dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · web viewbab iv jumlah dan selisih dua sudut 4.1 jumlah dua...

BAB IV

JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

4.1 Jumlah Dua Sudut

Gambar 4.1

Pada gambar 4,1 di atas, Δ ABC adalah segitiga yang salah satu sudutnya

adalah θ dan sudut tersebut siku-siku. Karena ∠CBA=θ dan misal

AB=x , BC= y , dan AC=r , sehingga berdasarkan Δ ABC diperoleh enam

perbandingan panjang sisi suatu segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.

Perbandingan dimaksud sesuai dengan gambar 4.1 adalah:

BCAC

, ABAC

, BCAB

, ABBC

ACAB

, ACBC

.

Keenam perbandingan tersebut dinamakan perbandingan goniometri. Karena

AB=x , BC= y , AC=r dan ∠ BAC=θ maka perbandingan goniometri di atas

dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain yaitu:

1.

BCAC

= yr=sinθ

2.

ABAC

= xr=cosθ

Trigonometri:Dwi Purnomo

1

C

yry

θB x A

3.

BCAB

=

BCACABAC

=

yrxr

= yx=sin θ

cosθ= tanθ

4.

ABBC

=

ABACBCAC

=

xryr

= xy=cos x

sin x=cotθ

5.

ACAB

= 1ABAC

= 1xr

= rx= 1

cos θ=secθ

6.

ACBC

= 1BCAC

= 1y /r

= ry= 1

sin θ=cscθ

Menurut teorema Pyathagoras jika suatu Δ ABC salah satu sudutnya siku-siku,

maka berlaku:

AB2 + BC 2 = AC 2

⇔ x2 + y2 = r2

Selanjutnya secara berurutan persamaan x2 + y2 = r2

dibagi x2 , y2 , r2

diperoleh

persamaan baru

1.

x2

r 2 + y2

r2 = r2

r2

⇔(xr )

2+ ( y

r )2= 1

⇔ (cos θ )2 + (sin θ )2= 1⇔ cos2θ+ sin2 θ = 1 ⋯⋯⋯(1)

2.

x2

x2 + y2

x2 = r2

x2


2

l

k

m

O

U

P Q

S T

⇔1 + ( yx )

2= (r

x )2

⇔ 1+ ( tan θ )2 = (sec θ )2

⇔ 1+ tan2θ = sec2θ ⋯⋯⋯(2 )

3.

x2

y2 + y2

y2 = r 2

y2

⇔(xy )

2+ 12 = (ry )

2

⇔ (cot θ )2 + 1= (csc θ )2

⇔ cot2 θ+ 1 = csc2θ ⋯⋯⋯(3 ) Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.

Berdasarkan perbandingan giniometri yang telah disebutkan di atas dapat

dibuat beberapa rumus tentang jumlah dua sudut. Rumus-rumus jumlah dua sudut

dapat dapat dijelaskan dengan menggunakan gambar berikut ini.

Cara I

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 4.2


3

Pada gambar 4.2 di atas terdapat 4 segitiga dan masing-masing adalah

siku-siku, yaitu ΔQOT , ΔTSU , ΔOTU , dan ΔOPU dan diketahui

∠ QOT = α , ∠ TOU =β . ΔQOT ≈ ΔTSU sehingga ∠ SUT =α

Berdasarkan ΔOPU diperoleh perbandingan panjang sisi

sin∠POU = UPOU dengan UP = PS + SU

Karena ΔQOT ≈ ΔTSU maka SU = UT cos α

Karena PS = QT dan karena ΔOQT siku-siku di ∠TQU maka OQ = OT cos α

dan QT = OT sin α

Karena ΔOTU siku-siku di ∠OTU maka OT = OU cos β dan UT = OU sin β

Karena ∠POU = α +β

sin∠POU = UPOU

⇔sin (α+β )= UPOU

= PS+SU

OU

=QT +SU

OU

=OT sin α + UT cos α

OU

=OU cos β sin α + OU sin β cos α

OU .

Sehingga diperoleh rumus sin( α+β )=sin α cos β+ sin β cos α ............ (4)

Dengan cara yang sama diperoleh:

cos∠POU = OPOU , OP = OQ – PQ

Karena ΔQOT ≈ ΔTSU maka SU = UT cos α

Karena PQ = ST dan karena ΔUST siku-siku di ∠TSU maka ST = SU sin α

Karena ΔOTU siku-siku di ∠OTU maka OT = OU cos β dan UT = OU sin β


4

Karena ΔOQT siku-siku di ∠TQU maka OQ = OT cos α dan QT = OT sin α

Karena ∠POU = α +β

cos∠POU = UPOU

⇔cos (α +β )= OPOU

=OQ−PQ

OU

=OQ −ST

OU

=OT cos α − UT sin α

OU

=OU cos β cos α − OU sin β sin α

OU

Sehingga diperoleh rumus cos (α+β )=cos α cos β− sin α sin β ............ (5)

Karena tan α=sin α

cosα

Maka

tan (α+ β )=sin (α +β )cos(α +β )

Sehingga menurut (4) dan (5)

tan (α+ β )= sin α cos β+cos α sin βcosα cos β−sin α sin β

Persamaan di atas dibagi dengan cos α cos β , diperoleh:

=

sin α cos βcos α cos β

+cos α sin βcos α cos β

cos α cos βcos α cos β

−sin α sin βcos α cos β


5

A

B

O GE

H F

D

X'X

=

sin αcos α

+sin βcos β

1 − sin α cos βcos α cos β

= tan α + tan β

1 − tan α tan β

Sehingga tan(α+β )=tan α + tan β

1 − tan α tan β .................... (6)

Cara II

Gambar 4.3

Pada gambar 4.3 di atas sudut-sudut α , β adalah sudut lancip, sedangkan α +β

adalah sudut tumpul.

Selanjutnya pada gambar 4.3 di atas, ∠XOA=α dan ∠ AOB=β . Kemudian

dilukis garis-garis FG⊥OX dan DE⊥OX ' serta garis-garis DF⊥OA dan

FH ⊥DE .

Pandang Δ DFO dan Δ FGO , Jika OD=p

Pada Δ DFO diperoleh sin β= DF

OD sehingga DF=p sin β demikian pula


6

cos β= OFOD sehinggaOF=p cos β

Pandang Δ FGO

Pada Δ FGOsin α= FG

OF sehingga FG=OF sin α=p cos β sin α

Demikian pula cos α=OG

OF sehingga OG=OF cosα=p cos β cosα

Dengan cara yang sama pada Δ DHF diperoleh

DH=p sin β cos α dan FH=p sin β sin α

Sehinggasin( α+β )= DE

OD=DH +FG

OD= p sin β cos α+ p cos β sin α

p

=sin α cos β+cosα sin β …………………….(7)

cos (α+β )=−OEOD

=OG−FHOD

= p cos β cosα− p sin β sin αp

=cosα cos β−sin α sin β …………………….(8)

Sehingga menurut (7) dan (8)

tan (α+ β )= sin α cos β+cos α sin βcosα cos β−sin α sin β


=


+cos α sin βcos α cos β


−sin α sin βcos α cos β

=

sin αcos α

+sin βcos β

1 − sin α cos βcos α cos β

= tan α + tan β

1 − tan α tan β


7

X

B

A

O E F

C

D G

Sehingga tan (α+β )= tan α + tan β

1 − tan α tan β .................... (9)

4.2 Rumus Pengurangan Sudut

Gambar 4.4

Perhatikan gambar 4.4 di atas.

Misal ∠XOA=α , ∠ AOB=β , sehingga ∠XOB=(α−β )

Misal C adalah titik pada OB Selanjutnya dibuat garis dengan ketentuan

CD⊥OA , CF⊥OX , DE⊥OX dan DG⊥FC sehingga ∠DCG=α .

Jika OC=p maka dalam ΔCDO diperoleh

sin β=CDOC

=CDp atau CD=p sin β

cos β=ODOC

=ODp atau OD=p sin β

Demikian pula dalam Δ DEO

sin α= DEOD atau DE=OD sin α

=p sin β sin α


8

cos α= OEOD atau OE=OD cosα

=p sin β cosα

Dalam ΔCDG

sin α= DGDC atau DG=DC sin α

cos α= CGDC atau CG=cos α

Dengan demikian diperoleh

DG=p sin α sin β

CG=pcosα sin β

Sehingga

sin∠BOX= CFOC

=FG−CGOC

= DE−CDOC

Atau

sin( α− β )= p sin α cos β−p cosα sin βp

=sin α cos β−cos α sin β

cos∠BOX=OFOC

=OE+ EFOC

=OE+DGOC

Atau

cos (α−β )= p cosα cos β−p sin α sin βp

=cosα cos β−sin α sin β

Berdasarkan kesamaan di atas, diperoleh

tan (α −β ) =sin (α −β )cos (α −β )

=sin α cos β − cos α sin β

cos α cos β + sin α sin β



9

=


−cos α sin βcos α cos β


+sin α sin βcos α cos β

=

sin αcos α

−sin βcos β

1 + sin α cos βcos α cos β

=tan α − tan β

1 + tan α tan β

Sehingga tan (α−β )=tan α − tan β

1 + tan α tan β ..................

Contoh soal

1) Buktikan dengan menggunakan rumus yang sesuai

a) cos (900+α )=−sin α

Bukti

Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut diperoleh

cos (α+β )=cos α cos β−sin α sin β

Sehingga

cos (90o+α )=cos90o cosα−sin 900 sin α

=0 cosα−1. sin α

=−sin α

b) sin( 90+α )=cos α

Bukti

Menurut rumus sinus jumlah dua sudut diperoleh

sin( α+β )=sin cε os β+cosα sin β

Sehingga

sin( 90o+α )=sin 90o cosα +cos900 sin α

=1 . cosα−0 . sin α=cosα


10

2)

Diketahui α dan β adalah sudut lancip dengan cos α= 5

12,dan

sin β=35

, Hitunglah

sin( α+β )dan cos (α+β )

Jawab

Menurut rumus sinus jumlah diperoleh

sin( α+β )=sin α cos β+cos α sin β

Karena cos α= 5

12,maka sin2 α=1−cos2 α

atau sin α=±√1−cos2 α=±√1−( 5

12 )2= 1

12 √119

Demikian pula, karena sin β=3

5,

maka cos β=±√1−sin2 β=±√1−( 3

5 )2=±4

5sehingga

sin( α+β )=sin α cos β+cos α sin β

⇔sin (α+β )=( 112 √119)( 4

5 )+( 512 )(3

5 )= 115 √119+ 1

4Dengan cara yang sama diperoleh

cos (α+β )=cos α cos β−sin α cos βsehingga

cos (α+β )=cos α cos β−sin α sin β

⇔cos (α +β )=( 512 )( 4

5 )−( 112 √119)( 3

5 )=13− 1

120 √119

Latihan soal

1) Mudahkanlah dengan cara yang sesuai

a) sin( 90o−α ) f )sin(180o+α ) k )sin(270o+α )

b) cos (90o−α) g )sin(180o−α ) l ) tan (180o−α )

c) tan(90o−α ) h )sin (2700+α ) m)cos (270o−α )

d) tan(270o−α ) i)cos(180o+α ) n )sin (270o+α )


11

e) sin(270−α ) j )cos (270o+α ) o )cos(270+α )

2)Tunjukkan bahwatan(90o+α )=−cot α

3)

Diketahui α dan β adalah sudut lancip dengan cos α= 5

12,dan

sin β= 35

,

Hitunglah

a) sin( α−β )

b) cos (α−β )

c) sin( β−α )

d) cos ( β−α )

4) Buktikan

1)cot( α+β )=cot α cot β−1

cot α+cot β

2)tan α+ tan β=

sin (α +β )cosα cos β

3)cot α−cot β=

sin( β−α )sin α sin β

5) Buktikan kesamaan berikut ini

a)tan(450+α )=cosα+sin α

sosα−sin α

b) sin( α+β )+sin (α−β )=2 sin α cos β

c) cos (α+β )+cos( α−β )=2 cosα cos β

d) cos (1500+α )−cos (180−α )=−sin α

e)

tan α+ tan βtan α− tan β

=sin (α+β )sin (α−β )

f)

sin( α− β )sin α sin β

+sin( β−γ )sin β sin γ

+sin( γ−α )sin γ sin α

=0

6) Uraikanlah dan sederhanakan!

