tugas pdp kelompok

8/10/2019 Tugas Pdp Kelompok

1/30

TUGAS

disusun untuk memenuhi salah satu tugas

Mata Kuliah Persamaan Diferensial Parsial

disusun oleh:

Alfi Nurfitriyah (1104277)

Danica Dwi Prahesti (1104728)

Hani Aghnia Rahmani (1104632)

Herny Wulandari Pangestu (1104664)

Ima Nursaadah (1103112)

Meri Andini (1100460)

Novrianti Khairunnisa (1106170)

Shinta Silvia (1100182)

Tika Kartikasari (1100459)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MIPA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

2014


2/30

5. Applications to Plasma Physics and to Solenoidal Vector Fields

Aplikasi Fisika Plasma

Plasma digunakan fisika untuk menjelaskan ion gas dengan kepadatan yang cukuptinggi sehingga kekuatan yang diberikan tidak dapat diabaikan dibanding dengan kekuatan

yang diberikan pada partikel oleh medan elektromagnetik eksternal.radiasi besar bumi dan

aliran partikel adalah dua contoh plasma di alam.Dilaboratorium,plasma terjadi ketika listrik

dibuang melalui gas. Reaksi termonuklir akan memanfaatkan gas pada temperatur yang

sangat tinggi.Pada temperatur ini gas sepenuhnya terionisasi dan karena itu adalah

plasma,dengan masalah utama dari reaksi termonuklir adalah bagaimana agar mengandung

plasma.Sebuah wadah bahan tidak dapat digunakan karena dindingnya akan langsung

menguap,sebaliknya ia mengemukakan bahwa medan magnet mengandung plasma.

Persamaan dasar fisika plasma dikenal sebagai persamaan boltzmann.ini adalah

persamaan yang pemahamannya dibutuhkan dari latar belakang dari longmire, kita ambil

kasus khusus dari persamaan boltzmann yang digunakan dalam studi masalah yang diketahui

sebagai masalah boundary layer statik

(5.1) Dari persamaan (5.1) f fungsi yang tidak diketahui dengan 3 variabel bebas x,v 1 dan

v2. Fungsi dan adalah fungsi yang diberikan hanya pada variabel x sementara m,e, dan cadalah konstanta.persamaan differensial parsial (5.1) adalah persamaan dari bentuk (3.1)

sistem terkait PDB adalah

(5.2) Kesetaraan rasio pertama dan ketiga (setelah membatalkan v1) adalah PDB dalam x

dan v2yang menghasilkan integral pertama


3/30

(5.3) f1 = Kalikan pembilang dan penyebut dari rasio kedua di (5.2) oleh 2v1dan rasio ketiga

dengan 2v2 dan menambahkan pembilang dan penyebut rasio yang yang di hasilkan

,menghasilkan rasio

=

=

(5.4)

Yang juga sama dengan rasio (5.2) persamaan rasio (5.4) dengan rasio pertama (5.2)

adalah sebuah PDB dalam variabel x dan v1 yang menghasilkan integral pertama

=

(5.5)Jelasdanadalah fungsi bebas dan menurut pasal 3,solusi umum dari (5.1)

diberikan oleh :

(5.6) Dimana, F(

,

) adalah fungsi sebarang dari 2 variabel dan integral pertama dari

dan memiliki arti fisika yaitu adalah energi dari partikel massa m dan adalahmomentum canonical,maka terdapat pasangan persamaan Medan Vektor Solenoidal

Misalkan

adalah sebuah medan vector yang didefiniskan dalam domain

di

, dengan termasuk pada . Divergen dari , ditulis , adalah fungsi yangdidefinisikan dalam oleh :


4/30


5/30

Terbukti

Pembuktian teorema 5.9

Jawab :

Misal :

Terbukti


6/30

Pembuktian 5.10

Jawab :

Pembuktian 5.11

Jawab :

5.10

5.11


7/30

{ } { }

Pembuktian Teorema 5.1, adalah 2 integral pertama dari V dimana juga independen secara fungsional dibeberapa lingkungan dari . Dimana setiap titik dari , medan vektor V paralelterhadap , sehingga dapat kita tulis :(5.12)

Dari beberapa fungsi

yang didefinisikan di

. Fungsi

adalah

karena

| | Dan , sebenarnya adalah . Penghalusan dari , ini, yang tidak kita

gunakan sebelumnya, berdasarkan sikap , diperoleh dari sistem persamaan diferentialbiasa (1.10). Karena V solonoidal di , berdasarkan penerapan identitas (5.8), (5.9) dan(5.10) bahwa :


8/30

(5.13)

[ ]

Persamaan (5.13) memperlihatkan bahwa grad adalah tegak lurus terhadap di setiap titik pada , dan juga tegak lurus pada V di setiap titik .(5.14)

Demikian

adalah sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial yang telah kita

pelajari pada bagian 3, dan kita bisa menerapkan hasil dari bagian tersebut untuk menyatakan

sebagai fungsi dari , . Secara eksplisit, teorema 3.2 menegaskan bahwa berada disebuah lingkungan dari dengan , dan fungsi sehingga :(5.15)

( ) Sekarang, adalah sebuah fungsi sehingga(5.16)

Dari (5.12), (5.15) dan (5.16) kita dapat melihat di ,(5.17)

Baris terakhir dari (5.17) kita gunakan pada identitas

Untuk menyelesaikan pembuktian kita hanya butuh mengamati (5.17) sehingga bisa ditulis

dalam bentuk :

Karena dari identitas (5.10) dan (5.11). jika kita susun :


9/30

(5.18)

Sehingga

Example 5.1

adalah medan vektor dari Example 1.3, dengan menjadi minus disumbu z, V adalah jelas solonidal di . 2 integral pertama yang independen secara fungsional

di V yang telah ditemukan di Example 1.3 menjadi

Dengan perhitungan yang mudah, sehingga didapat : Sehingga perbandingan faktor pada kasus ini adalah sederhana

Fungsi

pada (5.15) adalah

Dan untuk kita bisa mengambil fungsi . Berdasarkan dari (5.18) maka

Demikian, dari semua titik pada kiita mempunyai :


10/30

Chapter 3 : Theory and applications of quasi-linear and linear equations of

first order

1.

Persamaan Diferensial Parsial Orde Pertama

Sebuah persamaan diferensial parsial orde pertama dalam dua variabel independen x,y

dan z yang tidak diketahui adalah persamaan yang dapat dibentuk dalam

(1.1) ( ) Fungsi didefinisikan pada suatu domain di .

digunakan sebagai kordinat untuk titik-titik di . Solusi persamaan (1.1) di domain adalahsebuah fungsi

yang terdefinisi dan

di sehingga dua kondisi di bawah ini

harus dipenuhi:

i. Untuk setiap titik terdapat pada domain di fungsi .ii.Ketika disubstitusikan ke persamaan (1.1) menghasilkan sebuah persamaan

identitas di untuk setiap Persamaan diferensial parsial orde pertama dapat dikelompokan berdasarkan bentuk

istimewa dari fungsi . Pengelompokan persamaan diferensial parsial adalah sebagai berikut:1.

Persamaan kuasi linier

Bentuk persamaan kuasi linier adalah

(1.2) Pada persamaan di atas, fungsi adalah sebuah fungsi linier pada turunan dan dengan koefisien bergantung pada variabel independen seperti padavariabel yang tidak diketahui.

2. Persamaan hampir linier

Bentuk persamaan hampir linier adalah

(1.3) Pada persamaan di atas, koefisien dari turunan dan adalah fungsi variabelindependen .

3. Persamaan linier

Bentuk persamaan linier adalah

(1.4) Pada persamaan di atas, fungsi dari

adalah linier pada

dan

dengan semua

koefisien hanya bergantung kepada variabel independen dan y.


11/30

Apabila suatau persamaan tidak memenuhi bentuk di atas maka persamaan disebut

persamaan non-linier.

Untuk lebih memahami ketiga bentuk pengelompokan yang telah dijelaskan, akan

disajikan beberapa contoh bentuk persamaan serta pengelompokan sebagai berikut:

1. Persamaan diferensial parsial berikut

(1.5) merupakan persamaan sinar lurus. Persamaan tersebut tidak memenuhi ketiga

pengelompokan persamaan diferensial yang ada. Sehingga, persamaan (1.5) merupakan

persamaan non-linier.


(1.6)

dimana fungsi dari variabel , menyatakan hukum konservasi. Persamaan (1.6)merupakan persamaan kuasi linier.

3. Persamaan diferensial parsial yang disebut eulers relationberikut

(1.7) dapat kita tulis sebagai sehingga memiliki bentuk fungsi F yanglinier pada dan dengan koefisien-koefisien yang bergantung pada variabel dan . Sehingga, persamaan (1.7) merupakan persamaan linier.4. Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan di domain dan memilikigradien yang tidak bernilai nol secara serentak di domainnya. Maka didefinisikansebagai keluarga dengan satu parameter dari permukaan Jika permukaan Orthogonal pada setiap anggota keluarga dari permukaan (1.8), maka

memenuhi

persamaan diferensial parsial

Bentuk di atas adalah persamaan quasi linear.


(1.11)


12/30

memiliki koefisien dan yang bergantung hanya pada variabel dan , sertafungsi di ruas kanan hanya bergantung pada variabel yaitu . Sehingga, persamaan(1.11) merupakan persamaan hampir linier.

Pada bab ini, kita mempelajari persamaan diferensial parsial kuasi linier orde pertama.

Ingat bahwa persamaan linier dan hampir linier adalah kasus khusus dari persamaan kuasi

linier.

2. Integral Umum dari Persamaan Kuasi Linier

Pada persamaan kuasi linier berikut(2.1) diasumsikan bahwa fungsi terdefinisi dan pada suatu domain dari dan tidakterhubung secara simultan pada beberapa titik dalam domain. Suatu solusi dari persamaan

(2.1) pada domain dari adalah fungsi yang terdefinisi dan terdapat padasehingga dua kondisi berikut terpenuhi:

(i) Untuk setiap

, titik

berada pada domain

dari fungsiP, Q, R.

(ii)

ketika z=f(x,y)disubstitusikan pada (2.1), hasilnya merupakan identitas pada untuksemua .Suatu solusi

(2.2) dari persamaan (2.1) dapat dilihat sebagai suatu permukaan dari , yang disebut solusi

permukaan dari persamaan (2.1). Vektor normal untuk permukaan (2.2) dapat dihitung

dengan menggunakan gradien dari fungsi (2.2) pada titik

yang hasilnya adalah

( ) . Apabila vektor normal dikalikan dengan hasilnya akan sama dengan nol, sehingga vektor ortogonal/ tegak lurus denganvektor normal ( ) di setiap titik pada persamaan (2.2). Jadi, suatu permukaan Sdisebut suatu solusi permukaan dari persamaan (2.1) jika S dapat dinyatakan sebagai

persamaan (2.2) dan jika pada setiap titik dari S, vektor adalah tangen/ vektorsinggung dari S.

Suatu solusi permukaan dari persamaan (2.1) adalah integral permukaan dari medan

vektor yang dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.2). Ini menyatakan bahwa


13/30

untuk mencari suatu solusi permukaan dari persamaan (2.1) perlu dicari integral permukaan

dari medan vektor terlebih dahulu atau solusi permukaan dari persamaan diferensial parsial(2.3) yang dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.2).

Solusi permukaan dari (2.3) merupakan permukaan ketinggian, yaitu

(2.4) dari suatu solusi dari (2.3). Jika persamaan (2.4) dapat diselesaikan untuk dalam

bentuk dan , maka hasil dari fungsinya adalah solusi dari persamaan (2.1). Sehinggadidapatkan Lemma berikut ini:

Bukti :

Dari teorema fungsi implisit, didapatkan dan karena itu, didapat

Lemma 2.1 memperlihatkan bagaimana mendapatkan solusi persamaan (2.1) dari solusi

persamaan (2.3). Karena kita telah mengetahui solusi umum dari persamaan (2.3), Lemma

2.1 menghasilkan kelas yang lebih besar dari solusi persamaan (2.1).

