SMA NEGERI 1 SITUBONDO

Proyek Matematika

Aplikasi transformasi dan turunan dalam kehidupan sehari-hari

Disusun oleh:

Anggun Surya Diantriana / 08

XI-MIA 1

Kata Pengantar

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas limpahan rahmat

serta petunjuk-Nya, maka pembuatan proyek matematika tentang “Aplikasi

Transformasi dan Turunan dalam kehidupan sehari-hari” ini bisa terselesaikan

dengan ketentuan waktu yang diberikan. Disamping itu juga, saya selaku penulis

mengucapkan terima kasih kepada bapak Ibnu Soeko selaku guru pengajar saya

pada mata pelajaran matematika di SMA N 1 Situbondo.

Saya selaku penulis menyadari bahwa proyek matematika ini masih banyak

kekurangannya atau belum sesuai dengan apa yang kita inginkan bersama,

namun saya sudah berusaha semaksimal mungkin agar proyek matematika ini

bisa terselesaikan.

Untuk itu, dengan masih banyaknya kekurangan terhadap isi proyek

matematika ini, saya selaku penulis proyek matematika ini sangat

mengharapakan saran dan kritikan yang besifat membangununtuk

penyempurnaan proyek matematika ini agar bisa sesuai keinginan kita bersama

dan dapat bermanfaat untuk kita semua.

Situbondo, Juni 2015

Penulis

PAGE 1

Daftar Isi

Kata

Pengantar ..................................................................................................................

....... 1

Daftar

Isi ..............................................................................................................................

.... 2

BAB I. Transformasi

1.1Pengertian

Transformasi .................................................................................................... 3

1.2Aplikasi Transformasi Geometri Terhadap Tempat Duduk Siswa ................................. 4

1.3Aplikasi Translasi Geometri Dalam Permainan

Catur .................................................... 4

1.4 Aplikasi Transformasi Geometri Ketika Bercermin ....................................................... 5

BAB II. Turunan

2.1 Pengertian

Turunan ............................................................................................................ 6

2.2 Penggunaan Turunan Dalam Masalah Peongoptimasian (Maksimum-

Minimum)....... 6

2.3 Nilai Ekstrim Lokal/Relatif dan

Global/Absolut............................................................... 7

2.4 Penerapan Nilai Ekstrim

Mutlak........................................................................................ 9

Daftar

Pustaka.......................................................................................................................

.... 11

PAGE 2

BAB I. TRANSFORMASI

1.1. Pengertian Transformasi

Dalam matematika, transformasi adalah suatu pemetaan objek pada suatu

bidang ke himpunan objek pada bidang yang sama. Pemetaan suatu objek pada

bidang yang sama berarti perpindahan, perubahan atau perputaran suatu objek

pada bidang yang sama. Transformasi terbagi atas empat yaitu :

Translasi

Translasi artinya pergeseran, yaitu merupakan suatu transformasi yang

memindahkan setiap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas

garis dan arah tertentu.

Contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari yang bisa kita lihat adalah

pergeseran atau perpindahan orang pada escalator dan lift. Peralatan yang biasa

dipakai mal-mal ini berguna untuk memindahkan orang dari satu lantai kelantai

lain.Untuk translasi ruas garis ada dua cara yang bisa dilakukan untuk

menyelesaikannya. Cara pertama yaitu dengan memandang garis tersebut

dipandang sebagai himpunan titik. Sedang cara kedua adalah dengan

menggunakan sifat grafik fungsi y = f(x-a)+b dengan a,b > 0 dengan mengeser

fungsi y = f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan keatas.

Refleksi

Refleksi merupakan suatu transformasi yang membuat cermin dari suatu

objek. Sumbu refleksi dapat dipilih pada bidang x, y.

Rotasi

Rotasi / perputaran merupakan suatu transfoirmasi yang memindahkan

suatu titik ke titik lain dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu. Rotasi

ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi (searah atau

berlawanan arah dengan jarum jam).

Dilatasi

Dilatasi merupakan suatu transformasi yang mengubah ukuran atau skala

suatu bangun geometri (pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk

bangun tersebut. Pusat dilatasi terdiri atas dua, yaitu di titik O(0,0) dan titik

A(x,y). Sementara itu, faktor dilatasi dapat bersifat positif (perbesarannya searah)

dan dapat pula bersifat negative (perbesarannya berlawanan arah). Faktor

dilatasi disebut juga dengan faktor skala. (Herynugroho, 2009 : 190)

PAGE 3

x

y

1.2. Aplikasi Transformasi Geometri Terhadap Tempat Duduk Siswa

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya.

Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu

ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang

minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan

Dimas ini.

· Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat

berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke

atas yang ditulis sebagai

· Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat

berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke

bawah yang ditulis sebagai

· Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada

koordinat Cartesius. Dengan translasi , diketahui tempat duduknya minggu ini

pada titik N ‘(a-2,b+2).

1.3. Aplikasi Translasi Geometri Dalam Permainan Catur

Pada permainan catur, misalkan sebuah bidak berada pada posisi (6,1).

PAGE 4

Agar bidak kuning (6,1) dapat menyingkirkan bidak merah (3,5), maka tentukan

langkah-langkah pergeserannya !

Maka, dibutuhkan translasi/pergeseran pada sumbu x sejauh 3-6 = -3 dan pada

sumbu y sejauh 5-1 = 4

Sehingga, untuk dapat menyingkirkan bidak merah (3,5), bidak kuning (6,1)

ditranslasikan dengan T (-3,4)

1.4. Aplikasi Transformasi Geometri Ketika Bercermin

Anita meletakkan sebuah cermin di lantai dan disandarkan pada dinding

kamarnya. Kemudian, Qito kucingnya mendekati cermin tersebut. Ketika Qito

mendekati cermin, bayangan Qito dalam cermin terlihat mendekat. Namun Qito

terlihat takut dengan bayangannya sendiri. Ia pun berlari menjauh kemudian

mendekati cermin lagi. Qito memerhatikan cermin itu dan mulai bermain-main di

depan cermin itu. Anita memerhatikan Qito dan bayangan Qito dalam cermin.

Pada cermin Anita, tampak oleh kita bahwa jarak Qito dengan cermin adalah

sama dengan jarak bayangan Qito ke cermin. Misalkan garis x = h adalah cermin

dan titik Q (a,b) adalah objek (Qito).

PAGE 5

Jarak titik Q terhadap sumbu y adalah a. Jarak cermin x = h ke sumbu y adalah h.

Dengan melengkapi gambar di atas, kita dapat menentukan jarak bayangan Qito

pada cermin.

Jarak bayangan Qito (Q’) terhadap cermin = jarak Qito terhadap cermin = a - h

Jarak bayangan Qito (Q’) terhadap Qito = 2(a - h) = 2a – h

BAB II. TURUNAN

2.1. Pengertian Turunan

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran

terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum,

turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan

besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap

waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari

turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan

bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah 2 fungsi

penting dalam kalkulus.

Turunan banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang kehidupan khususnya

ilmu pengetahuan dan teknologi. Aplikasi turunan yang telah diajarkan pada

pendidikan menengah diantaranya penggambaran grafik fungsi dan masalah

pengoptimasian. Dua hal ini berkaitan erat karena setiap permasalahan yang

dapat dibuat fungsinya mungkin dapat digambarkan menjadi suatu grafik

fungsi , dan dari suatu grafik kita dapat me ngetahui nilai optimum fungsi, yaitu

nilai maksimum atau minimum yang dapat dicapai suatu fungsi.

Dengan mempelajari turunan dalam kalkulus diferensial, nilai - nilai

optimum suatu permasalahan dalam kehidupan sehari - hari dapat diselidiki

dengan mudah tanpa harus menggambarkannya dalam sebuah grafik,

meskipun grafik merupakan bagian tak terpisahkan dari perhitungan kalkulus.

Beberapa aplikasi lainnya yang berkaitan dengan metode numerik

diantaranya diferensial, pendekatan linear, penyelesaian numerik persamaan

dengan metode Newton, dan lain sebagainya. Turunan juga banyak

diaplikasikan dalam bidang ekonomi, bisnis,kependudukan, dan lain- lain.

PAGE 6

2.2. Penggunaan Turunan Dalam Masalah Peongoptimasian (Maksimum-

Minimum)

Sebelum membahas contoh langsung dari aplikasi turunan, berikut

akan dibahas beberapa definisi dan teorema dalam kalkulus.

a. Titik Kritis (Critical Point)

Definisi Titik Kritis :

Contoh :

Carilah titik- titik kritis dari fungsi f(x) = -x2 + 4x

Penyelesaian :

Turunan fungsi f (x ) ⇒ 𝑓′ (x) = −2x + 4

Fungsi turunan ini merupakan fungsi linear yang berarti turunannya ada

untuk

semua bilangan real.

