LAPORAN WORKSHOP

GRAFIK FUNGSI SINUS DAN COSINUS

SUDUT RANGKAP DAN SUDUT ISTIMEWA

Disusun Untuk Memenuhi Tugas

Mata Kuliah Workshop Pembelajaran Matematika

Semester Ganjil

Disusun oleh :

1. Fitria Andriani A 410 080 082

2. Faridha Listiyana A 410 080 314

3. Heriyono A 410 080 320

4. Tiara Anggresiya A 410 080 359

5. Yekti Putri K A 410 080 360

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA

2011

LEMBAR PENGESAHAN

Proposal workshop pembelajaran, dengan judul Grafik fungsi sinus dan

cosinus Sudut Rangkap, guna melengkapi tugas mata kuliah workshop

pembelajaran pada Program Studi Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Muhammadiyah Surakarta Tahun Akademik 2010/ 2011

telah disetujui dan disahkan pada :

Hari : ....................

Tanggal : ....................

Pembimbing I

Drs. H. Sumardi, M.SiNIP. 131283257

Surakarta, Januari 2011

Pembimbing II

Ikhsan Dwi S , S. Pd

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG PERMASALAHAN

Matematika oleh sebagian besar siswa masih dianggap sebagai

momok, ilmu yang kering, penuh dengan lambang-lambang, rumus-rumus,

yang sulit dan membingungkan. Terkait dengan anggapan berlebihan

mengenai matematika, ditemukan beberapa penyebab fobia matematika

antara lain adalah mencangkup penekanan berlebihan pada penghafalan

semata, penekanan pada kecepatan berhitung, pengajaran otoriter, kurangnya

variasi dalam proses belajar mengajar matematika dan penekanan berlebihan

terhadap prestasi individu (Masykur dan Fathani, 2008 : 74).

Matematika pada dasarnya merupakan besaran, struktur, ruang, relasi,

perubahan beraneka topik, pola, dan bentuk. Dalam pandangan formalis,

matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak

menggunakan logika simbolik dan notasi matematika. Pengetahuan dan

penggunaan matematika dasar selalu menjadi sifat melekat dan bagian utuh

dari kehidupan individual dan kelompok. Kini matematika digunakan di

seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang termasuk ilmu

pengetahuan alam, rekayasa medis, dan ilmu pengetahuan sosial.

Mata pelajaran matematika yang diajarkan guru di sekolah

mempelajari berbagai macam materi, diantaranya aljabar, trigonometri,

fungsi, bilangan, bangun datar dan bangun ruang, himpunan, logika

matematika, dan sebagainya.

Dalam penyampaian materi oleh seorang gurupun, akan sangat

berpengaruh terhadap minat dan pemahaman siswa yang diajar. Salah satu

cara untuk menyikapi permasalahan tersebut yaitu dengan menggunakan alat

peraga matematika. Melalui alat peraga matematika ini selain siswa

mendapatkan teori siswa juga langsung mempraktekkannya sendiri sehingga

membuat siswa akan mudah mengingatnya.

Alat peraga matematika merupakan seperangkat benda yang

dirancang, dibuat, dihimpun, atau disusun secara sengaja yang digunakan

untuk membantu menanamkan atau mengembangkan konsep – konsep atau

prinsip – prinsip dalam matematika. Alat peraga juga merupakan media

pembelajaran yang mengandung atau membawa ciri – ciri dari konsep yang

dipelajari.

Berdasarkan hal yang telah dijelaskan diatas maka dibutuhkan suatu

alat peraga sederhana salah satunya yaitu grafik fungsi sinus dan cosinus

sudut rangkap namun pada alat peraga ini hanya memuat fungsi sinus dan

cosinus saja. Dengan alat peraga ini siswa diajak bermain sambil belajar

sehingga siswa akan lebih mudah mengingat dan memahami materi yang

disampaikan. Siswa diberikan suatu rangsangan berupa sudut - sudut

istimewa dan sudut rangkap dan pemanfaatan rumus kemudian siswa

menebak nilai sinus dan cosinus dari sudut – sudut tersebut.

B. PERUMUSAN MASALAH

Dari latar belakang yang telah disampaikan di atas, dapat dirumuskan

permasalahan sebagai berikut :

1. Bagaimanakah proses pembuatan alat peraga grafik fungsi sinus dan

cosinus sudut rangkap?

2. Bagaimanakah cara penggunaan alat peraga grafik fungsi sinus dan

cosinus sudut rangkap?

C. TUJUAN

Berdasarkan uraian di atas, maka tujuan yang ingin dicapai pada

pembuatan alat peraga ini adalah :

1. Siswa dapat mengerti dan memahami bentuk grafik sinus dan cosinus.

2. Mempermudah siswa dalam menggunakan rumus trigonometri jumlah

dan selisih dua sudut.

3. Siswa dapat merancang rumus trigonometri sudut rangkap.

D. MANFAAT

Manfaat yang diharapkan dari pembuatan alat peraga adalah :

1. Manfaat Teoritis

a. Alat peraga grafik fungsi sinus dan cosinus sudut rangkap ini dapat

bermanfaat dalam meningkatkan pemahaman siswa tentang konsep

trigonometri.

b. Dapat menunjukkan siswa secara jelas tentang nilai sinus dan cosinus

fungsi trigonometri untuk sudut istimewa dan sudut rangkap.

c. Sebagai media untuk menunjukkan hubungan antara konsep

matematika dengan dunia di sekitar kita serta aplikasi konsep dalam

kehidupan nyata.

d. Merangsang siswa untuk lebih menyukai pelajaran matematika.

2. Manfaat Praktis

a. Bagi siswa

Membantu siswa untuk lebih mudah memahami konsep tentang

trigonometri serta menunjukkan siswa tentang nilai sinus dan cosinus

fungsi trigonometri untuk sudut istimewa dan sudut rangkap.

b. Bagi guru matematika

Guru akan lebih termotivasi untuk menciptakan alat peraga yang

lebih banyak agara dapat digunakan untuk mendukung proses

pembelajaran matematika yang aktif dan terstruktur,

c. Bagi sekolah

Menambah perbendaharaan alat peraga di laboratorium matematika

sekolah

BAB II

LANDASAN TEORI

A. PEMBAHASAN TEORI

Trigonometri dalam bahasa Yunani berarti pengukuran segitiga

merupakan bagian dari matematika yang mempelajari hubungan antara sisi-

sisi dan sudut – sudut pada suatu segitiga. Dalam penerapannya, trigonometri

digunakan dibidang navigasi, pengukuran, fotografi, fisika, dan sebagainya.

Sebagai contoh dalam navigasi pelayaran, konsep dasar perbandingan

trigonometri digunakan dalam menentukan arah dan jarak dari satu tempat ke

tempat yang lain (Marwanta dkk, 2009:144).

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan

Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu.

Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang

digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha

adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan

geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya

Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah

India (Nurhalimah Hasibuan : 2010).

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel

trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya,

Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih

lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah

karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan

memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Dalam trigonometri kita mengenal beberapa fungsi trigonometri,

antara lain sinus ( sin ), cosinus ( cos ), tangen ( tan ), secan ( sec ), cosecan

(cosec ), dan cotangen (cot ).

Tabel Trigonometri untuk sudut – sudut istimewa

Sudut (x) Sin (x) Cos (x) Tan (x)

0° 0 1 0

30° 12

12 √3 1

3 √3

45° 12 √2 1

2 √2 1

60° 12 √3 1

2√3

90° 1 0 Tidak Terdefinisi

(Muhammad Alfian Juniansyah : 2010).

Grafik fungsi sinus dan cosinus sudut rangkap ini hanya memuat

fungsi sinus dan cosinus saja. Alat peraga ini dapat digunakan untuk mencari

nilai fungsi sinus dan cosinus untuk sudut – sudut istimewa dan sudut

rangkap.

1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin α=sisi di depan sudut Asisi miring

= BCAC

cos α = sisi di dekat sudut Asisi miring

= ABAC

tan α = sisi di depan sudut Asisi di dekat sudut A

=BCAB

B

C

A

α

Selanjutnya, perhatikanlah gambar di samping.

Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan

berjari-jari 1 satuan misalnya,∠ AOB = ∠ A∠ BOC = ∠ B

maka ∠ AOC = ∠ A + ∠ B

Dengan mengingat kembali tentang koordinat

Cartesius, maka:

a. koordinat titik A (1, 0)

b. koordinat titik B (cos A, sin A)

c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}

d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)

AC=BD maka AC 2=DB2

cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A +

cos2 A + sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A

2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B

2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus cosinus jumlah dua sudut:

Dengan cara yang sama, maka:

cos (A – B) = cos (A + (–B))

cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus cosinus selisih dua sudut:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Perhatikan rumus berikut ini.

sin ( A+B )=cos {π2−( A+B )}

¿cos( π2−A−B)

¿cos{( π2−A)−B}

¿cos ( π2−A)cos B+sin ( π

2−A)sin B

¿ sin A cos B+cos A sin B

Maka rumus sinus jumlah dua sudut:

Dengan cara yang sama, maka:

sin (A – B) = sin {A + (–B)}

= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)

= sin A cos B – cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut:

3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

tan ( A+B )=sin ( A+B )cos ( A+B )

¿ sin A cos B+cos A sin Bcos A cos B−sin A sin B

¿sin A cos B+cos A sin Bcos A cos B−sin A sin B

.

1cos A cos B

1cos A cos B

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

¿

sin A cosB+cos A sin Bcos A cos Bcos A cos B−sin A sin Bcos A cos B

¿

sin A cosBcos A cos B

+cos A sin Bcos A cosB

cos A cos Bcos A cos B

−sin A sin Bcos A cosB

¿

sin AcosB

+sin Bcos B

1−sin Acos B

. sin BcosB

¿ tan A+ tan B1−tan A tan B

Rumus tangen jumlah dua sudut:

(Soedyarto, Nugroho dan Maryanto)

B. PENERAPAN ALAT PERAGA DALAM PEMBELAJARAN

MATEMATIKA

Contoh soal :

Berapakah nilai dari sin 15 ° ?

Jawab :

tan ( A−B )=tan A−tan B1+tan A tan B

tan ( A+B )=tan A+ tan B1−tan A tan B

Hidupkan alat peraga kemudian lihat hasil sin 45 ° dan sin 30 ° kemudian

hitung menggunakan rumus yang sudah ada di sebelah pojok kanan alat

peraga.

Sin 15 ° = sin (45 °−30° )

= sin 45 ° cos 30 ° - cos 45 ° sin 30 °

= ( 1

2 √2×12 √3 )−( 1

2 √2×12)

=14 √6− 1

4 √2

=14(√6−√2)

BAB III

METODE PEMBUATAN ALAT PERAGA

A. BENTUK ALAT PERAGA

B. ALAT DAN BAHAN

Alat :

1. Palu

2. Solder

3. Bor kecil

4. Gunting

5. Gergaji

6. Tang

7. Penggaris

8. Paku pines

9. Benang

Bahan :

1. Kabel kecil 25 m

2. Saklar 25 buah

3. Lampu LED warna merah 18 buah,kuning 18 buah,biru 16

buah,hijau 16 buah

4. Whiteboard 100x100cm

5. Papan triplek 100x100cm

6. Kabel biasa 1 m

7. Trafo 1 buah

8. Dioda 4 buah

9. Resistor 68 buah

10. elco

11. Steker

12. Timah solder

13. Paku

14. Spidol permanen warna hitam,merah,biru masing-masing 1 buah

15. Least

16. Kayu panjang 100cm, lebar 5cm, tinggi 5cm 4 buah

17. Lem alteco

C. PROSEDUR PEMBUATAN

1. Gambar garis koordinat dengan menggunakan spidol warna hitam pada

whiteboard sesuai pola yang ada

2. Gambar grafik sinus dengan menggunakan spidol warna biru sesuai

dengan pola yang ada dengan bantuan paku pines dan benang

3. Gambar grafik cosinus dengan menggunakan spidol warna merah sesuai

dengan pola yang ada dengan bantuan paku pines dan benang

4. Lubangi masing-masing titik sesuai dengan pola untuk menempatkan

lampu LED

5. Lubangi bagian bawah whiteboard untuk menempatkan saklar

6. Pasangkan lampu LED pada lubang yang tersedia

7. Rangkai rangkaian arus listrik pada bagian belakang whiteboard

8. Hubungkan kabel kecil dengan lampu LED dan saklar dengan cara

menyolder lampu LED dan saklar dengan menggunakan timah solder

9. Hubungkan kabel kecil yang sudah terhubung dengan rangkaian arus

listrik yang sudah dibuat

10. Sambungkan semua rangkaian arus listrik pada 1 kabel yang besar

11. Pasangkan steker pada kabel tersebut dengan tujuan agar dapat

menghantarkan arus listrik

D. CARA PENGGUNAAN

1. Hubungkan stop kontak dengan arus listik

2. Nyalakan saklar dalam posisi on

3. Setelah menyala, mulai menghitung dengan soal yang akan diberikan

4. Hidupkan saklar yang diperlukan dalam mengerjakan soal tersebut

5. Lihat lampu yang menyala, kemudian masukkan nilai pada lampu yang

menyala ke dalam rumus yang telah disediakan di sebelah pojok kanan alat

peraga

6. Setelah dihitung hasilnya, cocokan pada alat peraga, apakah sesuai dengan

alat peraga tersebut

7. Kalau sudah cocok dengan alat peraga berarti hasil perhitungan benar

BAB IV

HASIL

A. DESKRIPSI ALAT PERAGA

Alat peraga Grafik Fungsi Sinus Dan Cosinus Sudut Rangkap

merupakan suatu media yang dapat digunakan sebagai pembantu guru dalam

menerangkan nilai sinus dan cosinus sudut rangkap dan sudut istimewa

kepada siswa.

Alat peraga ini terdiri dari dua grafik, yaitu grafik sinus dan

cosinus yang digunakan untuk menentukan nilai sudut istimewa dan sudut

rangkap. Grafik cosinus digambarkan dengan garis warna merah sedangkan

untuk grafik sinus digambarkan dengan garis warna biru. Sedangkan lampu

yang menyala terdiri dari 4 macam warna, yaitu merah, biru, kuning, dan

hijau. Terdapat pula 25 saklar dengan besar sudut yang telah tercantum

dalam grafik sehingga dapat mempermudah penggunaan alat peraga.

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

1. Dengan menggunakan alat peraga tersebut, siswa dapat lebih mengerti

dan memahami bentuk grafik sinus maupun cosinus

2. Alat peraga tersebut dapat mempermudah siswa dalam menggunakan

rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

3. Siswa dapat merancang rumus trigonometri sudut rangkap

B. SARAN

1. Sebaiknya sebelum menunjukkan alat peraga tersebut diberikan sebuah

pertanyaan tentang grafik fungsi trigonometri

2. Sebaiknya dalam menyajika alat peraga harus disertai dengan contoh-

contoh yang mudah dan dapat dimengerti oleh siswa

3. Sebaiknya siswa ikut mengerjakan soal tentang trigonometri jumlah

dan selisih dua sudut kemudian mencocokkan hasilnya

C. TANGGAPAN – TANGGAPAN

1. Dwi Ayu Setyaningsih (A410 070 231)

Apakah alat peraga ini dapat digunakan secara langsung, tanpa

menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisih sudut?

Apakah fungsi alat peraga yang sebenarnya?

Jawab :

Sebenarnya alat peraga ini dapat digunakan untuk mendapatkan hasil

sinus dan cosinus sudut rangkap secara langsung, tetapi alat peraga ini

dirancang untuk merangsang kreativitas siswa. Jadi siswa tidak hanya

mengetahui hasil akhirnya, tetapi juga proses untuk mendapatkan hasil

tersebut. Dalam hal ini dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih

sudut untuk sinus dan cosinus sehingga siswa dapat menemukan sendiri

rumus sinus dan cosinus untuk sudut rangkap.

2. Drs. Sumardi

Bagaimana cara untuk menemukan nilai dari Sin 150?

Jawab :

Sin 150= sin (

π12 )

= sin( π

4− π

6 )

= sin( π

4 ) . cos( π6 )−cos( π

4 ) .sin ( π6 )

=

12 √2. 1

2 √3−12 √2. 1

2

=

14 √6− 1

4 √2

=

14

(√6−√2 )

3. Drs. Sumardi

Bagaimana cara Anda menentukan letak

14

(√6−√2 ) pada alat peraga

Anda?

Jawab :

Lampiran 1

Contoh penggunaan :

1. Hubungkan steker dengan aliran listrik2. Hidupkan saklar dalam posisi on yaitu saklar dengan sudut 0o

3. Setelah menyala, mulai menghitung dengan soal yang akan diberikan 4. Hidupkan saklar yang diperlukan dalam mengerjakan soal tersebut 5. Lihat lampu yang menyala, kemudian masukkan nilai pada lampu yang

menyala kedalam rumus yang telah disediakan di sebelah pojok kanan alat peraga

6. Setelah dihitung hasilnya, cocokkan pada alat peraga, apakah sesuai dengan alat peraga tersebut

7. Kalau sudah cocok dengan alat peraga berarti hasil yang dihitung telah benar

8. Misalkan kita akan menghitung sin π2 maka kita dapat menghutung sin π

2

dengan cara sin π2=sin( π

6+ π

3 ) maka yang pertama kita lakukan yaitu dengan

menghidupkan saklar 00 kemudian kita hidupkan sudut π6 dan sudut

π3 . Setelah

kita hidupkan maka kita lihat lampu yang menyala menunjukkan angka berapa, setelah itu masukkan kedalam rumus yang diinginkan yaitu rumus sin (α +β ).

Lampiran 2

PRESENSI KEHADIRAN PRESENTASI

Kelompok 1 TABEL DAN GRAFIK LISTRIK PERPANGKATAN

Anggota : 1. Novika rahmawati A 410 070 007

2. Bagas Rasiota A 410 070 012

3. Ardi Hananto A 410 070 021

4. Ari Wijayanti A 410 070 027

5. Fitri Yoshinta M A 410 070 048

Kelompok 3 KUBUS FLIP-FLOP

Anggota: 1. Fitri Dewi Widayanti A 410 070 213

2. Nur Rizka Erika A 410 070 228

3. Dwi Ayu Setyaningsih A 410 070 231

4. Tri Jayanti A 410 070 247

5. Anita Wijayanti A 410 070 248

Kelompok 4 FUN CLOCK

Anggota : 1. Yuli Yuwanita A 410 070 154

2. Ira Widyaningsih A 410 070 168

3. Hanawati Rianti A 410 070 171

4. Widyastutik Dyah I.S A 410 070 180

5. Wahid Mustofa A 410 070 233

DAFTAR PUSTAKA

Hasibuan, Nurhalimah. 2010. Makalah Trigonometri. http://kumpulan rumus-rumusmatematikaleogirl.blogspot.com/2010_03_01_archive.html. Diakses tanggal 25 Januari 2010

Juniansyah, Muhammad Alfian. 2010. Makalah Trigonometri. http://www. Scribd.com/doc/44696120/MAKALAH-TRIGONOMETRI. Diakses tanggal 25 Januari 2010

Marwanta, dkk. 2009. Matematika SMA Kelas X. Jakarta : Yudhistira

Masykur. M. Dan Fathani,A.H. 2008. Teori-teori Motivasi. http://www.motivasi-teori.wordpress.com. Diakses pada tanggal 3 September 2010

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. BSE Matematika Jilid 2 untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional