UNIVARIATE ARIMA ( Box –Jenkin Methodology ) MODELLING

WORKSHOP

“ANALISIS RESIKO UNTUK BISNIS”

Oleh :

Maman Setiawan, SE, MT

28 – 29 September 2004

PROGRAM PENGEMBANGAN KOMPETENSI BISNIS

DIVISI PENGKAJIAN DAN PENGEMBANGAN BISNIS

PROGRAM MAGISTER MANAJEMEN UNIVERSITAS PADJADJARAN

KATA PENGANTAR

Makalah ini disampaikan pada workshop ”Analisis Resiko untuk bisnis” yang

dilaksanakan oleh Divisi Pengkajian Bisnis, Program Magister Manajemen Universitas

Padjadjaran pada tanggal 28-29 September 2004. Peserta yang mengikuti workshop ini

terdiri dari dosen universitas negeri dan swasta, tenaga akademisi lainnya, dan praktisi

bisnis. Makalah yang berjudul ”Univariate ARIMA (Box–Jenkin Methodology)

Modelling” ini disampaikan pada Sessi I dan II Workshop tanggal 29 September 2004.

Workshop ini bertujuan agar pelaku bisnis bisa memahami kondisi-kondisi bisnis saat

ini dan ke depan sehingga bisa mengantisipasi berbagai resiko yang terjadi di kemudian

hari. Akhir kata saya sampaikan terima kasih sebesar-besarnya atas kepercayaan yang

diberikan panitia Workshop ”Analisis Resiko Bisnis” Program MM Unpad kepada saya

untuk menjadi pembicara dalam workshop ini selama dua hari lamanya. Semoga materi

yang disampaikan ini bermanfaat bagi pengembangan dan aplikasi ilmu di dunia bisnis.

Bandung, September 2004

Maman Setiawan

1. ARIMA Modelling

Model ARIMA dan time series digunakan dalam berbagai disiplin ilmu seperti

antropologi, bisnis, kriminologi, hingga ilmu hewan. Tujuan dari ARIMA ini ialah

menemukan suatu model yang akurat yang mewakili pola masa lalu dan masa depan

dari suatu data time seris.

Yt = Pattern + et

Di mana polanya bisa random, seasonal, trend, cyclical, promotional, atau kombinasi

pola-pola tersebut. Model ARIMA pada time series dibuat oleh Box dan Jenkins pada

tahun 1970, menggunakan 3 proses iteratif (Box, Jenkins, dan Reinsel, 1994 ).

Tahapan melakukan estimasi model dalam ARIMA :

Gambar 1.1

1. Identifikasi model : Menentukan tingkat stasionaritas data,

Menentukan Nilai AR, Menentukan nilai MA

2. Estimasi Parameter dari model yang dipilih

3. Diagnostic Checking ( Apakah Estimasi residualnya stasioner/white noise ? )

4. Forecasting

Yes Langsung ke tahap 4

No Kembali ke langkah 1

2. Identifikasi Model

Pada proses ini ialah menentukan nilai p,d, dan q di mana p ialah jumlah proses

autoregresive (AR ), d ialah jumlah difference agar suatu data time series bisa stasioner,

dan q ialah jumlah proses moving average (MA).

( AR I MA )

( p d q )

Proses Autoregressive ( AR )

Model dengan proses autoregressive ini hanya melibatkan data aktual dengan data tahun

sebelumnya tanpa memasukan variabel lain, sehingga model ini sering disebut model

dengan “data yang berbicara sendiri ( data speaks for themselves)”

Jika suatu data Profitt ( Yt ) dikatakan misalnya mengikuti first order autoregressive

atau AR(1) jika nilai Profit pada waktu t tergantung pada nilai tahun sebelumnya dan

nilai variabel gangguannya. Jika digambarkan dalam model :

(Profitt – �) = �1(Profitt-1 – � ) + ut

di mana � ialah nilai rata-rata profit dan ut ialah variabel gangguan yang tidak

berkorelasi dengan rata-rata nol dan varians yang konstan ( �2 ) ( artinya White Noise).

