan partikel, apabila vektor posisi adalah r = sin r i + sin 2r j,.0 < t { 2n (grafiknya akan berbentuk angka delapan). Di marrakah percepatannya nol?Di manakah vektor percepatan mengarah ke titik asal sistem koordinat?

', 26. Vektor posisi sebuah partikel pada saat t > 0 adalah

tI

I

I_ _ l

' L

6

r(t) : (cos r * r sin r)i + (sin r -.r cos r)j

l i t . ) Bukt ikanbahwa la judsldt =t ."lfbl Buktikan bahwa dT = I dan oN = t.

i 27. Apabila untuk sebuah partikel, aT = 0 untuk semua f, apakah yang dapat andalsimpulkan tentang laju? Apabila ap = 0 untuk semua r, apakah yang dapat anda simpulkanIentang kelengkungan?\, 28. Buktikan bahwa N mengaran ke arah bagian cekung kurva. Petuniuk: Buktikanierlebih dahulu.

N : ( -s in r l i + dr l t ' t ls

cos qJ) l;/,4,/t

dQlds ) 0 (kurva membelok ke kiri) dan kasus dQlds 1Oterhatikan kemudian kasushurva membelok l le kanan).i

I

168

29. Buktikan bahwahadap s.

Kalkulus dan Geometri Analitis Jifd 2

N tegaklurus pada T dengan mendiferensialkan T'T = I ter-

13.6 Soal-soal Ulangan Bab

KUIS BENAR.SALAH

Jawablah dengan benar atau salah pernyataan di bawah ini. Bersiaplah untuk mempertahan-

kan pendirian anda.

1. Persamaan parameter suatu kurva adalah tunggal.

2. Grafik ,r = 2r3. .l' : 13 adalah sebuah garis.

3. Jika x = f(t) dan y'= g(t), kita dapat menemukan fungsi ft sehingga y = h(x).

4. Kurva dengan persamaan parameter .r : ln t dan.t' : t2 - 1 melalui titik asal.

5. Jika x = I(t) dan 7 = g(t) dan apabila f" dan g" ada, maka d2yldx2 = g"{t)lf"(t),untuk f"(t) * o.

6. Sebuah kurva dapat memiliki lebih dari satu garis singgung di sebuah titik pada kurva

tersebut.

7. Vektor 2i - 3i tegakhuus pada kurva 6i + 4j.

t l:;:Ua

u dan v vektor satuan, maka sudut 0 antara vektor-vektor itu adalah cos 0 =

9. Hasilkali titik vekior-vektor memenuhi hukum asosiasif .

10 . -Untuk t iap dua vek tor sebarangu dan v ber laku lu 'v l < lu l l v l .

1 1 . l u - v l : l u l l v l u n t u k v e k t o r t a k n o l u , v j i k a d a n h a n y a j i k a u k e l i p a t a n s k a l a r d a r i v .

1 2 . J i k a l u l : l v l : l u # v l . m a k a u : r ' : 0 .

I 3. Jika u * v dan u - v dua vektor yang tegaklurus, maka I u | : I v i.

1 4 . U n t u k t i a p d u a v e k t o r u d a n v s e b a r a n g , b e r l a k u l u * v l t : l u 1 2 + l v l t + 2 u ' v .

15 . Fungs ibern i la ivek tor \ f ( t ) ,g ( t ) )ada lahkont inud i r = a , j kadanhanya j i ka f dangkont inu d i t =a.

1 6 . D , [ F ( t ) ' F ( t 1 ] : 2 F ( r ) ' F ' ( r )

17. Kelengkungan kurva dengan persamaan .xsemua t.

18. Kelengkungan kurva dengan persamaan x = 2 cos t dan y = 2 sin f. adalah 2 untuksemua r.

19. Apabila T = T(t) adalah vektor singgung satuan pada sebuah kurva mulus, maka T(t)dan T'(r) tegaklurus.

20. Jika u = lvl adalah laju sebuah partikel sepanjang kurva yang mulus maka lduldt I adalahbesarnya percepatan.

= 3t + 4 dan y = 2t - I adalah nol untuk

Geometri pada Bidang, Vektor 169

SOAL.SOAL ANEKARAGAM

Dalam Soal 1-4, diketahui persamaan parameter sebuah kurva. Flilangkanlah parameteruntuk memperoleh persamaan Cartesius yang bersangkutan. Gambarlah kurva tersebut.

l . x : 6 t + 2 , ) , : 2 t , - : f . : < f < r o

2 . . x : 4 t ' . ) ' : 4 t : - l < t < 2

3 , . r : 4 s i n r - 2 , 1 ' : 3 c o s r * l ; 0 < t < 2 n

4 . I : 2 s e c t . ! , : t a n r : - ! < , a !2 2

Dalam Soal 5 dan 6, tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di r = 0.

