logika simbolik
TRANSCRIPT
Maret 2014 1
LOGIKA SIMBOLIKLOGIKA SIMBOLIKTatag Yuli Eko SiswonoTatag Yuli Eko Siswono
Universitas Negeri SurabayaUniversitas Negeri Surabaya
Kompetensi yang diharapkan
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 2
3
LOGIKARealitas Kalimat/
Pernyataan
Logis
LOGIKA
4
Apakah logika itu?• Logika: Ilmu untuk berpikir dan bernalar
dengan benar• Penalaran: Kemampuan untuk berpikir
menurut suatu alur kerangka tertentu• Kemampuan Menalar: Kemampuan untuk
menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan tertentu
5
Aliran-aliran dalam Logika
• Logika Tradisional Tokoh: Aristoteles Logika merupakan kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk
pemikiran. Logika saat itu disebut dengan istilah ANALITIKA dan DIALEKTIKA.
ANALITIKA: untuk menyebutkan cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan-pernyataan yang benar.
DIALEKTIKA: untuk cara penalaran yang didasarkan pada dugaan.
• Logika Metafisis Tokoh: Friderich Hegel (1770-1831) METAFISIKA: sebagai upaya untuk menyajikan kenyataan (realitas),
yaitu alam semesta dan isinya sebagai suatu keseluruhan yang komprehensif, koheren dan konsisten. Susunan pikiran dianggap suatu kenyataan, sehigga logika disebut metafisika.
6
• Logika Epistemologis Tokoh: Francis Herbert Bradley (1846-1924) dan Bernard
Bosanquet (1848-1923). Logika ini dihubungkan dengan pengetahuan lainnya. Untuk dapat
mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harus digabungkan.
• Logika Instrumentalis (Pragmatis) Tokoh: John Dewey (1859-1952) Logika dianggap sebagai alat untuk memecahkan masalah.
• Logika Simbolis (Logika Matematis) Tokoh: G.W. Leibniz (1646-1716), George Boole (1815-1864), De
Morgan, Leonhard Euler (1707-1783), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872-1970)
Menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci, bagaimana akal harus berkerja. Logika ini merupakan logika formal yang hanya menelaah bentuk dan bukan isi apa yang dibicarakan.
7
Pernyataan
Kalimat
K. Berarti
K. Tak Berarti
K. Deklaratif(Pernyataan)
Bukan Kal. Deklaratif
Benar
Salah
8
• Kalimat deklaratif = Indicative Sentence• Pernyataan = Statement• Bila proposisi pernyataan, maka
pernyataan lebih umum daripada proposisi• Proposisi merupakan kalimat deklaratif• Paradoks: Kalimat yang menegasikan
dirinya sendiri. Misal: Semua peraturan mempunyai
perkecualian.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 9
Pernyataan• Perny. Sederhana (Primer/Atom):
Tunggal tidak terdapat kata hubung.• Perny. Majemuk
(Composite/Compound Statement): Satu atau lebih pernyataan sederhana
• Simbol pernyataan dengan huruf kecil: p, q, r, dsb
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 10
Kalimat Matematika
Kalimat Matematika
K. Terbuka
K. Tertutup
Persamaan
Pertidaksamaan
Kesamaan
Ketidaksamaan
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 11
Variabel, Konstanta, parameter
• Variabel: Simbol untuk menunjukkan suatu anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan.
• Konstanta: Simbol untuk menunjukkan suatu anggota tertentu (sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan.
• Parameter: Variabel penghubung
Persamaan : x2 + x – 6 = 0 y = mx + c y = r sin t, x = r cos t
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 12
Kata Hubung Kalimat• Negasi (Ingkaran)• Konjungsi• Disjungsi• Implikasi• Biimplikasi
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 13
Negasi (Ingkaran)• Kata sehari-hari: bukan, tidak benar
• Definisi: Ingkaran suatu pernyataan (misalkan p)
adalah pernyataan lain yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya.
