tugas resume metode sampling

TUGAS RESUME MODUL 2 METODE SAMPLING

“STRATIFIED, CLUSTER DAN MULTISTAGE CLUSTER”

Disusun oleh

SYARIFAH FITRIA H11112032

Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Tanjungpura

Pontianak

2014

1. Stratified Random Sampling

Metode pengambilan sampel acak terstratifikasi (Stratified Random Sampling) ialah

metode pemilihan sampel dengan cara membagi populasi ke dalam kelompok-kelompok

yang homogen yang strata, dan kemudian sampel diambil secara acak dari tiap strata

tersebut. Agar pengelompokan stratified menjadi baik , haruslah memperhatikan adanya

hubungan antara jenis strata dengan ciri yang diteliti.

Syarat Stratified Random Sampling ;

1. Populasi mempunyai unsur heterogenitas.

2. Diperlukan kriteria yang jelas dalam membuat stratifikasi atau lapisan sesuai

dengan unsur heterogenitas yang dimiliki.

3. Harus diketahui dengan tepat komposisi jumlah anggota yang akan dipilih secara

proporsional atau disproporsional.

Contoh :

Misalkan penelitian yang dilakukan adalah pengaruh kurikulum saat ini terhadap

prestasi siswa, maka dapat dilakukan dengan cara mengelompokan siswa kedalam

tingkatan pandai, sedang, tidak pandai dan kemudian dari masing-masing tingkatan

tersebut diambil dalam jumlah yang memadai.

Nilai Jumlah Siswa Hasil Stratifikasi

0-30 7 Tidak Pandai

31-60 15 Sedang

61-80 23 Lumayan

80-100 5 Pandai

50

Suatu penelitian ingin mengatahui tingkat pendapatan Dokter di Kota Pontianak.

Kerangka sampelnya adalah semua orang yang berprofesi dokter yang ada di Kota

Pontianak. Dokter-dokter tersebut dapat dikelompokan menjadi kelompok dokter

umum, kelompok dokter kandungan, dan kelompok dokter lainnya. Agar populasinya

terwakili , maka sebaiknya populasi juga dibagi menurut spesialisasi dokter.

Kelompok- kelompok menurut spesialisasi inilah yang disebut strata. Dari tiap strata

kemudian diambil sampel dengan metode acak sederhana.

Menentukan Ukuran Sampel

Sebelum ukuran sampel ditentukan , ada beberapa hal yang diperhatikan yakni ;

a. Jumlah unit pengamatan tiap strata

b. Variansi (populasi) setiap strata. Jika nilai varians populasi sulit diketahui , ada

beberapa pendekatan yang bisa dialakukan ;

1. Berdasarkan penelitian terdahulu

2. Dilakukan penelitian pendahuluan

3. Gunakan pendekatan rumus : 𝑆 ≈ 𝑅/4 (R = selisih nilai pengamatan terbesar

dan terkecil)

c. Biaya pengambilan sampel per satu unit, tiap strata.

Ukuran Sampel Untuk Menduga Rata-Rata

1. Metode Alokasi Proposional

Metode ini menentukan ukuran sampel yang ditarik tiap strata (nh) sebanding

(Proposional) dengan ukuran populasi tiap strata (Nh). Metode ini digunakan jika

varians strata (Sh)2 dan biaya penarikan sampel tiap strata bisa dianggap sama.

Unsur biaya tidak masuk dalam perhitungan pada metode ini.

Rumusan Metode Alokasi Proposional

𝑛 =𝑁𝑍𝛼/2

2 ∑𝑁ℎ𝑆ℎ2

𝑁2𝐸2 + 𝑍𝛼/22 ∑𝑁ℎ𝑆ℎ

2 dan 𝑛ℎ =𝑁ℎ

𝑁n

Keterangan :

𝑛 = Ukuran (total)sampel

𝑁 = Ukuran (total )populasi

𝑁ℎ = Ukuran tiap strata populasi

𝑛ℎ = Ukuran tiap strata sampel

𝐸 = Kesalahan yang bisa ditolerir

𝑍𝛼2

= nilai distribusi normal baku (Tabel Z) pada α tertentu

𝑆ℎ = Standar deviasi strata

2. Metode Alokasi Neyman

Metode ini digunakan jika biaya penarikan unit sampel tiap strata bisa dianggap

sama tetapi varians tiap srata (Sh)2 tidak bisa dianggap sama.

