LOGIKA

Pembahasan mengenai logika sudah ada sejak lama bahkan sebelum manusia mengenal istilah

logika itu sendiri. Menilik kembali kepada sejarahnya, logika memiliki pertumbuhan dan

perkembangannya yang berawal dari jaman Yunani tua, abad pertengahan dan logika dalam

dunia modern ( Poespoprodjo, 1999 ).

Istilah Logika yang berasal dari kata Yunani Kuno, logos yang berarti hasil pertimbangan akal

pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa dan yang diartikan juga sebagai

suatu pemikiran yang sistematik untuk menarik kesimpulan baru dari informasi-informasi

sebelumnya ini pertama kali digunakan oleh tokoh Stoa menurut sebagian kisah sejarah Zeno

dari Citium (±340-265). Namun demikian, akar logika sudah terdapat dalam pikiran dialektis

para filsuf mazhab Elea. Perkembangan pun berlanjut pada masa Sokrates (470-399) yang

dengan metode Sokratesnya mengembangkan metode induktif. Dalam metode inilah

dikumpulkan contoh dan peristiwa konkret untuk kemudian dicari cirri umumnya. Oleh

Aristoteles metode Sokrates ini dikembangkan menjadi teori ilmu yang dalam karyanya,

Aristoteles telah menggarap masalah kategori struktur bahasa, hukum formal konsistensi

proposisi, silogisme kategoris, pembuktian ilmiah, pembedaan atribut hakiki dan atribut bukan

hakiki sebagai kesatuan pemikiran, bahkan telah menyentuh bentuk-bentuk dasar simbolisme.

Pada abad pertengahan yang bermula dri tahun 1141 dimana penggarapan logika hanya berkisar

pada karya Aristoteles yang berjudul Kategoriai dan Peri Hermeneias, berlanjut pada

perkembangan setelah masa itu dengan munculnya Thomas Aquinas dkk yang mengusahakan

sistematisasi dan mengajukan komentar-komentar dalam usaha mengembangkan logika yang

telah ada. Inilah menjadi awal lahirnya logika modern dengan tokoh-tokohnya seperti: Petrus

Hispanus (1210 - 1278), Roger Bacon (1214-1292), Raymundus Lullus (1232 -1315) yang

menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan

semacam aljabar pengertian dan William Ocham (1295 - 1349).

1

Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni selanjutnya diteruskan oleh

Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704) dalam An

Essay Concerning Human Understanding. Logika kemudian diperkaya dengan hadirnya

pelopor-pelopor logika simbolik seperti:

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) menyusun logika aljabar berdasarkan Ars Magna

dari Raymundus Lullus. Logika ini bertujuan menyederhanakan pekerjaan akal budi dan

lebih mempertajam kepastian.

George Boole (1815-1864)

John Venn (1834-1923)

Gottlob Frege (1848 - 1925)

Puncak kejayaan logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia

Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914)

dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970).

Perkembangan Logika yang luar biasa dalam setiap proses dan penggunaannya hingga kini terus

berlangsung dan mendapat tempat yang cukup penting dalam perkembangan dunia. Adapun

beberapa kegunaan logika adalah sebagai berikut :

1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis,

lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas

sistematis

5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpkir,

kekeliruan, serta kesesatan.

6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

7. Terhindar dari klenik , gugon-tuhon ( bahasa Jawa )

8. Apabila sudah mampu berpikir rasional,kritis ,lurus,metodis dan analitis sebagaimana

tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang.

2

A. Kalkulus Pernyataan.

Kalkulus Pernyataan atau disebut juga dengan kalkulus proposisi merupakan metode

untuk kalkulasi menggunakan pernyataan atau proposisi. Dalam kalkulus pernyataan

yang ditinjau adalah nilai kalimat deklaratif (true/false), metode penggabungan

kalimat dan penarikan kesimpulan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang hanya

bernilai benar saja atau salah saja. Berikut beberapa contoh pernyataan.

a. Ibu kota Sumatera selatan adalah Palembang

b. Himpunan {1,2,3} memiliki 3 buah anggota.

c. Semua bilangan genap dapat dibagi 2.

d. 5+3=10

e. 4=9

Selain kalimat pernyataan terdapat kalimat bukan pernyataan. Contoh kalimat bukan

pernyataan adalah:

a. Pergilah ke pasar.

b. Dimanakah rumah Ibu Ana?

c. Tambahkan 5 kepada ruas kanan dan kiri

d. 109

e. Apakah solusi dari 2x=40 ?