• Notasi: ~p, p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 14
p ~p
B S
S B
Tabel Kebenaran
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 15
Konjungsi• Kata sehari-hari: dan, juga, padahal,
tetapi, walaupun, sedangkan, dsb
• Definisi: Konjungsi dari dua pernyataan (misalkan p dan q) bernilai benar, jika dua pernyataan bernilai benar.
• Notasi: p q
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 16
p q p q
B B B
B S S
S B S
S S S
Tabel Kebenaran
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 17
Disjungsi• Kata sehari-hari: atau
• Disjungsi dibagi dua: 1. Disjungsi Inklusif () 2. Disjungsi Eksklusif ( )
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 18
p q p qB B BB S BS B BS S S
Disjungsi Inklusif• Definisi: Disjungsi Inklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilai
benar, jika salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 19
p q p qB B SB S BS B BS S S
Disjungsi Eksklusif• Definisi: Disjungsi Eksklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilai benar,
jika hanya salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 20
Implikasi• Notasi: p q dibaca “jika p, maka q” “p berimplikasi q” “p hanya jika q” “p syarat cukup untuk q” “q syarat perlu untuk p” “q asal saja p” “q jika p” • P = anteseden (hipotesis)• q = konskuen (konklusi)
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 21
p q p qB B BB S SS B BS S B
Tabel Kebenaran• Definisi: Implikasi dua pernyataan (p q) bernilai
benar jika anteseden salah atau konskuennya benar.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 22
Hubungan Implikasi, Konvers, Invers dan
Kontraposisi
p q q p
~p ~q ~q ~p
Invers
Konvers
Konvers
InversKontraposisi
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 23
Biimplikasi• Biimplikasi dari dua pernyataan p dan q
dinotasikan p q, dibaca: “p jika dan hanya jika q” “p syarat perlu dan cukup untuk q” “q syarat perlu dan cukup untuk p” “jika p maka q dan jika q maka p”
• Definisi: Biimplikasi dari dua pernyataan bernilai
benar, jika dua pernyataan itu bernilai sama
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 24
p q p q
B B B
B S S
S B S
S S B
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 25
Urutan PengerjaanNegasiKonjungsi/DisjungsiImplikasi BiimpilkasiContoh: p q berarti ( p) p q
p q r berarti (q r)p (q r)
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 26
• Sebagai contoh, kita ingin melihat tabel kebenaran pernyataan:
p ~q p r
Bagaimana tabel kebenran pernyataan itu?
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 27
p q r ~q
p r ~q (p r) p (~q (p r))
B B B S B B BB B S S S S SB S B B B B BB S S B S B BS B B S S S BS B S S S S BS S B B S B BS S S B S B B
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 28
Tautologi• Setiap pernyataan yang selalu
bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya.
• Contoh: p ~p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 29
p ~p p ~p
B S B
S B B
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 30
Ekuivalen• Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (ekuivalen logis)
jika kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang tepat sama.
• Notasi: • Sifat pernyataan yang ekuivalen: 1. p p (refleksif) 2. p q q p (simetris) 3. p q, q r p r (transitif)
p q dapat sebagai p q atau “sama dengan”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 31
Buatlah tabel kebenaran dari
pernyataan berikut1. p q2. ~p q3. ~p ~q4. ~q ~p5. q p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 32
p q p q ~p q
B B B B
B S S S
S B B B
S S B B
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 33
Kontradiksi• Pernyataan yang selalu bernilai
salah, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya.
• Contoh: p ~p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 34
p ~p p ~p
B S S
S B S
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 35
Kuantor• Fungsi Pernyataan: Suatu kalimat terbuka
dalam semesta pembicaraannya (semesta diberikan secara eksplisit atau implisit)
• Notasi: p(x) yang bersifat p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap nilai a.
a adalah anggota semesta pembicaraan p(a) suatu pernyataan
36
Contoh:
p(x) 1 + x > 5, fungsi pernyataan untuk A = himpunan bilangan asli, bukan untuk fungsi pernyataan K = himpunan bilangan kompleks.Bila himpunan semestanya bilangan asli, maka:
1. p(x) 1 + x > 5; bernilai benar untuk x = 5,6,7,... Dengan kata lain untuk beberapa anggota semesta.