a) sin ((α+β )+γ )


12

b) cos ((α+ β )+γ )

c) cos ((α−β )+γ )

d) sin ((α−β )−γ )

4.3 Rumus tentang Sudut Kembar dan Sudut Pertengahan

Sebagaimana telah dijelaskan dalam rumus sinus jumlah dua sudut yang

telah dijelaskan dalam pasal 4.1

sin (α+β )=sin α cos β+cos α sin β

Jika

α=β maka rumus di atas menjadi

sin (α+α )=sin 2 α=sin α cos α+cos α sin α=2 sin α cosα

Dengan cara yang sama diperoleh

sin α=sin ( α2

+ α2 )=sin(α

2 )cos( α2 )+cos ( α

2 )sin (α2 )=2 sin( α

2 )cos (α2 )

sin 3 α=sin (3 α2

+ 3 α2 )=sin ( 3 α

2 )cos ( 3 α2 )+cos ( 3 α

2 )sin (3 α2 )=2sin (3 α

2 )cos (3 α2 )

sin 4 α=sin(2α +2 α )=sin 2α cos2α+cos2α sin 2α=2sin 2α cos2α

Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk umum:

sin nα=2 sin( nα2 )cos( nα

2 )Selanjutnya menurut rumus cosinus jumlah dua sudut yang telah

dijelaskan pada pasal 4.1

cos (α+ β )=cos α cos β−sin α sin β


13

Jika


cos (α+α )=cos 2α=cos α cos α−sin α sin α=cos2 α−sin2 α

Karena

cos2 α+sin2α=1

Maka

cos2 α=cos2 α−(1−cos2 α )=2cos2 α−1

Atau

cos2α=(1−sin2 α )−sin2 α=1−2 sin2 α


cos α=2cos2( α2 )−1 atau cos α=1−2 sin2( α

2 )cos 3 α=2cos2( 3 α

2 )−1 atau cos3 α=1−2 sin2( 3 α2 )

cos 4 α=2 cos2 (2α )−1 atau cos 4 α=1−2sin2 (2α )

Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk:

cos nα=2cos2( nα2 )−1 atau cosnα=1−2sin2( nα

2 )dan seterusnya.

Demikian pula untuk rumus tangen jumlah dua sudut, diperoleh


14

tan ( α+β )= tan α+ tan β1− tan α tan β

Jika


tan(α+α )= tan2 α= tan α+ tan α1− tan α tan α

= 2 tan α1−tan2α


tan α=tan( α2+ α

2 )=tan(α

2 )+ tan( α2 )

1−tan2(α2 )

=2 tan(α

2 )1− tan2( α

2 )

tan 3 α=tan( 3 α2

+ 3 α2 )=

tan( 3 α2 )+ tan( 3α

2 )1−tan2( 3 α

2 )=

2 tan( 3 α2 )

1−tan2( 3 α2 )

tan 4α=tan (2 α+2α )=tan (2α )+ tan (2 α )1−tan2 (2 α )

dan seterusnya

Dengan menggunakan rumus-rumus di atas, selanjutnya dapat ditentukan rumus

setengah sudut jika cosinusnya sudut tersebut diketahui, misalnya:

cos α=1−2 sin2( α2 )

⇔2 sin2( α2 )=1−cos α

⇔sin2( α2 )=1−cos α

2


15

⇔sin ( α2 )=±√ 1−cosα

2


cos α=2cos2( α2 )−1

⇔2 cos2(α2 )=1+cos α

⇔cos2( α2 )=1+cos α

2

⇔cos (α2 )=±√ 1−cos α

2

Selanjutnya dapat dibuktikan beberapa rumus berikut.

sec α=±√1+ tan2 α

cos α=± 1√1+ tan2 α

sin α=±tan α√1+ tan2 α

sin 2α= 2 tan α1+ tan2α

cos2 α=1−tan2 α1+ tan2 α

Soal-soal

1)Diketahui

cos 450=12 √2


16

Hitunglah perbandingan-perbandingan goniometri sudut tersebut dan sudut

220 30 '