Lemma 2.1

Misalkan ada pada dan perhatikan bahwa setiap titik pada ketinggian

permukaan (2.4) memenuhi dua kondisi berikut :

(i)

(ii)

kemudian persamaan (2.4) menyebabkan definisi sebagai fungsi dari dan

dan fungsi ini memenuhi persamaan diferensial parsial (2.1)


14/30

Telah diketahui bahwa tidak setiap solusi dari persamaan (2.1) dapat dihasilkan dari

integral umum (2.5) seperti yang dijelaskan pada Teorema (2.1). Oleh karena itu, persamaan

(2.5) tidak bisa disebut solusi umum dari persamaan (2.1).

Pada penggunaannya, fungsi dan yang digunakan pada integral umum (2.5)diperoleh dari penyelesaian yang berhubungan dengan sistem persamaan

(2.6) seperti yang sudah dijelaskan pada BAB 2, bagian 2.

Untuk lebih memahami materi di atas, perhatikan beberapa contoh berikut:

Contoh 2.1

Carilah integral umum dari

(2.7) Sistem yang berhubungan dengan persamaan di atas adalah

Pilih . Integral umumnya adalah(2.8) dimana adalah sembarang fungsi dua variabel pada . Jika dipilih ,(2.8) menjadi

Definisi 2.1

Persamaan (2.5) disebut integral umumdari persamaan (2.1) pada

Teorema 2.1

Misalkan dan adalah dua solusi yang bebas fungsional dari persamaan

(2.3) pada domain pada R3. Misalkan merupakan suatu fungsi C1

dari dua variabel dan perhatikan permukaan ketinggian

(2.5)

Maka, setiap bagian dari permukaan ini memiliki vektor normal dengan

komponen tak nol z, persamaan (2.5) mendefinisikan z secara implisit sebagai

suatu fungsi dari x dan y dan fungsi ini adalah suatu solusi dari persamaan

(2.1)


15/30

Solusi untuk diperoleh . Jelas merupakan solusi dari (2.7) pada . Jika dipilih , diperoleh solusi yang terdefinisi pada domain atau

. Jika dipilih

maka persamaan (2.8) menjadi

Bagian dari permukaan dengan mendefinisikan z sebagai fungsi dari x dan y, Ini adalah solusi dari (2.7) pada salah satu domain atau .Perlu diperhatikan bahwa jika salah satu dari integral pertama yang bebas linier secara

fungsional, misalkan

, tidak bergantung pada z, maka tanpa mengurangi keumuman,

integral umum (2.5) dapat ditulis dalam bentuk

(2.9) dimanaadalah sembarang fungsi satu variabel pada .Contoh 2.2

Perhatikan persamaan linier berikut:

(2.10)

di mana dan adalah fungsi dari

dan tidak nol secara silmultan. Integral umum dari

(2.10) adalah sebagai berikut

(2.11) di mana adalah sembarang fungsi satu variabel pada dan adalah solusiumum dari persamaan diferensial biasa Tentu saja sistem persamaan diferensial biasa yang berhubungan dengan (2.10) adalah

dan fungsi dan merupakan dua integral pertama yang bebas linier secara fungsionaldari sistem ini. Dapat ditunjukkan bahwa (2.11) adalah solusi umum dari (2.10).


16/30

Problems

Problem 4 : Chapter 2

1. Tentukan permukaan integral dari medan vector V yang diberikan oleh kurva C.

a.

V= (1,1,z). C:x=t, y=0, z= sin t ; - Penyelesaian:Perhatikan bahwa grad C = grad (t,0,sin t) = (1, 0, cos t) V= (1,1,z)

Akibatnya digunakan teorema 4.2 untuk menemukan permukaan integral dari

medan vector V.

Akan dicari integral pertama dari V,

=

Misalkan , apakah adalah integral pertama ?

=

= 0

Jadi, adalah integral pertama.Akan dicari integral pertama yang lainnya, = Misalkan , apakah adalah integral pertama ? = = 0Jadi, adalah integral pertama.Apakah , bebas secara fungsional? x = -

=

(0,0,0)

Jadi, , bebas secara fungsional.


17/30

Berdasarkan uraian diatas , adalah integral pertama yang bebas secarafungsional. Selanjutnya,

=

= Eliminasi t pada persamaan diatas, sehingga diperoleh bentuk : = 0substitusi pada = 0diperoleh : = 0

= Jadi, permukaan integral dari medan vector V adalah

b. V= (x,-y, 0). C:x=t, y=t, z= ; - Penyelesaian:

Perhatikan bahwa grad C = grad (t,t,) = (1, 1, 2t) V= (x,-y,0)Akibatnya digunakan teorema 4.2 untuk menemukan permukaan integral dari

medan vector V.

Akan dicari integral pertama dari V, =

Misalkan , apakah adalah integral pertama ? = = 0Jadi, adalah integral pertama.Akan dicari integral pertama yang lainnya,

=


18/30

Misalkan , apakah adalah integral pertama ? = = 0Jadi, adalah integral pertama.Apakah , bebas secara fungsional? x = - (0,0,0)Jadi, , bebas secara fungsional.Berdasarkan uraian diatas , adalah integral pertama yang bebas secarafungsional. Selanjutnya,=

=

Eliminasi t pada persamaan diatas, sehingga diperoleh bentuk : substitusi pada diperoleh :

= Jadi, permukaan integral dari medan vector Vadalah

c. V= (y-z , z-x , x-y) , C:x=t, y=2t, z= 0 ; -

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa grad C = grad (t,2t,0) = (1, 2, 0) V= (y-z , z-x , x-y)


medan vector V.


19/30

Akan dicari integral pertama dari V, = Ambil a=b=c=1 0 dx = yz d(x+y+z)

0 = yz d(x+y+z)

0 = d(x+y+z)

Misalkan , apakah adalah integral pertama? = (y z)(1) + (zx)(1) + (xy)(1) = 0Jadi, adalah integral pertama.Akan dicari integral pertama yang lainnya,

Ambil a = x , b = y , c = z 0 dz = x - y d 0 = x - y d 0 = d Misalkan , apakah adalah integral pertama? = (y z)(2x) + (zx)(2y) + (xy)(2z) = 0Jadi,

adalah integral pertama.


20/30

Apakah , bebas secara fungsional? x =

- (0,0,0)Jadi, , bebas secara fungsional.Berdasarkan uraian diatas , adalah integral pertama yang bebas secarafungsional. Selanjutnya,

=

= Eliminasi t pada persamaan diatas, sehingga diperoleh bentuk : substitusi u1 = x + y + z , u2 = x

2+ y2+ z2

diperoleh :

(di bagi 4)

z = -x -y

Jadi, permukaan integral dari medan vector V adalah -x -y

d. V= (y , -x , 2xyz). C:x=t, y=t, z= ; - Penyelesaian:Perhatikan bahwa grad C = grad (t,t,t2) = (1, 1, 2t) V= (y , -x , 2xyz).


medan vector V.

Akan dicari integral pertama dari V,

=


21/30

Misalkan , apakah adalah integral pertama? = (y)(2x)+(-x)(2y)+(2xyz)(0) = 0Jadi, adalah integral pertama.Akan dicari integral pertama yang lainnya,

= 2x dx =

dz2x dx =

dz= - Misalkan

-

apakah

adalah integral pertama?