Rumusan Metode Alokasi Neyman

𝑛 =𝑍𝛼/2

2 (∑𝑁ℎ𝑆ℎ)2


2 dan 𝑛ℎ =𝑁ℎ𝑆ℎ

∑𝑁ℎ𝑆ℎ

Keterangan :






𝑍𝛼2



3. Metode Alokasi Optimum

Metode ini digunakan jika varians dan biaya sampling tiap strata tidak sama (tidak

bisa dianggap sama). Karena Faktor biaya tidak bisa dianggap sama, maka harus

diperhitungkan pada penentuan jumalah sampel.

Rumusan metode alokasi Optimum

𝑛 =

𝑍𝛼2

2(∑𝑁ℎ𝑆ℎ√𝐶ℎ)(∑𝑁ℎ𝑆ℎ

√𝐶ℎ

)


2 𝑑𝑎𝑛 𝑛ℎ =(𝑁ℎ𝑆ℎ)/√𝐶ℎ

∑𝑁ℎ𝑆ℎ

√𝐶ℎ

𝑛

Keterangan :



𝑁ℎ = Ukuran tiap strata populasi 𝑛ℎ = Ukuran tiap strata sampel


𝑍𝛼/2 = nilai distribusi normal baku (Tabel Z) pada α tertentu


𝐶ℎ = Biaya setiap unit sampling per strata

Pendugaan Parameter Populasi

a. Penduga Titik rata-rata

(𝜇):𝑌 =1

𝑁2∑ 𝑁ℎ𝑌ℎ

Keterangan :

𝑌 ̅ = Penduga rata-rata

𝑁 = Jumlah anggota populasi

𝑁ℎ = Banyaknya anggota tiap strata

𝑌ℎ = Rata-rata tiap srata

b. Penduga Titik Variansi Rata-rata (𝜎𝑦2)

𝑆2 =1

𝑁2∑ 𝑁ℎ

2𝑆ℎ

2

𝑛ℎ

(𝑁ℎ − 𝑛ℎ

𝑁ℎ

)

Keterangan :

𝑆ℎ2 = varian sampel tiap strata

c. Penduga selang (1 − 𝛼)100% bagi rata-rata

𝑌 ± 𝑡(𝛼2

,𝑛−1)√𝑆2

Ketarangan :

𝑡(𝛼

2,𝑛−1)

digunakan jika 𝑛 < 30 , gunakan 𝑍𝛼/2 bila 𝑛 ≥ 30

Ukuran Sampel Untuk Menduga Proporsi

a. Metode Alokasi Proposional

Metode ini digunakan jika jumlah anggota populasi (Nh) tiap strata bervariasi

sedangkan proporsi (Ph) dan Biaya (Ch) bisa dianggap sama.

Rumusan metode ini ialah ;

𝑛 =𝑁𝑍𝛼/2

2 ∑𝑁ℎ𝑃ℎ𝑄ℎ

𝑁2𝐸2 + 𝑍𝛼/22 ∑𝑁ℎ 𝑃ℎ𝑄ℎ

dan 𝑛ℎ =𝑁ℎ

𝑁n

Keterangan :






𝑍𝛼2


𝑃ℎ = Proporsi populasi tiap strata

b. Metode Alokasi Neyman

Metode ini digunakan jika proporsi setiap strata tidak bisa dianggap sama tetapi

biaya unit sampling (Ph) setiap strata bisa dianggap sama


𝑛 =𝑍𝛼/2

2 (∑𝑁ℎ√𝑃ℎ𝑄ℎ)2

𝑁2𝐸2 + 𝑍𝛼/22 ∑𝑁ℎ𝑃ℎ𝑄ℎ

dan 𝑛ℎ =𝑁ℎ√𝑃ℎ𝑄ℎ

∑𝑁ℎ√𝑃ℎ𝑄ℎ

c. Metode Alokasi Optimum

Metode ini digunakan bila proporsi setiap stratum (Ph) dan biaya sampling setiap

stratum (Ch) tidak bisa dianggap sama.


