TUGAS KULIAH FALSAFAH TEKNIK DAN MANAJEMEN INDUSTRI

MANAGEMENT SCIENCE

Agus Friadi (23415013)

Anies Sayyidatun Nisa (23415023)

Desty Hapsari Kirana (23415017)

Juniwati (23415011)

Yashinta Ade Priastari (23415009)

Program Magister Teknik dan Manajemen Industri

Fakultas Teknologi Industri

Institut Teknologi Bandung

2015

Daftar IsiDaftar Isi................................................................................................................................................1

Daftar Tabel...........................................................................................................................................1

Daftar Gambar.......................................................................................................................................1

PENDAHULUAN.....................................................................................................................................2

1. Classical Quantitive Approach...........................................................................................................4

1.1 Model Inventori Wilson...............................................................................................................5

2. Operation Reserach Model................................................................................................................8

2.1 Linear Programming....................................................................................................................9

2.2 Model Transportasi....................................................................................................................14

2.3 Model Antrian (Queuing)...........................................................................................................19

3. Simulation Model............................................................................................................................23

Daftar TabelTabel 1 Tabel Perbandingan Jenis Masalah...........................................................................................5

Tabel 2 Tabel Gambaran Umum Model Inventori.................................................................................6

Tabel 3 Tabel Data transportasi PT ABC...............................................................................................17

Tabel 4 Tabel Ongkos Transportasi PT ABC..........................................................................................18

Tabel 5 Tabel Solusi optimal PT ABC....................................................................................................18

Tabel 6 Tabel Kendall-Lee Multiple-Server Queque Classification System (Hicks, 1994).....................20

Daftar GambarGambar 1 Gambar 3 Era Utama Management Science........................................................................2

Gambar 2 Gambar Tahapan-tahapan Management Science.................................................................3

Gambar 3 Gambar Posisi Model Inventori.............................................................................................6

Gambar 4 Grafik Persamaan Model Wilson...........................................................................................8

Gambar 5 Gambar Penentuan solusi layak dengan metode grafis......................................................13

Gambar 6 Gambar Penentuan solusi optimal dengan metode grafis..................................................14

Gambar 7 Gambar Skema Sistem Transportasi...................................................................................15

Gambar 8 Gambar Aliran sistem antrian (Hicks ,1994)........................................................................19

Gambar 9 Gambar Jenis Pendekatan Simulasi.....................................................................................24

1

PENDAHULUAN

Management science merupakan pendekatan pengambilan keputusan manajerial yang

didasarkan atas metode-metode ilmiah yang menggunakan banyak analisis kuantitatif. Management

science merupakan salah satu bagian dari ilmu management yang membahas mengenai

penyelesaian masalah-masalah yang dihadapi oleh seorang manager, baik yang bergerak di sektor

publik maupun swasta, dalam proses pengambilan keputusan dengan cara pendekatan model-model

matematik. Jadi secara mendasar, management science sebagai suatu cabang ilmu yang tidak lain

adalah aplikasi matematika, sehingga dalam banyak hal sering kali terlihat rumit dan tidak

sederhana.

Sebagai suatu kelanjutan dari pola pikir Teknik Industri, secara implisit menurut Hicks (1994)

era ini merupakan kelanjutan dan pengembangan diri era sebelumnya (scientific management)

dimana era sebelumnya berakhir dengan dimulainya penggunaan pendekatan matematik dan

optimasi klasik sebagai metoda untuk meningkatkan produktivitas dan efisiensi kerja. Pada

hakekatnya pada era sains management (management science) juga masih menggunakan

pendekatan yang sama, perbedaan pokok terletak pada objek kajian dan kompleksitas masalah yang

dikaji serta tools analisis yang digunakan. Salah satu permasalahannya adalah sumber daya yang

semakin terbatas sehingga keberadaan pembatas dalam menyelesaikan masalah atau optimasinya

harus diperhitungkan, hal inilah yang kemudian melahirkan pendekatan Penyelidikan Operasional

(Operation Research/OR) melengkapi pendekatan optimasi klasik yang sudah berkembang. Selain itu

permasalahan yang dihadapi dalam sistem integral tidak selalu memiliki pola yang diketahui dan

semakin kompleks, oleh sebab itu pada akhir era ini muncul pendekatan simulasi untuk

menyelesaikannya.

Terdapat 3 era utama yang terdapat pada gerakan management science yang digambarkan

pada gambar berikut ini:

Gambar 1

Gambar 3 Era Utama Management Science

2

Dalam pendekatan sains manajemen beranggapan bahwa seorang pengambil keputusan

adalah seorang yag rasional dan obyektif sehingga permasalahan yang ada dan alternatif solusinya

akan dapat dikuantifikasikan dan dimodelkan dengan menggunakan bantuan ilmu matematika dan

statistika. Selanjutnya model yang dikembangkan dapat dicari solusinya dengan menggunakan

prinsip optimasi. Pendekatan sains manajemen biasanya digunakan untuk permasalahn yang

terstruktur,rutin, dan operasional sifatnya.

Pendekatan sains manajemen ini memberikan kontribusi yang sangat signifikatif dalam disiplin

Teknik Industri terutama dalam memberikan sumbangannya untuk mendapatkan solusi optimal atas

permasalahan yang terjadi dalam sistem integral dengan menggunakan model matematis dan

prinsip optimasi dalam rangka meningkatkan produktifitas dan efisiennya.

Adapun tahapan atau teknik-teknik dalam pendekatan management science digambarkan pada

diagram berikut:

Gambar 2

Gambar Tahapan-tahapan Management Science

Observation – Identifikasi semua hal yang berhubungan dengan permasalahan(problem)

dalam sistem / perusahaan serta mengenali dan mempelajari suatu sistem atau organisasi

agar dapat diketahui secara rinci

Definition of the Problem – Mendefinisikan setiap permasalahan secara objektif

Model Construction – Membangun relasi fungsi matematik yang mendekripsikan variabel

penentu,fungsi objektif dan yang mengandung permasalahan yang terdiri dari :

3

Kriteria Kinerja (Performance Criteria) -> Ukuran sampai seberapa jauh tujuan yang

ingin dicapai dalam memecahkan permasalahan akan dapat diukur.

