1

AR,MA, ARMA, DAN ARIMA MODELLING

Sumber : LP3E- UNPAD

2

AR, MA, ARMA, dan ARIMA Modelling untuk data Time Series data time series bisa stasioner pada tingkat

level atau first difference atau bahkan pada second difference

Sebagai contoh data GDP yang sebelumnya dianalisis stasioner pada first difference tetapi tidak stasioner pada level.

Jika data time series stasioner (pada tingkat berapa saja) maka kita dapat memodelkan data tersebut dengan berbagai cara.

Model time series yang sering digunakan untuk forecasting diantaranya ialah model AR, MA, ARMA, dan ARIMA

3

Model Autoregressive (AR) Process (Yt – δ) = α1( Yt-1 – δ) + ut Yt merupakan representasi dari GDP pada

waktu t δ ialah rata-rata Y dan ut ialah nilai error

yang tidak saling berhubungan dengan rata-rata nol dan varians yang konstan σ2

maka kita bisa mengatakan bahwa Yt mengikuti first-order autoregressive, atau AR(1), stochastic process

4

Secara umum model Autoregressive digambarkan sebagai berikut : (Yt – δ) = α1(Yt-1-δ)+α2(Yt-2-δ)+…+αp(Yt-p-δ) + ut

Yt ialah model AR(p) atau model autoregressive dengan order ke-p

Model seperti ini sering disebut sebagai model dengan “data speak for themselves”

5

Model AR merupakan suatu representasi model yang mengasumsikan bahwa suatu kejadian dipengaruhi oleh kejadian yang sama periode sebelumnya

Model AR ini merupakan model dengan lagging variabel tetapi semua lagging variabel merupakan variabel dependen yang dilag-kan

Sebagai contoh nilai impor bahan baku saat ini tergantung dari impor bahan baku periode-periode sebelumnya karena berhubungan dengan supply, sebagai berikut :

Importt = α1 + α2Importt-1 + …+ αnImportt-n + e

6

Model Moving Average (MA) Process

Yt = μ + β0ut + β1 ut-1

μ = intersep/konstanta u = error term stokhastik

Dalam model MA ini, nilai Y dihasilkan dari hasil penjumlahan antara konstanta dengan error pada waktu t dan error pada waktu t-1. Model di atas dinamakan model MA(1) atau model moving average order pertama

7

Secara umum model MA(p) ialah sebagai berikut : Yt = μ + β0ut + β1ut-1 + β2ut-2 + ... + βqut-q Model MA merupakan representasi model yang

mengasumsikan bahwa prediksi suatu nilai saat ini tergantung dari kesalahan proyeksi periode sebelumnya

Model MA ini merupakan model dengan lagging variabel tetapi semua lagging variabel merupakan variabel kesalahan periode sebelumnya yang dilag-kan

Sebagai contoh, prediksi nilai IHSG : IHSGt = μ + β0ut + β1ut-1 + β2ut-2 + ... + βqut-

q

8

Model Autoregressive dan Moving Average (ARMA) Process

Model yang menggabungkan proses AR dan MA ialah model ARMA

Model ARMA(1,1) menunjukkan bahwa terdapat satu autoregressive dan satu moving average.

Sebagai contoh prediksi Y yang mengikuti ARMA(1,1) dapat ditulis sebagai berikut :

Yt = θ +α1Yt-1 + β0ut +β1ut-1 θ = nilai konstanta

9

Model ARMA ini merupakan model yang berguna untuk memproyeksikan secara akurat nilai suatu variabel dengan menggabungkan metode AR dan MA sehingga keduanya dapat membentuk kombinasi proyeksi dari potret kondisi masa lalu baik dari potret data itu sendiri maupun dari potret kesalahan hasil estimasinya periode sebelumnya.