Sering digunakan huruf kapital P, Q, R dan S untuk menyatakan sebuah pernyataan/

Contoh:

P : Semua bilangan genap dapat dibagi 2

R: Jika sebuah bilangan bulat x adalah kelipatan dari 6, maka x adalah bilangan genap.

Jika sebuah pernyataan berisikan sebuah variabel misalkan x, maka dinotasikan p(x)

untuk menyatakan sesuatu tentang x. Pernyataan P diatas dapat dituliskan

R(x): sebuah bilangan bulat x adalah kelipatan dari 6, maka x adalah bilangan genap

3

Jika mengadung 2 variabel dapat dinotasikan p(x,y) begitu pula untuk 3 variabel atau

lebih.

B. Operasi-operasi Pernyataan.

1. Negasi (Ingkaran)

Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran dinotasikan dengan ~p (dibaca : negasi p).

Apabila pernyataan P bernilai benar, maka ~p bernilai salah begitu pula sebaliknya. Tabel

kebenaran dari ingkaran adalag sebagai berikut :

p ~

p

B S

S B

2. Disjungsi Inklusif (v)

Disjungsi Inklusif merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau” serta

disimbolkan dengan “⋁”.Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p ⋁ q dibaca

“p atau q” atau kedua-duanya. Tabel kebenaran disjungsi inklusif.

p q p⋁ q

B B B

B S B

S B B

S S S

3. Disjungsi Eksklusif ( v )

Disjungsi Eksklusif merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau” serta

disimbolkan dengan “⋁”.Dibaca “p atau q” atau tidak kedua-duanya. Tabel kebenaran

disjungsi Eksklusif.

p q p⋁ q

4

B B S

B S B

S B B

S S S

4. Konjungsi

Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan” serta disimbolkan

dengan “⋀”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p ⋀ q dibaca “p dan q”.

Tabel kebenaran konjungsi

p q p ⋀

q

B B B

B S S

S B S

S S S

5. Implikasi

Implikasi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ..., maka ...” atau

“jika ..., ...”, atau “ ... jika ...”. serta disimbolkan dengan “⇒”. Dua pernyataan p dan q

yang dinyatakan dalam p ⇒ q dibaca “jika p, maka q”. Pernyataan p ⇒ q disebut sebagai

implikasi atau kondisional atau pernyataan bersyarat. Pernyataan p disebut antiseden atau

sebab sedangkan q disebut konsekuen atau akibat. Berikut tabel kebenaran implikasi

p q p ⇒

q

B B B

B S S

S B B

S S B

5

p q q p

~q~p~p~q

kontraposisi invers

konvers

konvers

invers

6. Biimplikasi

Biimplikasi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan dengan kata

“...jika dan hanya jika ...” serta disimbolkan dengan “⇔”. Dua pernyataan p dan q yang

dinyatakan dalam p ⇔ q dibaca “p jika dan hanya jika q”. Biimplikasi disebut sebagai

implikasi dua arah. Berikut tabel kebenaran biimplikasi

p q p

⇔

q

p

⇒q

q

⇒p

(p⇒q)

⋀( q

⇒p)

B B B B B B

B S S S B S

S B S B S S

S S B B B B

7. Negasi Pernyataan majemuk

a. Negasi Konjungsi.

~ ( p ^ q ) ≡ ~P v ~q.

b. Negasi Disjungsi.

~ ( p v q ) ≡ ~ p ^ ~ q

c. Negasi Implikasi .

~(p → q ) ≡ p ^ ~q

d. Negasi Biimplikasi.

~(p ↔ q ) ≡ ~[(~pvq)^(pv~q)]

8. Invers, Konvers dan Kontraposisi.

a. Dari implikasi dapat dibentuk pernyatan baru yang dapat dinyatakan dalam skema

yaitu:

6

C. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi.

Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar apapun kombinasi nilai kebenaran

pernyatan-pernyataan yang ada didalamnya. Sebaliknya pernyatan yang selalu salah

disebut kontradiksi dan pernyataan yang bukan tautologi ataupun kontradiksi disebut

kontingensi.

Contoh :

1. Tautologi

(p ⇒ q) ⇔ ( p¿ q )

p q p⇒ q p p¿ q (p⇒ q) ⇔ ( p¿ q )

B B B S B B

B S S S S B

S B B B B B

S S B B B B

2. Kontradiksi

Contoh :

( p∧q )∧∽( p∨q)

p q p∧q p∨q ∽( p∨q) ( p∧q )∧∽( p∨q)

B B B S S S

B S S B S S

S B S B S S

S S S B B S

3. Kontingen

Contoh

p p q

p q ∽ p p q p p q

B B S S S

7

B S S S S

S B B S B

S S B S B

D. Pernyataan yang Ekivalen.

Pernyataan-pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang selalu sama disebut

pernyataan yang ekivalen dengan kata lain juga dua pernyataan yang selalu

mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut ekivalen secara logis.

Notasi yang digunakan p≡q.

Ekivalensi logis juga dapat dituliskan sebagai implikasi dua arah dan bernilai selalu

benar atau tautologi.

Contoh :

p ↔q ≡( p → q)⋀ (q → p)

p q p↔q p→q q → p ( p → q)⋀ (q → p)

B B B B B B

B S S S B S

S B S B S S

S S B B B B

E. Sifat-sifat Operasi Pernyataan.

Operasi pernyataan memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

4. Idempoten

a . p∧ p≡ p

b . p∨ p ≡ p

5. Komutatif

a . p∧q≡ q∧ p

b . p∨q≡ q∨ p

6. Asosiatif

a . ( p∧q )∧r ≡ p∧ (q∧r )

8

b . ( p∨ q )∨r ≡ p∨ (q∨r )

7. Distributif

a . p∨ (q∧r )≡ ( p∨q )∧ ( p∨r )

b . p∧ (q∨r )≡ ( p∧q )∨ ( p∧r )

8. Sifat Negasi

a .∼(∼ p)≡ p

9. Sifat Identitas

a . p∨F ≡ p

b . p∧T ≡ p

c . p∨T ≡T

d . p∧F ≡ F

10. Hukum de Morgan

a .∼ ( p∨q )≡∼ p∧∼q

b .∼ ( p∧q )≡∼ p∨∼q

F. Pernyataan berkuantor

Kuantor universal

Kuantor universal dilambangkan dengan “∀” yang dibaca “untuk semua” atau

“untuk setiap”. Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor

universal, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut :

Kuantor eksistensial

Kuantor eksistensial dilambangkan dengan “∃” yang dibaca “ada” atau

“beberapa”. Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor

eksistensial, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut :

G. Negasi Pernyataan Berkuantor

Negasi pernyataan kuatrol universal

9

(∀x) , p(x)

(∃x) , p(x)

(∀x) , p(x) = (∃x) , p(x)

Negasi pernyataan kuantor eksistensial

(∃x) , p(x)= (∀x) , p(x)

H. Penarikan Kesimpulan

Tujuan dari mempelajari matematika adalah mampu menarik kesimpulan dari

beberapa pernyataan yang diberikan. Pernyataan dalam logika biasa disebut dengan

premis. Berikut adalah beberapa bentuk penarikan kesimpulan:

Tautologi

Premis 1 : p ⋀ q

Premis 2 : p

Konklusi : q

Modus Ponens

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : p

Konklusi : q

Modus tolens

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : ~q

Konklusi : ~p

Silogisme

Premis 1 : p ⇒ q

Premis 2 : q ⇒ r

Konklusi : p ⇒ r

Keempat bentuk penarikan kesimpulan di atas dapat dibuktikan kebenarannya dengan

menggunakan tabel kebenaran.