𝑛 =

𝑍𝛼/22 (∑𝑁ℎ√𝑃ℎ𝑄ℎ𝐶ℎ)(∑

𝑁ℎ√𝑃ℎ𝑄ℎ

√𝐶ℎ

)

𝑁2𝐸2 + 𝑍𝛼/22 ∑𝑁ℎ𝑃ℎ𝑄ℎ

𝑑𝑎𝑛 𝑛ℎ =(𝑁ℎ)√𝑃ℎ𝑄ℎ/√𝐶ℎ

∑𝑁ℎ√𝑃ℎ𝑄ℎ

√𝐶ℎ

𝑛

Pendugaan Nilai Proporsi Populasi

Nilai-nilai yang diduga

a. Penduga titik bagi proporsi

𝑃 =1

𝑁∑ 𝑁ℎ𝑃ℎ

b. Ragam dugaan proporsi

𝑆2 =1

𝑁2∑ 𝑁ℎ

2𝑃ℎ𝑄ℎ

𝑛ℎ − 1(𝑁ℎ − 𝑛ℎ

𝑁ℎ

)

Keuntungan Dan Kerugian

Stratified Random Sampling memberi beberapa keuntungan sebagai berikut :

1) Penduga varians biasanya dapat direduksi karena varians observasi dalam tiap

strata biasanya lebih kecil dari varians populasi secarakeseluruhan.

2) Biaya pengumpulan dan analisis data seringkali dapat diperkecil dengan adanya

pembagian populasi yang besar menjadi strata-strata yang lebih kecil.

3) Estimasi yang terpisah dapat diperoleh untuk strata secara terpisah tanpa harus

melakukan penarikan sampel yang lain maupun pengambilan sampel tambahan.

4) Nilai estimasi dengan presisi lebih tinggi, baik untuk setiap strata maupun untuk

populasi secara keseluruhan atau dengan kata lain taksiran mengenai karakteristik

populasi lebih tepat.

5) Tiap strata bisa dianggap sebagai populasi tersendiri sehingga presisiyang

dikehendaki maupun penyajiannya bisa tersendiri.

6) Masalah penarikan sampel dapat berbeda dalam bagian populasiyang berbeda.

7) Metode ini akan efisien dalam memberikan hasil yang lebih baik dari acak

sederhana jika variasi (standar deviasi) populasi dalam kelompok-kelompok lebih

kecil dari standar deviasi keseluruhan populasi.

8) Sampel yang terambil akan mampu memberikan informasi yang lebih baik dan

lebih banyak karena perbedaan antar kelompok juga dapatdilakukan.

9) Secara administratif, pelaksanaannya lebih mudah dari acaksederhana.

10) Untuk jumlah sampel yang sama, stratified random sampling lebih efisien

dibanding simple random sampling.

Meskipun demikian terdapat pula kelemahan yang harus dipertimbangkan :

1) Sering tidak ada informasi awal yang tepat sebagai dasar pengelompokkan,

akibatnya strata yang dibuat tidak sesuai dengantujuan. Pengenalan terhadap

populasi yang akan diteliti untukmenentukan ciri heterogenitas yang ada pada

populasi.

2) Harus dibuat kerangka sampel terpisah dan berbeda untuk tiapkelompok.

Sehingga dibutuhkan daftar populasi setiap strata.

3) Jika daerah geografisnya luas, biaya transportasi tinggi

2. Cluster Sampling

Metode pengambilan sampel bloking (cluster sampling) adalah metode yang

digunakan untuk memilih sampel yang berupa kelompok dari beberapa kelompok

(cluster) dimana setiap kelompok terdiri atas beberapa unit yang lebih kecil (element).

Jumlah element dari masing-masing kelompok bisa sama maupun berbeda.