Sebagai contoh model IHSG : IHSGt = μ + α1IHSGt+α2IHSGt-1+...+α3IHSGt-

n+β0ut + β1ut-1 + β2ut-2 + ... + βqut-q

10

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Model ARMA(p,q) yang diaplikasikan pada data yang telah melalui proses differencing tersebut dinamakan model ARIMA(p,d,q), yaitu model Autoregressive Integrated Moving Average, di mana p ialah jumlah variabel autoregressive, d ialah proses differencing sehingga data menjadi stasioner, dan q ialah jumlah variabel moving average.

11

ΔIHSGt = α1 + α2ΔIHSGt-1 + e Δ = data stasioner pada first

difference model ARIMA untuk data IHSG

dengan integrasi tingkat 1 (=stasioner pada first difference) dan AR(1)

12

Tahapan untuk melakukan estimasi model dengan ARIMA

1. Identifikasi model : Menentukan tingkat stasionaritas data, Menentukan Nilai AR, Menentukan nilai MA

2. Estimasi Parameter dari model yang dipilih

3. Diagnostic Checking ( Apakah Estimasi residualnya stasioner/white noise ? )

4. Forecasting

YesLangsung ke tahap 4

NoKembali ke langkah 1

13

Identifikasi Model

Pada proses ini ialah menentukan nilai p,d, dan q p ialah jumlah proses autoregresive

(AR), d ialah jumlah difference agar suatu

data time series bisa stasioner, dan q ialah jumlah proses moving average

(MA)

14

Proses Autoregressive ( AR )

Model dengan Proses Autoregressive ini hanya melibatkan data aktual dengan data tahun sebelumnya tanpa memasukkan variabel lain, sehingga model ini sering disebut model dengan “data yang berbicara sendiri ( data speaks for themselves)”

Jika suatu data GDPt dikatakan misalnya mengikuti first order autoregressive atau AR(1) jika nilai GDP pada waktu t tergantung pada nilai tahun sebelumnya dan nilai variabel gangguannya. Jika digambarkan dalam model :

(GDPt – δ) = α1(GDPt-1 - δ ) + ut ….(1.1) δ ialah nilai rata-rata GDP dan ut ialah variabel

gangguan yang tidak berkorelasi dengan rata-rata nol dan varians yang konstan ( σ2 ) ( artinya White Noise).

15

Selain AR(p) suatu model dengan proses autoregressive ini bisa mengikuti proses AR(p) jika dalam kenyataannya setelah diidentifikasi mengikuti pth-order autoregressive.

(GDPt – δ) = α1(GDPt-1 - δ ) + α2(GDPt-2 - δ ) + … + αp (GDPt-p - δ ) + ut ….(1.2)

16

Proses Moving Average ( MA )

Proses AR tidak hanya mekanisme yang mengendalikan perubahan GDP tetapi bisa juga dikendalikan oleh pergerakan rata-rata ( moving average ) dari variabel gangguan aktual dan variabel gangguan waktu sebelumnya. Jika kita gambarkan dalam suatu model ialah :

GDPt =μ + β0 ut + β1 ut-1 …..(1.3) Di mana : μ ialah konstanta da ut ialah variabel

gangguan stokastik . Pada model di atas terlihat bahwa GDP pada waktu t ialah sama dengan konstanta ditambah suatu pergerakan rata-rata ( moving average ) dari variabel gangguan tahun sekarang ditambah variabel gangguan tahun sebelumnya.

17

Proses MA juga bisa mengikuti proses MA(q) sehingga modelnya ialah :

GDPt =μ + β0 ut + β1 ut-1 + … + βq ut-q ….(1.4)

Dari model di atas dapat disimpulkan bahwa proses moving average ialah suatu kombinasi linear sederhana dari variabel gangguannya yang benar-benar acak ( purely random )

18

Proses Autoregressive dan Moving Average ( ARMA ) Proses ARMA ialah kombinasi proses AR

dan MA. Misalkan jika GDP mengikuti proses ARMA (1,1) maka bisa ditulis :

GDPt = θ + α1 Yt-1 + β0 ut + β1 ut-1 ….(1.5)

Jika suatu model mengikuti proses ARMA (p,q), maka akan ada p variabel autoregressive dan q variabel moving average.