Variabel Keputusan (Decision Variabel) -> Mencerminkan apa yang akan diputuskan

atau dicari dalam penyelesaian masalah yang dihadapi, biasanya berupa suatu variabel

yang dapat dikendalikan dan akan ditentujan jenis dan nilai yang terbaiknya.

Pembatas (Constraints) -> Kendala yang ada atau kemampuan maksimum yang dapat

dicapai.

Parameter -> Nilai inputan yang besarnya tetap dan diketahui untuk suatu situasi

tertentu

Hubungan Logik (Logical Relationship) -> Fungsi yang menyatakan keterkaitan antara

kriteria kinerja dengan variabel keputusan.

Model Solution – Membuat model solusi untuk menentukan pemecah masalah yang bisa

dilakukan dengan program linear (metodagrafis, simpleks, transportasi, penugasandan lain-

lain), stokastik, probabilitas dan teknik jaringan lainnya (simulasi, peramalan, persediaan,

analisis hierarki dan lain-lainnya.)

Implementation – aktualisasi semua tindakan yang harus diambil sesuai dengan solusi yang

telah didapat. Melaksanakan pemecahan model, dimana sudah mempertimbangkan faktor

dan variabel diluar yang telah terkuantifikasi dan implikasi terhadap manajerialnya.

1. Classical Quantitive Approach

Dalam awal era management science, berkembang pendekatan classical quantitive untuk memecahkan masalah yang ada. Pendekatan klasik ini menggunakan pendekatan matematis dan statistik dalam memecahkan masalah kuantitif untuk mendapatkan solusi optimal. Secara umum mungkin akan terlihat mirip dengan scientific management. Perbedaannya terletak pada objek yang diteliti, kompleksitas masalah yang ada dan tools yang digunakan.

Permasalahan yang dianalisis menggunakan pendekatan ini secara umum terbagi menjadi tiga jenis, yaitu:

1. Probem deterministik, yaitu problem yang menjelaskan mengenai fenomena yang bersifat pasti. Pada problem ini, variabel dan faktor yang terkait bersifat pasti atau tidak mengalami perubahan yang berarti. Kalaupun ada perubahan, nilainya akan kecil dan dapat diabaikan.

2. Problem probablistk, yaitu problem yang menjelaskan mengenai fenomena yang tidak pasti namun memiliki pola tertentu. Problem ini menjelaskan fenomena yang mengandung ketidakpastian, namun memiliki pola tertentu sehingga dapat diprediksi parameter populasinya baik ekspektansi, variansi, maupun pola distribusi kemungkinannya.

4

3. Problem uncertainty, yaitu problem acak yang bersifat tidak pasti dan memiliki pola yang tidak diketahui. Problem ini menjelaskan fenomena yang karakteristiknya tidak diketahui secara lengkap parameternya baik nilai ekspektansi, nilai sebaran, maupun pola distribusi kemungkinannya.

Tabel 1Tabel Perbandingan Jenis Masalah

Jenis ProblemKriteria

Variasi PolaDeterministik Tidak ada variasi / diabaikan Variabel pastiProbabilistik Ada variasi Pola diketahuiUncertainty Ada variasi Pola tidak diketahui

Proses penyelesaian masalah dengan pendekatan ini dimulai dengan menggunakan model matematis untuk memodelkan alternatif, kemudian mencari solusi dari model tersebut menggunakan pendekatan analitik sehingga diperoleh solusi optimal. Namun dalam kenyataannya, untuk mendapatkan solusi optimal seringkali terdapat kesulitan jika menggunakan metode analitik. Oleh karena itu digunakan metode heuristik untuk mendapatkan solusi. Metode heuristik adalah metode pemecahan masalah yang dapat menghasilkan solusi sub-optimal. Solusi yang dihasilkan hanya mendekati optimal. Walaupun belum tentu optimal namun lebih mudah ditentukan dan sudah lebih baik dari segi hasil.

Pendekatan classical quantitive memberikan sumbangan penting terutama dalam perencanaan dan pengendalian. Pendekatan tersebut juga membantu memahami persoalan manajemen yang kompleks. Dengan menggunakan model matematika, persoalan yang kompleks dapat disederhanakan. Namun pendekatan ini juga memiliki beberapa kelemahan yaitu banyak menggunakan model atau simbol yang sulit dimengerti oleh kebanyakan orang, termasuk manajer. Pendekatan kuantitatif juga tidak melihat persoalan perilaku dan psikologi manusia dalam organisasi.

1.1 Model Inventori Wilson Salah satu contoh pemecahan problem yang menggunakan classical quantitive approach

adalah model inventori yang dikembangkan oleh Wilson. Model ini digunakan dalam situasi dimana variabel yang berpengaruh terhadap sistem persediaan bersifat deterministik (dapat diketahui dengan pasti). Variabel yang dimaksud meliputi:

1. Jumlah permintaan suatu barang yang harus dipesan untuk suatu waktu tertentu yang bersifat ekonomis (Economic Order Quantity – EOQ)

2. waktu ancang-ancang pemesanan barang (Re-Order Point – ROP)Secara umum, gambaran mengenai model inventori yang dibentuk oleh Wilson ialah sebagai

berikut.

Tabel 2Tabel Gambaran Umum Model Inventori

Kategori Model Inventori

5

Problem Penentuan kebijakan inventori yang optimalVariabel Keputusan EOQ, ROPKriteria Performansi Minimasi ongkos inventori

Fungsi Pembatas -Parameter Ongkos pemesanan, ongkos simpan, item cost, penalty cost

Dalam kasus inventori, permasalahannya ialah apa kebijakan yang sebaiknya diambil dalam hal inventori agar menghasilkan nilai ongkos inventori yang minimum dan mendapatkan proses inventori yang optimal. Model Wilson memberikan asumsi-asumsi dalam kasus inventori yaitu:

1. Permintaan barang selama waktu perencanaan diketahui dengan pasti dan akan datang secara kontinu sepanjang waktu (uniform)

2. Ukuran lot pemesanan (Q0) tetap setiap kali melakukan pemesanan3. Barang yang dipesan akan datang serentak pada saat pemesanan dilakukan (lead time = 0)4. Harga barang yang dipesan tidak tergantung pada jumlah barang yang dipesan/beli,

sehingga ongkos pembelian barang tidak perlu dimasukan ke dalam perhitungan didalam ongkos total. Hal ini disebabkan nilainya konstan sehingga tidak akan mempengaruhi solusi optimal. Ongkos pesan tetap untuk setiap kali pemesanan (A) dan ongkos simpan (Os) sebanding dengan jumlah barang yang disimpan dan harga barang perunit serta lama waktu penyimpanan (t)Posisi inventori yang dimodelkan oleh Wilson ialah sebagai berikut.

Gambar 3

Gambar Posisi Model Inventori

Grafik tersebut menunjukkan bagaimana posisi inventori yang berubah terhadap waktu. Inventori akan berkurang secara konstan dengan penurunan sebesar D per unit waktu. Ketika nilai inventori mencapai batas minimumnya maka pesanan sebesar Q yang telah dipesan sebelumnya dimasukkan ke dalam inventori dengan lead time 0. Untuk lebih jelasnya, posisi inventori didefinisikan sebagai berikut.

dengan ialah stock on position / posisi inventori, ialah stock on hand / inventori

tersedia dan ialah stock on order / inventori dalam pesanan.

Dari grafik tersebut, Wilson merumuskan beberapa model matematis untuk mencapai proses inventori yang optimal dan minimisasi ongkos inventori.

6

1. Ongkos beli ( )

dengan adalah banyaknya permintaan selama rentang waktu dan adalah harga

barang.

2. Ongkos pemesanan ( )

Besarnya ongkos pemesanan selama rentang waktu perencanaan adalah perkalian antara frekuensi pemesanan (f) dan ongkos untuk setiap kali pemesanan barang (A)

dengan adalah frekuensi pemesanan yang merupakan hasil pembagian antara

banyaknya permintaan selama rentang waktu ( ) dan lot pesan (Q0) sehingga

ongkos pesan dapat ditulis sebagai berikut

3. Ongkos simpan ( )

Ongkos Simpan didapat dari perkalian antara jumlah inventori rata-rata yang ada di gudang setiap saatnya (1/2 Q0) dengan ongkos simpan/unit/periode (h)

4. Total ongkos inventori ( )

Total ongkos inventori didapat dari penjumlahan nilai ongkos beli, ongkos pemesanan dan ongkos simpan.

5. Minimisasi nilai total ongkos inventoriKarena tujuan dari model ini ialah minimisasi ongkos, maka total ongkos inventori

harus diminimisasi dan akan terpenuhi jika turunan pertama sama dengan 0.

Hasil dari turunan pertama sama dengan 0 ialah.

Maka total ongkos inventori optimal dapat dihitung dengan mensubstitusi nilai Q0 kedalam persamaan ongkos total, sehingga dihasilkan rumus sebagai berikut :

7

Gambar 4

Grafik Persamaan Model Wilson

2. Operation Reserach ModelOperation research awal perkembangannya adalah pada bidang militer. Pada tahun 1937, para

ilmuwan inggris semakin dibutuhkan oleh para pemimpin militer untuk mempelajari bagaimana

menggunakan peralatan militer baru seperti radar untuk mendeteksi keberadaan pesawat musuh

yaitu pesawat-pesawat jerman. Dalam menyelesaikan permasalahan ini para ilmuwan bekerja dalam

satu tim untuk menghasilkan solusi yang terbaik. Kegiatan para ilmuwan ini dikenal di inggris dengan

nama “Operational research” sedangkan di amerika lebih dikenal dengan nama “Operations

research”.

Kegiatan ini berkembang tidak hanya pada militer inggris dan amerika, tetapi juga pada militer

kanada dan perancis. Setelah perang berakhir para pekerja operational research di eropa bekerja

pada bidang pemerintahan dan juga bidang industry dan mulai menyebarkan teknik OR ini. Di

amerika, penelitian di militer terus berkembang walaupun perang sudah berakhir, hal ini

dikarenakan para personel OR tetap bertahan di bidang militer.

Pelajaran mengenai operation research pertama kali diberikan pada tahun 1948 di Massachusetts

Institute of Technology. Pada tahun yang sama University College di London mempresentasikan

kuliah mengenai OR ini. Case Western Reserve menjadi universitas pertama yang menawarkan

program sarjana di bidang Operation research ini.

Pada saat ini, Operational Research telah berkembang menjadi suatu ilmu yang dapat digunakan

untuk mencari solusi dalam rangka membantu membuat keputusan – keputusan yang efektif.

8

Keputusan efektif ini dibutuhkan karena untuk mencapai tujuan yang dimiliki, individu ataupun suatu

organisasi perlu memanfaatkan sumberdaya terbatas yang dimilikinya sebaik mungkin. Dalam

memecahakan masalah pengambilan keputusan tersebut, OR bekerja dengan bantuan model.

Model adalah sesuatu yang dapat merepresentasikan secara ideal keadaan suatu sistem dengan

tujuan menjadi sarana untuk mengetahui keadaan yang akan terjadi bila terdapat suatu perubahan

yang diterapkan pada sistem tersebut. Seiring dengan berembangnya teknologi, Operational

Research menggunakan model – model selain model matematis, yaitu model simulasi dan heuristik.

Model simulasi pada dasarnya adalah model yang meniru tingkah laku suatu sistem dengan bantuan

komputer. Model ini memiliki keunggulan dari segi fleksibilitas dalam menggambarkan suatu sistem

yang kompleks dan relatif sulit untuk diselesaikan secara matematis. Namun model ini juga memiliki

kelemahan yaitu solusi yag dimiliki kurang akurat, tidak bersifat umum, dan tidak ekonomis.

Terdapat dua jenis metode operation research berdasarkan hubungan keterkaitan, yaitu model

operation research yang bersifat linear dan non linear. Model linear contohnya adalah Linear

Programming, model transportasi dan jaringan. Contoh model non linear adalah model antrian,

inventory, Dynamics programming, dan Stochastics Programming.

2.1 Linear ProgrammingLinear Programming merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya

yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan yang optimal seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan sebuah fungsi linier terhadap fungsi pembatas. Model ini telah dipergunakan secara luas dalam menyelesaikan permasalahan produksi, distribusi, pemasaran, akuntansi, keuangan, dan lainnya dengan memenuhi persyaratan yang sekaligus merupakan asumsi dari model yang digunakan. Goerge B.Danzig seorang yang berkebangsaan Amerika Serikat pada tahun 1947 telah berhasil menemukan metoda simpleks untuk mencari solusi optimal dalam mencari solusi dari model programa liner ini. Linear programming berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier. Linear Programming merupakan salah satu teknik Operation Research yang paling banyak digunakan perusahaan-perusahaan di Amerika menurut penelitian Turban, Russel, Ledbetter,Cox, dan lain-lain. Di samping itu, teknik ini teah menjadi dasar pengembangan teknik operation research atau zero one programming.

Suatu persoalan disebut persoalan Linear rogramming apabila memenuhi hal-hal berikut :

1. Tujuan (objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective function)

2. Harus ada alternatif pemecahan. Pemecahan yang embuat nilai fungsi tujuan optimum yang harus dipilih.

3. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah yang terbatas (bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimapn barang terbatas dsb). Pembatasan-pembatasan haus diinyatakan dalam ketidaksamaan linier.

9

1. Asumsi Proporsionalitas

Asumsi ini menyebutkan bahwa hubungan antara kriteria kinerja/fungsi tujuan harus berhubungan secara linear dengan variable keputusannya. Sehingga jika pada persamaan (1) variable keputusan X1 naik sebesar 2 satuan, maka kriteria kinerja naik sebesar 2a1.

(1)

PenambahanAsumsi ini menunjukan bahwa antar variable keputusan tidak saling mempengaruhi, dan kriteria kinerja merupakan penjumlahan dari setiap variable keputusannya. Seperti pada persamaan (2), jika Keuntungan Total (Z) dipengaruhi oleh jumlah penjualan buah apel (X1) dan penjualan buah jeruk (X2), maka persamaan menjadi

(2)

Dapat dibagiAsumsi ini menyebutkan bahwa variable keputusan dan kriteria kinerja adalah bilangan riil yang kontinu.

KepastianAsumsi ini menunjukan bahwa model ini bekerja dalam situasi yang deterministik.

2. Formulasi Model

Model adalah sebuah tiruan terhadap realitas. Langkah untuk membuat peralihan dari realita ke model kuantitatif dinamakan perumusan model adalah sebuah langkah penting pertama pada penerapan teknik operation research di dalam manajemen. Model pemrograman linear mempunyai tiga unsur utama yaitu :

1. Variabel keputusan2. Fungsi tujuan3. Fungsi kendala

Variabel keputusan adalah variabel persoalan yang akan mempengaruhi nilai tujuan yang hendak dicapai. Di dalam proses pemodelan, penemuan variabel keputusan tersebut harus dilakukan terlebih dahulu sebelum merumuskan fungsi tujuan dan kendala-kendalanya.

Fungsi tujuan. Dalam model pemrograman linier, tujuan yang hendak dicapai harus diwujudkan ke dalam sebuah fungsi matematika linier. Selanjutnya fungsi itu dimaksimumkan atau diminimumkan terhadap kendala-kendala yang ada.

Kendala-kendala fungsional. Manajemen menghadapi beragai kendala untuk mewujudkan tujuan-tujuannya. Kendala dapat diumpamakan sebagai suatu pembatas terhadap kumpulan keputusan yang mungkin dibuat dan harusdituangkan ke dalam fungsi matematika linier. Dalam hal ini, sesuai dengan dalil-dalil matematika, ada tiga macam kendala yaitu :

1. Kendala berupa pembatas2. Kendala berupa syarat3. Kendala berupa keharusan

10

Formulasi bentuk model program linier dapat berbentuk kanonik atau bentuk standar. Karakteristik bentuk standar model pemrograman linier adalah sebagai berikut :

a. Fungsi tujuan berbentuk maximasi atau minimisasib. Semua pembatas berbentuk persamaan (=) untuk model standar dan berbentuk

pertidaksamaan (≤,≥) untuk model kanonik, kecuali untuk kendala ketidaknegatifan (non negativity constraint)

c. Elemen ruas kanan dari setiap pembatas tidak berharga negatifd. Semua variabel keputusan tidak boleh bernilai negatif (non negativity constraint)

Berikut adalah formulasi umum model pemrograman linier dalam bentuk kanonik :

Fungsi Tujuan (Objective Function)

Max/Min Z =

Pembatas (Subject to)

1.

2.

3.

.

.

3. Solusi Model

Solusi pada model program linear dapat didapatkan dengan 2 tahap, yaitu solusi layak dan kemudian dapat ditemukan solusi optimumnya. Dalam mendapatkan solusi solusi tersebut dapat ditemukan dengan metode grafis atau dengan menggunakan metode simpleks. Metode grafis memiliki jumlah keterbatasan jumlah variabel keputusan yang tidak boleh melebihi 3, oleh sebab itu untuk mencari solusi biasa digunakan metode simpleks.