Kelompok-kelompok tersebut dapat dipilih baik dengan menggunakan metode acak

sederhana maupun acak sistematis dengan pengacakan pada kelompok pertama saja.

Pengambilan Sampel Dengan Metode Bloking (Cluster Sampling.

Kelompok-kelompok dalam populasi ini bersifat bebas satu dengan yang lain, dan

anggota dari satu keompok lebih bersifat heterogen. Dengan demikian suatu

kelompok merupakan hampir sebagai cerminan dari populasinya. Sehingga upaya

pengamatan terhadap populasi dapat diwakili dengan pengamatan terhadap beberapa

kelompok yang terpilih saja.

Contoh :

Peneliti ingin mengetahui tingkat efektivitas proses belajar mengajar di tingkat SMU.

Populasi penelitian adalah siswa SMA seluruh Indonesia. Karena jumlahnya sangat

banyak dan terbagi dalam berbagai provinsi, maka penentuan sampelnya dilakukan

dalam tahapan sebagai berikut :

Tahap Pertama adalah menentukan sample daerah. Misalnya ditentukan secara acak

10 Provinsi yang akan dijadikan daerah sampel.

Tahap kedua. Mengambil sampel SMU di tingkat Provinsi secara acak yang

selanjutnya disebut sampel provinsi. Karena provinsi terdiri dari Kabupaten/Kota,

maka diambil secara acak SMU tingkat Kabupaten yang akan ditetapkan sebagai

sampel (disebut Kabupaten Sampel), dan seterusnya, sampai tingkat kelurahan / Desa

yang akan dijadikan sampel. Setelah digabungkan, maka keseluruhan SMU yang

dijadikan sampel ini diharapkan akan menggambarkan keseluruhan populasi secara

keseluruhan.

Pendugaan Rata-rata dan Variansi

Setelah mendapatkan nilai-nilai hasil pengamatan dari individu sampel diperoleh

dari data tertentu dapat diduga rata-rata populasi maupun variansinya.

�̅� =𝑀

𝑁= rata − rata ukuran blok pada populasi.

Keterangan :

𝑁 = banyak blok pada populasi

𝑛 = banyaknya blok pada sampel acak sederhana

𝑚𝑖 = banyaknya elemen setiap blok ke i(i = 1,2, . . , n)

�̅� = rata-rata ukuran blok pada sampel

𝑀 = banyaknya elemen pada populasi = ∑ 𝑚𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑦𝑖 = total nilai pengamatan pada blok ke 𝑖.

Sedangkan , variansi dari rata-rata sampel dapat dihitung sebagai berikut;

𝑉𝑦 = (𝑁 − 𝑛

𝑛𝑁𝑀)(

∑(𝑦𝑖 − 𝑦𝑚̅̅ ̅̅ 𝑖)2

𝑛 − 1)

Ukuran Sampel

Ukuran sampel merupakan banyaknya blok sampel (n). Nilai-nilai parameter

pada rumus berikut diduga dengan nilai statistik yang diperoleh pada penelitian

pendahuluan.

Ukuran sampel untuk menduga rata-rata ;

𝑛 =𝑁𝑍𝜎

2𝜎2

𝑁𝑒2(�̅�)2 + 𝑍𝜎2𝜎2

Dalam hal ini 𝜎2 diduga dengan ;

𝑆2 =∑(𝑦𝑖 − 𝑚𝑖�̅�)2

𝑛 − 1

Ukuran sampel untuk menduga proporsi ;

𝑛 =𝑁𝑍𝜎

2𝜎2

𝑁𝑒2(�̅�)2 + 𝑍𝜎2𝜎2

Dalam hal ini 𝜎2 diduga dengan ;

𝑆2 =∑(𝑎𝑖 − 𝑚𝑖𝑝)2

𝑛 − 1

𝑝 =∑𝑎𝑖

∑𝑚𝑖

𝑎𝑖 adalah banyaknya elemen yang masuk kriteria pada blok ke 𝑖

Kelebihan Dan Kelemahan Cluster Sampling

Ada dua kelebihannya yaitu ;

1. Tidak perlu disusun kerangka sampling dari seluruh populasi yang ingin

diteliti, seperti jika menggunakan metode acak sederhana. Kerangka

sampling cukup dibuat dengan bloking-bloking (cluster) yang ada.

2. Meskipun kerangka sampling dari seluruh populasi sebenarnya dapat dibuat ,

metode bloking ini tetap akan menjadi lebih mudah karena sampel yang

terambil pada akhirnya secara fisik akan terletak pada jarak atau lokasi yang

relatif berdekatan. Dengan metode lainnya sampel yang terambil dapat

sedemikian menyebarnya sehingga akan diperlukan waktu, tenaga dan biaya

yang lebih lama/banyak.

Sedangkan kelemahan dari metode ini adalah adanya kecenderungan kesamaan

kondisi diantara dua sampel yang berdekatan kerena jika metode lain sampel

yang terambil berjauhan akan tetapi metode ini masing-masing sampel dalam

satu blok yang sama relatif akan berdekatan sehingga kemungkinan terjadi

keseragaman semakin besar. Meskipun memiliki kelemahan , metode ini dapat

lebih dipilih dari pada yang lain jika memang tidak dimiliki informasi/data yang

lengkap tentang kerangka sampelnya, ataupun jika pertimbangan biaya pendataan

di lapangan yang rendah menjadi lebih penting daripada ketepatan/presis hasil

yang diharapkan.

3. Multistage Random Sampling

Multistage Random Sampling adalah metode yang dilakukan jika pengambilan

sampelnya dilaksanakan dalam dua tahap atau lebih sesuai dengan kebutuhan. Dalam

metode ini pada tiap tahap pengambilan sampelnya dapat menggunakan metode

pengambilan sampel yang sama ataupun berbeda. Bahkan kombinasi antara

probability sampling dan nonprobability sampling juga dimungkinkan. Metode

multistage random sampling ini pada dasarnya hampir sama dengan metode bloking

(cluster sampling). Perbedaannya adalah jika pada cluster sampling seluruh anggota

kelompok digunakan sebagai sampel, pada metode ini anggota kelompok tidak

seluruhnya dijadikan sampel.

Contoh:

Seorang ahli ekonomi bermaksud membuat perkiraan pengeluaran konsumsi

penduduk suatu kota besar. Untuk maksud tersebut kota dibagi menjadi blok-blok bias

juga menurut RT, kalau seandainya berdasarkan anggapan bahwa pengeluaran

konsumen per rumah tangga dalam RT tak jauh berbeda (sama pegawai bank, sama

pergawai negeri, sama pegawai swasta), maka lebih baik memilih banyak sampel RT,

sebab dari RT ke RT pengeluaran konsumsi sangat berbeda dan memilih sampel

rumah tangga dalam setiap RT, tidak terlalu banyak (sedikiti saja rumah tangga yang

diteliti).

Penduga Parameter Populasi

a. Penduga Rata-rata Populasi

1. Nilai Tengah Populasi (Mean)

Nilai tengah populasi (𝜇) dapat di duga dengan rumusan berikut ;

�̅� =∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗

𝑚𝑖=1

𝑛𝑖=1

𝑛𝑚

Dimana 𝑌𝑖𝑗 adalah nilai pengamatan dari elemen ke-𝑗 pada tahap kedua

dari elemen ke-𝑖 pada tahap pertama.

2. Ragam dari nilai tengah populasi

Ragam dari nilai tengah populasi tersebut dapat diperoleh dari persamaan

berikut ;

𝑣(�̿�) =𝑁 − 𝑛

𝑛𝑁 ∑ (𝑦𝑖 − �̿�)2𝑛

𝑖=1

𝑛 − 1+

1

𝑁

(𝑀 − 𝑚)

𝑚𝑀∑∑

(𝑌𝑖𝑗 − �̅�𝑖)2

𝑛(𝑚 − 1)

𝑚

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

=𝑁 − 𝑛

𝑛𝑁[𝑛 ∑ 𝑌𝑖

2 − (∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗𝑚𝑖=1

𝑛𝑖=1 )