Titik kritis diperoleh dari 𝑓’ (x) = 0 ⇔ −2x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Dan karena 𝑓 (2) = −22 + 4. 2 = 4 (ada), maka x = 2 adalah titik kritis dari

fungsi tersebut.

2.3. Nilai Ekstrim Lokal/Relatif dan Global/Absolut

Nilai ekstrim adalah nilai di mana fungsi mencapai nilai maksimum

ataupun minimum. Nilai maksimum ataupun minimum dapat dibedakan

menjadi dua jenis dilihat dari daerah asal yang dibicarakan atau di mana

fungsi didefinisikan.

PAGE 7

untuk setiap x dalam interval terbuka di sekitar c.

Nilai ekstrim lokal hanya dilihat dari titik- titik di dalam interval,

sedangkan nilai ekstrim global dilihat dari titik- titik ujung serta semua titik di

dalam interval. Jadi,nilai ekstrim global pasti merupakan nilai ekstrim lokal ,

tetapi tidak sebaliknya.Perhatikan gambar berikut :

Jika f (x ) didefinisikan pada daerah asal I =[a, e], maka dari gambar di

atas dapat dilihat nilai - nilai maksimum dan minimumnya. f (x ) mencapai

maksimum di b dan d dalam I , artinya f (x ) mempuyai maksimum lokal/relatif

pada keduanya. Teta pi f (d)> f (b) , artinya f (d) juga merupaka nilai

maksimum global/absolut. f (x ) mencapai nilai minimum di a dan c, tetapi a

adalah titik ujung I , dan f (a) < f (c) , artinya f (a) adalah nilai minimum global

dan f (c) adalah nilai minimum lokal.

Contoh:

PAGE 8

2.4. Penerapan Nilai Ekstrim Mutlak

Banyak permasalahan kehidupan sehari- hari dapat dipecahkan dengan

turunan. Tentunya, permasalahan ini di deskripsikan dalam bahasa sehari -

hari. Untuk menyelesaikannya secara matematis, tentunya permasalahan ini

harus diubah ke dalam bentuk matemat ika. Representasi masalah dalam dunia

nyata ke dalam bahasa matematika dikenal dengan istilah model matematika.

Untuk itu, ada beberapa langkah yang dapat diikuti, untuk memudahkan

penyelesaian masalah sehari - hari yang berkaitan dengan kalkulus diferensial .

1. Buatlah sebuah gambar dari masalah tersebut kemudian tetapkan

variabel variabel untuk menggantikan nilai yang belum diketahui, misalnya x dan

y.

PAGE 9

2. Tuliskan rumus untuk besaran yang akan dimaksimumkan/diminimumkan

dalam

bentuk variabel - variabel yang sudah ditetapkan, yaitu x dan y, misalnya A(x, y).

3. Carilah kondisi yang membatasi masalah dan bentuk menjadi suatu

persamaan

dalam variabel x dan y, kemudian nyatakan dalam satu variabe l saja,

misalnya x .

Substitusikan persamaan pembatas ini ke dalam besaran tuj uan a gar

menjadi

fungsi dalam x , yaitu A(x ).

4. Tentukan himpunan nilai - nilai x yang mungkin, biasanya dalam bentuk

interval

seperti [a, b].

5. Tentukan titik- titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular).

6. Tentukan titik mana yang memberikan nilai maksimum/minimum

(biasanya

dicapai oleh titik stasioner, yaitu saat

Contoh:

Sebuah halaman di belakang sebuah bangunan akan dipagari dengan

pagar kawat. Jika pagar kawat yang tersedia 500 m, berapa ukuran halaman

yang dapat dipagari seluas mungkin, jika ujung - ujung pagar ditempatkan di

tembok bangunan.

PAGE 10

PAGE 11

DAFTAR PUSTAKA

Transformasi:

http://www.slideshare.net/AisyFarisy/lks-transformasi

http://kerabat-hera.blogspot.com/2013/03/geometri-transformasi-dalam-karya-seni.html

http://cokelatgelap.blogspot.com/2012/01/transformasi-geometri.html

http://www.slideshare.net/AisyFarisy/lks-transformasi

http://sellymarlangen.blogspot.com/2013/02/aplikasi-transformasi-pada-matematika.html

Turunan:

https://toenkzndry.wordpress.com/fungsi-turunan-dalam-kehidupan/https://toenkzndry.wordpress.com/fungsi-turunan-dalam-kehidupan/

http://www.slideshare.net/choutib/penggunaan-turunan

http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan

PAGE 12