4. Contoh Aplikasi1. Permasalahan

Sebuah rumah sakit memerlukan 15.000 unit kalori dan 13.000 unit protein untuk setiap pasien

per harinya. Apabila setiap kg daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein

sedangkan 1 kg ikan basah mengandung 300 unit kalori dan 400 unit protein dengan harga masing-

11

masing per kg nya Rp 2.500 dan Rp 2.000. Tentukan biaya minimal untuk kebutuhan 100 pasien

rumah sakit tersebut per harinya.

2. Pemecahan Masalah

Sesuai dengan langkah pengembangan model maka secara berurutan akan diidentifikasikan

komponen modelnya, kemudian diformulasikan modelnya dan akhirnya dicari solusi optimalnya.

Berikut ini adalah pemecahan permasalahan di atas sesaui dengan langkah tersebut.

1. Komponen Model

Kriteria Kerja (Performance Criteria)

Biaya minimal untuk kebutuhan 100 pasien rumah sakit per hari : Z

Variabel Keputusan (Decision Variables)

Daging sapi kg :

Ikan per kg :

Pembatas (Constraints)

Unit kalori setiap pasien per hari : 15.000 unit

Unit protein setiap pasien per hari : 13.000 unit

Parameter

Daging sapi Ikan

Harga per kg 2.500 2.000 (ribu Rp/unit)

Daging sapi 500 300 (unit/kg)

Ikan 200 400 (unit/kg)

2. Formulasi Model

Fungsi Tujuan

Constraints

Unit kalori :

Unit protein :

12

5 + 3 ≥ 150

32,5

0 30

2 + 4 ≥ 130 Unit protein

3. Solusi

Untuk mendapatkan nilai variabel keputusan dan akan digunakan metode grafis yang

terdiri atas dua langkah utama yaitu :

Menentukan solusi feasibel

a. Gambarkan sumbu cartesius dengan absis dan ordinat dan

b. Gambarkan pertaksamaan pembatas pada sumbu cartesius

c. Tentukan daerah feasibel yang merupakan interseksi dari semua pertaksamaan

pembatas yang ada.

Unit kalori

Gambar 5

Gambar Penentuan solusi layak dengan metode grafis

Menentukan solusi optimal

Pada prinsipnya solusi optimal diperoleh dengan memasukkan koordinat titik-titik

perpotongan antara pembatas ke dalam fungsi tujuan. Titik yang memberikan nilai kriteria

kinerja (Z) terbaik, itulah solusi optimalnya.

Secara grafis langkah yang ditempuh adalah :

13

5 + 3 ≥ 150

32,5

0 30

2 + 4 ≥ 130 Unit protein

a. Gambarkan garis fungsi tujuan dengan koefisien arah sebesar

dimana 2,5 adalah sudut antara garis Z dengan sumbu

b. Buatlah garis lain yang sejajar dengan garis Z sedemikian rupa sehingga garis tersebut

dapat memalui titik sudut terjauh dari daerah layak

c. Tentukan harga nilai ordinat itulah nilai optimum dan hitung nilai Z.

Berdasarkan langkah tersebut maka diperoleh gambar berikut dan nilai solusi optimalnya adalah 15

kg daging sapi dan 25 ikan dengan total biaya minimum Rp 87.500

Unit kalori

Z = 25

Optimal

Gambar 6

Gambar Penentuan solusi optimal dengan metode grafis

2.2 Model TransportasiModel transportasi berawal dari tahun 1941 ketika F.I Hitchcock mengetengahkan suatu

studi yang berjudul “ The Distribution of a Product from Several Sources to Numerous Localities”. Presentasi ini dipertimbangkan sebagai sumbangan penting terhadap penyelesaian kasus-kasus transportasi yang pertama kali. Kemudian pada tahun 1947 T.C Koopmans sebelum bekerja di Cowles Commission, dia bekerja di Combines Shipping Adjusment Board in Washington dan mengetengahkan suatu studi yang tidak berkaitan dengan studi Hitchcock dan diberi judul “ Optimum Utilization of the Transportations System”. Selanjutnya kedua sumbangan ini sangat

14

membantu di dalam pengembangan model transportasi. Model transportasi telah diterapkan pada berbagai macam organisasi usaha seperti rancang bangun dan pengendalian operasi pabrik, penentuan daerah penjualan dan pengalokasian pusat-pusat distribusi gudang.

Algoritma transportasi digunakan ketika sumber m memasok n tujuan dan koefisien biaya individu per unit aliran antara masing-masing sumber dan tujuan diketahui dan linear sebagai fungsi dari volume aliran. Model transportasi merupakan contoh aplikasi lain dari penggunaan program linear Masalah transportasi membicarakan cara pendistribusian suatu komoditi dari sejumlah sumber (Origin) ke sejumlah tujuan (Destination). Sasarannya adalah mencari pola pendistribusian dan banyaknya komoditi yang diangkut dari masing-masing sumber ke masing-masing tujuan, yang meminimalkan ongkos angkut secara keseluruhan,dengan kendala-kendala yang ada.

Skenario Masalah Transportasi

1. Ada sumber (Origin) dengan kapasitas (supply) maksimumnya.

2. Ada tujuan (Destination) dengan permintaan (demand) minimumnya.

3. Ada jalur angkutan dari setiap sumber ke setiap tujuan beserta ongkos angkut satuan.

4. Ada satu macam komoditi saja yang diangkut.

5. Meminimalkan ongkos angkut total.

Gambar 7

Gambar Skema Sistem Transportasi

Keterangan gambar :

Oi : Sumber (Origin) ke-i (i=1,2,…,m)

15

O1 D1

O2 D2

O3 D3

Om Dn

b2

b1

b3

bm

a1

a2

a3

an

cmn xmn

c11

c21c13

x11

x12

x13

Dj : Tujuan (Destination) ke-j (j=1,2,…,n)

bi : Supply maksimum pada Oi

aj : Demand minimum pada Dj

cij : ongkos angkutan satuan pada jalur

xij : banyaknya unit komoditi yang diangkut dari Oi ke Dj (alokasi).

