NAMA: PRILIA FITRIANTI WULANDARINIM: 009 054 0026HARI/TANGGAL: SELASA,15 November 2011TUGAS: ANALISIS REAL I

1. Jika , R terbuka, buktikan bahwa(i) terbuka(ii) terbukaBukti :(i) Diketahui , terbukaakan ditunjukkan terbukaambil sebarang P ini berarti P dan P karena terbuka dan P , maka sehingga N(P,) karena terbuka dan P , maka sehingga N(P,) Ambil r = min (Akibatnya N(P,r) N(P,) dan N(P,r) N(P,) sehingga diperolehN(P,r) N(P,) dan N(P,r) N(P, Ini berarti N(P,r) Dengan kata lain terbuka

(ii) Diketahui , terbukaakan ditunjukkan terbukaambil sebarang P ini berarti P atau P karena terbuka dan P , maka sehingga N(P,) karena terbuka dan P , maka sehingga N(P,) Ambil r = min (Akibatnya N(P,r) N(P,) atau N(P,r) N(P,) sehingga diperolehN(P,r)N(P,) atau N(P,r) N(P,) Ini berarti N(P,r) Dengan kata lain terbuka

2.(i) Jika A1, A2,, An terbuka, buktikan bahwa terbuka.

Bukti.Namakan H = . Akan ditunjukkan bahwa H terbuka. Diambil sebarang x H,maka x Ai, i=1,2,,n.Karena x A1 dan A1 terbuka, maka terdapat 1 > 0 sehingga V 1(x) A1.Karena x A2 dan A2 terbuka, maka terdapat 2 > 0 sehingga V 2(x) A2.Demikian seterusnya.

Karena x An dan An terbuka, maka terdapat n > 0 sehingga V n(x) An.Namakan = min {1,2,, n}, jelas bahwa >0. Maka V(x) V1(x) A1.Untuk setiap i = 1,2,,n, yang berkaitan bahwa V(x) H = .Jadi, terbukti bahwa terbuka.(ii) Jika A1, A2, terbuka , buktikan bahwa terbuka.Bukti.Misalkan B himpunan indeks (berhingga atau tak berhingga).Namakan A = Akan ditunjukkan bahwa A terbuka. Diambil sebarang x A, maka i0 BSedemikian hingga xAi0. Karena Ai0 terbuka,maka V (x) A0 A. Jadi, terbukti bahwa untuk setiap x A, terdapat V (x) A, yang berarti A=

3.Apakah jika A1, A2 , terbuka selalu berlaku terbuka ?Jika ya, apa alasannya?Jika tidak, cari contoh penyangkalannya!Jawaban :Irisan tak hingga dari himpunan terbuka tidak terbuka

Contoh : Diberikan himpunan bilangan N dan memuat , N, dan A himpunan bagian dari N dengan komplemen A di dalam N adalah himpunan berhingga. Dengan mudah kita cek merupakan topologi. Untuk setiap bilangan asli i didefinisikan sebagai berikut : = Jelas setiap merupakan himpunan terbuka di dalam topologi , karena komplemennya merupakan himpunan berhingga. Akan tetapi Komplemen dari bukanlah N ataupun himpunan berhingga , itu artinya bukanlah himpunan terbuka. Telah kita tunjukkan irisan tak hingga dari himpunan terbuka tidaklah terbuka .