contoh soal pdp
TRANSCRIPT
Contoh Soal Persamaan Differensial Linear OrdeSatu
Fitriani Tupa R. Silalahi
August 25, 2013
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan
ut − 3ux = 0 (1)
dengan kondisi batas u(x , 0) = e−x2
Pandang −3ux + ut = 0 dan u(x , 0) = e−x2
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika
aux + buy = 0 (2)
makau(x , y) = f (bx − ay) (3)
Sehingga u(x , t) = f (x + 3t)
Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2
Jadi u(x , t) = e−(x+3t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan
ut − 3ux = 0 (1)
dengan kondisi batas u(x , 0) = e−x2
Pandang −3ux + ut = 0 dan u(x , 0) = e−x2
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika
aux + buy = 0 (2)
makau(x , y) = f (bx − ay) (3)
Sehingga u(x , t) = f (x + 3t)
Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2
Jadi u(x , t) = e−(x+3t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan
ut − 3ux = 0 (1)
dengan kondisi batas u(x , 0) = e−x2
Pandang −3ux + ut = 0 dan u(x , 0) = e−x2
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika
aux + buy = 0 (2)
makau(x , y) = f (bx − ay) (3)
Sehingga u(x , t) = f (x + 3t)
Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2
Jadi u(x , t) = e−(x+3t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan
ut − 3ux = 0 (1)
dengan kondisi batas u(x , 0) = e−x2
Pandang −3ux + ut = 0 dan u(x , 0) = e−x2
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika
aux + buy = 0 (2)
makau(x , y) = f (bx − ay) (3)
Sehingga u(x , t) = f (x + 3t)
Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2
Jadi u(x , t) = e−(x+3t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan
ut − 3ux = 0 (1)
dengan kondisi batas u(x , 0) = e−x2
Pandang −3ux + ut = 0 dan u(x , 0) = e−x2
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika
aux + buy = 0 (2)
makau(x , y) = f (bx − ay) (3)
Sehingga u(x , t) = f (x + 3t)
Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2
Jadi u(x , t) = e−(x+3t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan
ut − 3ux = 0 (1)
dengan kondisi batas u(x , 0) = e−x2
Pandang −3ux + ut = 0 dan u(x , 0) = e−x2
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika
aux + buy = 0 (2)
makau(x , y) = f (bx − ay) (3)
Sehingga u(x , t) = f (x + 3t)
Maka, u(x , 0) = f (x) = e−x2
Jadi u(x , t) = e−(x+3t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan
3uy + uxy = 0 (4)
dengan substitusi v = uy
Perhatikan persamaan 3uy + uxy = 0. Dengan mensubstitusiv = uy , kita peroleh persamaan
3v + vx = 0 (5)
Dengan mengalikan e3x pada kedua ruas, kita peroleh
e3x(3v + vx) = 0 =∂
∂x(e3xv) (6)
Sehinggae3xv(x , y) = f (y) (7)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan
3uy + uxy = 0 (4)
dengan substitusi v = uy
Perhatikan persamaan 3uy + uxy = 0. Dengan mensubstitusiv = uy , kita peroleh persamaan
3v + vx = 0 (5)
Dengan mengalikan e3x pada kedua ruas, kita peroleh
e3x(3v + vx) = 0 =∂
∂x(e3xv) (6)
Sehinggae3xv(x , y) = f (y) (7)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan
3uy + uxy = 0 (4)
dengan substitusi v = uy
Perhatikan persamaan 3uy + uxy = 0. Dengan mensubstitusiv = uy , kita peroleh persamaan
3v + vx = 0 (5)
Dengan mengalikan e3x pada kedua ruas, kita peroleh
e3x(3v + vx) = 0 =∂
∂x(e3xv) (6)
Sehinggae3xv(x , y) = f (y) (7)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan
3uy + uxy = 0 (4)
dengan substitusi v = uy
Perhatikan persamaan 3uy + uxy = 0. Dengan mensubstitusiv = uy , kita peroleh persamaan
3v + vx = 0 (5)
Dengan mengalikan e3x pada kedua ruas, kita peroleh
e3x(3v + vx) = 0 =∂
∂x(e3xv) (6)
Sehinggae3xv(x , y) = f (y) (7)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan
3uy + uxy = 0 (4)
dengan substitusi v = uy
Perhatikan persamaan 3uy + uxy = 0. Dengan mensubstitusiv = uy , kita peroleh persamaan
3v + vx = 0 (5)
Dengan mengalikan e3x pada kedua ruas, kita peroleh
e3x(3v + vx) = 0 =∂
∂x(e3xv) (6)
Sehinggae3xv(x , y) = f (y) (7)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)