2𝑛𝑖=1

𝑛𝑚2(𝑛 − 1)] +

1

𝑁

(𝑀 − 𝑚)

𝑚𝑀[𝑚∑ ∑ 𝑌𝑖𝑗

2 − ∑ 𝑌𝑖2𝑛

𝑖=1𝑚𝑖=1

𝑛𝑖=1

𝑛𝑚(𝑚 − 1)]

Keterangan ;

𝑌𝑖 = ∑𝑌𝑖𝑗 adalah jumlah nilai pengamatan ke-𝑖

𝑦�̅� =𝑌𝑖

𝑚 adalah mean unit pengamatan ke-𝑖.

3. Dugaan Proporsi Populasi

Proporsi populasi dugaaan (𝑝̅) adalah

�̅� =∑ 𝑎𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛𝑚

Keterangan ;

𝑎𝑖 adalah jumlah elemen dengan atribut ke-𝑖 pada unit primer (taham

pertama).

4. Ragam Proporsi Populasi Dugaan

Ragam Proporsi Populasi dugaan 𝑣(𝑝̅) adalah

𝑣(𝑝̅) =𝑁 − 𝑛

𝑛(𝑛 − 1)𝑁 ∑(𝑝𝑖 − 𝑝̅)2

𝑛

𝑖=1

+1

𝑛𝑁

(𝑀 − 𝑚)

(𝑚 − 1)𝑀∑ 𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖)

𝑛

𝑖=1

=𝑁 − 𝑛

𝑛𝑁[𝑛 ∑ 𝑝𝑖

2(∑𝑝𝑖)2𝑛

𝑖=1

𝑛(𝑛 − 1)] +

1

𝑛𝑁 (𝑀 − 𝑚)

(𝑚− 1)𝑀∑ 𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖)

𝑛

𝑖=1

Keterangan ;

𝑝𝑖 =𝑎𝑖

𝑚 adalah proporsi dari element dengan atribut pada kelompok ke-𝑖

Keuntungan dan Kekurngan

Metode pengambilan sampel bertahap ini memberi keuntungan dengan sebagai

berikut :

Metode ini lebih efisien dan fleksibel daripada metode acak sederhana.

Kerangka sampel hanya diperlukan bagi individu-individu yang ada dalam

kelompok yang terpilih.

Biaya transfortasi dilapangan akan lebih hemat khususnya bagi kelompok-

kelompok yang ada pada tahap pertama letaknya berjauhan.

Meskipun demikian terdapat pula kelemahan pada metode pengambilan sampel

bertahap ini yaitu , Pada penerapan teorinya yang cukup rumit pada saat

dilakukan analisis.

8.2). A manufacturer of band saws wants to estimate the average repair cost per month for the

saws he has sold to certain industries. He cannot obtain a reoair cost for each saw, but he

can obtain the total amount spent of saw repair and the number of saws owned by each

industry. Thus he decides to use cluster sampling, with each industry as a cluster. The

manufacturer selects a simple random sample of 20n from 96N industries he

services. The data on total cost of repair per industry and number of saws per industry

are as given in the accompanying table. Estimate the average repair cost per saws for the

past month, and place a bound of the error of estimation.

Industry Number of saws Total repair cost for month

(in dollar)

1 3 50 2 7 110

3 11 230

4 9 140 5 2 60

6 12 280 7 14 240

8 3 45 9 5 60

10 9 230

11 8 140 12 6 130

13 3 70 14 2 50

15 1 10 16 4 60

17 12 280

18 6 150 19 5 110

20 8 120

Penyelesaian : Diketahui ;

𝑛 = 20 𝑁 = 96

∑𝑦𝑖 = 2565

20

𝑖=1

∑𝑚𝑖 = 130

20

𝑖=1

�̅� =𝑚𝑖

𝑛=

130

20= 6,5

Akan dicari estimasi rata-rata biaya perbaikan per gergaji selama sebulan terakhir, Karena rata-

rata jumlah anggota dalam populasi tidak diketahui, maka 5,6 Mm . Sehinggga estimasi

rata-ratanya yaitu :