2)Diketahui

tan α2=p

Tentukan nilai dari

cos α

3)Hitunglah

cos α

Jika diketahui

tan(α2 )=1−t

4)Hitunglah

sin α

Jika diketahui

tan( α2 )=1+t

Jawab

Menurut rumus identitas

1+ tan2 α=sec2 α

Sehingga

1+ tan2( α2 )=sec2 ( α

2 )⇔1+(1+t )2=sec2( α

2 )⇔cos2( α

2 )= 11+1+2 t+t2 atau cosα=√ 1

2+2 t+ t2


17

Menurut rumus identitas yang lain

cos2( α2 )+sin2 ( α

2 )=1

5)Buktikan bahwa

cos2 α1+cos2 α

=cot α−tan α2 cot α

Jawab

cos2 α1+cos2 α

=cot α− tan α2 cot α

⇔cos 2 α1+cos2α

=cos2 α−sin2α1+(cos2−sin2α )

⇔cos 2 α1+cos2α

=cos2 α−sin2 α(sin2α+cos2 α )+(cos2−sin2α )

⇔cos 2α1+cos2α

=cos2 α−sin2 α2cos2 α

⇔cos 2 α1+cos2 α

=cosα−sin α (sin α

cos α )2 cosα

⇔cos 2 α1+cos2α

=(cosαsin α )−(sin α

cosα )2(cos α

sin α )⇔cos 2 α

1+cos2 α=cot α−tan α

2 cot α6)

Buktikan bahwa

tan( α2 )=sin α

1+cosα=1−cosα

sin α

7)Jika diketahui


18

cos α

Hitunglah tan α

2=2 p

4.4 Perubahan Jumlah atau Selisih Sudut Menjadi Hasil Perkalain Sudut

1) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih sudut diperoleh:

cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y

cos ( x+ y )+cos( x− y )=2cos x cos y +

Atau

cos x cos y=12 (cos ( x+ y )+cos ( x− y ))

Jika

( x+ y )=A dan ( x− y )=B maka diperoleh x= 1

2( A+B )

dan y= 1

2( A−B )

cos A+cosB=2cos 12

( A+B ) cos 12

( A−B )

2) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih sudut diperoleh:

cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y

cos ( x+ y )−cos ( x− y )=−2 sin x sin y -

Atau


19

sin xsin y=−12 (cos( x+ y )−cos(x− y ))

Jika


2( A+B )

dan y= 1

2( A−B )

cos A−cos B=−2sin 12

( A+B ) sin 12

( A−B )

3) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih sudut diperoleh:

sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y

sin( x+ y )+sin( x− y )=2sin x cos y +

Atau

sin xcos y=12 (sin( x+ y )+sin ( x− y ))

Jika


2( A+B )

dan y= 1

2( A−B )

sehingga diperoleh

sin A+sin B=2 sin 12

( A+B ) cos 12

( A−B )

4) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan sinus selisih sudut diperoleh:


20

sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y

sin( x+ y )−sin( x− y )=2cos x sin y -

Atau

cos x sin y=12 (sin( x+ y )−sin( x− y ))

Jika

( x+ y )=A dan ( x− y )=B maka diperoleh x=1

2( A+B )

dan y=1

2( A−B )

sehingga diperoleh

sin A−sin B=2 cos 12

( A+B )sin 12

( A−B )

Soal-soal

1)Ubahlah jumlah atau selisih berikut ini menjadi suatu perkalian dan jika

mungkin mudahkan

sin 330+sin 230

sin 330+sin 230

sin 330+sin 230

sin 330+sin 230

2. Buktikan kesamaan-kesamaan berikut ini.


21

a)

sin α +sin βsin α−sin β

=tan 1

2(α +β )

tan 12(α−β )

b)

cos α+cos βcos α−cos β

=−cot (α+β )

tan 12(α−β )

c)

sin α +sin βcos α−cos β

=tan 12(α+β )

d)

sin α−sin βcos α−cos β

=−cot 12(α+β )

e) (sin α+sin β )(sin α−sin β )=sin (α+β )sin (α−β )

f) (cos α+cos β )( cosα−cos β )=sin(α +β )sin(α−β )

g)(sin α+2sin 2 α+sin 3 α )=4 sin 2α cos2 ( α

2 )

4.5 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah Sudutnya dan

Perbandingan Sinus-sinus Sudut

Misal dalam suatu segitiga diketahui

sin xsin y

= pq

dan x+ y=α

Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru

sin xsin y

+1

sin xsin y

−1=

pq

+1

pq−1


22

⇔

sin x+sin ysin ysin x−sin ysin y

=

p+qq

p−qq

⇔sin x+sin ysin x−sin y

= p+qp−q

⇔2 sin 1

2( x+ y ) cos 1

2( x− y )

2 cos 12

( x+ y ) sin 12

( x− y )= p+q

p−q

Jika ruas kiri dibagi dengan

2 cos 12

( x+ y )cos 12

cos 12

( x− y )

Diperoleh

tan 12

( x+ y )

tan 12

( x− y )= p+q

p−q

⇔ tan 12

(x− y )=p−qp+q

tan 12

( x+ y )

↔ tan 12

( x− y )=p−qp+q

tan(α2 )Sehingga x− y dapat dihitung jika x+ y diketahui, demikian pula x dan y dapat

diketahui.

Contoh soal

1) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui

a. x+ y=1500,sin x :sin y=1: 2

Jawab

Berdasarkan soal tersebut di atas dapat diketahui x+ y=α=1500


23

sin xsin y

=12

, sehingga diperoleh p=1 , q=2

Sehingga

tan 12

( x− y )= p−qp+q

tan( α2 )

⇔ tan 12

(x− y )=1−21+2

tan(1500

2 )⇔ tan 1

2(x− y )=−1

3tan 750

⇔ tan 12

(x− y )=−tan 750

3

4.6 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah dan Perbandingan

Tangen-tangen Sudutnnya.

Misal dalam suatu segitiga diketahui

tan xtan y

= pq

dan x+ y=α

Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru

tan xtan y

+1

tan xtan y

−1=

pq+1

pq−1

⇔

tan x+ tan ytan ytan x− tan ytan y

=

p+qq

p−qq

⇔ tan x+ tan ytan x−tan y

= p+qp−q


24

⇔sin x cos y+sin y cos ysin x cos y−sin y cos x

= p+qp−q

⇔sin ( x+ y )sin ( x− y )

=sin αsin( x− y )

= p+qp−q

Sehingga x− y dapat dihitung jika x+ y diketahui, demikian pula x dan y dapat

diketahui.

Contoh

1) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax + y=500 dan

tan x :tan y=5 :11Jawab

Berdasarkan soal diatas diketahui α=500 dan

pq= 5

11

Sehingga

⇔ tan x+ tan ytan x−tan y

=5+115−11

⇔sin x cos y+sin y cos ysin x cos y−sin y cos x

=16−6

⇔sin ( x+ y )sin ( x− y )

=sin 500

sin( x− y )=16

−6

⇔sin ( x− y )=−166

sin 500

⇔( x− y )= .. ..

Karena x + y=500 dan x− y=.. .

Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh x=. .. . dan y=. . ..

4.7 Merubah Jumlah atau Selisih Menjadi suatu Hasil Perkalian

Berdasarkan rumus jumlah dan selisih sinus dua sudut diperoleh


25

sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y______________________________−sin( x+ y )−sin( x− y )=2cos x sin y Sehingga diperoleh

2 cos x sin y=sin( x+ y )−sin ( x− y )

Selanjutnya

sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y______________________________+sin( x+ y )+sin( x− y )=2sin x cos y Sehingga diperoleh

2 sin xcos y=sin( x+ y )+sin( x− y )

Sedangkan berdasarkan rumus jumlah dan selisih cosinus dua sudut diperoleh

cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y______________________________−cos ( x+ y )−cos ( x− y )=−2 sin x sin y Sehingga diperoleh

−2 sin x sin y=cos( x+ y )−cos( x− y )

Selanjutnya

cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y______________________________+cos ( x+ y )+cos( x− y )=2cos x cos y Sehingga diperoleh

2 cos xcos y=cos ( x+ y )+cos( x− y )

Berdasarkan rumus-rumus perkalian yang dapat diaubah menjadi rumus

penjumlahan tersebut dapat ditentukan ukuran dua sudut, misalnya x dan y jika

hasil perkalian dua sudut tersebut diketahui.