= =0Jadi, adalah integral pertama.Apakah , bebas secara fungsional? x =

- (0,0,0)Jadi, , bebas secara fungsional.Berdasarkan uraian diatas , adalah integral pertama yang bebas secarafungsional. Selanjutnya,

=


22/30

= Eliminasi t pada persamaan diatas, sehingga diperoleh bentuk :

substitusi u1 = , u2 = - diperoleh :

=

=Jadi, permukaan integral dari medan vector V adalah

=

2. Dalam masalah berikut memverifikasi bahwa kurva C merupakan kurva integral dari

V dan menurunkan rumus untuk tak terhingga banyaknya permukaan yang tidak

terpisahkan dari V yang mengandung C.

a. Jawab :

Diketahui : Menentukan


23/30

Menentukan

Apakah dan integral pertama? Untuk

Untuk dan integral pertama.Apakah dan bebas secara fungsional?


24/30

dan bebas secara fungsionalJadi

b. Jawab :

Diketahui :

Menentukan

Menentukan Pilih


25/30

Apakah dan integral pertama? Untuk

Untuk dan integral pertama.Apakah

dan

bebas secara fungsional?

dan bebas secara fungsionalJadi Problems 5 : Chapter 2

2) Buktikan bahwa potensial vektor dari Vtidak unik.[Petunjuk : Perhatikan identitas (5.10) ]


26/30

Jawab :

Misalkan V=0 didefinisikan pada di . Akan ditunjukkan terdapat dan sedemikian sehingga

dan

dengan

.

Ambil sembarang fungsi dengan .Pilih dan sehingga .Perhatikan V=0 sehingga jelas Vselonoidal dan menurut identitas (5.10), diperoleh dan

Dengan kata lain,dan potensial vektor dari di mana .Jadi, terbukti bahwa potensial vektor untuk tidak unik.3) Derive equation ( 5.13)

(5.13) 0 = div v = grad ( grad u1x grad u2) + .(curl grad u1).grad u2- (curl grad u2).grad u1= grad ( grad u1x grad u2)Dengan menggunakan :(5.8) div (fu) = grad f . u + f div u

(5.9) div (u x v) = (curl u).v - (curl v).u

(5.10) curl ( grad f) = 0 (assume f c2here)(5.12) V(x,y,z) =

grad u1x grad u2)

Karena V solenoidal maka div V = 0

Sehingga 0 = div V = div ( grad u1x grad u2)) lalu gunakan (5.8) menjadi := grad grad u1x grad u2) + div grad u1x grad u2) lalu gunakan

(5.9)

= grad grad u1x grad u2) + ((curl grad u1) . grad u2 - (curl grad u2) .grad u1 ) , assumsikan dengan (5.10)

sehingga


27/30

= grad grad u1x grad u2) + .0= grad grad u1x grad u2) + 0= grad

grad u1x grad u2)

4) Jelaskan bagaimana mendapatkana persamaan (5.17), yaitu V= grad G x grad Jawab :

Diketahui :

Dari persamaan (5.12),

V(x,y,z) = (x,y,z) ( Dan dari persamaan (5.15) didapat

V(x,y,z) = = (x,y,z) ( Dan juga dari persamaan (5.16) diperoleh di bahwaV =

................................................................................ (5.17)

Dari pembahasan sebelumnya, kita tahu bahwa

= =

Dan persamaan (5.17) menjadi

V =

1. persamaan (5.12)

V(x,y,z) = (x,y,z) (

2. Persamaan (5.15)

(x,y,z) = F(

3. persamaan (5.16)

F( ) = (


28/30

=

= = = =

5) Find vector normal for

a.

Diperoleh

| | ||

Jadi, untuk semua titik di


29/30

Untuk membuktikannya

Problems 2 : Chapter 3

2.4

Persamaan diferensial parsial kuasi linier

Cari satu integral pertamanya. Bukan pekerjaan mudah untuk mencari sebuah integralpertama yang kedua.

Jawaban:

Dari persamaan di atas didapat nilai Untukmencari suatu integral pertama selesaikan sistem persamaan berikut: Pilih persamaan

Pilih , periksa apakah merupakan integral pertama atau bukan?


30/30

Turunkan terhadap sehingga didapat

Substitusi pada

dan periksa apakah bernilai nol atau tidak? (Bila

bernilai nol, maka adalah integral pertama.)

Jadi, merupakan integral pertama.

tugas pdp kelompok

Documents