I. Kemampuan Pemahaman Matematis

Pemahaman matematis merupakan bagian yang sangat penting dalam proses

pembelajran Matematika di tingkat pedidikan tertentu baik sekolah maupun perguruan

10

tinggi. Pemahaman ini dijadikan landasan penting dalam berpikir untuk

menyelesaikan permasalahan matematika yang muncul dari permasalahan sehari-hari

dalam kehidupan manusia. Menurut Schoenfeld dalam Kesumawati (2010) berpikir

secara matematis berarti (1) mengembangkan suatu pandangan matematis, menilai

proses dari matematisasi dan abstraksi, dan memiliki kesenangan untuk

menerapkannya; dan (2) mengembangkan kompetensi, dan menggunakannya dalam

pemahaman matematis.

Untuk mengukur kemampuan seseorang dalam suatu kemampuan maka dibutuhkan

indicator-indikator yang dapat dilihat apakah seseorang itu telah memiliki kemampuan

yang dimaksud. Begitupun dengan kemampuan pemahaman matematis yang memiliki

beberapa indikator (Kurikulum 2006 dalam Kesumawati, 2010), yaitu :

1. Menyatakan ulang sebuah konsep adalah kemampuan siswa untuk

mengungkapkan kembali apa yang telah dikomunikasikan kepadanya.

2. Mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu (sesuai dengan

konsepnya) adalah kemampuan siswa untuk dapat mengelompokkan objek menurut

sifat-sifatnya.

3. Memberikan contoh dan non contoh dari konsep adalah kemampuan siswa

dapat membedakan contoh dan bukan contoh dari suatu materi yang telah

dipelajari.

4. Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis adalah

kemampuan siswa menggambar atau membuat grafik, membuat ekspresi

matematis, menyusun cerita atau teks tertulis.

5. Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup suatu konsep adalah

kemampuan siswa mengkaji mana syarat perlu atau cukup suatu konsep yang

terkait.

6. Menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu

adalah kemampuan siswa menyelesaikan soal dengan tepat sesuai dengan prosedur.

J. Soal-soal Logika Berdasarkan Indikator Pemahaman Matematis.

Menyatakan ulang sebuah konsep

11

Contoh Soal:

Nyatakan apakah kalimat berikut termasuk pernyataan atau bukan. Berikan alasanmu.

a) Setiap bilangan real adalah bilangan bulat genap

b) Jika x dan y adalah bilangan real dan 5x = 5y, maka x = y

c) cos (x) = -1

d) Berapakah hasil dari 2+3?

e) Pergilah ke pasar untuk membeli sayur dan buah.

Jawaban :

a. Pernyataan. Karena dapat diketahui nilai kebenarannya.

b. Pernyataan. Karena dapat diketahui nilai kebenarannya.

c. Pernyataan. Karena dapat diketahui nilai kebenarannya.

d. Bukan Pernyataan. Karena, kalimat tersebut tidak mengandung nilai kebenarannya.

e. Bukan Pernyataan. Karena, kalimat tersebut tidak mengandung nilai kebenarannya.

Mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu

Contoh Soal:

Kelompokanlah kalimat-kalimat berikut, yang termasuk pernyataan dan bukan

pernyataan!

a) Inggris lebih kecil daripada Cina

b) Saya benci memasak mie

c) Apakah kota New Jersey sebelah Timur kota Wisconsin?

d) Nomor atom dari helium adalah

Jawaban :

Pernyataan : a dan d

Bukan pernyataan: b dan c

12

Memberikan contoh dan non contoh dari konsep

Contoh Soal:

1) Buatlah masing-masing 1 contoh negasi dari pernyataan majemuk dengan kata

hubung disjungsi, konjungsi, dan implikasi.

2) Buatkanlah satu contoh pernyataan majemuk implikasi dan buatkan invers, konvers

dan kontraposisinya

Jawaban :

1. a. Konjungsi

Pernyataan : Ibu membeli ayam dan ikan

Negasi Pernyataan : Ibu tidak membeli ayam atau ikan.

b. Disjungsi

Pernyataan : Ibu membeli ayam atau ikan

Negasi Pernyataan : Ibu tidak membeli ayam dan tidak membeli ikan.

c. Implikasi

Pernyataan: Jika cuaca cerah maka Ana ke pasar

Negasi Pernyataan: Cuaca cerah dan Ani tidak ke pasar

2. Pernyataan majemuk implikasi : Jika langit mendung maka hujan.

Konvers: Jika hujan maka langit mendung

Invers : Jika langit cerah maka tidak hujan

Kontraposisi: Jika tidak hujan maka langit cerah

Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis

Contoh Soal:

Buatlah pernyataan yang equivalen dengan p ⇒ q

Jawaban:

P Q p ⇒ q ∼ p∨q

B B B B

13

B S S S

S B B B

S S B B

Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup suatu konsep

Soal:

Buatlah sebuah contoh bentuk tautologi

Syarat perlunya, yaitu membuat premis 1: p q dan premis 2: p, dan syarat cukupnya

mengetahui kesimpulan

Menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu

Soal:

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan yang diberikan

(pq) (q p)

Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah

Contoh Soal dan Soal:

1. Tentukan kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut

 a.   Jika Tono berbaju putih, maka hari ini Selasa

b.      Jika Tono berbaju putih dan hari ini Selasa, maka Tono berangkat sekolah

c.       Jika Tono berbaju putih dan berangkat sekolah, maka ia harus membawa payung

d.      Jika Tono berbaju putih dan membawa payung, maka hari ini akan panas

e.       Kenyataannya, Tono tidak membawa payung atau hari ini tidak panas

Jawaban :

a.       p → q

b.      p & q → r

c.       p & r → s

d.      p & s → t

e.       ~s V ~t ≡ s → ~t ≡ t → ~s

(e, d)                : p & s → ~s ≡ ~p V ~s V ~s ≡ ~p V ~s ≡ p → ~s ≡ s → ~p

(e, d, c)            : p & r → ~p ≡ ~p V ~r V ~p ≡ ~p V ~r ≡ p → ~r ≡ r → ~p

(e, d, c, b)        : p & q → ~p ≡ ~p V ~q V ~p ≡ ~p V ~q ≡ p → ~q ≡ q → ~p

14

(e, d, c, b, a)    : p → ~p ≡ ~p

  Jadi, Tono tidak berbaju putih

2. Pada suatu hari, anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa anda tidak

memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang anda pastikan

kebenarannya

a. Jika kacamata ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan

pagi

b. Aku membaca koran di ruang tamu atau membacanya di dapur

c. Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di

meja tamu

d. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi

e. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping

ranjang

f. Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur

Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan di mana letak kacamata tersebut!

3. Diketahui m(x,y) = x m y = x mencintai y

Tuliskanlah kalimat berkuantor dari kalimat berikut.

a. Semua orang mencintai semua orang

b. Ada orang yang tidak dicintai semua orang

c. Ada orang yang tidak mencintai semua orang

Selain kemampuan pemahaman matematis terdapat juga beberapa kemampuan-

kemampuan lain yang idealnya harus dimiliki oleh siswa dalam pembelajaran

Matematika. Kemampuan-kemampuan itu diantaranya,

1. Indikator dan Soal Kemampuan Komunikasi Matematis Untuk Materi

Logika

Menyajikan pernyataan matematika secara lisan, tertulis, gambar, dan diagram.

15

Soal:

Diketahui pernyataan:

p = Farid naik kelas

q = Farid diberi hadiah

tuliskan pernyataan dari setiap implikasi berikut ini:

a. p⇒q

b. −p⇒q

c. q⇒−p

Mengajukan dugaan (conjectures).

Soal:

Andi, Beni, Coki, Doni dan Edo bermain kancil-serigala. Setiap anak menjadi kancil

atau serigala, tetapi tidak kedua-duanya. Kancil selalu jujur, sementara serigala selalu

berdusta. Andi berkata bahwa Beni adalah kancil. Coki berkata bahwa Doni adalah

serigala. Edo berkata Andi bukan serigala. Beni berkata Coki bukan kancil. Doni berkata

bahwa Edo dan Andi adalah binatang yang berbeda. Tentukan banyaknya serigala dalam

permainan ini.