1. Asumsi dan Komponen Model

i. Linearitas, yaitu biaya angkut berbanding lurus (proporsional) dengan banyaknya komoditi

yang diangkut dari origin ke destination.

ii. Hanya ada satu jenis komoditi yang diangkut.

Asumsi (i) berakibat masalah transportasi termasuk dalam kategori masalah program linier,

sehingga cara menyelesaikannya bisa memanfaatkan metode yang sudah lazim dikenal,seperti yang

akan dijabarkan kemudian, hanya saja pembatas biasa dinyatakan dalam bentuk persamaan bukan

dalam bentuk pertaksamaan kecuali untuk pembatas variabel keputusan nonnegatif. Asumsi (ii)

berakibat setiap destination bisa menerima kiriman dari setiap origin.

Adapun komponen modelnya yaitu :

Kriteria KinerjaKriteria kinerja yang digunakan adalah Ongkos Transport Total (Z)

Variabel KeputusanVariabel keputusan adalah jumlah barang yang diangkut dari lokasi asal (gudang/pabrik) I ke lokasi tujuan j (konsumen) (Xij)

PembatasAda dua kategori pembatas yaitu dari lokasi awal i (pemasok) dan dari lokasi tujuan j (sisi yang dipasok). Yang menjadi batasan disini adalah kapasitas pasokan (ai) dan jumlah permintaannya (bi) . Dengan demikian jika ada n lokasi awal dan m lokasi tujuan maka aka nada sejumlah (n + m) pembatas.

ParameterOngkos transportasi dari lokasi awal i ke lokasi tujuan j (Cij)

2. Formulasi Model Transportasi

Model matematis permasalahan tranpsortasi dapat dinyatakan sebagai berikut : Fungsi tujuan

Miinimasi

16

Pembatas :

1. Supply

2. Demand

3. Non Negatif

Kendala pasokan (supply) menjamin bahwa jumlah barang/komoditi yang dikirim dari suatu sumber tidak akan pernah melampaui jumlah pasokan yang tersedia pada sumber tersebut. Sedangkan kendala permintaan (demand) menjamin bahwa jumlah barang/ komoditi yang dikirim ke suatu lokasi tujuan paling tidak sama dengan permintaan pada lokasi tujuan tersebut. Jika ingin dibuat lebih ketat, dalam arti jumlah barang/komoditi yang dikirim ke suatu lokasi tujuan adalah sama dengan permintaan di lokasi yang bersangkutan, maka digunakan kesamaan (=) dan bukannya ketidaksamaan (≥).

3. Solusi

Jika pada suatu masalah transportasi, jumlah total pasokan sama dengan jumlah total

permintaan, maka masalah tersebut disebut masalah yang seimbang (balanced) atau juga disebut

masalah transportasi standard di mana penyelesainnya dapat dilakukan melalui 2 (dua) tahap, yaitu

tahap pencarian solusi basis layak awal (starting/initial basic feasible solution), dan tahap

pemeriksaan keoptimalan solusi. Solusi keadaan setimbang yaitu Jika yaitu total supply

komiditi pada origin sama dengan total demand pada destination, maka masalah transportasi

dikatakan setimbang. Dalam kasus setimbang,semua kendala,baik kendala supply maupun kendala

demand berbentuk persamaan,yaitu

. .

Akibatnya banyak variabel basis adalah , sebab merupakan persamaan yang

saling independen. Oleh karena itu,penyelesaian layak basis (plb) terdiri atas variabel

basis. Beberapa metode yang cukup terkenal untuk pencarian solusi basis layak awal adalah aturan

pojok kiri atas (nortwest corner rule), metode ongkos terkecil (least/minimum cost method), dan

metode penalti Vogel (Vogel Approximation Method – VAM). Sedangkan metode-metode yang dapat

digunakan untuk memeriksa keoptimalan solusi adalah metode Stepping Stone.

17

4. Contoh aplikasi1. Permasalahan

PT ABC memiliki tiga buah pabrik yang masing-masing memiliki cabang yang berlokasi di kota P, kota Q dan kota R. Data kapasitas pabrik, permintaan cabang dan ongkos transport dari pabrik ke cabang disajikan pada tabel berikut.

Tabel 3Tabel Data transportasi PT ABC

Kota P Kota Q Kota R KapasitasPabrik 1 20 5 8 90Pabrik 2 15 20 10 60Pabrik 3 25 10 19 50Demand 50 110 40 200

Bagaimana sistem distribusi dan transportasi barang dari pabrik ke seluruh cabang yang optimal?

2. Pemecahan MasalahSesuai dengan langkah pengembangan model maka secara berurutan akan diidentifikasikan komponen modelnya, kemudian diformulasikan modelnya lalu dicari solusi optimalnya.1. Komponen Model

Kriteria Kinerja (Performance Criteria) : Minimasi ongkos transportasi : Z Variabel Keputusan (Desicion Variables)

Jumlah barang yang dikirim dari pabrik 1 :

Jumlah barang yang dikirim dari pabrik 2 :

Jumlah barang yang dikirim dari pabrik 3 :

Jumlah barang yang dikirim dari tiap pabrik (i,i=1 untuk pabrik 1, i=2 untuk pabrik 2

dan i=3 untuk pabrik 3) ke tiap cabang (j=1,2,3) :

Pembatas (Constraints)Kapasitas pabrik:Pabrik 1 : 90Pabrik 2 : 60Pabrik 3 :50Permintaan tiap cabang :Cabang 1 : 50Cabang 2 : 110Cabang 3 : 40

ParameterOngkos transportasi dari tiap pabrik ke tiap cabang

Tabel 4Tabel Ongkos Transportasi PT ABC

18

Kota P Kota Q Kota RPabrik 1 20 5 8Pabrik 2 15 20 10Pabrik 3 25 10 19

2. Formulasi Model Matematis Fungsi Tujuan

Min Z =

Pembatas

1.