𝑦 =

20

1i i

i

m

y= $73,19

130

2565

Kemudian untuk variansnya yaitu :

𝑉(�̅�) = (2MnN

nN )

(

20

1

2

i

ii ymy

𝑛 − 1

)

𝑉(�̅�) = (96 − 20

20.96. (6,5)2)(

16065,65

20 − 1)

𝑉(�̅�) = 0,79

Nilai error dari estimasi rata-ratanya yaitu :

2√𝑉(𝑦) = 1,78$

Jadi, nilai estimasi rata-rata biaya pengeluaran perbaikan per gergaji selama sebulan terkahir adalah $78,1$73,19 .

8.6). A political scientist developed a test designed to measure the degree af awareness of

current event. She wants to estimate the average score that would be archived on this test by all students in certain high school. The administration at the school purpose of giving

the test to every member of the class. Thus the expetimenter select 25 classes in session but it will allow her to interrupt a small number of classes for purpose of giving the test to

every member of the class. Thus the experimenter selects 25 classes at random from the 108 classes in session at a particular hour. The test is given to each member of the sampled classes, with result as shown in the accompanying table. Estimate the average that would

be archive on this test by all students in the school. Place a bound on the error of estimation.

Class Number of student Total score

1 31 1590

2 29 1510 3 25 1490

4 35 1610

5 15 800 6 31 1720

7 22 1310 8 27 1427

9 25 1290 10 19 860

11 30 1620

12 18 710 13 21 1140

14 40 1980 15 38 1990

16 23 1420 17 17 900

18 22 1080

19 41 2010 20 32 1740

21 35 1750 22 19 890

23 29 1470

24 18 910 25 31 1740


𝑛 = 25 𝑁 = 108

∑𝑦𝑖 = 34957

25

𝑖=1

∑𝑚𝑖 = 673

20

𝑖=1

�̅� =𝑚𝑖

𝑛=

673

25= 26,92

Akan dicari estimasi rata-rata total nilai tes yang diperoleh dari semua siswa disekolah . Karena

rata-rata jumlah anggota dalam populasi tidak diketahui, maka 92,26 Mm . Sehinggga

estimasi rata-ratanya yaitu :

𝑦 =

25

1i i

i

m

y=

34957

673= 51,94

Kemudian diperoleh pula variansnya yaitu :

𝑉(�̅�) = [2MnN

nN ]

[

1

25

1

2

n

ymyi

ii

]

𝑉(�̅�) = [ 292,26.108.25

25108 ] [

125

7,312389

] = 0,552


2√𝑉(𝑦) = 1,486

Jadi, nilai estimasi rata-rata total nilai tes yang diperoleh dari semua siswa disekolah tersebut adalah 486,194,51

8.8). An industry is considering revision of its retirement policy and wants to estimate the

proportion of employees that favor the new policy. The industry consists of 87 separate

plants located throughout the United States. Since result must be obtained quickly and with little cost, the industry decide to use cluster sampling with each plants as a cluster. A sample random of 15 plants is selected, and the opinions of employees in these palnts are

obtained by questionnaire. The results are as shown in the accompanying table. Estimate the proportion of employees in the industry who favor the new retirement policy and place

a bound of the error of estimation.

Palnt Number Of Employees Number favoring new policy

1 51 42

2 62 53 3 49 40

4 73 45 5 101 63

6 48 31 7 65 38

8 49 30

9 73 54 10 61 45

11 58 51 12 52 29

13 65 46 14 49 37

15 55 42


𝑛 = 15 𝑁 = 87

∑𝑦𝑖 = 646

25

𝑖=1

∑𝑚𝑖 = 911

20

𝑖=1

�̅� =𝑚𝑖

𝑛=

911

15= 60,73

�̅� = �̅� = 60,73 Jadi, estimasi proporsinya yaitu :

�̂� = %91,70911

64615

1

i i

i

m

y

Kemudian diperoleh pula variansnya yaitu :

𝑉(�̅�) = [2MnN

nN ]

[

1

ˆ15

1

2

n

mpyi

ii

]

𝑉(�̅�) = [ 273,60.87.15

1587 ] [ 1585,542 ]

𝑉(�̅�) = 0,0081 = 81%


%01,182 yV

Jadi, estimasi proporsi karyawan yang mendukung kebijakan baru sebesar 70,91% ± 18,01%.

9.6). . To improve telephone service,an executive of a crtain company want to estimate

the total number of phone calls placed by secretaries in the company during one day. The company contains 12 departments, each making approximately the same number calls per day. Each department employs approximately 20 secretaries. The executive decide to

employ two-stage cluster sampling, using a small number of departments (cluster) and selecting a fairly large number of secretaries (element) from each. Ten secretaries are

sampled from each of 4 departments. The data are summarized in the accompanying table. Estimate the total number of call place by the secretaries in this company, and place a bound on the error of estimation

Department Number Of Secretaries Number Of Secretaries

Sampled Mean Variance

1 21 10 15,5 2,8 2 23 10 15,8 3,1

3 20 10 17 3,5

4 20 10 14,9 3,4 Penyelesaian : Diketahui ;

𝑛 = 4 𝑁 = 12 𝑀 = 12.20

�̅� =240

20= 20

Akan dicari estimasi nilai keseluruhan empat panggilan oleh sekretaris di perusahaan tersebut. Estimasi total populasinya yaitu :

�̂� =

4

1i

ii

n

yMN

�̂� = 7,39804

9,1326.12

Kemudian akan dicari estimasi variansnya, yaitu :

�̂�(�̂�) = (N

nN )(

n

N 2

)

4

1

22

i

ib Mn

Ns (

i

ii

M

mM )(

i

i

m

s2

)

�̂�(�̂�) = (12 − 4

12) (

122

4)(749,3025) + (

12

4) (295,37)

�̂�(�̂�) = 18869,37 Sehingga nilai error dari estimasinya yaitu :

2√�̂�(�̂�) = 274,73

Jadi, estimasi nilai keseluruhan tempat panggilan oleh sekretaris di perusahaan tersebut adalah

73,2747,3980

9.8). A forester wants to estimate the total number of trees in certain country that are

infected with a particular disease. There are ten well defined forest areas in the country these areas can be subdivided into lost of approximately the same size. Four crews are available to conduct the survey, which must be completed in one day. Hence Two-Stage

Cluster sampling is used. Four areas(cluster) are chosen withsix plots(elements) randomly selected from each. (Each crew can survey six plots in one day). The data are

given in the accompanying table. Estimate the total number of infected trees in country, and place a bound on the error estimation.

Area Number Of Plots Number Of Plots

Sampled Number Of Infected Trees

per Plot

1 12 6 15,14,21,13,9,10 2 15 6 4,6,10,9,8,5

3 14 6 10,11,14,10,9,15 4 21 6 8,3,4,1,2,5

Penyelesaian :

Diketahui 4n , 10N , 60M dan 610

60M .

Akan dicari estimasi nilai total jumlah pohon yang terinfeksi di negara tesebut. Jumlah pohon yang terinfeksi setiap plotnya yaitu :

Area 1 15 4 10 8

Area 2 14 6 11 3 Area 3 21 10 14 4

Area 4 13 9 10 1 Area 5 9 8 9 2

Area 6 10 5 15 5

Rata-rata iy 13,67 7,5 11,5 3,83

2

is 182667 5,6 5,9 7

Selanjutnya, akan dicari nilai estimasi total populasinya , yaitu :

4

1

25,1276ˆi

ii

n

yMN

Sehingga diperoleh estimasi variansnya yaitu :

�̂�(�̂�) = (N

nN )(

n

N 2

)

4

1

22

i

ib Mn

Ns (

i

ii

M

mM )(

i

i

m

s2

)

�̂�(�̂�) = 79493

Error dari estimasi diatas adalah2√�̂�(�̂�) = 563,38. Jadi, estimasi nilai total pohon yang

terinfeksi di negara tersebut yaitu 1276,25 ± 563,89 pohon.

tugas resume metode sampling

Data & Analytics