TUGAS JATEK (DIKLAPA XXII)t

1. Perusahaan pipa PVC bergerak dalam produksi pipa-pipa plastik dengan ukuran panjang standar 200 inci. Suatu ketika perusahaan ini mendapat pesanan berupa pipa-pipa dengan ukuran panjang yang tidak standar, yaitu 50, 70, dan 90 inci dengan jumlah pesanan masing-masing sebagai berikut.

Pesanan Panjang pipa (inci)

Kebutuhan (batang)

1 50 150

2 70 200

3 90 300

Jawab :

Panjang (Inci)

Kebutuhan Alternatif1 2 3 4 5 6

50 150 0 2 2 4 1 070 200 1 1 0 0 2 090 300 1 0 1 0 0 2Sisa (Inchi) 40 30 10 0 10 20

Bentuk persamaan liniernya adalah :

Minimumkan Z=40 X 1+30 X 2+10 X 3+10 X5+20 X6Dengan pembatasan (diambil dari kebutuhan potongan) :

2 X2+2 X3+4 X4+X5≥150X1+X2+2X 5≥200X1+X3+2 X6≥300

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6≥0

Solusi.

Dari hasil perhitungan computer dibawah didapatkanX 4=12,5X5=100

X6=150Maka disimpulkan bahwa alternatif pemotongan yang dipakai agar hasil sisa potongan minimum adalah alternative 4, alternative 5, dan alternative 6.

2. Seorang pengusaha yang memiliki 3 buah pabrik sedang mengahadapi masalah yang berkaitan dengan pembuangan limbah dari pabriknya. Selama ini ia membuang limbah tsb ke sungai sehingga menimbulkan dua macam polutan. Setelah berkonsultasi dengan pihak berwenang, diperoleh informasi bahwa ongkos untuk memproses zat buangan dari pabrik I adalah Rp. 15.000/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,1 ton dan polutan 2 sebanyak 0,45 ton dari setiap 1 ton zat buangan. Ongkos untuk memproses zat buangan dari pabrik II adalah Rp. 10.000/ton dengan kemampuan mengurangi 0,2 ton polutan 1 dan 0,25 ton polutan 2. Untuk memproses 1 ton zat buangan dari pabrik III diperlukan biaya Rp. 20.000 yang akan mengurangi 0,4 ton polutan 1 dan 0,3 ton polutan 2. Peraturan pemerintah mengharuskan perusahaan ini untuk dapat mengurangi polutan 1 paling sedikit 30 ton dan polutan 2 paling sedikit 40 ton. Formulasikan dan hitung hasil dari persoalan ini agar diperoleh ongkos total minimum.

Jawab :Definisi vaiabel sbb :X1 = Jumlah zat buangan pabrik I (dlm ton)

X2 = Jumlah zat buangan pabrik II (dlm ton)

X3 = Jumlah zat buangan pabrik III (dlm ton)

Zat buangan (Ton) Max Polutan(Ton)Pabrik I (X1 ¿

Pabrik II (X2 ¿

Pabrik III (X3 ¿

Polutan 1 0,1 0,2 0,4 30Polutan 2 0,45 0,25 0,3 40Ongkos Process/Ton (Rp.)

15.000 10.000 20.000

Fungsi Tujuan :

Minimumkan Z=15.000 X1+10.000 X2+20.000 X3

Pembatas/kendala :- Minimal polutan yang harus diproses.

0,1 X1+0,2 X2+0,4 X3≥300,45 X1+0,25 X 2+0,3 X3≥40

Solusi :

Dari hasil perhitungan computer didapatkan bahwa Ongkos minimum yang harus dikeluarkan adalah sebesar Rp. 1.576.923,- Ini didapat dengan memproses zat buangan dari pabrik I sebanyak 7,69 Ton, Pabrik II sebanyak 146,15 Ton dan Pabrik III tidak diproses.

3. Indah Motor adalah sebuah perusahaan yang memproduksi dua jenis truk. Setiap jenis truk yang dibuatnya harus melalui unit kerja perakitan dan pengecatan. Apabila unit kerja pengecatan hanya digunakan untuk mengerjakan truk jenis I, maka akan dapat dihasilkan 800 unit truk jenis I per hari, tetapi jika hanya digunakan untuk mengerjakan truk jenis II, hasilnya adalah 700 unit truk jenis II. Apabila unit kerja perakitan hanya digunakan untuk mengerjakan truk jenis I, akan dihasilkan 1.500 unit truk jenis I per hari, sedangkan jika hanya digunakan untuk mengerjakan truk jenis II akan dihasilkan 1.200 unit truk jenis II per hari. Keuntungan dari truk jenis I adalah Rp. 300.000/unit, sedangkan dri jenis II akan diperoleh keuntungan sebesar Rp. 500.000/unit. Bagaimanakah formulasi persoalan ini agar diperoleh keuntungan yang maksimum? Formulasikan dan hitung hasilnya.

Jawab :Defini varibel sbb:X1 = Jumlah truk jenis I yang mampu dihasilkan unit pengecatan

X2 = Jumlah truk jenis II yang mampu dihasilkan unit pengecatan

X3 = Jumlah truk jenis I yang mampu dihasilkan unit perakitan

X 4 = Jumlah truk jenis II yang mampu dihasilkan unit perakitan

Jenis TrukI (X ¿¿1)¿ II(X ¿¿2)¿

Unit pengecatan 800 700Unit Perakitan 1.500 1.200Keuntungan (Rp.) 300.000 500.000

- Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z=300.000 X1+500.000 X2

- Batasan :a. Kemampuan unit pengecatan .

X1+800700

X2≤800

b. Kemampuan unit perakitan

X3+15001200

X4≤1.500

c. Setiap jenis truk yang dibuat harus melalui unit pengecatan dan perakitan.X1≥ X3 ¿≫ X1−X3≥0X2≥ X4 ¿≫ X2−X4≥0

Solusi :

Sesuai dengan perhitungan computer di bawah, didapatkan bahwa keuntungan maksimum didapatkan sebesar Rp.350.000.000,- dengan memproduksi Truk jenis II saja sebanyak 700 unit.

4. Seseorang yang sedang dalam pengawasan serorang ahli gizi mendapat petunjuk bahwa kebutuhan minimal orang tersebut setiap hari adalah 500 kalori, 6 ons cokelat, 10 ons gula, dan 8 ons lemak. Saat ini orang tsb. Sedang berada di suatu tempat yang hanya menyediakan kue kering, es kirm, coca cola, dan roti keju. Harga dan kandungan bahan masing-masing makanan/minuman tsb adalah sebagai berikut.

Harga (Rp) Kalori Cokelat (ons)

Gula (ons) Lemak (Ons)

Kue kering/ bungkus

500 400 3 2 2

Es krim/ mangkuk

200 200 2 2 4

Coca cola/ botol

300 150 0 4 1

Roti keju/ potong

800 500 0 4 5

Bagaimanakah formulasi untuk memenuhi kebutuhan akan bahan makanan dengan biaya minimum dan hitung hasilnya?

Jawab :

Definisi Variabel sbb :X j = Jumlah kg buah besar yang dibeli

Harga (Rp) Kalori Cokelat (ons)

Gula (ons) Lemak (Ons)

Kue kering/ bungkus (X ¿¿1)¿

500 400 3 2 2

Es krim/ mangkuk (X ¿¿2)¿

200 200 2 2 4

Coca cola/ botol (X ¿¿3)¿

300 150 0 4 1

Roti keju/ potong (X ¿¿4)¿

800 500 0 4 5

- Fungsi tujuan :

Minimumkan Z=500 X1+200 X2+300 X3+800 X 4- Batasan :

a. Batasan kalori minimum.

400X1+200 X 2+150 X 3+500 X4≥500b. Batasan minimum coklat.

3X1+2 X2≥6c. Batasan minimum gula.

2X1+2 X2+4 X3+4 X4≥10d. Batasan minimum lemak.

2X1+4 X2+X 3+5 X4≥8

Solusi :Menurut perhitungan computer didapatkan bahwa untuk memenuhi kebutuhan bahan makanan dengan biaya minimum maka seseorang tersebut harus membeli 3 mangkok es

cream, dan 1 botol coca cola setiap harinya sehingga pengeluaran minimumnya Rp.900 setiap harinya.

5. Seorang pedagang buah-buahan membeli buah dukuh dari 3 orang petani. Kualitas buah ini biasa dinyatakan dengan besarnya dan diklasifikasikan dalam 3 kategori, yaitu besar, sedang dan kecil. Berikut ini adalah data harga dan persentase ukuran buah yang dimiliki oleh masing-masing petani.

Harga/kg (Rp) Persentase untuk ukuran (%)

Besar Sedang

kecil

Petani 1 5.000 40 40 20

Petani 2 4.000 30 35 35

Petani 3 3.000 20 20 60

Kebutuhan minimum pedagang tsb akan masing-masing kualitas buah setiap bulannya adalah ukuran besar 500 kg, ukuran sedang 300 kg, dan ukuran kecil 300 kg. modal perusahaan itu saat ini hanya mampu untuk membeli maksimum 500 kg dari masing-masing petani. Formulasikanlah persoalan ini untuk meminimumkan ongkos dan hitung hasilnya.Jawab :

Definisi Variabel sbb :X j = Jumlah kg buah besar yang dibeli

Jumlah buah yang dibeli (Kg)

Besar

Sedang kecil

Petani 1 X1 X2 X3

Petani 2 X 4 X5 X6

Petani 3 X7 X 8 X 9- Fungsi tujuan :

Minimumkan

Z=5000 (X1+X2+X3 )+4000 (X 4+X5+X6 )+3000 (X7+X8+X9 ) - Batasan :

a. Kebutuhan minimum pedagang thd masing-masing buah tiap bulannyaX1+X4+X7≥500X2+X5+X8≥300X3+X6+X9≥300

b. Modal perusahaan untuk membeli dari masing-masing petaniX1+X2+X3≤500X 4+X5+X 6≤500X7+X8+X9≤500

c. Jumlah masing-masing ukuran buah yang tersedia pada masing-masing petani(dari persentase).

X1≤200

X2≤200

X3≤100

X 4≤150

X5≤175

X6≤175

X7≤100

X 8≤100

X 9≤300

Solusi :

6. Seorang petani yang memiliki 7 ha tanah sedang memikirkan berapa ha tanah yang harus ditanami jagung dan berapa ha yang harus ditanami gandum. Dia mengetahui bahwa jika ditanami jagung, setiap ha tanah akan menghasilkan 10 ton jagung. Untuk ini diperlukan 4 jam-orang setiap minggunya. Jika ditanami gandum, hasilnya adalah 25 ton/ha dan di perlukan 10 jam-orang/minggu. Setiap kg jagung dapat dijual seharga Rp. 30, sedangkan harga jual gandum adalah Rp. 40/kg. saat ini petani tsb hanya memiliki 40 jam-orang setiap minggunya karena ada peraturan pemerintah yang mengharuskan setiap petani untuk menghasilkan gandum paling sedikit 30 ton setiap kali panen, bagimanakah formulasi dan hasil perhitungan persoalan ini agar petani tsb dapat menggarap tanahnya secara optimal.

Jawab :

Definisi Variabel sbb:

X1 = Jumlah ha tanah yang akan ditanami jagung (ha)

X2 = Jumlah ha tanah yang akan ditanami gandum (ha)

Jumlah ha tanah (ha) BatasanJagung (X1 ¿ Gandum (X2 ¿

Hasil/ha (Ton/ha) 10 25 -Jam-orang/minggu 4 10 40Harga (Rp.) 30 40 -Batasan - 30

- Fungsi tujuan :

Maksimumkan Z=10Tonha.30

RpKg. X

1

+25 Tonha.40Rp .Kg

. X2=300.000 X1+1.000 .000 X2

- Batasan :a. Luas lahan.

X1+X2≤7b. Jam-orang perminggu

4 X1+10 X2≤40c. Peraturan pemerintah untuk hasil gandum setiap kali panen.

25 X2≥30

Solusi :

Dari hasil perhitungan computer didapatkan bahwa untuk menggarap tanah yang optimal dengan berbagai kendala di atas maka petani hanya perlu menggarap 4 ha tanahnya untuk ditanami Gandum

7. Untuk menyukseskan pelaksanaan transmigrasi di Propinsi Q, pemerintah merencanakan membuka lahan baru yang dapat di tinggali sekaligus dijadikan areal pertanian. Ada 3 daerah yang dapat dibuka, yaitu daerah 1, 2 dan 3. Hasil pertanian masing-masing daerah tersebut dibatasi oleh dua hal, yaitu luas tanah yang dapat dialiri air dari irigasi dan banyaknya air yang dapat dialokasikan untuk irigasi tersebut, seperti diperlihatkan oleh tabel berikut:

Daerah

Luas tanah (hektar)

Alokasi air irigasi (m3)

1 400 600

2 600 800

3 300 375

Jenis tanaman yang dapat dikembangkan di daerah-daerah ini meliputi tebu, kapas, dan gandum, yang satu sama lain berbeda dalam hal hasil bersih per hektar serta jumlah air yang di konsumsinya. Di samping itu, ada ketentuan dari materi pertanian mengenai jatah lahan maksimum yang dapat digunakan untuk masing-masing jenis tanaman. Data ketiga hal di atas diperlihatkan pada tabal:

Jenis tanaman

Jatah lahan maksimum (hektar)

Konsumsi air (m3)

Hasil bersih (ribu rp/ha)

Tebu 600 3 400

Kapas 500 2 300

Gandum 325 1 100

Jawab :

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita tetapkan X j sebagai variable keputusan

yang menyatakan luas tanah untuk masing-masing jenis tanaman pada masing-masing daerah ( j=1,2,…,9) seperti pada table di bawah :

Tanaman\Daerah Alokasi (Hektar)1 2 3

Tebu X1 X2 X3Kapas X 4 X5 X6Gandum X7 X 8 X 9

- Model persamaan linier untuk persoalan di atas adalah :

Maksimumkan Z=400 ( X1+X2+X3 )+300 ( X4+X5+X6 )+100(X7+X8+X 9)

- Pembatas-pembatas :

a. Luas tanah. X1+X1+X1≤400X1+X1+X1≤600X1+X1+X1≤300

b. Air. 3 X1+2 X4+X7≤6003 X2+2 X5+X 8≤8003 X3+2 X6+X9≤375

c. Jatah lahan. X1+X2+X3≤600X 4+X5+X 6≤500X7+X8+X9≤325

d. Persetujuan Kepala Daerah.X1+X4+X7400

=X2+X5+X 8600

=> 6 X1−4 X2+6 X4−4 X5+6 X7−4 X8 = 0

X2+X5+X 8600

=X 3+X6+X9300

=> 3 X2−6 X3+3 X5−6 X6+3 X8−6 X9 = 0

X3+X6+X9300

=X1+X4+X7400

=>−3 X1+4 X3−3 X4+4 X6−3 X7+4 X9= 0

e. Pembatas non-negatif.X j≥0 , j=1,2,…,9.

Solusi :

Dari hasil perhitungan computer di atas di dapatkan solusi optimum untuk persoalan di atas adalah :

Tanaman\Daerah Alokasi Terbaik (Hektar)1 2 3

Tebu 133,3333 100 25Kapas 100 250 150Gandum 0 0 0