Melakukan manipulasi matematika.

Soal:

Carilah pengganti nilai x agar disjungsi berikut bernilai benar:

a. 12 x−3−21 atau √200=10√2

b. x2−7 x+6>0 atau 3√8=2

Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap

beberapa solusi.

Soal:

Diketahui p adalah pernyataan yang salah, q pernyataan yang benar, dan r adalah

pernyataan yang salah. Tentukan nilai kebenaran dari:

a. ( p⋁q)⇒r

16

b. ∼ p⇒¿

Menarik kesimpulan dari pernyataan.

Soal:

Diketahui premis-premis berikut :

Premis 1 : Jika Dodi rajin belajar, maka ia naik kelas.

Presmis 2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju.

Kesimpulan yang sah adalah . . .

Memeriksa kesahihan suatu argumen.

Soal:

Diketahui tiga bilangan k, m dan n. Pernyataan “Jika k ≥ m, maka k > n” adalah tidak

benar. Apakah pernyataan yang benar dalam hal ini ?

Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi.

Soal:

p: 2 adalah bilangan genap.

q: 2 adalah bilangan prima.

Disjungsi “2 bukan bilangan genap atau 2 bukan bilangan ganjil” disimbolkan dengan ...

a. p ∨ q

b. p ∨ q

c. p ∨ q

d. q ∨ p

e. q ∨ p

2. Indikator dan Soal penalaran matematis pada materi himpunan

Menyusun pembuktian langsung

Soal:

17

Jika n adalah bilangan genap, buktikan n2 juga bilangan genap

Menyusun pembuktian tidak langsung

Contoh Soal

Buktikan, jika x2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.

Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja.

Karena x2ganjil maka dapat ditulis x = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m.

Selanjutnya x =   tidak dapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak.

Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah

”Jika x genap maka x2 genap”.

Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi

dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya,

x2 = (2n)2 = 2 (2n2) = 2m

 m yang merupakan bilangan genap.

3. Indikator dan Soal Kemampuan Koneksi Matematis

Mencari hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur.

Soal:

Buktikan bahwa proporsi {( p∨q )⇒ r }⟺{ ( p⟹ r )∧ (q⟹r )} merupakan tautologi

Memahami hubungan antar topik matematika.

Soal :

Diketahui premis-premis berikut!

i. Jika sebuah segitiga siku-siku, maka salah satu sudutnya 90°.

ii. Jika salah satu sudut segitiga 90°, maka berlaku theorema Phytagoras.

Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis diatas adalah….

18

a. Jika sebuah segitiga siku-siku, maka berlaku theorem Phytagoras

b. Jika sebuah segitiga bukan siku-siku, maka berlaku theorem Phytagoras

c. Sebuah segitiga siku-siku atau tidak berlaku theorem Phytagoras

d. Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlakutheorema Phytagoras

e. Sebuah segitiga siku-siku dan berlaku theorem Phytagoras

Menerapkan matematika dalam bidang lain atau dalam kehidupan sehari-hari.

Soal :

Diketahui premis-premis

(1) Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola

basket.

(2) Ayah tidak membelikan bola basket.

Kesimpulan yang sah adalah . . . .

a. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua

b. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang tua

c. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua

d. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orang tua

e. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orang tua.

Memahami representasi ekuivalen suatu konsep.

Soal:

Tentukanlah kesimpulan dari pernyataan berikut dengan menggunakan penarikan

kesimpulan dalam logika.

Jika Herman pengusaha, ia berdasi.

Herman tidak berdasi.

Mencari hubungan satu prosedur dengan prosedur lain dalam representasi yang

ekuivalen.

Soal:

Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus tolens didasarkan atas suatu

pernyataan

19

majemuk yang selalu berbentuk tautologi untuk setiap kasus. Pernyataan yang dimaksud

adalah ….

a. ( p → q ) Λ p → q

b. ( p → q ) Λ ~q → ~p

c. ( p → q ) Λ p → ( p Λ q )

d. ( p → q ) Λ ( q → r ) → ( p → r )

e. ( p → q ) Λ ( p → r ) → ~ ( q → r )

Menerapkan hubungan antar topik matematika dan antara topik matematika

dengan topik diluar matematika.

Soal:

Tentukanlah pernyataan atau symbol logika pada rangkaian listrik berikut

4. Indikator dan Soal Berpikir kritis

Mengatur strategi dan taktik dan Indikator Menyimpulkan

Soal

1. Ingkaran “ √14 ¿ 4 jika dan hanya jika sin 45º ¿ 60º “ adalah . . .

a. √14 ≤ 4 jika dan hanya jika sin 45º ¿ 60º

b. √14 ¿ 4 jika dan hanya jika sin 45º ≥ sin 60º

c. √14 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45º ≥ sin 60º

d. √14 ¿ 4 jika dan hanya jika sin 45º ≥ sin 60º

e. √14 ¿ 4 jika dan hanya jika sin 45º

2. Ingkaran dari pernyataan “ Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap “

adalah ….

a. Semua bilangan prima adalah bilangan genap

b. Semua bilangan prima bukan bilangan genap

20

c. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap

d. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima

Menyimpulkan

Soal:

5. Indikator dan Soal Kemampuan Penalaran Matematis

Membuat analogi dan generalisasi

Soal:

P1: Semua mahasiswa S1 FKIP UNSRI harus kuliah di Inderalaya.

P2: Ambar adalah Mahasiswa S1 Pendidikan Matematika UNSRI

Dimanakh tempat kuliah Ambar? (gunakan generalisasi)

Memberikan penjelasan dengan menggunakan model

Soal:

P1: Jika sekolah terendam banjir maka sekolah diliburkan

P2: Hari ini sebagian kelas terendam banjir

Apakah Adi(siswa sekolah tersebut) harus berangkat ke sekolah?(Gunakan pemodelan)

Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika

Soal:

P1: p→q

21

P2: -qV r

K:.....

Menyusun dan menguji konjektur

Soal:

Buktikan bahwa pernyataan ini tautologi: (p ⇒ q) ⇔ ( p¿ q )

Memeriksa validitas argument

Soal:

Manakah argumentasi berikut ini yang sah:

(1) p → q (2) p → q (3) p → q

p ~p ~q

∴~p ∴~q ∴~p

(4) p → q (5) p → q

q q → r

∴p p → r

6. Indikator dan Soal Representasi Konsep Logika

Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke representasi

diagram, grafik, atau tabel

Soal:

Buat tabel kebenaran dari :

a) p p q b) (p q) (p r)

Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah

Contoh:

22

1) Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa : (p q) (p q) !

2) Apakah (p q) (q p) (p q) ?

Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis

Soal:

Tentukan ingkaran dari :

a) Ia rajin dan hemat.

b) Ia rajin atau ia hemat.

c) Jika ia rajin maka ia berhasil.

DAFTAR PUSTAKA

faramita.staff.gunadarma.ac.id/.../files/.../Tugas_AP_2C.pdf

23

Guntoro dan Marfuah (2012). Pembahasan Soal UAS Matematika SMA IPA. Pusat

Pengembangan Pemberdayaan Pedidik dan Tenaga Pendidikan Matematika.

http://id.wikipedia.org/wiki/Logika

http://indigomenulis.blogspot.com/2011/11/soal-soal-penarikan-kesimpulan-logika.html

http://www.docstoc.com/docs/24449991/JAWABAN-SOAL-UJIAN-MID-

Kesumawati Nila (2010). Peningkatan Kemampuan Pemahaman, Pemecahan masalah, dan

Disposisi Matematis Siswa SMP Melalui Pendekatan Pendidikan Matematika

Reaslistik.Universitas Pendidikan Indonesia.

Nuharini, D. (2008). Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VI SMP/MTs I.

Jakarta: Depdiknas

Poespoprodjo, W. (1999). Logika Scientifika. Bandung: Pustaka Grafika.

Randall B. Maddox. (2002). Mathematical thinking and writing, a transition to abstract

mathematics. USA: Harcourt/Academic Press.

24