19

Proses Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA ) Model time series dengan AR dan MA di

atas mengasumsikan model memiliki (weak) stasioner

Artinya rata-rata dan varians-nya konstan sedangkan kovarians-nya tidak bervariasi antar waktu.

Dalam kenyataannya data time series banyak yang tidak stasioner tetapi bisa terintegrasi dalam I(1) first difference, I(2) second difference, dan bisa sampai I(d), d-th difference sehingga data bisa stasioner, I(0).

20

Proses Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA ) Oleh karena itu sebelum melakukan

proses AR dan MA terlebih dahulu harus dilakukan proses pengujian stasionaritas sehingga pada d-difference berapa suatu data bisa stasioner. Pada akhirnya suatu data time series yang asli memiliki ARIMA (p,d,q) yaitu autoregressive moving average time series, di mana p ialah jumlah variabel autoregressive, d ialah jumlah differencing sehingga data bisa stasioner, dan q ialah jumlah variabel moving average.

21

Teknik ARIMA di Eviews Menentukan Stasionaritas data/ pada d-

difference berapa suatu data bisa stasioner, tekniknya sama dengan pengujian stasionaritas sebelumnya. Setelah dilakukan pengujian ternyata data GDP stasioner pada first difference, I(1) . Buktikan?

Menentukan proses autoregressive AR(?) dan MA(?)

Buka Table 1.wf1 | klik views | Klik Correlogram | tentukan Lag misal : 25| pilih 1st Difference (karena data GDP stasioner pada first difference) pada kotak “correlogram of “ | Klik OK

22

Dari tabel correlogram di atas bisa diketahui bahwa model ARMA ialah AR(1), AR(8), dan AR(12) karena koefisien yang keluar dari batas CL terjadi pada lag-lag tersebut dengan pola AR sehingga model ARIMA akhirnya ialah AR(1), AR(8), dan AR(12) dengan first difference.

23

Estimasi Model ARIMA

Estimasi untuk model ARIMA ialah AR(1), AR(8), dan AR(12) dengan first difference yaitu :

ΔYt = δ + α1ΔYt-1 + α8 ΔYt-8 + α12 ΔYt-12 ….(1.6)

24

Estimasi Model ARIMA: EVIEWSKlik Quick | Estimate Equation | Ketik pada kotak dialog “equation specification” : D(GDP) c D(GDP(-1)) D(GDP(-8)) D(GDP(-12))

Sehingga hasil estimasi model untuk “forecasting” ialah :D(GDP) = C(1) + C(2)*D(GDP(-1)) + C(3)*D(GDP(-8)) + C(4)*D(GDP(-12))

25

Substituted Coefficients

D(GDP) = 28.19370566 + 0.3427683218*D(GDP(-1)) - 0.2994663857*D(GDP(-8)) - 0.2643712144*D(GDP(-12))

26

Diagnostic Checking

Untuk melihat apakah model “forecasting” yang telah dibuat itu baik atau tidak maka harus lagi dicek melalui tabel correlogram dari residual yang diperoleh model ARIMA di atas.

Klik Views | Klik Residual Test | Klik Correlogram Squared residual |masukan lag yang sama yaitu : 25

27

28

sehingga dihasilkan tabel correlogram di bawah ini :

•dari hasil tabel correlogram, terlihat bahwa tidak ada sample autokorelasi ataupun sampel autokorelasi parsial yang signifikan dengan tidak adanya nilai yang keluar dari batas confidence interval sehingga bisa dipastikan tidak adanya autokorelasi.

•Dari diagnostic checking ini bisa disimpulkan bahwa residual dari model (1.6) benar-benar random sehingga tidak perlu lagi mencari model ARIMA yang lain.