Misal x+ y=p dan sin x . sin y=p


26

Berdasarkan pemisalan di atas

2 sin x . sin y=2 p

Karena 2 sin x sin y=cos ( x− y )−cos (x+ y )maka

cos ( x− y )−cos( x+ y )=cos( x− y )−cos α=2 p

Sehingga ( x− y )dapat dihitung, Karena ( x+ y ) diketahui.

Dengan cara yang sama dapat ditentukan besarnya dua sudut x dan y jika

perkalian cosinusnya diketahui, demikian pula yang diketahui perkalin sinus dan

cosinus, serta diketahui perkalian cosinus dan sinusnya.

Contoh


sin x sin y=0,2Jawab

Berdasarkan soal diatas diketahui α=600 dan sin x sin y=0,2

Sehingga

2 sin x sin y=cos ( x− y )−cos (x+ y )=cos( x− y )−cosα=2 p

⇔2(0,2 )=cos ( x− y )−cos600

⇔cos ( x− y )=0 ,400+0 , 500

⇔cos( x− y )=0 , 900

⇔( x− y )=0 , 900

Karena x + y=600 dan x− y=.. .


2) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax − y=100 dan

cos x cos y=0,4Jawab

Berdasarkan soal diatas diketahui x− y=α=100 dan cos x cos y=0,4

Sehingga

2 cos xcos y=cos ( x+ y )+cos( x− y )=cos ( x+ y )−cosα=2 p

⇔2(0,4 )=cos( x+ y )+cos100


27

⇔cos ( x+ y )=0 ,800+cos100

⇔cos ( x+ y )=. . .. ..

⇔( x− y )= .. .. .

Karena x − y=100 dan x+ y=. ..


4.8 Soal-soal

1) Buktikan kesamaan

a) sin α cos( β−α)+cos α sin( β−α )=sin β .

b) (sec x−1 )(sec+1)= tan2 x

c)(1+sin x )(1−sin x )= 1

sec2 x

d) sec x−sin xcos x=cos x

e)

sec2 x−1sec2 x

= sin2 x

f)sin2 x + 1

sec2 x=1

g) cos3 y=4 cos3 y−3cos y

h) sin 4 s=8 sin scos3 s−4 sin s coss

i) (1+cos x )(1−cos x )=sin2 x

j)

sin pcos p

+ cos psec p

=1

k) (1−cos2 x )(1+cot2 x )=1

l) sin t (csc t−sin t )=cos2 t

m)

1−csc2 ycsc2 y

=− 1sec2 t

2) Diketahuitan α=−n ,hitunglah perbandingan goniometri sudut α

yang

lainnya.


28

3) Diketahuisec α=−p ,hitunglah perbandingan goniometri sudut α

yang

lainnya.

4) Buktikan bahwa:

a)tan α−sin α=tan α sin α tan( α

2 )b) sin 8 t=8 sin t cos t cos2 t cos 4 t

c)sin 2 α= 2 tan α

1+ tan2 α

d)

sin( x− y )+sin( y− z )+sin( z−x )=−4 sin 12( x− y )sin 1

2( y−z )sin 1

2( z−x )

5) Jikap+q+r+s=1800

buktikan bahwa cos p cosq+cosq cosr=sin p sin q+sin q sin r

6) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=700,

sin x :sin y=5 :3


sin x :sin y=1: 2

8) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=200

,

cos x :cos y=1044 :1111


cos x :cos y=3:7


tan x :tan y=5 :11

11) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=60 ,

tan x :tan y=1 :2


sin xcos y=0,6


29


cos x sin y=0 , 36


tan x tan y=0 ,25


tan x− tan y=1,5


30

dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · web viewbab iv jumlah dan selisih dua sudut 4.1 jumlah dua...

Documents