Selain AR(p) suatu model dengan proses autoregressive ini bisa mengikuti proses

AR(p) jika dalam kenyatannya setelah diidentifikasi mengikuti pth-order

autoregressive.

(Profitt – �) = �1(Profitt-1 – � ) + �2(Profitt-2 – � ) + … + �p (Profitt-p – � ) + ut

Proses Moving Average ( MA )

Proses AR tidak hanya mekanisme yang mengendalikan perubahan profit tetapi bisa

juga dikendalikan oleh pergerakan rata-rata (moving average) dari variabel gangguan

aktual dan variabel gangguan waktu sebelumnya. Jika kita gambarkan dalam suatu

model ialah :

Profitt =� + �0 ut + �1 ut-1

Di mana : � ialah konstanta da ut ialah variabel gangguan stokastik . Pada model di atas

terlihat bahwa profit pada waktu t ialah sama dengan konstanta ditambah suatu

pergerakan rata-rata (moving average) dari variabel gangguan tahun sekarang ditambah

variabel gangguan tahun sebelumnya.

Proses MA juga bisa mengikuti proses MA(q) sehingga modelnya ialah :

Profitt =� + �0 ut + �1 ut-1 + … + �q ut-q

Dari model di atas dapat disimpulkan bahwa proses moving average ialah suatu

kombinasi linear sederhana dari variabel gangguannya yang benar-benar acak (purely

random).

Proses Autoregressive dan Moving Average ( ARMA )

Proses ARMA ialah kombinasi proses AR dan MA. Misalkan jika Profit

mengikuti proses ARMA (1,1) maka bisa ditulis :

Profitt = � + �1 Yt-1 + �0 ut + �1 ut-1

Jika suatu model mengikuti proses ARMA (p,q), maka akan ada p variabel

autoregressive dan q variabel moving average.

Proses Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA )

Model time series dengan AR dan MA di atas mengasumsikan model memiliki

(weak) stasioner artinya rata-rata dan varians-nya konstan sedangkan kovarians-nya

tidak bervariasi antar waktu. Dalam kenyataanya data time series banyak yang tidak

stasioner tetapi bisa terintegrasi dalam I(1) first difference, I(2) second difference,

dan bisa sampai I(d), d-th difference sehingga data bisa stasioner, I(0).

Oleh karena itu sebelum melakukan proses AR dan MA terlebih dahulu harus

dilakukan proses pengujian stasionaritas sehingga pada d-difference berapa suatu data

bisa stasioner. Pada akhirnya suatu data time series yang asli memiliki ARIMA

(p,d,q) yaitu autoregressive moving average time series, di mana p ialah jumlah

variabel autoregressive, d ialah jumlah differencing sehingga data bisa stasioner, dan

q ialah jumlah variabel moving average.

Untuk menentukan p, d, dan q biasanya menggunakan tabel ACF dan PACF dengan

ketentuan sebagai berikut :

Process ACFs PACFs

ARIMA (0,0,0) No significants lag No significants lag

ARIMA (0,1,0) Linear decline at lag 1,

with many lags significant

Single significants peak at

lag 1

ARIMA (1,0,0) Exponential decline, with

first two or more lags

significant

Single significant peak at

lag 1

ARIMA (1,0,0) Alternating exponential

decline with a negative

ACF(1)

Single significant negative

peak at lag 1

ARIMA (0,0,1) Single significant negative

peak at lag 1

Exponential decline of

negative values, with first

two or three lags significant

ARIMA (0,0,1)

Single significant positive

peak at lag 1

Alternating exponential

decline atarting with a

positive

Tabel 1.1

Sebagai contoh buka data fad.sav pada SPSS.

File | Open | data | Fad.sav

Untuk mencari p, d, q dengan memakai ACF dan PACF, buka grafik ACF dan PACF

pada SPSS, maka pada menu SPSS :

Pilih Graph | Time series | Autocorrelation | sehingga muncil kotak dialog :

Pertama ialah menetukan tingkat stasionaritas. Karena d ( tingkat stasionaritas ) belum

diketahui tidak ada yang diceklist pada kotak dialog autokorelasi :

Klik OK lalu muncul :

Dari grafik ACF bisa diketahui adanya penurunan yang terus menerus pada kurva ACF

dan signifikan sehingga bisa dipastikan bahwa data stasioner pada first difference (d=1).

Dengan d=1 ini maka kita bisa tentukan p dan r dengan menggunakan grafik ACF dan

PACF lagi tetapi dengan menggunakan first difference ( d=1 )

lalu klik OK

Dari gambar di atas bisa kita tentukan p dan r . Dari grafik ternyata bisa kita tentukan

bahwa p = 0 dan r=1 artinya model mengandung MA(1).

Dari hasil identifikasi maka bisa kita tentukan model ARIMA ( 0,1,1) untuk data

demand di atas. Untuk estimasi ARIMA maka pada daftar menu :

Klik Analyze | Pilih Time Series | Pilih ARIMA :

sehingga muncul kotak dialog sebagai berikut :

Masukan variabel demand ke dalam variabel dependent kemudian isi Autoregressive

(AR) dengan 0, Difference (d) dengan 1, dan moving average (MA) dengan 1, lalu klik

OK.

Sehingga muncul hasilnya pada worksheet SPSS sebagai berikut :

Nilai Fit_1 merupakan nilai forecasting-nya sedangkan nilai err_1 merupakan nilai

kesalahan forecasting-nya.

Untuk diagnostic checking maka gunakan kembali fasilitas menu Graph | Time Series |

Autocorrelations

Dari gambar ACF maupun PACF terlihat bahwa tidak ada nilai koefisien autokorelasi

yang keluar dari batas tingkat kepercayaan sehingga model stasioner dan sudah tidak

lagi mengandung autokorelasi ( purely random error ). Dari kondisi ini kita tidak perlu

lagi mencari model ARIMA yang lain ( Gujarati, 1996 ).

Untuk melakukan forecasting dengan model ARIMA (0,1,1) untuk 20 minggu ke depan

maka ulangi lagi cara pada estimasi model ARIMA untuk Identification yaitu :

Klik Analyze | pilih time series | pilih ARIMA dengan p=0; d=1;q=1

Lalu Klik Save | Pada kotak sebelah kanan Kotak dialog ARIMA : Save yaitu Predict

case , checklist Predict through | isi observation dengan menambahkan 20 pada

observasi awal yaitu sebesar 120 observation (100 data aktual + 20 data forecasting) |

Klik Continue | lalu pada kotak dialog ARIMA klik OK

sehingga hasil akhir dengan forecasting 20 minggu ke depan ialah :

dari hasil di atas terlihat bahwa model ARIMA melakukan forecasting 20 minggu ke

depan.

Latihan Tentukan model ARIMA (p,d,q) serta hasil forecasting untuk 20 periode berikutnya

pada data di bawah ini :

1. Data Revenue.sav

2. Data Price.sav

Daftar Pustaka

1. Berndt, Ernest R., The Practice of Econometrics : Classic and Contemporary,

Addison-Wesley Publishing Company, 1991

2. Contreras, Javier, Espinola Rosario, Francisco J. Nogales, dan Antonio

J.Conejo, “ARIMA Models to Predict Next Day Electricity Prices”, IEE

Transactions on Power Systems, Vo. 18 No. 3, August 2003.

3. DeLurgio, Stephen A., Forecasting Principles and Applications, McGraw Hill

International Editions, 1998

4. Fullerton, Thomas R., “ A Composite Approach to forecasting state government

revenue:Case Study of the Idaho sales Tax”, International Journal of

Forecasting, North Holland, 1989

5. Gujarati, Damodar, Basic Econometrics, fourth edition, 2003

6. McGuigan, James R., R. Charles Moer, dan Frederick H.D.H, Managerial

Economics:Applications, Strategy, and Tactics, South-Western, ninth ediotn,

2002

7. Salvatore, Dominick, Managerial Economics in A Global Economics, McGraw-

Hill, Inc.,second edition, 1999

8. Tsui, Albert, Uditha Balasooriya, Tilak Abeysinghe, ”Small sampel

Regression:Regression or ARIMA Models”, Journal of Economics, Department

of Economics, National University of Singapore, May 2002.