TUGAS BESARKL 5102 ANALISIS REKAYASA LANJUTDosen: Irsan S. Brodjonegoro Ph.D.

Aplikasi Persamaan Adveksi Difusi Dengan Metode Finite DifferenceContoh Kasus Penyebaran Polutan 1D dan 2D

Disusun oleh:Meirita Ramdhani 25511301Sripardi Jamelina 25511302

Program Magister Teknik KelautanInstitut Teknologi BandungDesember 2012

Halaman 2 dari 8

Daftar IsiDaftar Isii1.Pendahuluan11.1.Latar Belakang11.2.Landasan teori11.3.Tujuan21.4.Ruang lingkup22.Metode22.1.Domain32.2.Syarat batas52.3.Syarat kestabilan63.Hasil73.1.Kasus 1: 1D sumber kontinu dan diskontinu koefisien difusi kecil73.2.Kasus 2: 1D sumber kontinu dan diskontinu koefisien difusi besar93.3.Kasus 3: 2D sumber diskontinu koefisien difusi kecil113.4.Kasus 4: 2D sumber diskontinu koefisien difusi besar123.5.Kasus 5: 2D sumber kontinu koefisien difusi kecil143.6.Kasus 6: 2D sumber kontinu koefisien difusi besar164.Analisis185.Kesimpulan19LampiranA

i

1. Pendahuluan Laporan ini dilakukan untuk mendokumentasikan pembuatan program sederhana menggunakan MATLAB sebagai tugas besar dari mata kuliah Analisis Rekayasa Lanjut Program Magister Teknik Kelautan Institut Teknologi Bandung. Penggunaan metode numerik untuk mempermudah kegiatan perindustrian sudah marak dilakukan. Pengambilan data lapangan dalam jangka waktu yang lama dan secara massive sangat sulit dilakukan mengingat biaya dan resiko yang tinggi yang mungkin terjadi. Penggunaan dasar ilmu pengetahuan sebagai upaya meningkatkan kualitas pekerjaan di dunia modern belakangan ini sudah dilakukan, salah satunya estimasi sebaran polutan yang terjadi di alam, baik di udara, laut, sungai, maupun daratan.Dalam laporan ini akan dipaparkan aplikasi dari salah satu persamaan differensial parsial, yang diaplikasikan pada kasus sehari-hari. sebaran polutan yang dapat terjadi pada sebuah kanal air yang dipengaruhi koefisien difusifitas dari air juga pergerakan air sendiri. Kasus ini dalam skala kecil dapat terjadi di lorong-lorong air di sekitar kita, hingga sungai-sungai besar atau bahkan laut yang menjorok ke darat atau teluk. 1.1. Latar BelakangAplikasi kasus sederhana dari persamaan pengatur secara fisis diketahui dalam kuliah dan dengan pemahaman lebih mengenai perhitungan numeric dan bahasa dalam sebuah program numeric, teori-teori fisika dapat kita buktikan. Pemahaman teori yang kemudian dilanjutkan dengan praktis akan memberikan proses pembelajaran yang lebih mendalam. Kasus yang dikembangkan dalam laporan ini adalah penyebaran suatu polutan dalam suatu kolom air. Persamaan pengatur, syarat batas dan initial condition tertentu dapat mempengaruhi hasil program. Sehingga detil komponen yang dipercobakan dalam program sebaiknya ditampilkan, untuk kemudian disimpulkan.1.2. TujuanMensimulasikan persamaan adveksi difusi 1D dan 2D yang diaplikasikan pada kanal air 1D dan 2D1.3. Ruang lingkup Program sederhana yang dilakukan dalam laporan ini adalah mencakup simulasi numerik 1 dimensi dan 2 dimensi dengan kondisi unsteady state dengan komponen adveksi dan difusi tertentu untuk melihat pola gerak distribusi materi yang terlarut dalam air.

1.4. Landasan teoripenyebaran panas disuatu pelat dapat di rumuskan dengan persamaan berikut :(1)

Dalam hal ini k adalah koefisien pengali termal. Persamaan penyebaran panas tersebut sering juga disebut sebagai persamaan difusi yang aplikasinya tidak hanya untuk memodelkan sebaran panas disuatu plat tetapi juga dapat diaplikasikan untuk memodelkan suatu sebaran polutan pada suatu area perairan. Jika adalah suatu variable konsentrasi polutan yang berubah terhadap ruang dan waktu, maka nilai k akan berperan sebagai suatu koefisien difusi dari polutan tersebut.Selanjutnya persamaan pergerakan suatu material pada suatu perairan dapat dimodelkan dengan persamaan adveksi sebagai berikut:(2)

Berdasarkan persamaan tersebut, Perubahaan konsentrasi suatu polutan di satu lokasi perairan pada suatu waktu, akan sebanding dengan perubahannya terhadap ruang dikalikan denagan kecepatan perairan tersebut. Gabungan dari kedua persamaan diatas akan membentuk suatu persamaan baru disebut persamaan adveksi difusi, yang mengambarkan suatu pergerakan dan penyebaran dari suatu konsentrasi polutan disatu lokasi perairan(3)

2 suku pertama merupakan suku aveksi yang bersifat menggerakkan dan dua suku selanjutnya akan berfungsi sebagai penyebar/peluruh dari konsentrasi polutan yang terjadi di perairan.Jika , maka akan terjadi suatu kondisi steady state. ketika kondisi ini di capai kita akan menemui kondisi dimana kita akan mengetahui seberapa jauh polutan dapat menyebar dan meluruh. Ketiga persamaan diatas tidak dapat diaplikasikan secara langsung. Karena kita harus menyelesaikannya terlebih dahulu dengan cara mencari solusi dari persamaan differensial tersebut. solusi dari perasamaan diatas dapat dilakukan secara analitik maupun numerik, dalam tugas besar ini PDE akan diselesaikan dengan metode numeric. Dengan mengaplikasian metode beda hingga (finite difference) pada PDE tsb.2. MetodeDalam bab ini kita akan membahas mengenai aplikasi dari metode beda hingga yang diaplikasikan pada PDE untuk mencari solusi dari PDE pada persamaan (1,2,3). Secara sederhana, metode beda hingga yang diaplikasn untuk penyelesaian PDE secara eksplisit di peroleh dari pendekatan PDE dengan menggunakan deret taylor yang dipotong pada suku dengan orde tertentu (Kreyszig, 2006). PDE pada persamaan (1,2,3) akan dekritisasikan terhadap ruang (indeks i,j) dan waktu (indeks k). sehingga persamaan (3) dapat ditulis sbb:(4)

untuk mengurangi kompleksitas dari persamaan kasus diatas, pada tugas besar kali ini akan diterapkan asumsi bahwa tidak kondisi perairan adalah seragam sehingga tidak ada suku kecepatan yang berubah terhadap y, sehingga penyederhanaan dari persamaan (4) diatas menjadi:(5)

Sedangkan untuk kasus 1 D persamaan (5) akan menjadi lebih sederhana :(5)

2.1. Domain Kasus sederhana dengan panjang area 100m dan lebar 50m seperti yang ada pada Gambar 1.

Visualisasi domainPembagian grid terstruktur berbentuk kotak kotak didasarkan pada sehingga domain diatas dapat di bagi kedalam bentuk seperti pada Gambar 2.

Pembagian grid kotak-kotak pada domain dengan Ukuran grid menjadi 100x50 untuk domain 2 dimensi. Sedangkan pada 1 dimensi hanya komponen x yang digunakan. Sedangkan perhitungan iterasi dilakukan dengan metode finite difference dimana iterasi merupakan lapisan-lapisan baru.

Lapisan imajinatif iterasi pada perhitungan numerikPada Gambar 3 nilai yang dicari adalah saat lapisan k+1 dalam hal ini lapisan adalah waktu. Skema ini terdapat dalam perhitungan 2 dimensi. Yang dibutuhkan adalah nilai nilai kanan, kiri, nilai sebelumnya dan nilai yang akan datang (biasanya dimasukkan Nol).

b.a. Figure 1 Titik-titik indeks Komponen I,j,k membutuhkan 6 arah mata angin (2 dimensi unsteady state) seperti yang terlihat pada Gambar 4.a. Sedangkan untuk 1 dimensi unsteady state lebih sederhana lagi seperti di Gambar 4.b.2.2. Syarat batas Dalam pemodelan, syarat batas merupakan keharusan yang harus didefinisikan di awal pemodelan. Untuk kasus 1D, syarat batas hanya di kiri domain dengan nilai tetap sepanjang iterasi yaitu 0. Sedangkan nilai batas sebelah kanan sama dengan grid sebelumnya.Untuk kasus 2D, syarat batas diletakkan di pinggir kanan, atas, dan bawah, yang bernilai 0, sedangkan di sebelah kanan domain nilainya adalah sama dengan grid sebelumnya.

Syarat batas 2D

2.3. Syarat kestabilanDalam pemrogaman perlu adanya persyaratan kestabilan agar hasil perhitungan tidak menunjukkan perilaku floating atau meledak. Berdasarkan penelitian Courant-Friedrich-Lewy (CFL), syarat kestabilan dari suatu perhitungan finite difference 1D harus memenuhi kirteria sbb: dImana Syarat kestabilan ini ditujukan untuk membuat nilai perhitungan mengalami konvergensi karena penggunaan pendekatan finite difference yang memungkinkan adanya divergensi.

ba Flow chart program adveksi difusi (a) 1-Dimensi (b) 2-DImensi3. Hasil3.1. Kasus 1: 1D sumber kontinu dan diskontinu koefisien difusi kecilKonfigurasi kasus 1 program 1-Dimensi dan parameter yang diujiUkuran matriks250 dimensi ruang, 100 dimensi waktu

Koefisien difusi0.05

Kecepatan konstan U0.3

Konsentrasi sumber polutan kontinu & diskontinu20 (1 lokasi)

Sumber kontinu 1 D, koef. Difusi kecil

Sumber diskontinu 1 D, koef. Difusi kecil3.2. Kasus 2: 1D sumber kontinu dan diskontinu koefisien difusi besarKonfigurasi kasus 2 program 1-Dimensi dan parameter yang diujiUkuran matriks250 dimensi ruang, 100 dimensi waktu

Koefisien difusi0.1

Kecepatan konstan U0.3

Konsentrasi sumber polutan kontinu & diskontinu20 (1 lokasi)

Sumber kontinu 1 D, koef. Difusi besar

Gambar 1. Sumber diskontinu 1 D, koef. Difusi besar3.3. Kasus 3: 2D sumber diskontinu koefisien difusi kecilKonfigurasi kasus 3 program 2-Dimensi dan parameter yang diujiUkuran matriks100 arah x, 50 arah y, 100 dimensi waktu

Koefisien difusi0.05

Kecepatan konstan U0.3

Konsentrasi sumber polutan diskontinu 50 (1 lokasi)

Sumber diskontinu 2 D, koef. Difusi kecil3.4. Kasus 4: 2D sumber diskontinu koefisien difusi besarKonfigurasi kasus 4 program 2-Dimensi dan parameter yang diujiUkuran matriks100 arah x, 50 arah y, 100 dimensi waktu

Koefisien difusi0.7

Kecepatan konstan U0.3

Konsentrasi sumber polutan diskontinu50 (1 lokasi)

Sumber diskontinu 2 D, koef. Difusi besar3.5. Kasus 5: 2D sumber kontinu koefisien difusi kecilKonfigurasi kasus 5 program 2-Dimensi dan parameter yang diujiUkuran matriks100 arah x, 50 arah y, 100 dimensi waktu

Koefisien difusi0.05

Kecepatan konstan U0.3

Konsentrasi sumber polutan kontinu50 (1 lokasi)

Sumber kontinu 2 D, koef. Difusi kecil3.6. Kasus 6: 2D sumber kontinu koefisien difusi besarKonfigurasi kasus 6 program 2-Dimensi dan parameter yang diujiUkuran matriks100 arah x, 50 arah y, 100 dimensi waktu

Koefisien difusi0.7

Kecepatan konstan U0.3

Konsentrasi sumber polutan kontinu50 (1 lokasi)

Sumber kontinu 2 D, koef. Difusi besar4. AnalisisDari hasil perhitungan numerik dengan pendekatan beda hingga, yang di aplikasikan di 1 dimensi dan 2 dimensi dapat dikatakan perilaku pergerakan polutan baik di 1-D dan 2-D menunjukkan karakter yang sama. Kasus 1 dan kasus 2 merupakan contoh kasus penyebaran polutan dalam 1 D dimana arah x pada grafik adalah jarak, dan arah y adalah nilai konsentrasinya. Pada kasus 1, dalam iterasi yang kita batasi sampai 100, dapat diketahui bahwa sumber kontinu memberikan penambahan nilai konsentrasi di grid dekat sumber kemudian meluar sampai tak hingga. Dalam kasus ini batas kiri kita berikan nilai 0 selama periode perhitungan, sedangkan di kanan kita tidak memberikan batas. Lihat Gambar 7, akan berbeda bentuk grafik nya jika kita berikan batas fix juga di batas domain kanan. Sedangkan pada Gambar 8 menunjukkan pola penyebaran polutan yang diberikan sumber hanya 1 kali saat mulai iterasi sehingga akibat pengaruh adveksi, polutan bergerak kekanan dan semakin lama nilainya semakin berkurang akibat pengaruh difusi. Perbedaan sangat terlihat pada grafik t=100 untuk sumber kontinu dan diskontinu, bahwa polutan sudah habis di sumber diskontinu sedangkan polutan menumpuk di kasus polutan kontinu. Perbedaan dengan kasus 2 jelas terlihat pada kecepatan menyebarnya. Kasus 2 merupakan kasus yang serupa dengan kasus 1 namun kita perbesar nilai koefisien difusinya. Terlihat pada Gambar 10 pada iterasi yang sama, persebaran polutan lebih jauh dibandingkan koefisien difusi kecil dan pada Gambar 9 polutan lebih tinggi dibandingkan gambar 7. Kasus 3 & 4 merupakan kasus sejenis, namun disini kita ingin mengetahui pengaruh difusi terhadap penyebaran 2 D dengan menggunakan koefisien adveksi yang sama. Terlihat dari Gambar 11 dan 12, dari iterasi yang sama, misal pada iterasi ke 350, polutan berada di sekitar 30m, sedangkan dengan koefisien yang lebih besar (Gambar 12) polutan berada di sekitar 70m.Kasus 5 dan 6 memberikan pemahaman bahwa sumber polutan yang diberikan terus menerus akan memberikan nilai yang semakin alam semakin membesar dan karena adanya pengaruh adveksi sehingga penyebaran bergerak sesuai dengan arah gerak koefisien adveksinya, juga menyebar ke segala arah sesuai dengan koefisien difusinya. Perbedaan mencolok jika melihat gambar 13 pada iterasi 350 dimana kasus 5 jarak penyebaran sampai 30m dengan lebar penyebaran 10m, sedangkan pada gambar 14 di waktu iterasi yang sama, jarak penyebaran sampai 70m dengan lebar hingga 30m.Penggunaan syarat kestabilan pada program 1D tidak hanya CFL namun koefisien difusi yang terlalu besar juga bisa memberikan hasil yang tidak logis. Sedangkan pada program 2D, nilai CFL yang tepat memberikan visualisasi penyebaran polutan yang baik, walaupun program tetap jalan jika nilai CFl>1 namun hasil yang diberikan tidak logis. 5. Kesimpulan1. Dekritisasi persamaan beda hingga untuk diaplikasikan pada bahasa pemrograman memiliki banyak trik, dimana latihan adalah kunci untuk berhasil.2. Semakin besar koefisien difusi yang digunakan, jarak penyebaran polutan semakin jauh dari sumber. Namun harus dikaji lagi parameter lainnya, terutama untuk 1D, dimana nilai koefisien yang tinggi menghasilkan grafik yang kurang baik.3. Pengaruh koefisien difusi selain melebar kearah menjauhi sumber juga kesegala arah, dan kecepatan peluruhan juga sangat bergantung nilai ini. 4. Sumber polutan yang diskontinu dan kontinu memberikan hasil yang jauh signifikan. Nilai konsentrasi polutan dekat dengan sumber yang terus meningkat kurang memberikan hasil yang representative, namun secara numeric sudah baik. 5. Koefisien adveksi, dalam hal ini kecepatan arah u, sangat mempengaruhi gerak polutan menjauhi sumber .6. Nilai CFL yang lebih baik adalah 0.2, walaupun tidak ditunjukkan dalam hasil simulasi, namun syarat ini dianjurkan untuk lebih mendekati nilai 0.

20

Lampiranclc; clear all; close all;% TUGAS BESAR KL5102 ANALISIS REKAYASA LANJUT% APLIKASI PERSAMAAN ADVEKSI DIFUSI PENYEBARAN POLUTAN 1-DIMENSI% S.Jamelina [25511302] & M.Ramdhani [25511301] % ukuran matrikspanjang=50 %mwaktu=100 %m dp=0.2dt=0.2 m=panjang/dp;n=waktu/dp; P=[]; % sy batas for j=1:n for i=1:m P(1,j)=0; P(m,j)=0; end end % Koef difusi Dx=0.1; %0.05 % kec arus (konstan) U=0.3; %0.3 xx=1 % mulai peritungan for j=2:100; %index waktu for i=2:m-1; %index ruang %sumber polutan P(5,1)=50; P(i,j)=P(i,j-1)+((Dx*(dt/(dp^2))*(P(i-1,j-1)-2*P(i,j-1)+P(i+1,j-1))-U*((0.5*dt/dp)*(P(i+1,j-1)-P(i-1,j-1))))); end %plotting plot(P(:,j)); title(['t=',strcat(num2str(j))]); xlabel('distance'),ylabel('Concentration') axis([0 50 0 50]); saveas(gcf,strcat(num2str(j),'.jpg')); end

clc; clear all; close all;% PROGRAM ADVEKSI 1D - DIFUSI 2D% Meirita & Nina% Desember 2012 % definisi daerah modelpanjang=100 %mlebar=50 %mT=10 %s % Dekritisasi Modeldx = 1 %mdy = 1 %mdt = 0.2 %s% kecepatan arus arah uu = 0.7 %m/s % koefisien difusikd = 0.7 m=panjang/dxn=lebar/dy % CFL CriteriationCFL=u*dt/dxif CFL >=1 disp('program unstable'); disp(CFL); breakend p=zeros([n,m]); P=zeros([n,m]); for k=1:500; % iterasi dari timestep for i=2:m-1; % panjang for j=2:n-1; % lebar % syarat batas p(j,1)=0; p(j,m)=0; p(1,i)=0; p(m,i)= p(j,n-2); % syarat awal konsentrasi polutan kontinyu sampai selang waktu tertentu if k