5 . x : 2 t 3 - 4 t + 7 , J ' : r + l n ( r + l )

( r . - \ : 3e-t . l ' : 4e, '

7. Tentukan panjang kurva

X : C O S T + I S i N T

) ' : s i n r - f e o s r

antara titik dengant = 0 dan t = 2n. Gambarlah kurva ini.

8. Tentukan u dan lul apabila u adalah vektor dari p1 hingga p2.

( a ) P , : ( 2 , 4 ) , P z : ( - l , 5 )( b ) P , - ( - 3 , 0 ) , P 2 : ( - 4 , 5 )

9 . A n d a i k d r ! : < 2 , - 5 ) , b : ( 1 , l ) , d a n c : ( - 6 , 0 ) . T e n t u k a n

(a) 3a - 2b( c ) a . ( b + c )( e ) l c i c . b

( b ) a . b

(d) (aa + 5b) . 3c( f ) c . c - l c l

10. Tentukan kosinus sudut antara a dan b dan gambarlah.

( a ) a : 3 i + 2 j , b : - i + 4 j( b ) a : - 5 i - 3 j , b : 2 i - j( c ) a : ( 7 , 0 ) , b : ( 5 , . 1 )

I l. Diketahui a = -zidan b = 3i - 2j danvektor kltiga r = 5i - 4i,tentukan skalark dan rn sehingga t = ka + mb.

3 yang sejajar dengan garis singgung

10 dan yang membuat sudut sebesar

12. Tentukan sebuah vektor yang panjangnyapada y = x2 di t i t ik ( -1, l ) .

I 3. Tentukan sebuah vektor yang panjangnyal50o dengan sumbu x posi t i f .

14. Dua gaya F1 = 2i - 3j dan F2 = 3i + 12j bekerja pada sebuahti t ik. Tentukanlahbesar dan arahny^ Eaya yang harus bekerja pada titik itu untuk mengimbangi resultan

i keOua gaya tersebut?I

I 15. Arah manakah dan berapakah laju terbang sebuah pesawat terbang untuk men-I capai 450 mil tiap jam dan rnenuju ke utara apabila angin bertiup dengan laju 100 milI t ian jam dengan arah 60o timur laut.Il ,

k

170 .

16. Jika r(r) : (e' ' , r- '), tentukanlah

(a) l im r(r)t - 0

Kalkulus dan Geometri Analit is Jil id 2

r ( 0 + / r ) - r ( 0 )I D l l r m

h - o t t

S ln 2

(c) | r(r) r/rJ g

(d) D,Irr(t)]

(e) D,[r(3t + l0) ]

( f ) D,[r( r ) . r ' ( r ) ]

17. Tentukanlah r'(r) dan r"(r) apabila

(a) r(r) : ( ln r) i - 3r t j(b) r ( r ) : s in r i + cos 2r j(c) r(r) : tan ri - r4j

18. Tentukan panjang busur kurva r(r) = 4t3/2i + 3tidari r = 0 hingga t = 2.

Dalam Soal l9 dan 20, posisi sebuah partikel yang bergerak, pada saat t, adalah r(r). Tentu-kan kecepatan dan percepatan, v(r) dan a(r), dan nilainya di t = tr. Tentukan pula lajunyad i t = t 1 .

19 . r ( r ) : 2 t2 i + (4 r + 2 ) j ; r r : - I

2 0 . r ( r ) : 4 ( l - - s i n r ) i + 4 ( r * c o s r ) j ; r , : 3 r .

21. Tentukan kelengkungan rc kurva berikut di titik P yang diketahui.

(a) - r ' : .x2 - x di f1t . O1( b ) r ( r ) : ( r * r 3 ) i + 1 r + r 2 ; j d i P ( 2 . 2 )(c) .r ' : d cosh(x la) di P(a. a cosh l )

22. Tentukan vektor singgung satuan T(r) untuk kurva r(r) = ri + jr3j. Dititik P(l)

pada kurva dengan / = 1, tentukan T(1). Tentukan kelengkungan rc(l) kurva di P(l).Gambarlah kurva dan gambarlah vektor singgung satuan T(l ) yang berpangkal di P(l ).

23. Apabila r(r) = (1 - t ') i + 2tj, tentukan komponen tangensial dan komponennormal ay danap percepatan a di t it ik P(0,2).