2.3.

4.5.=110

6. =40

7. untuk i=1,2,3 dan j=1,2,3

3. SolusiUntuk kasus minimasi ongkos transportadi dari pabrik ke cabang maka digunakan metode ongkos terkecil (least cost). Hasil yang diperoleh seperti pada tabel di bawah :

Tabel 5Tabel Solusi optimal PT ABC

Kota P Kota Q Kota R KapasitasPabrik 1 - 90 - 90Pabrik 2 20 - 40 60Pabrik 3 30 20 - 50Demand 50 110 40 200

19

Minimum cost = 90(5)+20(15)+40(10)+30(25)+20(10)=2100

2.3 Model Antrian (Queuing)Salah satu teknik yang paling lama dalam operation research dan masih menjadi salah satu

teknik yang paling banyak dipakai adalah teori antrian. Queque bukanlah kata yang berawal dari

united States tetapi berasal dari inggris. Orang-orang inggris mengenal hal tersebut ketika

mereka berdiri mengantri secara berbaris ketika membeli daging di butcher shop.

Antrian tidak terlepas dari kehidupan sehari-hari seperti mengantri pada saat mandi di pagi hari,

di tukang cukur, di rumah sakit dan lain-lain. Salah satu hal yang tidak disukai dalam kehidupan

sehari-hari adalah menunggu. Dalam industry dikenal istilah “time is money” atau waktu adalah

uang yang artinya membuang-buang waktu sama saja dengan membuang-buang uang.

Teori antrian diperkenalkan oleh seorang engineer dari Denmark bernama A.K Erlang pada

industry telephone berjalan yaitu sekitar kurang lebih 50 tahun yang lalu. Dia menemukan

hubungan fungsi banyaknya probabilitas dari telpon yang masuk. Saat ini, studi mengenai

antrian telepon tersebut digunakan untuk effisensi sistem telepon. Analogi yang digunakan pada

sistem ini dapat pula digunakan untuk aliran signal dalam sistem komputer yaitu GPSS ( General

purpose simulation system) yang dikembangkan oleh Engineer dari IBM.

Aliran sistem tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 8

Gambar Aliran sistem antrian (Hicks ,1994)

Sistem antrian Multiple-server diperkenalkan oleh Kendall pada tahun 1953 dan dilanjutkan oleh

Lee pada tahun 1966. Sistem Kendall-Lee ini mengkarakterisasikan sistem antrian multi-server ke

dalam enam ciri yaitu (Hicks , 1994):

1. The arrival distribution

Distribusi kedatangan pelanggan atau distribusi waktu antar datang pelanggan (a)

2. The service distribution

Distribusi waktu layan pelanggan atau distribusi keberangkatan pelanggan (b)

3. The number of parallel service chanel

20

Rate in Rate outQueque

Jumlah saluran pelayanan (c)

4. The service discipline

Disiplin antrian (d)

5. The number of units of flow permitted in the system

Jumlah pelanggan yang diperbolehkan dalam sistem antrian (e)

6. The source population

Populasi pelanggan (f)

Tabel 6Tabel Kendall-Lee Multiple-Server Queque Classification System (Hicks, 1994)

General Notation (a/b/c):(d/e/f)Specific Notation DescriptionA Arrival or Interarrival distributionB Leaving or service time distributionC Number of parallel service channelsD Service disciplineE Maximum number allowed in the systemF Calling source

Code for a and bM Poisson arrival (or equivalent exponential interarrival or service times)D Deterministic interarrival or service timesEk Erlangian or gamma interarrival or service time distributionsGI General independent distribution of arrivals or interarrival timesG General distribution of leaving or service times

Code for dFCFS First come, first servedLCFS Last come, first servedSIRO Service in random orderGD General service discipline

Terdapat beberapa disiplin antrian yang bisa digunakan, yaitu:

a. First Come, First Served (FCFS)

Pelanggan yang lebih dulu masuk akan lebih dulu dilayani

b. Last Come, First Served (LCFS)

Pelanggan yang terakhir masuk akan lebih dulu dilayani

c. Service in Random Order (SIRO)

21

Pelanggan dipanggil secara acak untuk dilayani

d. General Service Discipline (GD)

Pelanggan dipanggil berdasarkan aturan umum yang ditaati bersama

Asumsi dasar yang digunakan dalam model antrian yang diformulasikan adalah:

- Kedatangan berdistribusi tertentu (Poisson, Umum) dengan laju kecepatan rata-rata

sebesar λ

- Waktu pelayanan berdistribusi tertentu (Eksponensial, Umum) dengan laju kecepatan

rata-rata sebesar µ

- λ / µ < 1

Adapun komponen modelnya adalah sebagai berikut:

1. Kriteria Kinerja (Z)

Kriteria kinerja (Z) yang digunakan dapat berupa ongkos atau tingkat pelayanan yang

dapat diukur diantaranya melalui:

- Ekspektasi waktu antri (Wq)

- Ekspektasi waktu sistem (Ws)

- Ekspektasi jumlah pelanggan antri (En)

- Ekspektasi jumlah pelanggan sistem (Es)

- Ekspektasi total biaya pada sistem (Z)

2. Variabel Keputusan

- Variabel keputusannya adalah c yaitu jumlah stasiun pelayanan.

3. Pembatas

- Pembatas dapat berupa jumlah tempat tunggu yang tersedia, waktu pelayanan dan

sebagainya

4. Parameter

- Laju rata rata kedatangan : λ

– Laju rata rata pelayanan : μ

– Biaya pelayanan : O1

– Biaya menunggu : O2

Formulasi Model

Fungsi Tujuan : Z (c) = EOO(c)+EON(c)

22

Z(c) = O1(c) + O2(c)

Z(c) = Ekspekstasi total biaya sistem antrian per satuan waktu untuk jumlah stasiun pelayanan c

EOO(c) = Ekspektasi biaya operasional pelayanan per satuan waktu untuk jumlah stasiun

pelayanan c

EOO(c) = Ekspektasi biaya pelanggan berada dalam sistem per satuan waktu

Pembatas :

Contoh Aplikasi

Sebuah perusahaan memiliki pelanggan yang datang dengan laju kedatangan 5 orang per jam.

Pelayanan diberikan dengan laju 10 pelanggan per jam. Sistem antrian memiliki karakteristik

M/M/c/GD/~/~. Biaya pelayanan per operator per hari adalah Rp. 100.000 dan biaya pelanggan

dalam sistem per hari adalah Rp. 10.000.000. Berdasarkan kebijakan perusahaan jumlah

operator maksimal yang dipekerjakan adalah 5 orang. Berapakah jumlah stasiun pelayanan

(operaror) optimal yang harus disediakan?

Jawaban:

1. Komponen Model

Fungsi tujuan: Minimasi ongkos antrian per hari (Z(c))

Variabel Keputusan: Jumlah stasiun pelayanan (operator) yang harus disediakan (c)

Kendala: Jumlah operator maksimum yang dipekerjakan adalah 5 orang

Parameter:

- λ = 5 pelanggan/jam

- µ = 10 pelanggan/jam

- C1 = Rp. 100.000/hari/operator

- C2 = Rp. 10.000.000/hari/pelanggan

2. Formulasi Model

Fungsi tujuan: Z(c) = 100.000 * c + 10.000.000 EN * c

23

Kendala : 0<c<5

Dimana

Dilakukan enumerasi untuk setiap nilai n 1 sampai 5 dan dicari biaya Z(c) terendah.

C E00( c) EN ( c) EON ( c) Z ( c)1 100000 0.7439 7439000 75390002 200000 0.5305 5305000 55050003 300000 0.5036 5036000 53360004 400000 0.5003 5003000 54030005 500000 0.5000 5000000 5500000

Tampak bahwa jumlah operator yang optimal adalah sebesar 3 operator dengan ongkos total yang dikeluarkan sebesar Rp 5.336.000,-.

3. Simulation Model

Pendekatan simulasi berkembang seiring dengan perkembangan teknologi. Akibat adanya kelemahan yang ditemukan dalam pendekatan operational research (OR), pendekatan simulasi hadir menawarkan pemecahan solusi yang lebih fleksibel untuk sistem permasalahan yang rumit. Namun di samping itu, pendekatan simulasi juga memiliki kelemahan tersendiri.

Simulasi sebagai salah satu alat untuk menyelesaikan permasalahan dapat diartikan sebagai konstruksi dan manipulasi dari sebuah sistem operasi, yang merupakan representasi fisik atau simbolik dari keseluruhan atau sebagian aspek dari proses sosial atau psikologi. Pendekatan simulasi lebih mengarah pada pembangunan model untuk mereplika proses dengan cara memanipulasi hubungan antar variable dalam suatu model.

Pendekatan simulasi ini diterapkan karena dapat meniru sistem-sistem yang besar dan kompleks yang secara model matematis akan sulit diselesaikan.

24

Gambar 9

Gambar Jenis Pendekatan Simulasi

Pendekatan simulasi terbagi menjadi dua jenis, yaitu secara fisik dan matematis. Pendekatan simulasi secara fisik menggunakan objek nyata sebagai model dari beberapa bagian objek dalam realitas, seperti membangun model pesawat atau kapal. Sedangkan pendekatan secara matematis menggunakan formula atau rumusan matematika yang dapat dibentuk melalui dua cara yakni secara numerik dan analitis.

Dalam pendekatan analitis, akan dapat diturunkan satu buah solusi optimal atau solusi tunggal. Sedangkan pendekatan secara numerik akan berkaitan dengan perilaku sistem dan tidak terlalu menyinggung solusi optimal. Ada dua jenis simulasi numerik, yaitu secara deterministic atau stokastik. Pendekatan deterministic memerlukan perbaikan nilai-nilai variable atau parameter, sedangkan pendekatan stokastik menggunakan beberapa jenis fungsi distribusi sebagai input variable.

Pendekatan simulasi memiliki kelebihan di antaranya adalah:

1. Dapat digunakan sebagai alternatif untuk menyelaikan masalah yang sulit direpresentasikan dalam model matematis

2. Dapat memprediksi kinerja sistem dalam berbagai kondisi operasional3. Memungkinkan untuk melakukan eksperimen dalam rangka menghindari adanya kerugian

Di samping itu, kelemahan dari pendekatan ini adalah dalam hal validasi solusi. Solusi yang dihasilkan dari pendekatan ini tidak bersifat general, dan kurang teliti apabila dibandingkan dengan pendekatan lain.

25

Daftar Pustaka

http://www.poms.ucl.ac.be/etudes/notes/prod2100/cours/Part%205-Inventory.pdf

Hicks, P. E. (1994). Industrial Engineering and Management. Singapore: McGraw Hill.

Sugandi Yahdin. 2010. Diktat Kuliah Optimasi. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sriwijaya. Palembang

Sudrajat. 2005.Model Distribusi Pada Pemrograman Stokastik dengan Satu Fungsi Objektif. Workshop and National Seminar On Space Time Models and Its Applications. Bandung

Victor Hariadi. 2009. Pencarian Solusi Pemrograman Nonlinier Mengguakan Algoritma Branch and Bound. Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Informasi. Yogyakarta

Berends, P., & Romme, G. (1999). Simulation as a Research Tool in Management Studies. European Management Journal , 576-583.

26