1KATA PENGANTAR

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi sedikitsekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah Tuhan seru sekalianalam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkirabesarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judulPemprograman Nonlinear.

Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagaipihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnyakepada: Kedua orang tua dan segenap keluarga besar penulis serta Dosen matakuliah Penelitian Operasional Tambang Pak Admizal yang telah memberikandukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar. Dari sanalah semuakesuksesan ini berawal, semoga semua ini bisa memberikan sedikit kebahagiaandan menuntun pada langkah yang lebih baik lagi. Meskipun penulis berharap isidari makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yangkurang. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangunagar makalah ini dapat lebih baik lagi. Akhir kata penulis berharap agar makalahini bermanfaat bagi semua pembaca.

Padang, 15 April 2015

Penyusun

2DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ...............................................................................

DAFTAR ISI ..............................................................................................

Bab I PENDAHULUAN.....................................................................

1.1. Latar Belakang Masalah .......................................................1.2. Rumusan Masalah.................................................................1.3. Tujuan ...................................................................................1.4. Mamfaat......................................................................

II Pembahasan ..............................................................................

2.1. Defenisi.................................................................................

2.2. Program Tak Linear Tanpa Kendala ....................................

2.3. Program Tak Linear Dengan Kendala ..................................

III Penutup .......................................................................................

3.1. Kesimpulan............................................................................

3.2. Saran ......................................................................................

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................

3BAB IPENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Peran besar pemprograman linear dalam operasional research direfleksikansecara akurat berdasarkan fakta bahwa hal itu menjadi bahasan yang penting.Asumsi pokok pemprograman linear adalah semua fungsi yang terlibat adalahlinear. Meskipun pada dasarnya diaplikasikan pada banyak masalah praktis, asumsiini sering kali tidak sesuai. Pada kenyataannya, banyak para ahli menemukanderajat nonlenearitas merupakan suatu aturan dan bukan merupakan suatuperkecualian dalam maslah perencanaan. Oleh sebab itu, sering kali memang perluuntuk segera mengarahkan pada masalah pemprograman nonlinear, sehingga kitamemfokuskan perhatian pada area yang penting ini.

Salah satu bentuk umum masalah pemprograman nonlinear adalah untukmenetukan x = (x1,x2,...,xn) sehingga tercapai tujuan untuk memaksimalkan f(x)yang merupakan fungsi yang diketahui dengan n vaiabel keputusan. Dalampemprograman nonlinear terdapat banyak jenis masalah,tergantung pada fungsi f(x)dab g(x). Algoritma yang digunakan pun banyakdan berbeda-beda untuk jenis yangberbeda. Unutk masalah tertentu dengan bentuk fungsi yang sederhana, masalahdapat diselesaikan secara efisien. Untuk beberapa bentuk fungsi yang lain, mencarisolusi untuk maslah yang kecil bahkan menjadi tantangan besar.

Oleh karena terdapat banyak jenis dan banyak algoritma, pemprogramannnonlinear merupakan suatu subyek yang besar. Pemprograman nonlinear punpunya banyak tipe soal yang berbeda dan cara memecahkan yang berbeda dan pastiada solusi dengan metode penyelesaian yang efesien.

4B. RUMUSAN MASALAH1. Sekilas tentang Pemprograman nonlinear2. Apa sajakah bagian dari fungsi tujuan Pemprograman nonlinear?3. Bagaimanakah langkah-langkah pengambilan keputusan

menggunakan Pemprograman nonlinear?

C. TUJUAN PENULISAN1. Menambah pengetahuan mahasiswa tentang Pemprograman

nonlinear.2. Mengetahui bagian dari fungsi tujuan Pemprograman nonlinear3. Mengetahui langkah-langkah pengambilan keputusan menggunakan

Pemprograman nonlinear

D. Manfaat PenulisanPenulisan makalah ini diharapkan dapat bermanfaat bagi berbagai pihakyaitu:1. Pembaca, dapat memberikan pengetahuan baru dan menambah

wawasan.

2. Penulis, sebagai bahan masukan dan pembelajaran di masa yangakan datang.

5BAB IIPEMBAHASAN

A. Defenisi Pemprograman Nonlinear

Program nonlinear merupakan perluasan pprogram linear, dimana baik funsisasaran maupun kendalanya bukan dalam fungsi linear. Akan tetapi penyelesaianprogram non linear tidaklah semudah dan sekonvergen penyelesaian iteratifprogram linear. Hal ini mengingat ada begitu banyak jenis fungsi yang tidaklinear, dengan masing-masing memiliki karakteristik berbeda.

Secara umum ada 2 cara penyelesaian program nonlinear, yaitu secara analitikdan secara iteratif. Penyelesaian secara analaitik dilakukan dengan bantuankalkulus. Jika fungsinya hanya merupakan fungsi satu variabel maka differensialbiasa digunkan untuk mencari titik optimumnya. Akan tetapi jika fungsinya terdiridari 2 variabel bebas atau lebih, maka dibutuhkan differensial parsial untukmenyelesaikannya.

Sebaliknya, penyelesaian program nonlinear secara iteratif diawali denganmengambil sebuah titik awal dan kemudian secara iteratif ( dengan aturantertentu) digeser agar semakin dekat ke titik optimal. Dalam beberapa algoritma,perpindahan titik dilakukan dengan bantuan kalkulus.Bentuk umum program nonlinear adalah sebgai berikut :

Memaksimumkan/minimumkan f (x1,x2,......,xn )Kendala :

g1 (x1,x2,......,xn ) b1g2 (x1,x2,......,xn ) b2.....

gm (x1,x2,......,xn ) bmXj 0 , j = 1,2,.......,n

6Dengan fungsi f (xj) dan gi (xj) merupakan fungsi nonlinear berharga riil.Misalkan (x1,x2,......,xn ) adalah titik-titik dalam domain dengan x1 < x2...... < xn.Jika f (x1) < f (x2) f (x2) >.........> f (xn), maka fungsi kontinu fdikatakan turun secara monoton. Jika pada suatu interval yang diberikan, fungsi fnaik secara monoton pada suatu barisan titik, kemudian turun secara monoton,maka fungsinya disebut unimoidal(gambar 1 a).

Gambar : 1

Suatu fungsi unimoidal hanya memilki sebuah puncak/lembah.fungsi yangmemiliki 2 atau lebih puncak/lembah disebut multimoidal(gambar 1b).

Misalkan f adalah fungsi kontinu berharga riil dan S adalah suatu interval

tertutup [ a,b ].f dikatakan memilki maksimum global dititik xo S jika untuk semuaxo S f (x). Jika untuk semua xo S, f (xo) f (x) maka f dikatakan memilikiminimum global.

Suatu fungsi f dikatakan memiliki maksimum lokal dititik xo S jika f (xo) f (x) untuk semua titik x sekitar xo. Jika f (xo) f (x) unutk semua titik x disekitar xomaka f dikatakan memiliki minimum lokal.

7Gambar : 2

Selain titik maksimum/ minimum, dalam program nonlinear juga dikenaltitik sadel(gambar 3), yaitu titik yang merupakan titik maksimum lokal jikadipandang dari satu sisi, tapi sekaligus merupakan titik minimum lokal jikadipandang dari sisi lain. Jika dilihat dari kepala ke ekor kuda, titik pelana kudamerupakan titik terendah. Akan tetapi jika dilihat dari kiri dan kanan kuda, titiktersebut merupakan titik tertinggi. Pada fungsi 1 variabel, titik sadel sering disebuttitik belok.

Gambar : 3

B. Program nonlinear Tanpa Kendala

Dalam program nonlinear tanpa kendala, kita mencari vektor x = (x1,x2,...,xn)sehingga f(x)= f (x1,x2,......,xn ) minimum atau maksimum, dengan fungsi fmerupakan fungsi yang nonlinear.

8Penyelesaian program nonlinear tanpa kendala melibatkan 2 syarat, yaitu sayratperlu dan syarat cukup. Syarat perlu merupakan syarat yang mutlak diperlukan agarsuatu titik X menjadi calon penyelesaian optimal. Akantetapi syarat ini belum tentucukup, sehingga perlu ditambah dengan dipenuhinya syrat cukup. Syarat perlubelum tentu cukup, sebaliknya cukup belum tentu diperlukan.

Syarat perlu dan cukup agar suatu titik menjadi titik optimum programnonlinear tanpa kendala adalah sebagai berikut :

Syarat perlu :

Jika syarat perlu dipenuhi nasih belum dapat ditentukan apakah titik yangdidapat merupakan titik minimum, maksimum atau titik sadel. Untuk itu diperlukansyarat cukup.

Syarat cukup :

Lalu, jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f akan memilikititik minimum dan titik maksimum pada [a,b].

Teorema nilai ekstrim menjamin adanya titik minimum dan maksimum, tetapimenyatakan bagaimana cara mendapatkannya. Titik minimum/maksimum bisa

9terjadi ditengah interval [a,b] atau mungkin pada titik ujung x = a atau x = b. Untukitu jika diinginkan mencari titik minimum/maksimum pada interval [a,b], makatitim ekstrim yang didapatkan dari syarat perlu dan cukup harus dibandingkandengan nilai fungsi dititik ujung interval.

Gambar : 4

C. Program Nonlinear dengan Kendala

Dalam program nonlinear dengan kendala, semua fungsi kendala gj (x ) adalahlinear tetapi fungsi tujuan f(x) berbentuk nonlinear.dalam program nonlineardengan kendala ada kendala yang berupa persamaan dan ada yang berbentukpertidakpersamaan.

1. Dengan kendala persamaan

Perhatikan masalah :

Memaksimumkan/minimumkan f (x1,x2,......,xn )Kendala :

g1 (x1,x2,......,xn ) b1g2 (x1,x2,......,xn ) b2.....

gm (x1,x2,......,xn ) bmDengan adanya kendala maka titik maksimum/minimum yang dihasilkan punakan berbeda karena titik-titik yang diperhatikan hanyalah titik-titik yangmemenuhi semua kendala.

10

Gambar : 5

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan program non linear dengankendala persamaan disebut metode pengganda lagrange. Metode penggadalagrange diawali dengan pembentukanfungsi baru ( = h ) yang merupakangabungan antara fungsi sasaran dan kendala, ditambah dengan sejumlah variabelpengganda (= ).

Perhatikan cara pembentukan fungsi. Suku yang dikalikan denganpengganda adalah kendalanya ( bukan fungsi sasaran ). Jumlah pengganda yang ditambahkan sama dengan jumlah kendalanya. Fungsi memilki (n+m) buahvariabel.

Prosedur berikutnya sama dengan program nonlinear tak berkendala. Padatitik maksimum/minimumnya, turunan parsial terhadap masing-masing variabelnya= 0.

11

Titik ekstrim/sadel dengan menyelsaikan (m+n) buah persamaan diatas.Persamaan diatas secara praktis, metode lagrange tidak selalu berhasilmenemukan titik optimumnya karena (m+n) buah persamaan yang terbentukbelum tentu diselesaikan. Bahkan jika dapat diselesaikan, kadangkala didapatkanbegitu banyak titik sehingga sulit mengidentifikasi mana titik yang merupakantitik masksimum, minimum ataupun titik sadel.akan tetapi untuk fungsi yangrealtif sederhana, metode lagrange umumnya dapat digunakan untuk mencari titikoptimumnya.

2. Dengan Kendala Pertidaksamaan

Program nonlinear dengan kendala pertidaksamaan dapat dinyatakandalam 2 bentuk sebagai berikut :

Program nonlinear dengan kedua bentuk tersebut dapat diselesaikandengan metode Kuhn-Tucker. Caranya dengan mengubahnya menjadi program

12

linear dengan kendala persamaan dan kemudian diselesaikan dengan metodepengganda lagrange.

Fungsi Lagrange :

Dengan beberapa penyederhanaan, maka masalah pada persamaan diatasdengan kendalanya akan memiliki syarat perlu titik maksimum sebagai berikut :

Dan syarat perlu titik minimum :

13

BAB IIIPENUTUP

A. KESIMPULANDari pembahasan diatas dapat ditarik kesimpulan adalah sebagai berikut ;1. Pemprograman nonlinear adalah merupakan perluasan pprogram linear,

dimana baik funsi sasaran maupun kendalanya bukan dalam fungsi linear.Akan tetapi penyelesaian program non linear tidaklah semudah dansekonvergen penyelesaian iteratif program linear.

2. Dalam pemprograman nonlinear ada 2 macam masalaha. Pemprograman nonlinear tanpa kendalab. Pemprograman nonlinear dengan kendala

3. Dalam pemprograman nonlinear dapat Menyelesaikan suatu masalahdengan:a. Metode Lagrangeb. Metode subtitusic. Metode Kuhn-Tucker

B. SARANPengetahuan mengenai pemprograman nonlinear ini wajib dipahami

oleh setiap engineers karena pengetahuan tentang ini sangat membantuuntuk mengambil suatu keputusan yang terdiri dari banyak tujuan.Pengetahuan ini wajib dikuasai oleh semua jabatan seperti KTT, Mine Plan,pekerja eksplorasi, dan lain sebagainya.

14

DAFTAR PUSTAKA

Hilier, Frederick S. 2004. Introduction to OperationResearch.Inggris :Stanford University

Jong Jek Siang.2011. Riset Operasi dalam PendekatanAlgoritmis.Yogyakarta: ANDI