2. q(x) x + 3 < 1; tidak ada anggota semesta yang memenuhi.
3. r(x) 1 + x = 5; bernilai benar untuk x = 4, dengan kata lain hanya ada satu anggota semesta yang memenuhi.
4. s(x) x2 > 0; bernilai benar untuk semua x anggota semesta.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 37
Kata-kata “beberapa”, “tidak ada”,”hanya satu”, “untuk semua” dapat diganti menggunakan simbol KUANTOR
• Kuantor Umum (Universal)
“” dibaca “untuk semua”, “ untuk setiap”
(xA)(p(x)) atau x, p(x) atau x p(x) dibaca “untuk setiap x anggota A, p(x)
merupakan pernyataan yang benar” atau “untuk semua x berlakulah p(x)”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 38
• Kuantor Khusus (Eksistensial) “” dibaca “untuk beberapa” atau “untuk
paling sedikit satu”
“!” dibaca “ ada hanya satu” ( x A) (p(x)) atau x, p(x) atau x p(x) dibaca “ada x anggota A sedemikian
hingga p(x) merupakan pernyataan yang benar” atau “untuk beberapa x, p(x)”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 39
Negasi Pernyataan ( xA) (p(x)) ( xA) (p(x))
( xA) (p(x)) ( xA) (p(x))
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 40
Fungsi Pernyataan lebih dari satu Variabel
Diketahui himpunan A1, A2, ... An.Suatu fungsi pernyataan yang mngandung variabel pada himpunan A1 x A2 x ... x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, ..., xn) yang memiliki sifat p(a1, a2, ..., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, ..., an) anggota semesta pembicaraan A1 x A2 x ... x An .
Contoh:1. P = {pria}, W = {wanita} M (x, y) “x menikah dengan y” merupakan fungsi pernyataan pada P x
W.
2. A = himpunan bilangan asli. K (x, y, z) 2x – y -5z < 10 merupakan fungsi pernyataan pada A x A
x A
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 41
Fungsi pernyataan dengan beberapa variabel bila diberi tanda kuantor merupakan pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.x y p(x,y) atau x,y p(x,y) atau (x)(y) p(x,y) atau (x )(y) p(x,y) dibaca “untuk semua x dan y berlaku p(x,y)”
x y p(x,y) atau x,y p(x,y) atau (x)(y) p(x,y) dibaca “ada x dan y sedemikian hingga p(x,y)”
x y p(x,y) atau (x)( y) p(x,y) atau (x)(y) p(x,y) dibaca “untuk semua x ada y sedemikian hingga p(x,y)”
x y p(x,y) atau ( x) (y) p(x,y) atau (x) (y)p(x,y) dibaca “ada x sedemikian hingga untuk semua y berlaku p(x,y)”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 42
ContohP = {Rama, Ammar, Nico} dan W = {Tira, Iffa}p(x,y) = “x adalah kakak y”
(xP)( yW)( p(x,y)) = “untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah kakak dari y” berarti setiap anggota P adalah kakak dari Tira atau Iffa
( y W) (x P) p(x,y) = “ada y di W sedemikian hingga untuk setiap x di P berlaku x adalah kakak y” berarti ada paling sedikit satu anak di W yang mempunyai kakak semua anggota P.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 43
Negasi Pernyataan• (xP)( yW)( p(x,y)) = setiap anggota P
adalah kakak paling sedikit satu anggota W
• ~(xP)( yW)( p(x,y)) = tidak benar bahwa setiap anggota P adalah kakak paling sedikit satu anggota W
atau (xP)(yW) ~(p(x,y)) = ada anggota P
yang bukan kakak dari semua anggota W
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 44
LatihanTentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut1. x y (x+2y = 10) 10. x y (x2-y >3)2. x y (x+2y = 10) 11. y x (x2-y 3)3. x y (x+2y = 10) 12. y x (x2-y 3)4. x y (x+2y = 10) 13. y x (y/x = 8)5. y x (x+2y = 10) 14. y x (y/x 8)6. y x (x+2y = 10) 15. y x (y/x = 8)7. y x (x+2y = 10) 16. y x (y/x = 8)8. y x (x+2y = 10) 17. y x (x + 2y < 10 x + 3y 9)9. y x (x2-y >3) 18. x y (x +2y < 10 x + 3y 9)
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 45
Tulislah dalam bentuk simbolikSemua bilangan bulat adalah rasional, dapat ditulis: (x)(Bx Rx) atau ( x B)(x R)
1. Semua mahasiswa lulus ujian. 2. Semua mahasiswa tidak lulus ujian.3. Tidak semua pedagang merasa beruntung.4. Tidak semua pedagang tidak merasa
beruntung.5. Ada wanita yang cantik.6. Beberapa wanita tidak cantik.7. Tidak ada mahasiswa yang curang.8. Tidak ada mahasiswa yang tidak curang.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 46
Penarikan Kesimpulan• Premis: Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk
menarik kesimpulan dan yang dianggap benar atau yang diketahui nilai kebenarannya.
• Argumen: Pernyataan yang berupa himpunan/kumpulan beberapa premis dan konklusinya yang ditarik menggunakan aturan yang benar atau valid.
• Argumen dikatakan VALID, jika setiap premis yang digunakan bernilai benar dan konklusinya benar. Jadi bergantung pada bentuk argumen dan tabel kebenaran.
• Jika membuktikan validitas argumen dilakukan dengan menguji apakah argumen itu merupakan TAUTOLOGI.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 47
Beberapa Argumen1. Modus Ponens
Premis 1 : p q Premis 2 : p
Konklusi : q
2. Modus Tolens
Premis 1 : p q Premis 2 : ~q
Konklusi : ~p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 48
3. Silogisme
Premis 1 : p q Premis 2 : q r
Konklusi : p r
4. Penyederhanaan
Premis 1 : p q
Konklusi : p
5. Konjungsi
Premis 1 : pPremis 2 : q
Konklusi : p q
6. Penambahan
Premis 1 : p
Konklusi : p q
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 49
7. Silogisme Disjungtif
Premis 1 : p q Premis 2 : ~ p
Konklusi : q
8. Dilema Konstruktif
Premis 1 : (pq) (rs) Premis 2 : p r
Konklusi : q s9. Dilema Destruktif
Premis 1 : (pq) (rs) Premis 2 : ~q ~s
Konklusi : ~p ~r
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 50
Tulislah konklusinya (jika ada) dan sebutkan argumen yang dipakai.
1. p ~q ~q -------- .....
2. ~a b ~b -------- .....
3. k l ~k -------- .....
4. d ~a ~d -------- .....
5. ~a b a -------- .....
6. ~l ~m ~m -------- .....
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 51
Lanjutan7. k ~l ~k -------- .....
8. ~a b a c -------- .....
9. p q ~r q -------- .....
10. a b c b -------- .....
11. m n k n -------- .....
12. c d ~d a -------- .....
13. d ~a d b -------- .....
14. a b c b -------- .....
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 52
Selidikilah apakah argumen berikut valid atau tidak1. p q p r -------- r
2. p q ~(q r) -------- p ~r
3. p q p r s -------- p s
4. p ~q ~q ~r s r -------- ~p
5. p ~(qr) ~(q r) ~s t s -------- ~p t
6. h b b b r a ~r -------- ~h
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 53
7. c (a p) c k k p -------- p
8. h a b b r a ~r -------- ~h
9. c q s q e d s ~e -------- d ~c
10. Buktikan jika r t (~r t), r t, ~r, maka t.
11. Diketahui ~(R T) ~R ~T, ~(R T), ~R, ~R ~T (~R
T) mengakibatkan T.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 54
Aplikasi Logika p ~p
p q Hubungan Seri: pq pq
p q
Hubungan Paralel: p + q p q
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 55
p.~p = 0 p ~p
p ~p
p + (~p) = 1
p (q + r) = pq + prp + q r = (p + q) (p +r)p + p = ppp = p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 56
Latihan