Oleh karena v = uy , maka
uy (x , y) = f (y)e−3x (9)
Jadi diperoleh solusi persamaan
u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)
Oleh karena v = uy , maka
uy (x , y) = f (y)e−3x (9)
Jadi diperoleh solusi persamaan
u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)
Oleh karena v = uy , maka
uy (x , y) = f (y)e−3x (9)
Jadi diperoleh solusi persamaan
u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 2
Makav(x , y) = f (y)e−3x (8)
Oleh karena v = uy , maka
uy (x , y) = f (y)e−3x (9)
Jadi diperoleh solusi persamaan
u(x , y) = f (y)e−3x + g(x) (10)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
(1 + x2)ux + uy = 0 (11)
Perhatikan bahwady
dx=
1
1 + x2(12)
Maka(1 + x2)dy = dx (13)
Sehinggay(x) = tan−1x + c (14)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
(1 + x2)ux + uy = 0 (11)
Perhatikan bahwady
dx=
1
1 + x2(12)
Maka(1 + x2)dy = dx (13)
Sehinggay(x) = tan−1x + c (14)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
(1 + x2)ux + uy = 0 (11)
Perhatikan bahwady
dx=
1
1 + x2(12)
Maka(1 + x2)dy = dx (13)
Sehinggay(x) = tan−1x + c (14)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
(1 + x2)ux + uy = 0 (11)
Perhatikan bahwady
dx=
1
1 + x2(12)
Maka(1 + x2)dy = dx (13)
Sehinggay(x) = tan−1x + c (14)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
(1 + x2)ux + uy = 0 (11)
Perhatikan bahwady
dx=
1
1 + x2(12)
Maka(1 + x2)dy = dx (13)
Sehinggay(x) = tan−1x + c (14)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Maka kita peroleh
c = y − tan−1(x) (15)
Jadiu(x , y) = f (c) = f (y − tan−1(x)) (16)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Maka kita peroleh
c = y − tan−1(x) (15)
Jadiu(x , y) = f (c) = f (y − tan−1(x)) (16)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 3
Maka kita peroleh
c = y − tan−1(x) (15)
Jadiu(x , y) = f (c) = f (y − tan−1(x)) (16)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Dengan menggunakan metode koordinat, kita akanmenyelesaikan persamaan
aux + buy + cu = 0 (17)
Misalkanx ′ = ax + by , y ′ = bx − ay (18)
Sesuai dengan chain rule untuk turunan fungsi komposisi, kitapunya
ux =∂u
∂x=∂u
∂x ′∂x ′
∂x+∂u
∂y ′∂y ′
∂x= aux ′ + buy ′ (19)
uy =∂u
∂y=∂u
∂x ′∂x ′
∂y+∂u
∂y ′∂y ′
∂y= bux ′ − auy ′ (20)
(21)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Dengan menggunakan metode koordinat, kita akanmenyelesaikan persamaan
aux + buy + cu = 0 (17)
Misalkanx ′ = ax + by , y ′ = bx − ay (18)
Sesuai dengan chain rule untuk turunan fungsi komposisi, kitapunya
ux =∂u
∂x=∂u
∂x ′∂x ′
∂x+∂u
∂y ′∂y ′
∂x= aux ′ + buy ′ (19)
uy =∂u
∂y=∂u
∂x ′∂x ′
∂y+∂u
∂y ′∂y ′
∂y= bux ′ − auy ′ (20)
(21)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Dengan menggunakan metode koordinat, kita akanmenyelesaikan persamaan
aux + buy + cu = 0 (17)
Misalkanx ′ = ax + by , y ′ = bx − ay (18)
Sesuai dengan chain rule untuk turunan fungsi komposisi, kitapunya
ux =∂u
∂x=∂u
∂x ′∂x ′
∂x+∂u
∂y ′∂y ′
∂x= aux ′ + buy ′ (19)
uy =∂u
∂y=∂u
∂x ′∂x ′
∂y+∂u
∂y ′∂y ′
∂y= bux ′ − auy ′ (20)
(21)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Dengan menggunakan metode koordinat, kita akanmenyelesaikan persamaan
aux + buy + cu = 0 (17)
Misalkanx ′ = ax + by , y ′ = bx − ay (18)
Sesuai dengan chain rule untuk turunan fungsi komposisi, kitapunya
ux =∂u
∂x=∂u
∂x ′∂x ′
∂x+∂u
∂y ′∂y ′
∂x= aux ′ + buy ′ (19)
uy =∂u
∂y=∂u
∂x ′∂x ′
∂y+∂u
∂y ′∂y ′
∂y= bux ′ − auy ′ (20)
(21)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, persamaan aux + buy = 0 dapat ditulis dalambentuk
a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)
Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)
Jadi kita telah memiliki persamaan aux + buy = (a2 + b2)ux ′
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, persamaan aux + buy = 0 dapat ditulis dalambentuk
a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)
Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)
Jadi kita telah memiliki persamaan aux + buy = (a2 + b2)ux ′
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, persamaan aux + buy = 0 dapat ditulis dalambentuk
a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)
Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)
Jadi kita telah memiliki persamaan aux + buy = (a2 + b2)ux ′
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, persamaan aux + buy = 0 dapat ditulis dalambentuk
a2ux ′ + abuy ′ + b2ux ′ − abuy ′ = 0 (22)
Yaitu(a2 + b2)ux ′ = 0 (23)
Jadi kita telah memiliki persamaan aux + buy = (a2 + b2)ux ′
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, tulis
(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)
Makaux ′
u= − c
a2 + b2(25)
Selanjutnya
ln(u) = − c
a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)
Sehingga
u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)
a2+b2 (27)
Jadi
u(x , y) = f (bx − ay)e−c(ax+by
a2+b2 (28)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, tulis
(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)
Makaux ′
u= − c
a2 + b2(25)
Selanjutnya
ln(u) = − c
a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)
Sehingga
u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)
a2+b2 (27)
Jadi
u(x , y) = f (bx − ay)e−c(ax+by
a2+b2 (28)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, tulis
(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)
Makaux ′
u= − c
a2 + b2(25)
Selanjutnya
ln(u) = − c
a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)
Sehingga
u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)
a2+b2 (27)
Jadi
u(x , y) = f (bx − ay)e−c(ax+by
a2+b2 (28)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, tulis
(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)
Makaux ′
u= − c
a2 + b2(25)
Selanjutnya
ln(u) = − c
a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)
Sehingga
u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)
a2+b2 (27)
Jadi
u(x , y) = f (bx − ay)e−c(ax+by
a2+b2 (28)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, tulis
(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)
Makaux ′
u= − c
a2 + b2(25)
Selanjutnya
ln(u) = − c
a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)
Sehingga
u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)
a2+b2 (27)
Jadi
u(x , y) = f (bx − ay)e−c(ax+by
a2+b2 (28)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 4
Selanjutnya, tulis
(a2 + b2)ux ′ + cu = 0 (24)
Makaux ′
u= − c
a2 + b2(25)
Selanjutnya
ln(u) = − c
a2 + b2x ′+ f (y ′) (26)
Sehingga
u(x ′, y ′) = f (y ′)e− c(ax+by)
a2+b2 (27)
Jadi
u(x , y) = f (bx − ay)e−c(ax+by
a2+b2 (28)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 5
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + cux = −λu denganmenggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct danτ = t
Perhatikan persamaan ut + cux = −λuDengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (29)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 5
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + cux = −λu denganmenggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct danτ = t
Perhatikan persamaan ut + cux = −λuDengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (29)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 5
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + cux = −λu denganmenggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct danτ = t
Perhatikan persamaan ut + cux = −λu
Dengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (29)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 5
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + cux = −λu denganmenggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct danτ = t
Perhatikan persamaan ut + cux = −λuDengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (29)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (30)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 5
Maka kita peroleh ut + cux = uτ + 0 = −λuDengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ λu = 0 (31)
memiliki solusi
u(x , t) = e−λtg(ξ) = e−λtg(x − ct) (32)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 5
Maka kita peroleh ut + cux = uτ + 0 = −λu
Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ λu = 0 (31)
memiliki solusi
u(x , t) = e−λtg(ξ) = e−λtg(x − ct) (32)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 5
Maka kita peroleh ut + cux = uτ + 0 = −λuDengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ λu = 0 (31)
memiliki solusi
u(x , t) = e−λtg(ξ) = e−λtg(x − ct) (32)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + 2ux = −3u dengankondisi awal u(x , 0) = 1
1+x2dengan menggunakan
transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t
Perhatikan persamaan ut + 2ux = −3u
Dengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (33)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + 2ux = −3u dengankondisi awal u(x , 0) = 1
1+x2dengan menggunakan
transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t
Perhatikan persamaan ut + 2ux = −3u
Dengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (33)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + 2ux = −3u dengankondisi awal u(x , 0) = 1
1+x2dengan menggunakan
transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t
Perhatikan persamaan ut + 2ux = −3u
Dengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (33)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Kita akan menyelesaikan persamaan ut + 2ux = −3u dengankondisi awal u(x , 0) = 1
1+x2dengan menggunakan
transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t
Perhatikan persamaan ut + 2ux = −3u
Dengan menggunakan metode koordinat, tulis
ut =∂u
∂t=∂u
∂ξ
∂ξ
∂t+∂u
∂τ
∂τ
∂t= −cuξ + uτ (33)
ux =∂u
∂x=∂u
∂ξ
∂ξ
∂x+∂u
∂τ
∂τ
∂x= uξ + uτ .0 = uξ (34)
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Maka kita peroleh ut + 2ux = uτ + 0 = −3u
Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ (−3)u = 0 (35)
memiliki solusi
u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)
Perhatikan kondisi awal u(x , 0) = 1(1+x)2
.
Dengan mensubstitusi kondisi awal ke persamaan u(x,t)diperoleh g(x) = 1
x2+1
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Maka kita peroleh ut + 2ux = uτ + 0 = −3u
Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ (−3)u = 0 (35)
memiliki solusi
u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)
Perhatikan kondisi awal u(x , 0) = 1(1+x)2
.
Dengan mensubstitusi kondisi awal ke persamaan u(x,t)diperoleh g(x) = 1
x2+1
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Maka kita peroleh ut + 2ux = uτ + 0 = −3u
Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ (−3)u = 0 (35)
memiliki solusi
u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)
Perhatikan kondisi awal u(x , 0) = 1(1+x)2
.
Dengan mensubstitusi kondisi awal ke persamaan u(x,t)diperoleh g(x) = 1
x2+1
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Maka kita peroleh ut + 2ux = uτ + 0 = −3u
Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ (−3)u = 0 (35)
memiliki solusi
u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)
Perhatikan kondisi awal u(x , 0) = 1(1+x)2
.
Dengan mensubstitusi kondisi awal ke persamaan u(x,t)diperoleh g(x) = 1
x2+1
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Maka kita peroleh ut + 2ux = uτ + 0 = −3u
Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan
du
dτ+ (−3)u = 0 (35)
memiliki solusi
u(x , t) = e−3tg(ξ) = e−3tg(x − 2t) (36)
Perhatikan kondisi awal u(x , 0) = 1(1+x)2
.
Dengan mensubstitusi kondisi awal ke persamaan u(x,t)diperoleh g(x) = 1
x2+1
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Maka solusi yang diperoleh adalah u(x , t) = e−3t
1+(x−2t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Contoh 6
Maka solusi yang diperoleh adalah u(x , t) = e−3t
1+(x−2t)2
Fitriani Tupa R. Silalahi Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu